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北师大版（2024）八年级数学上册第七章《证明》
7.3平行线的证明（性质定理）教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 七
课题 平行线的证明（性质定理） 课时 1
课标要求 《平行线的证明》课标要求其核心在于“启蒙”个“奠基”，在知识层面，要求学生掌握平行线的判断和性质这两组工具；在能力上，要求学生开启演泽推理的大门，初步掌握几何证明的基本方法和规范格式；在思维上，要求学生从直觉感知到逻辑推理的转变，培养严谨的科学态度。
教材分析 《平行线的性质》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第七章第四节的内容。教材是在学生已经掌握了同位角、内错角、同旁内角的概念和平行线的判定的基础上安排的．性质1是类比平行线的判定，通过探究得出，性质2、3则是以性质1和对顶角相等或邻补角互补为依据推理得出．教学时，要让学生经历平行线的性质1，即“两直线平行，同位角相等”的探究发现过程，经历平行线的性质2“两直线平行，内错角相等”和平行线的性质3“ 两直线平行，同旁内角互补”的推理获得过程，引导学生循序渐进地思考，使学生初步养成言之有据的习惯，逐步学会简单推理．另外，平行线的性质是类比平行线的判定进行学习的，教学时，要注意让学生体会利用判定(性质)研究性质(判定)这样一种研究几何图形常用的方法．
学情分析 学习本课之前，学生对平行线的性质已经比较熟悉，也有了初步的逻辑推理能力，特别是上一节课的学习，使学生对简单的证明步骤有了更为清楚的认识，这为今天的学习奠定了一个良好的基础。在以往的几何学习中，学生对动手操作、猜想、说理、讨论等活动形式比较熟悉，本节课主要采取学生分组交流、讨论等学习方式，学生已经具备必要的基础
核心素养目标 1、认识平行线的三条性质，能熟练运用这三条性质证明几何题，进一步理解和总结证明的步骤、格式、方法，了解两定理在条件和结构上的区别，体会正逆的思维过程． 2、经历探索直线平行的性质的过程，掌握平行线的三条性质，并能用它们进行简单的推理和计算，经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展学生空间观念，推理能力和有条理表达能力。3、通过对平行线性质的探究，使学生初步认识数学与现实生活的密切联系，体会科学的思想方法，激发学生探索创新精神；通过师生的共同活动，促使学生在学习活动中培养良好的情感、合作交流、主动参与的意识。
教学重点 平行线三个性质的探究及运用
教学难点 平行线性质定理和判定定理的综合运用以及证明过程的规范表达。
教学准备 课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 1、证明一个命题有四个步骤：（1）根据题意， 画出图形 ；（2）找出命题的题设（条件）和结论。（3）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证 ；（4）写出证明过程。2、平行线的判定公理:同位角相等,两直线平行.∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b判定定理1:内错角相等,两直线平行.∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b.判定定理2:同旁内角互补,两直线平行.∵∠1+∠2=1800 , ∴ a∥b. 回答问题，复习平行线的判定定理，思考两直线平行能得到哪些结论。 复习旧知，为新授铺垫。
二、问题导入 思考 反过来,如果两条直线平行,同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢 问题1：根据“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”.你能作出相关的图形吗？问题2：你能根据所作的图形写出已知、求证吗 根据问题画出草图。 提出问题，直截了当地切入本节课的中心内容，通过学生的猜想、讨论，引起学生的探究欲望.
