资源简介

初中数学人教版（2024）七年级上册
2.1.2 有理数的减法（2）
课标分析
课标分析：本节内容要求学生掌握有理数加减混合运算的统一性，理解通过引入相反数将减法转化为加法的原理，并能熟练运用省略括号和加号的简化写法进行运算（如）。同时，要求学生能够从数轴直观理解两点间距离的概念，探究不同情况下点与点的距离与数的关系，最终抽象出一般性结论，体现从具体到抽象的数学思维过程，培养数形结合与符号化表达能力。运算要求达到准确、灵活，探究活动需注重观察、归纳与验证。
教材分析
本节课主要学习有理数加减混合运算的简化方法，通过引入相反数将减法转化为加法，并利用省略括号和加号的形式简化算式书写，如可写为，进而通过交换律和结合律进行简便计算。教学过程引导学生从具体算式归纳统一为加法的规律，并借助数轴探究两点间距离与有理数差的关系。本节内容承接有理数加法、减法运算，是前面知识的延伸与整合，体现了运算的统一性与简洁性。本节课的作用在于帮助学生掌握有理数混合运算的技巧，提升运算能力与符号意识，为后续学习代数式化简、方程求解及实数运算打下坚实基础，同时通过数轴与运算的结合，发展几何直观与抽象概括能力。
学情分析
七年级学生已学习有理数的概念、相反数、绝对值及有理数的加法和减法运算，掌握了数轴的基本应用，具备初步的符号意识和运算能力，为学习有理数的加减混合运算提供了知识基础，此阶段学生正处于由具体运算向抽象思维过渡的阶段，能够理解符号表达的意义，但在运算中仍容易混淆符号规则，尤其在省略括号后的算式识别与运算顺序上存在困难，本节课要求学生理解加减混合运算可统一为加法运算的本质，掌握省略括号和加号的简化写法，并能正确读写如这类算式，通过探究数轴上两点间距离的问题，帮助学生建立几何直观与代数运算的联系，进一步理解有理数运算的实际意义，提升运算能力和数学抽象思维水平，为后续代数式运算和方程学习打下坚实基础。
教学目标
理解有理数加减混合运算可统一为加法运算，掌握省略括号和加号的简化写法，能正确读写如的算式，提升符号意识与数学表达能力，发展运算能力和抽象思维。
能熟练进行有理数加减混合运算，并运用交换律和结合律简化计算过程，通过运算提高逻辑推理和数学运算核心素养，增强运算策略的选择与应用能力。
通过数轴探究两点间距离与有理数差的关系，理解距离的非负性，初步形成几何直观与代数表达的联系，培养模型观念和数形结合思想，提升观察、归纳与推理能力。
重点难点
重点：掌握有理数加减混合运算统一为加法运算的方法，能熟练进行运算。
难点：理解省略括号和加号的意义，以及探究数轴上两点距离与有理数运算的关系。
课前任务
1.知识回顾：
上节课学习了有理数的加法和减法法则，请回忆有理数加法法则与减法法则，思考与的联系，通过计算巩固法则运用。
2.预习教材：
阅读教材中有理数加减混合运算内容，了解引入相反数后，加减混合运算如何统一为加法运算，注意算式书写简化形式及读法，将关键知识点记录在预习笔记，标注疑惑处。
3.问题思考：
对于算式，思考能否将其统一为加法运算？若能，怎样读？类比教材例子，尝试计算该算式结果，课上交流做法。
课堂导入
同学们，我们先来看一个生活场景。小明从家出发，先向东走了20米，记为米，然后又向西走了30米，记为米，之后再向东走15米，记为米，最后向西走了5米，记为米。那小明最终相对家的位置该怎么计算呢？这其实就是一个有理数的加减混合问题。我们之前分别学习了有理数的加法和减法，可在实际生活中，像这样加减交替出现的情况很常见。那如何更简便地进行有理数的加减混合运算呢？今天，就让我们一起深入探究有理数的加减混合运算。
有理数的加减混合运算
探究新知
（一）知识精讲
首先，我们来研究有理数加减混合运算的简化方法。观察算式，根据加法交换律和结合律，我们可以将其改写为的形式。这种简写形式既保留了原算式的运算关系，又大大简化了书写过程。
