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北师大版（2024）九年级下册 3.9 弧长及扇形的面积 讲义
【题型1】扇形面积的应用
【典型例题】如图，扇形AOB圆心角为直角，OA＝10，点C在 上，以OA，CA为邻边构造 ACDO，边CD交OB于点E，若OE＝8，则图中两块阴影部分的面积和为（　　）
A.10π﹣8 B.5π﹣8 C.25π﹣64 D.50π﹣64
【举一反三1】如图，正方形ABCD的边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线AC于点E，则阴影部分的面积是（　　）
A.4﹣π B.8﹣π C.16﹣2π D.2π﹣4
【举一反三2】如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，取AD的中点E，连接BE、CE，以BE为半径，B为圆心画弧交BC于G；以CE为半径，C为圆心画弧交BC于F，则阴影部分面积是 　 　．

【举一反三3】如图，有一个马戏帐篷，它的底面是圆形，其半径为20 m，从A到B有一笔直的栅栏，其长为30 m.观众在阴影区域里看马戏，如果每平方米可以坐3名观众，并且阴影区域坐满了人，那么大约有多少名观众在看马戏？
【题型2】弧长公式与其他知识综合
【典型例题】如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上两点，且满足∠ADC＝120°，BC＝2，则的长为（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，A，B，C，D为⊙O上的点，且直线AB与CD夹角为45°．若，，的长分别为π，π和3π，则⊙O的半径是（　　）
A.4 B.4.5 C.5 D.5.5
【举一反三2】如图， ABCD中，∠C＝110°，AB＝2，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则的长为（　　）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，在等边三角形ABC中，D为BC的中点，交AC于点E，若AB＝2，则的长为　　　　　．
【举一反三4】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E．
（1）求证：BE＝CE；
（2）若AB＝6，∠BAC＝54°，求的长．
【举一反三5】如图，一个半径为5 cm的定滑轮带动重物上升了10 cm，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点P旋转了多少度？（结果精确到1°）
【题型3】关于扇形面积的计算
【典型例题】已知一个扇形的面积是24π，弧长是2π，则这个扇形的半径为（　　）
A.24 B.22 C.12 D.6
【举一反三1】若扇形的半径是12 cm弧长是20π cm，则扇形的面积为（　　）
A.120π cm2 B.240π cm2 C.360π cm2 D.60π cm2
【举一反三2】如图，在⊙O中，OA＝2，∠ACB＝45°，则图中阴影部分的面积为（　　）
A.π B.2π C. D.
【举一反三3】如图，ABCD是围墙，AB∥CD，∠ABC＝120°，一根6 m长的绳子，一端拴在围墙一角的柱子B处，另一端E处拴着一只羊，这只羊活动区域的最大面积为　 　．
【举一反三4】已知扇形的圆心角为150°，弧长为20π cm，则扇形的面积为　 　cm2．
【举一反三5】如图，AB是⊙O的直径，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，连接OD，AC．若AB＝6，∠BAC＝20°，求弧AD的长和扇形AOD的面积．
【题型4】弧长公式的直接应用
【典型例题】一条弧所对的圆心角是144°，那么这条弧长与这条弧所在圆的周长之比为（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】挂钟的分针长10 cm，经过45分钟，它的针尖经过的路程是（　　）
A. cm B.15π cm C. cm D.75π cm
【举一反三2】已知扇形的弧长为6π，半径为12，则这个扇形的圆心角为_______度．
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣4，0），C（﹣2，2）．将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1．
（1）请写出A1、B1、C1三点的坐标：A1　　，B1　　，C1　　；
（2）求点B旋转到点B1的弧长．
【举一反三4】如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．求：
（1）△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1，并写出A1的坐标；
（2）在旋转过程中，点B经过的路径为弧BB1，求弧BB1的长．
北师大版（2024）九年级下册 第三章 圆9 弧长及扇形的面积 讲义（参考答案）
【题型1】扇形面积的应用
【典型例题】如图，扇形AOB圆心角为直角，OA＝10，点C在 上，以OA，CA为邻边构造 ACDO，边CD交OB于点E，若OE＝8，则图中两块阴影部分的面积和为（　　）
A.10π﹣8 B.5π﹣8 C.25π﹣64 D.50π﹣64
【答案】C
【解析】连接OC．
∵四边形OACD是平行四边形，∴OA∥CD，
∴∠OEC+∠EOA＝180°，