三、探究 一、平行线的性质1、如果两条直线平行.那么同位角相等。 ∵a∥b,∴∠2=∠42、如果两条直线平行.那么内错角相等。 ∵a∥b,∴∠2=∠33、如果两条直线平行.那么同旁内角互补相等。 ∵a∥b,∴∠1+∠2=180°二、证明性质定理1、性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等已知，如图，直线AB∥CD,∠1和∠2是直线AB、CD被直线EF截出的同位角.求证：∠1=∠2.证明：假设∠1 ≠ ∠2，那么我们可以过点M作直线GH，使∠EMH= ∠2，如图所示.根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH ∥ CD.又因为AB ∥ CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行.这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.这说明∠1 ≠ ∠2的假设不成立，所以∠1 =∠2.性质定理2：两条直线被第三条直线所截，内错角相等.已知：直线a∥b，∠3和∠2是直线a，b被直线c截出的内错角.求证： ∠2=∠3.证明：∵a∥b(已知)， ∴∠2＝∠4(两条直线平行，同位角相等) ∵∠4＝∠3(对顶角相等)， ∴∠2=∠3(等量代换) 性质定理3：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补已知：直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角.求证： ∠1+∠2=180°.证明：∵a∥b (已知) ∴∠2＝∠4 (两条直线平行，同位角相等) ∵∠1+∠4 =180° (平角等于180°) ∴∠1+∠2=180 ° (等量代换) .证明的一般步骤：第一步：根据题意，画出图形．　　先根据命题的条件即已知事项，画出图形，再把命题的结论即求证的需要在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达．第二步：根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.把命题的条件转化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中．第三步：经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程． 学生小组合作交流，在教师的指导下完成完成3个定理的证明，注意检查学生书写的规范性。 以学生为主体，让学生经历知识的产生与发展过程，体会数学证明的逻辑性和严谨性。
四、尝试 基础达标：1.下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是( B )2.如图,若AB∥DE ,　AC∥DF，那么∠A和∠D的关系是（ 相等 ）3.如图,若AB∥DE ,　AC∥DF，那么∠A和∠D的关系是（ 相等 ） 第2题 第3题4.如图，是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°， ∠B=115°，梯形的另外两个角分别是多少度？解：因为梯形上、下底互相平行，所以∠A与∠D互补， ∠B与∠C互补.于是∠D=180 °-∠A=180°-100°=80°∠C= 180 °-∠B=180°-115°=65°所以梯形的另外两个角分别是80° 、 65°.5.如图：直线AB、CD都和AE相交，且∠1+∠A=180 。求证：AB//CD证明： ∵∠1=∠2（对顶角相等） ∵∠1+∠A=180 ( 已知 ） ∴∠2+∠A=180 （等量代换） ∴ AB//CD（同旁内角互补，两直线平行）能力提升：6.证明邻补角的平分线互相垂直.已知：如图∠AOB、∠BOC互为邻补角，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC. 求证：OE⊥OF.证明： ∵OE平分∠AOB. OF平分∠BOC（已知） ∴∠EOB=∠AOB∠BOF=∠BOC（角平分线定义）∵∠AOB+∠BOC=180°（1平角=180°）∴∠EOB+∠BOF=（∠AOB+∠BOC）=90°（等式的性质）即∠EOF=90° ∴OE⊥OF（垂直的定义）7.如图(1)所示为长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图；(2)再沿BF折叠成图；(3)继续沿EF折叠成图(4),按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG，整个过程共折叠了9次，问图（1）中∠DEF的度数是( 18° )解答提示：对折9次完全盖住∠EFG，就是把平角分成10份，每份18°，即∠BFE=18°，而∠DEF=∠BFE=18°拓展迁移：8.已知，如图，AB∥CD，∠B=∠D，求证：AD∥BC.证法一：∵AB∥DC（已知）∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠B=∠D（已知） ∴∠D+∠C=180°（等量代换） ∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）证法二： 如图，延长BA（构造一组同位角） ∵AB∥CD（已知） ∴∠1=∠D（两直线平行，内错角相等） ∵∠B=∠D（已知） ∴∠1=∠B（等量代换） ∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）9.