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5.5三元一次方程组 教学设计
一、内容与内容解析
（一）教学内容
本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第五章“二元一次方程组”的第5节。内容包括：三元一次方程组的定义（含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程组）、解法（代入消元法、加减消元法，核心是“消元”转化为二元一次方程组，再进一步转化为一元一次方程），以及利用三元一次方程组解决简单实际问题。
（二）教学内容解析
是二元一次方程组的“纵向延伸”，消元思想是贯穿的核心（从“三元”到“二元”再到“一元”，体现“转化与化归”的数学思想），也为后续学习多元方程、线性代数奠定基础。基于以上分析，确定本节课的教学重点为：
【教学重点】三元一次方程组的解法及“消元”思想
二、目标与目标解析
（一）教学目标
1 能准确判断一个方程组是否为三元一次方程组。
2 会用代入消元法或加减消元法解简单的三元一次方程组。
3能根据实际问题中的数量关系，列出三元一次方程组并求解。
4通过“观察—类比—尝试—归纳”的过程，体会消元思想的延续性，提升“转化”的数学思维能力。
5在解方程组的过程中，培养分析问题、选择最优解法的能力
（二）教学目标解析
1达成“知识目标”的标志：学生能独立解出未知数系数为整数、消元路径清晰的三元一次方程组，并能完整解答“行程、购物、工程”等典型实际问题。
2.达成“过程目标”的标志：学生能主动说出“解三元一次方程组的关键是消元，先变三元为二元”，并能根据方程组特点（如某未知数系数为1或互为相反数）选择代入或加减消元。
3. 达成“情感目标”的标志：学生愿意参与小组讨论，能主动分享自己的消元思路，对“用数学解决生活问题”表现出积极态度。
三、学生学情分析
已有基础
知识层面：学生已掌握二元一次方程组的定义、解法（代入/加减消元），理解“消元”的核心思想，具备列二元一次方程组解决实际问题的能力。
思维层面：已初步形成“转化”思维（将二元转化为一元），但对“多一步转化”（三元→二元→一元）的逻辑连贯性仍需强化。
潜在困难
消元选择困难：面对三个未知数，可能无法快速判断先消去哪个未知数，导致解题步骤繁琐或出错。
计算准确性问题：消元过程中涉及三次方程变形，容易因符号错误、系数计算失误（如去括号、移项）导致结果出错。
实际问题建模障碍：难以从题干中提取三个独立的等量关系，尤其当题干信息较多时，易混淆数量关系。基于以上分析，确定教学难点如下：
【教学难点】根据方程组的特点，选择消哪个元，选择用什么方法消元.
四、教学策略分析
1. 类比迁移策略
以“二元一次方程组解法”为起点，通过提问“如果有三个未知数，怎么求？”，引导学生类比“二元→一元”的思路，自主提出“三元→二元→一元”的消元路径，降低新知学习难度。
2. 分层教学策略
基础层：提供“消元目标明确”的方程组（如某未知数系数为1），重点训练消元步骤的规范性。
提高层：提供“需选择消元对象”的方程组（如未知数系数均为整数），引导学生对比不同消元方法的效率。 拓展层：设计“含隐含等量关系”的实际问题（如“人数、总费用、单价”的关联问题），提升建模能力。
3. 合作探究策略
开展“小组解题竞赛”：每组分配1道三元一次方程组应用题，要求小组内分工（1人读题提取关系、2人列方程、2人解方程），最后派代表展示解题思路，通过合作提升分析与表达能力。
4. 错题反馈策略
收集学生解题中的典型错误（如消元时符号错误、漏乘常数项），以“错题辨析”形式呈现，让学生自主找出错误原因并修正，强化对易错点的认知。
五、教学过程分析
（一）复习引入
复习内容：提问“什么是二元一次方程组？解二元一次方程组的核心思想是什么？”，让学生回忆“消元”（代入/加减）及“二元→一元”的转化过程。
导入新知：展示实际问题“某超市购进三种水果，共100千克，总费用200元，其中苹果单价3元/千克，香蕉单价2元/千克，橙子单价1元/千克，求三种水果各购进多少千克？”，引导学生发现“有三个未知数，需三个方程”，引出“三元一次方程组”。
设计意图：通过复习旧知，激活学生已有的知识储备，降低新知识的学习难度。
（二）主动参与、感悟新知
今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上中下禾实一秉各几何 (选自《九章算术》)
题目大意：有上禾 3 束，中禾 2 束，下禾 1 束，可得米 39 斗；上禾 2 束，中禾 3 束，下禾 1 束，可得米 34 斗；上禾 1 束，中禾 2 束，下禾 3 束，可得米 26 斗。上、中、下禾每束各可得米多少斗
等量关系：上禾×3＋中禾×2＋下禾＝39；
上禾×2＋中禾×3＋下禾＝34；
上禾＋中禾×2＋下禾×3＝26。
解：设每束上禾可得米 x 斗，每束中禾可得米 y 斗，每束下禾可得米 z 斗，根据题意可得方程组：
思考 这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？
在这个方程组中,3x＋2y＋z＝39，2x＋3y＋z＝34和 x＋2y＋3z＝26 都含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1，这样的方程叫做三元一次方程。
像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组。
三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解。
2.三元一次方程组的解法
怎样解三元一次方程组呢？
能类比解二元一次方程组的思路解这个方程组吗？
解：由 ③，得 x＝26－2y－3z ④
把 ④ 分别代入 ①② 得
4y＋8z＝39， ⑤
y＋5z＝18。 ⑥
解由 ⑤⑥ 组成的二元一次方程组，
得
把 y＝ ，z＝ 代入④，得 x＝。
经检验， x＝，y＝ ，z＝ 适合原方程组。
所以原方程组的解是
教师归纳
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 消元 ，把 “三元” 转化为 “二元” ，使解三元一次方程组转化为解 二元一次方程组 ，进而再转化为解 一元一次方程 。
解：由 ①，得 z＝39－3x－2y ④
把 ④ 分别代入 ②③ 得
x－y＝5， ⑤
8x＋4y＝91。 ⑥
解由 ⑤⑥ 组成的二元一次方程组，
得
把 x＝，y＝ 代入④，得 z＝。
经检验， x＝，y＝ ，z＝ 适合原方程组。
所以原方程组的解是
（三）课堂总结
1、本节课研究了什么问题？
2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？
3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？
【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。
（四）布置作业、巩固提高
1．下列方程中，属于三元一次方程的是( )
A．π＋x＋y＝6 B．xy＋y＋z＝7
C．x＋2y－3z＝9 D．3x＋2y－4x＝4x＋2y－2x
2.若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
已知y＝ax2＋bx＋c，当x＝1时，y＝3；当x＝－1时，y＝1；当x＝0时，y＝1.求a，b，c的值．
4、阅读材料
善于思考的小明在解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：
解：将方程②变形为2(4x＋10y)＋2y＝10.③
把方程①代入③，得2×6＋2y＝10，则y＝－1.
把y＝－1代入①，得x＝4.
∴方程组的解为
请你解决以下问题：
(1)试用小明的“整体代换”的方法解方程组
(2)已知x，y，z满足 试求z的值．

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