∵∠AOB＝90°，∴∠OEC＝90°，
∴EC＝=6，
∴S阴＝S扇形AOB﹣S梯形OECA＝﹣×（6+10）×8＝25π﹣64．
故选：C．
【举一反三1】如图，正方形ABCD的边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线AC于点E，则阴影部分的面积是（　　）
A.4﹣π B.8﹣π C.16﹣2π D.2π﹣4
【答案】B
【解析】如图，连接BE，
∵BC是圆的直径，∴BE⊥AC，
又∵BC＝AB，∴BE＝EA＝EC，
∵O是BC中点，∴EO是△ABC的中位线，
∴EO∥AB，∠BOE＝90°，
阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形BOE＝
＝＝8﹣π．
故选：B．
【举一反三2】如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，取AD的中点E，连接BE、CE，以BE为半径，B为圆心画弧交BC于G；以CE为半径，C为圆心画弧交BC于F，则阴影部分面积是 　 　．

【答案】﹣1
【解析】在矩形ABCD中，
∵AB＝1，AD＝2，E是AD中点，
∴ED＝AE＝1，AD∥BC，
∴∠ABE＝∠AEB＝45°，
∴∠GBE＝∠AEB＝45°，
∴AB＝AE＝1，BE＝，
∴图中阴影部分的面积＝2S扇形BEG﹣S△BEC＝2×﹣×1×2＝﹣1．
【举一反三3】如图，有一个马戏帐篷，它的底面是圆形，其半径为20 m，从A到B有一笔直的栅栏，其长为30 m.观众在阴影区域里看马戏，如果每平方米可以坐3名观众，并且阴影区域坐满了人，那么大约有多少名观众在看马戏？
【答案】解：过O作OD⊥AB，D为垂足，
∵AB=30 m.
∴AD=BD=15 m,
∴OD==5,
∵sin∠AOD===0.75，
∴∠AOD≈49°，
∴∠AOB=98°，
∴S阴影部分=S扇形OAB-S△OAB=-×30×5≈145.7(m2)，
∴145.7×3≈437（人）．
答：大约有437位观众在看马戏．
【题型2】弧长公式与其他知识综合
【典型例题】如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上两点，且满足∠ADC＝120°，BC＝2，则的长为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，连接OC．
∵∠ADC＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝∠B＝60°，
OB＝OC＝BC＝2，
∴的长为＝π，
故选：B．
【举一反三1】如图，A，B，C，D为⊙O上的点，且直线AB与CD夹角为45°．若，，的长分别为π，π和3π，则⊙O的半径是（　　）
A.4 B.4.5 C.5 D.5.5
【答案】A
【解析】∵，，的长分别为π，π和3π，
∴的长为2π，的长为4π，
∴设弧长为π所对的圆周角为α，则∠BDC＝2α，∠ABD＝4α，
∵∠BDC+∠ABD+∠E＝180°，∠E＝45°，
∴2α+4α+45°＝180°，
∴α＝，
∴弧长为π所对的圆心角为×2＝45°，
∴＝π，
∴R＝4．
【举一反三2】如图， ABCD中，∠C＝110°，AB＝2，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则的长为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠C＝110°，
∴∠B＝70°，
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB，
∴∠OEB＝70°，
∴∠AOE＝∠B+∠OEB＝70°+70°＝140°，
∵AB＝2，AB为⊙O的直径，
∴OA＝OB＝OE＝1，
∴的长为：＝．
【举一反三3】如图，在等边三角形ABC中，D为BC的中点，交AC于点E，若AB＝2，则的长为　　　　　．
【答案】
【解析】如图，取AB的中点O，连接OE，OD．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
∵BD＝DC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴AB是直径，
∵OA＝OE＝OB＝OD，
∴△AOE，△BOD都是等边三角形，
∴∠AOE＝∠BOD＝60°，
∴∠DOE＝180°﹣2×60°＝60°，
∴的长＝＝．
【举一反三4】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E．
（1）求证：BE＝CE；
（2）若AB＝6，∠BAC＝54°，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接AE．
∵AB是圆O的直径，
∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC．
又∵AB＝AC，
∴AE是边BC上的中线，
∴BE＝CE；
（2）解：连接OD，
∵AB＝6，∴AO＝3．
又∵OA＝OD，∠BAC＝54°，
∴∠OAD＝∠ODA＝54°，
∴∠AOD＝180°﹣2×54°＝72°，
∴的长为：．
【举一反三5】如图，一个半径为5 cm的定滑轮带动重物上升了10 cm，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点P旋转了多少度？（结果精确到1°）
【答案】解：∵半径为5 cm,重物上升了10 cm,根据l=,10=,
解得n≈115°,
答：滑轮上某一点P旋转了115度.