如图，直线OM⊥ON，垂足为O，三角板的直角顶点C落在∠MON的内部，三角板的另两条直角边分别与ON、OM交于点D和点B．(Ⅰ)求∠OBC+∠ODC的值；(Ⅱ)如图1：若DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，求证：DE⊥BF：(Ⅲ)如图2：若BF、DG分别平分∠OBC、∠ODC的外角，判断BF与DG的位置关系，并说明理由．解：（Ⅰ）解：∵OM⊥ON，∴∠MON=90°，在四边形OBCD中，∠C=∠BOD=90°，∴∠OBC+∠ODC=360°﹣90°﹣90°=180°；故答案为180°；（Ⅱ）证明：延长DE交BF于H，如图1，∵∠OBC+∠ODC=180°，而∠OBC+∠CBM=180°，∴∠ODC=∠CBM，∵DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，∴∠CDE=∠FBE，而∠DEC=∠BEH，∴∠BHE=∠C=90°，∴DE⊥BF；（Ⅲ）解：DG∥BF．理由如下：作CQ∥BF，如图2，∵∠OBC+∠ODC=180°，∴∠CBM+∠NDC=180°，∵BF、DG分别平分∠OBC、∠ODC的外角，∴∠GDC+∠FBC=90°，∵CQ∥BF，∴∠FBC=∠BCQ，而∠BCQ+∠DCQ=90°，∴∠DCQ=∠GDC，∴CQ∥GD，∴BF∥DG． 完成课堂练习题，能力提升题小组交流完成。 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
五、提升 适时小结，兴趣延伸两直线平行性质定理：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；证明的一般步骤：第一步：根据题意，画出图形分析．第二步：写出已知、求证，第三步：写出证明过程． 引导学生进行课堂总结 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1．下列说法中正确的有（　B　） ①等角的余角相等；②两直线平行，同旁内角相等；③相等的角是对顶角；④同位角相等；⑤直角三角形中两锐角互余.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2.如图所示，直线a∥b，直线l与a，b分别相交于A、B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若∠1＝58°，则∠2的度数为( C ) A. 58° B. 42° C. 32° D. 28°3. 如图所示，直线a∥b，点B在直线a上，AB⊥BC，若∠1＝38°，则∠2的度数为 ( B ) A. 38° B. 52° C. 76° D. 142° 第2题图 第3题图 第4题图4．如图，AB∥EF，则下列关系中正确的是（　C　）A．∠C＝∠B+∠D B．∠B+∠E+∠C﹣∠D＝180° C．∠B+∠D+∠E﹣∠C＝180° D．∠E+∠B＝∠C+∠D5.如图所示，AB∥CD，∠E＝40°，∠A＝110°，则∠C的度数为( D ) A. 60° B. 80° C. 75° D. 70°6.如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1＝35°时，∠2的度数为（　C　）A．35° B．45° C．55° D．65° 第5题图 第6 题图能力提升：7．如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠、则∠1与∠α的关系式是（　C　）A．∠ α ＝60°+ ∠1 B．∠ α ＝45°+ ∠1 C．∠ α + ∠1＝90° D．∠ α + ∠1＝120°8. 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，EG∥AD，找出图中的等腰三角形，并给出证明．解：△AEF是等腰三角形．理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．又∵EG∥AD，∴∠E=∠CAD，∠EFA=∠BAD，∴∠E=∠EFA，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形．拓展迁移：9.如图所示，已知四边形ABCD 中， AB∥CD， AD∥BC,试问∠A与∠C，∠B与∠D 的大小关系如何解：∠A= ∠ C, ∠B=∠D理由：∵AB∥CD （已知 ） ∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补 ）又 ∵ AD∥BC （已知） ∴∠C+∠D=180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ） ∴∠ B=∠D （ 同角的补角相等 ）同理 ∠A=∠C10.我们都知道“三角形的内角和等于180°”。如图1，教材中是用“延长BC，过点C作CE∥AB”的方法把∠A移到∠1的位置，把∠B移到∠2的位置，从而完成证明的。请你借助图2作辅助线的思路将下面证明“三角形的内角和等于180°”的过程补充完整。已知：△ABC求证：∠BAC＋∠B＋∠C＝180°证明：如图2，过点A作直线DE∥BC∵DE∥BC∴∠B=∠DAB ∠C=∠EAC ，∴∠BAC+∠B+∠C=∠BAC+∠DAB+∠EAC=180° ，∴∠BAC+∠B+∠C=180° 。
教学反思
A
B
C
D