在数轴上，我们可以更直观地理解有理数的加减运算。例如，计算时，可以看作从-20出发，先向右移动3个单位，再向右移动5个单位，最后向左移动7个单位，最终到达-19的位置。
接下来，我们探究数轴上两点间距离的计算方法。观察数轴上表示数和的点A、B，可以发现：
当，时，距离为
当，时，距离为
当，时，距离为
当，时，距离为
由此可以归纳出：数轴上任意两点A、B之间的距离等于这两个数之差的绝对值，即。
（二）师生互动
教师提问：同学们，如果我们在数轴上有点A表示-3，点B表示5，那么AB之间的距离是多少？可以用几种不同的方法来计算呢？
学生回答：可以用，也可以用，结果都是8。
教师追问：非常好！那么，如果点A表示的数比点B表示的数大，比如A表示7，B表示2，距离公式还成立吗？为什么？
学生思考后回答：仍然成立，因为，这与实际距离相符。绝对值保证了距离永远是非负数。
（三）设计意图
通过具体算例和数轴直观演示，帮助学生理解有理数加减混合运算的简化原理，培养符号意识和运算能力。借助数轴探究两点间距离公式，发展学生的数形结合思想，提升抽象概括能力。通过师生互动中的层层设问，引导学生深入思考绝对值在距离计算中的作用，体会数学概念的严谨性和普遍适用性，为后续学习奠定坚实基础。
新知应用
例1：
在数轴上，点A，B分别表示数a，b，对于下列各组数a，b：
，；，；，；，，
(1) 观察点A，B在数轴上的位置，你能得出它们之间的距离吗？
(2) 利用有理数的运算，你能用含有a，b的算式表示上述各组点A，B之间的距离吗？
一般地，你能发现点A，B之间的距离与数a，b之间的关系吗？
解答：
我们逐组分析每一对数 和 在数轴上的位置，并计算它们之间的距离。
第一组： ，
点A在数轴上位于2，点B位于6。
从2到6向右移动了 个单位。
所以距离是 。
第二组： ，
点A在原点0，点B在6。
向右移动 个单位。
距离是 。
第三组： ，
点A在2，点B在-6。
从2向左到0是2个单位，再从0向左到-6是6个单位，共 个单位。
或者直接计算：，但由于方向相反，实际距离应为绝对值：，或 。
所以距离是 。
第四组： ，
点A在-2，点B在-6。
两者都在负半轴，-6在-2的左边。
相差 ，或 。
所以距离是 。
现在我们将结果整理如下：
a b 距离
2 6 4
0 6 6
2 -6 8
-2 -6 4
观察这些数据，我们可以尝试用算式表达距离：
对于任意两个数 和 ，它们在数轴上的距离不是简单的 或 ，因为差可能是负数。
但距离总是正数，且等于这两个数之差的绝对值。
因此，我们得出结论：
数轴上两点A、B对应的数分别为 、，则它们之间的距离为：
（因为 ，结果相同）
验证：
第一组：
第二组：
第三组：
第四组：
全部成立。
总结：
1.题目考查内容
①数轴上两点之间距离的概念；
②有理数的减法与绝对值的意义；
③通过具体例子归纳一般规律的数学思维方法。
2.题目求解要点
①理解数轴上两点间的距离是它们对应数之差的绝对值；
②掌握计算 的方法，注意结果恒为非负数；
③能从特殊到一般，归纳出公式 表示距离的数学关系。
板书设计
有理数的加减混合运算
运算统一：
简写形式
写法：省略括号与加号，如
读法：“负20、正3、正5、负7的和”或“负20加3加5减7”
运算示例：
教学反思
本节课围绕有理数加减混合运算展开，通过将减法转化为加法，统一为加法运算，并借助省略括号的简化写法，帮助学生理解算式的本质是四个有理数的和，结合数轴探究两点间距离与有理数运算的关系，引导学生从几何与代数两个角度理解、之间的距离为。教学设计符合课标要求，注重运算能力与数形结合思想的培养。整体教学目标基本达成，学生能熟练进行有理数加减混合运算，但在符号处理和绝对值意义的理解上仍有部分学生存在困惑，小组探究环节个别学生参与度不足，需进一步优化问题引导和合作机制，提升全体学生的思维参与度。

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