【题型3】关于扇形面积的计算
【典型例题】已知一个扇形的面积是24π，弧长是2π，则这个扇形的半径为（　　）
A.24 B.22 C.12 D.6
【答案】A
【解析】S扇形＝，即24π＝，解得r＝24．
故选：A．
【举一反三1】若扇形的半径是12 cm弧长是20π cm，则扇形的面积为（　　）
A.120π cm2 B.240π cm2 C.360π cm2 D.60π cm2
【答案】A
【解析】该扇形的面积为：S=×20π×12=120π（cm2）．
故选：A．
【举一反三2】如图，在⊙O中，OA＝2，∠ACB＝45°，则图中阴影部分的面积为（　　）
A.π B.2π C. D.
【答案】A
【解析】∵∠C＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∴S阴影＝＝π．
【举一反三3】如图，ABCD是围墙，AB∥CD，∠ABC＝120°，一根6 m长的绳子，一端拴在围墙一角的柱子B处，另一端E处拴着一只羊，这只羊活动区域的最大面积为　 　．
【答案】
【解析】如图，扇形BFG和扇形CGH为羊活动的区域．
S扇形GBF＝＝12π m2，
S扇形HCG＝＝π m2，
∴羊活动区域的面积为：12π+π＝ m2．
【举一反三4】已知扇形的圆心角为150°，弧长为20π cm，则扇形的面积为　 　cm2．
【答案】240π
【解析】设扇形的半径为R cm，
则由弧长公式得：20π＝，解得：R＝24，
即扇形的面积是×20π×24＝240π（cm2）．
【举一反三5】如图，AB是⊙O的直径，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，连接OD，AC．若AB＝6，∠BAC＝20°，求弧AD的长和扇形AOD的面积．
【答案】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝20°，
∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°，
∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，
∴∠ABD＝∠ABC＝×70°＝35°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝2×35°＝70°，
∴的长＝＝．
S扇形AOD＝＝．
【题型4】弧长公式的直接应用
【典型例题】一条弧所对的圆心角是144°，那么这条弧长与这条弧所在圆的周长之比为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设这条弧所在圆的半径为r，
则这条弧长为：，这条弧所在圆的周长为2πr，
：2πr＝．
【举一反三1】挂钟的分针长10 cm，经过45分钟，它的针尖经过的路程是（　　）
A. cm B.15π cm C. cm D.75π cm
【答案】B
【解析】∵分针经过60分钟，转过360°，
∴经过45分钟转过270°，
则分针的针尖转过的弧长是l＝＝＝15π（cm）．
【举一反三2】已知扇形的弧长为6π，半径为12，则这个扇形的圆心角为_______度．
【答案】90
【解析】设弧的圆心角为n°．
由题意：6π＝，
解得n＝90．
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣4，0），C（﹣2，2）．将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1．
（1）请写出A1、B1、C1三点的坐标：A1　　，B1　　，C1　　；
（2）求点B旋转到点B1的弧长．
【答案】解：（1）由图知，A1（1，1），B1（0，4），C1（2，2），
故答案为：（1，1），（0，4），（2，2）；
（2）由题意知，点B旋转到点B1的弧所在的圆的半径为4，弧所对的圆心角为90°，
∴弧长为＝2π．
【举一反三4】如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．求：
（1）△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1，并写出A1的坐标；
（2）在旋转过程中，点B经过的路径为弧BB1，求弧BB1的长．
【答案】解：（1）如图所示：
（2）由勾股定理得，OB＝＝，
弧BB1的长＝＝π．

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