E
F
M
N
1
2
a
b
c
4
2
1
3
A
G
1
E
H
2
M
B
N
F
D
C
4
a
b
c
2
1
3
4
3
c
a
1
2
b
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第七章 证明
7.3平行线的证明（性质定理）
01
教学目标
02
知识回顾
03
问题导入
04
探究新知
05
课堂练习
06
课堂总结
07
作业布置
01
教学目标
认识平行线的三条性质，能熟练运用这三条性质证明几何题，进一步理解和总结证明的步骤、格式、方法，了解两定理在条件和结构上的区别，体会正逆的思维过程．
01
经历探索直线平行的性质的过程，掌握平行线的三条性质，并能用它们进行简单的推理和计算，经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展学生空间观念，推理能力和有条理表达能力。
02
通过对平行线性质的探究，使学生初步认识数学与现实生活的密切联系，体会科学的思想方法，激发学生探索创新精神；通过师生的共同活动，促使学生在学习活动中培养良好的情感、合作交流、主动参与的意识。
03
02
知识回顾
1、证明一个命题有四个步骤：
（1）根据题意， 画出图形 ；
（2）找出命题的题设（条件）和结论。
（3）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证 ；
（4）写出证明过程。
03
知识回顾
a
b
c
2
1
a
b
c
1
2
a
b
c
1
2
2、平行线的判定
公理:
同位角相等,两直线平行.∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b
判定定理1:
内错角相等,两直线平行.∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b.
判定定理2:
同旁内角互补,两直线平行.∵∠1+∠2=1800 , ∴ a∥b.
03
问题导入
思考 反过来,如果两条直线平行,同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢
问题1：根据“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”.你能作出相关的图形吗？
A
B
C
D
E
F
M
N
1
2
问题2：你能根据所作的图形写出已知、求证吗
03
新知探究
探究：平行线的性质
1、如果两条直线平行.那么同位角相等。
∵a∥b,∴∠2=∠4
2、如果两条直线平行.那么内错角相等。
∵a∥b,∴∠2=∠3
3、如果两条直线平行.那么同旁内角互补相等。
∵a∥b,∴∠1+∠2=180°
a
b
c
1
2
3
4
03
新知探究
证明性质定理1:
如果两条直线平行.那么同位角相等。
已知：AB∥CD,∠1、∠2是直线AB、CD被直线EF截出的同位角。
求证∠1=∠2
证明：如果∠1≠∠2，那么过M点作直线GH,使∠EMH=∠2.
根据同位角相等，两直线平行，可知GH∥CD.
又因为AB∥CD,这样经过点M存在两条直线AB和GH和CD平行.
这与基本事实过直线外一点有且只有一条直线平行线矛盾。故
∠1≠∠2假设不成立，所以∠1=∠2
03
新知探究
证明性质定理2:
如果两条直线平行.那么内错角相等。
已知：直线 a∥b ,∠1和∠2是内错角
求证：∠1+∠2
证明： ∵ a∥b （已知）
∠2=∠3（两直线平行同位角相等）
∠1=∠3（对顶角相等）
∴∠1=∠2（等量代换）
a
b
c
1
2
3
03
新知探究
证明性质定理3:
如果两条直线平行.那么同旁内角互补。
a
b
c
1
2
3
已知：直线 a∥b ,∠1和∠2是同位角
求证：∠1+∠2=180°
证明： ∵ a∥b （已知）
∠2=∠3（两直线平行内错角相等）
∠1+∠3=180°（平角定义）
∴∠1+∠2=180°（等量代换）
知识要点1
第一步：根据题意，画出图形．
　　先根据命题的条件即已知事项，画出图形，再把命题的结论即求证的需要在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达．
第二步：根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.把命题的条件转化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中．
第三步：经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．
证明的一般步骤：
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是( )
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2.如图1,若AB∥DE ,　AC∥DF，那么∠A和∠D的关系是（ ）
P
F
C
E
B
A
D
相等
F
C
E
B
A
D
P
3.如图2,若AB∥DE ,　AC∥DF，那么∠A和∠D的关系是（ ）
相等
图1 图2
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4.如图，是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，
∠B=115°，梯形的另外两个角分别是多少度？
解：因为梯形上、下底互相平行，所以
∠A与∠D互补， ∠B与∠C互补.
于是∠D=180 °-∠A=180°-100°=80°
∠C= 180 °-∠B=180°-115°=65°
所以梯形的另外两个角分别是80° 、 65°.
A
B
C
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
5.如图：直线AB、CD都和AE相交，且∠1+∠A=180 。
求证：AB//CD
证明∴∠1=∠2（对顶角相等）
∵∠1+∠A=180 ( 已知 ）
∴∠2+∠A=180 （等量代换）
∴ AB//CD（同旁内角互补，两直线平行）
C
A
B
D
2
1
3
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6.证明邻补角的平分线互相垂直.
已知：如图∠AOB、∠BOC互为邻补角，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC. 求证：OE⊥OF.
证明： ∵OE平分∠AOB.
OF平分∠BOC（已知）
∴∠EOB=∠AOB
∠BOF=∠BOC（角平分线定义）
∵∠AOB+∠BOC=180°（1平角=180°）
∴∠EOB+∠BOF=（∠AOB+∠BOC）=90°（等式的性质）
即∠EOF=90° ∴OE⊥OF（垂直的定义）
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
7.如图(1)所示为长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图；(2)再沿BF折叠成图；(3)继续沿EF折叠成图(4),按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG，整个过程共折叠了9次，问图（1）中∠DEF的度数是( )
18°
解答提示：对折9次完全盖住∠EFG，就是把平角分成10分，每份18°，即∠BFE=18°，而∠DEF=∠BFE=18°
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
8.已知，如图，AB∥CD，∠B=∠D，求证：AD∥BC.
证法一：
∵AB∥DC（已知）
∴∠B+∠C=180°
（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠B=∠D（已知）
∴∠D+∠C=180°（等量代换）
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
证法二：
如图，延长BA（构造一组同位角）
∵AB∥CD（已知）
∴∠1=∠D（两直线平行，内错角相等）
∵∠B=∠D（已知）
∴∠1=∠B（等量代换）
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
9.如图，直线OM⊥ON，垂足为O，三角板的直角顶点C落在∠MON的内部，三角板的另两条直角边分别与ON、OM交于点D和点B．
(Ⅰ)求∠OBC+∠ODC的值；
(Ⅱ)如图1：若DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，求证：DE⊥BF：
(Ⅲ)如图2：若BF、DG分别平分∠OBC、∠ODC的外角，判断BF与DG的位置关系，并说明理由．
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
解：（Ⅰ）解：∵OM⊥ON，
∴∠MON=90°，
在四边形OBCD中，∠C=∠BOD=90°，
∴∠OBC+∠ODC=360°﹣90°﹣90°=180°；
故答案为180°；
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
（Ⅱ）证明：延长DE交BF于H，如图1，
∵∠OBC+∠ODC=180°，
而∠OBC+∠CBM=180°，
∴∠ODC=∠CBM，
∵DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，
∴∠CDE=∠FBE，
而∠DEC=∠BEH，
∴∠BHE=∠C=90°，
∴DE⊥BF；
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
（Ⅲ）解：DG∥BF．理由如下：
作CQ∥BF，如图2，
∵∠OBC+∠ODC=180°，∴∠CBM+∠NDC=180°，
∵BF、DG分别平分∠OBC、∠ODC的外角，
∴∠GDC+∠FBC=90°，
∵CQ∥BF，∴∠FBC=∠BCQ，
而∠BCQ+∠DCQ=90°，
∴∠DCQ=∠GDC，
∴CQ∥GD，
∴BF∥DG．
05
课堂小结
平行线的判定:
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
平行线的性质
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
两直线平行
由角定线
由线定角
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1．下列说法中正确的有（　　）
①等角的余角相等；②两直线平行，同旁内角相等；③相等的角是对顶角；④同位角相等；⑤直角三角形中两锐角互余.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.如图所示，直线a∥b，直线l与a，b分别相交于A、B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若∠1＝58°，
则∠2的度数为( )
A. 58° B. 42°
C. 32° D. 28°
C
B
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
3. 如图所示，直线a∥b，点B在直线a上，AB⊥BC，若∠1＝38°，则∠2的度数为 ( )
A. 38°
B. 52°
C. 76°
D. 142°
B
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
4．如图，AB∥EF，则下列关系中正确的是（　　）
A．∠C＝∠B+∠D
B．∠B+∠E+∠C﹣∠D＝180°
C．∠B+∠D+∠E﹣∠C＝180°
D．∠E+∠B＝∠C+∠D
C
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
5.如图所示，AB∥CD，∠E＝40°，∠A＝110°，则∠C的度数为( )
A. 60°
B. 80°
C. 75°
D. 70°
D
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
6.如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1＝35°时，∠2的度数为（　　）
A．35° B．45°
C．55° D．65°
C
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
7．如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠、则∠1与∠α的关系式是（　　）
A．∠ α ＝60°+ ∠1
B．∠ α ＝45°+ ∠1
C．∠ α + ∠1＝90°
D．∠ α + ∠1＝120°
C
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
8. 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，
EG∥AD，找出图中的等腰三角形，
并给出证明．
解：△AEF是等腰三角形．理由如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
又∵EG∥AD，
∴∠E=∠CAD，∠EFA=∠BAD，
∴∠E=∠EFA，
∴AE=AF，
∴△AEF是等腰三角形．
06
作业布置
【综合拓展类作业】
9.如图所示，已知四边形ABCD 中， AB∥CD， AD∥BC,试问∠A与∠C，∠B与∠D 的大小关系如何
解：∠A= ∠ C, ∠B=∠D
理由：∵AB∥CD （已知 ）
∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补 ）
又 ∵ AD∥BC （已知）
∴∠C+∠D=180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
∴∠ B=∠D （ 同角的补角相等 ）
同理 ∠A=∠C
06
作业布置
【综合拓展类作业】
10.我们都知道“三角形的内角和等于180°”。如图1，教材中是用“延长BC，过点C作CE∥AB”的方法把∠A移到∠1的位置，把∠B移到∠2的位置，从而完成证明的。请你借助图2作辅助线的思路将下面证明“三角形的内角和等于180°”的过程补充完整。
已知：△ABC
求证：∠BAC＋∠B＋∠C＝180°
证明：如图2，过点A作直线DE∥BC
06
作业布置
【综合拓展类作业】
∵DE∥BC
∴∠B=∠DAB ∠C=∠EAC ，∴∠BAC+∠B+∠C
=∠BAC+∠DAB+∠EAC=180° ，∴∠BAC+∠B+∠C=180° 。
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第七章 证明
7.3平行线的证明（性质定理）导学案
学习目标与重难点
学习目标：
认识平行线的三条性质，能熟练运用这三条性质证明几何题，进一步理解和总结证明的步骤、格式、方法，了解两定理在条件和结构上的区别，体会正逆的思维过程．
经历探索直线平行的性质的过程，掌握平行线的三条性质，并能用它们进行简单的推理和计算，经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展学生空间观念，推理能力和有条理表达能力。
通过对平行线性质的探究，使学生初步认识数学与现实生活的密切联系，体会科学的思想方法，激发学生探索创新精神；通过师生的共同活动，促使学生在学习活动中培养良好的情感、合作交流、主动参与的意识。
学习重点：
平行线三个性质的探究及运用
学习难点：
平行线性质定理和判定定理的综合运用以及证明过程的规范表达。
预习自测
一、知识链接
1、证明一个命题有四个步骤：
（1）根据题意， 画出图形 ；
（2）找出命题的题设（条件）和结论。
（3）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证 ；
（4）写出证明过程。
2、平行线的判定
公理:
同位角相等,两直线平行.∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b（画出图形）
判定定理1:
内错角相等,两直线平行.∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b.（画出图形）
判定定理2:
同旁内角互补,两直线平行.∵∠1+∠2=1800 , ∴ a∥b.（画出图形）
教学过程
创设情境、导入新课
思考 反过来,如果两条直线平行,同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢
问题1：根据“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”.你能作出相关的图形吗？
问题2：你能根据所作的图形写出已知、求证吗
二、合作交流、新知探究
1、平行线的性质
①如果两条直线平行.那么同位角相等。
∵a∥b,∴∠2=∠4
②如果两条直线平行.那么内错角相等。
∵a∥b,∴∠2=∠3
③如果两条直线平行.那么同旁内角互补相等。
∵a∥b,∴∠1+∠2=180°
二、证明性质定理
1、性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等
已知，如图，直线AB∥CD,∠1和∠2是直线AB、CD被直线EF截出的同位角.
求证：∠1=∠2.
证明：假设∠1 ≠ ∠2，那么我们可以过点M作直线GH，使∠EMH= ∠2，如图所示.
根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH ∥ CD.
又因为AB ∥ CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行.这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.
这说明∠1 ≠ ∠2的假设不成立，所以∠1 =∠2.
性质定理2：两条直线被第三条直线所截，内错角相等.
已知： .
求证： .
证明： .
.
.
.
性质定理3：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
已知： .
求证： .
证明： .
.
.
.
证明的一般步骤：
第一步：根据题意，画出图形．
　　先根据命题的条件即已知事项，画出图形，再把命题的结论即求证的需要在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达．
第二步：根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.把命题的条件转化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中．
第三步：经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1.下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是( )
2.如图,若AB∥DE ,　AC∥DF，那么∠A和∠D的关系是 .
3.如图,若AB∥DE ,　AC∥DF，那么∠A和∠D的关系是 .
第2题 第3题
4.如图，是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外两个角分别是多少度？
5.如图：直线AB、CD都和AE相交，且∠1+∠A=180 。
能力提升：
6.证明邻补角的平分线互相垂直.
7.如图(1)所示为长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图；(2)再沿BF折叠成图；(3)继续沿EF折叠成图(4),按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG，整个过程共折叠了9次，问图（1）中∠DEF的度数是( )
拓展迁移：
8.已知，如图，AB∥CD，∠B=∠D，求证：AD∥BC.
9.如图，直线OM⊥ON，垂足为O，三角板的直角顶点C落在∠MON的内部，三角板的另两条直角边分别与ON、OM交于点D和点B．
(Ⅰ)求∠OBC+∠ODC的值；
(Ⅱ)如图1：若DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，求证：DE⊥BF：
(Ⅲ)如图2：若BF、DG分别平分∠OBC、∠ODC的外角，判断BF与DG的位置关系，并说明理由．
总结反思、拓展升华
两直线平行性质定理：
两直线平行，同位角相等；
两直线平行，内错角相等；
两直线平行，同旁内角互补；
证明的一般步骤：
第一步：根据题意，画出图形分析．
第二步：写出已知、求证，
第三步：写出证明过程．
五、【作业布置】
基础达标：
1．下列说法中正确的有（　　）
①等角的余角相等；②两直线平行，同旁内角相等；③相等的角是对顶角；④同位角相等；⑤直角三角形中两锐角互余.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.如图所示，直线a∥b，直线l与a，b分别相交于A、B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若∠1＝58°，
则∠2的度数为( )
A. 58° B. 42° C. 32° D. 28°
3. 如图所示，直线a∥b，点B在直线a上，AB⊥BC，若∠1＝38°，则∠2的度数为 ( )
A. 38° B. 52° C. 76° D. 142°
第2题图 第3题图 第4题图
4．如图，AB∥EF，则下列关系中正确的是（　　）
A．∠C＝∠B+∠D B．∠B+∠E+∠C﹣∠D＝180°
C．∠B+∠D+∠E﹣∠C＝180° D．∠E+∠B＝∠C+∠D
5.如图所示，AB∥CD，∠E＝40°，∠A＝110°，则∠C的度数为( )
A. 60° B. 80° C. 75° D. 70°
6.如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1＝35°时，∠2的度数为（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
第5题图 第6 题图
能力提升：
7．如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠、则∠1与∠α的关系式是（　　）
A．∠ α ＝60°+ ∠1
B．∠ α ＝45°+ ∠1
C．∠ α + ∠1＝90°
D．∠ α + ∠1＝120°
8. 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，EG∥AD，找出图中的等腰三角形，并给出证明．
拓展迁移：
9.如图所示，已知四边形ABCD 中， AB∥CD， AD∥BC,试问∠A与∠C，∠B与∠D 的大小关系如何
10.我们都知道“三角形的内角和等于180°”。如图1，教材中是用“延长BC，过点C作CE∥AB”的方法把∠A移到∠1的位置，把∠B移到∠2的位置，从而完成证明的。请你借助图2作辅助线的思路将下面证明“三角形的内角和等于180°”的过程补充完整。
课堂作业参考答案：
B
相等
相等
4、解：因为梯形上、下底互相平行，所以∠A与∠D互补， ∠B与∠C互补.
于是∠D=180 °-∠A=180°-100°=80°
∠C= 180 °-∠B=180°-115°=65°
所以梯形的另外两个角分别是80° 、 65°.
5、求证：AB//CD
证明：
∵∠1=∠2（对顶角相等）
∵∠1+∠A=180 ( 已知 ）
∴∠2+∠A=180 （等量代换）
∴ AB//CD（同旁内角互补，两直线平行）
已知：如图∠AOB、∠BOC互为邻补角，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC.
求证：OE⊥OF.
证明： ∵OE平分∠AOB.
OF平分∠BOC（已知）
∴∠EOB=∠AOB
∠BOF=∠BOC（角平分线定义）
∵∠AOB+∠BOC=180°（1平角=180°）
∴∠EOB+∠BOF=（∠AOB+∠BOC）=90°（等式的性质）
即∠EOF=90° ∴OE⊥OF（垂直的定义）
7、18°解答提示：对折9次完全盖住∠EFG，就是把平角分成10份，每份18°，即∠BFE=18°，而∠DEF=∠BFE=18°
8、证法一：
∵AB∥DC（已知）
∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠B=∠D（已知）
∴∠D+∠C=180°（等量代换）
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）
证法二：
如图，延长BA（构造一组同位角）
∵AB∥CD（已知）
∴∠1=∠D
（两直线平行，内错角相等）
∵∠B=∠D（已知）
∴∠1=∠B（等量代换）
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）
9、解：（Ⅰ）解：∵OM⊥ON，
∴∠MON=90°，
在四边形OBCD中，∠C=∠BOD=90°，
∴∠OBC+∠ODC=360°﹣90°﹣90°=180°；
故答案为180°；
（Ⅱ）证明：延长DE交BF于H，如图1，
∵∠OBC+∠ODC=180°，
而∠OBC+∠CBM=180°，
∴∠ODC=∠CBM，
∵DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，
∴∠CDE=∠FBE，
而∠DEC=∠BEH，
∴∠BHE=∠C=90°，
∴DE⊥BF；
（Ⅲ）解：CG∥BF．理由如下：
作CQ∥BF，如图2，
∵∠OBC+∠ODC=180°，∴∠CBM+∠NDC=180°，
∵BF、DG分别平分∠OBC、∠ODC的外角，
∴∠GDC+∠FBC=90°，
∵CQ∥BF，∴∠FBC=∠BCQ，
而∠BCQ+∠DCQ=90°，
∴∠DCQ=∠GDC，
∴CQ∥GD，
∴BF∥DG．
课外作业参考答案：
B
C
B
C
D
C
C
8、解：△AEF是等腰三角形．理由如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
又∵EG∥AD，
∴∠E=∠CAD，∠EFA=∠BAD，
∴∠E=∠EFA，
∴AE=AF，
∴△AEF是等腰三角形．
9、解：∠A= ∠ C, ∠B=∠D
理由：∵AB∥CD （已知 ）
∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补 ）
又 ∵ AD∥BC （已知）
∴∠C+∠D=180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
∴∠ B=∠D （ 同角的补角相等 ）
同理 ∠A=∠C
10、已知：△ABC
求证：∠BAC＋∠B＋∠C＝180°
证明：如图2，过点A作直线DE∥BC
∵DE∥BC
∴∠B=∠DAB ∠C=∠EAC ，∴∠BAC+∠B+∠C
=∠BAC+∠DAB+∠EAC=180° ，∴∠BAC+∠B+∠C=180° 。
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