资源简介

5.4二元一次方程组与一次函数（第1课时） 教学设计
一、内容与内容解析
（一）教学内容
本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第五章“二元一次方程组”的第4节。内容包括：元一次方程与一次函数的关系，以及利用一次函数图像求解二元一次方程组的近似解。
（二）教学内容解析
教材在此处首次建立“代数方程”与“几何函数”的联系，是“数形结合”思想在初中数学的关键落地节点，为后续学习二次函数与一元二次方程关系奠定基础。
内容逻辑上，先通过实例将二元一次方程转化为一次函数表达式，再通过图像观察两者的对应关系，最终延伸到二元一次方程组的图像解法，实现“从数到形”的转化。基于以上分析，确定本节课的教学重点为：
【教学重点】二元一次方程（组）和一次函数的关系；
二、目标与目标解析
（一）教学目标
1.能将二元一次方程化为一次函数形式，理解两者图像的对应关系；会用一次函数图像求二元一次方程组的近似解。
2. 通过“转化—画图—观察—归纳”的过程，提升数形结合的分析能力和动手操作能力。
3.感受代数与几何的内在联系，体会数学思想的简洁性，增强用数学方法解决问题的信心。
（二）教学目标解析
1.达成“知识目标”的标志：学生能独立将方程2x + y = 5化为y = -2x + 5，并说出“方程的每一组解都是对应函数图像上的点，函数图像上的每一个点的坐标都是方程的解”。
2.达成“过程目标”的标志：学生能自主完成“画两个一次函数图像—找交点—验证交点坐标是否为方程组解”的完整流程。
三、学生学情分析
已有基础
知识层面：学生已掌握二元一次方程组的代数解法（代入消元、加减消元），也理解一次函数的概念及图像画法，具备“数”与“形”的单独知识储备。
能力层面：能独立绘制一次函数图像，但对“代数关系”与“几何图形”的关联缺乏认知，尚未形成“数形结合”的思维习惯。
潜在困难
难点1：理解“二元一次方程的解”与“一次函数图像上的点”的一一对应关系，易混淆“解的个数”（无数个）与“图像上点的个数”（无数个）的关联。
难点2：用图像法求方程组解时，因画图误差导致近似解与准确解偏差较大，可能产生“图像法不如代数法准确”的疑惑。基于以上分析，确定教学难点如下：
【教学难点】数形结合和数学转化的思想意识。
四、教学策略分析
1. 直观演示策略
利用几何画板动态演示：在一次函数y = -2x + 5的图像上移动点，同步显示点的坐标，让学生直观看到“每个坐标都满足方程2x + y = 5”，突破“解与点”的对应难点。
2. 小组合作策略
将学生分为4人一组，每组分配“画图者”“计算者”“验证者”“汇报者”角色，合作完成“画函数图像—找交点—用代数法验证交点”任务，通过分工协作降低操作难度，强化团队交流。
3. 问题驱动策略
以递进式问题链引导思考：
（1）我们学过二元一次方程和一次函数，它们之间能产生联系吗？
（2）方程2x + y = 5的解和函数y = -2x + 5的图像有什么关系？
（3） 二元一次方程组的解，对应两个一次函数图像的什么位置关系？
五、教学过程分析
（一）复习引入
呈现问题：“某文具店，2支铅笔和1块橡皮共5元，设铅笔单价为x元，橡皮单价为y元，可列方程2x + y = 5。你能说出几组符合条件的单价吗？”
分析：通过生活实例引出二元一次方程的解，再追问“若把x看作自变量，y看作因变量，这个方程像我们学过的哪种函数？”，自然衔接一次函数，激发探究兴趣。设计意图：通过复习旧知，激活学生已有的知识储备，降低新知识的学习难度。
（二）主动参与、感悟新知
（1）情境感知
①方程x＋y＝5的解有多少个？写出其中的几个。
②在平面直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y＝5－x的图象上吗？
③在一次函数y＝5－x的图象上任取一点，它的坐标满足方程x＋y＝5吗？
④以方程x＋y＝5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y＝5－x的图象相同吗？
解：①方程x＋y＝5的解有无数个，如
②描出的点在一次函数y＝5－x的图象上。
③所取点的坐标满足方程x＋y＝5。
④以方程x＋y＝5的解为坐标的点组成的图象与一次函数y＝5－x的图象相同，是同一条直线。
（2）归纳思考
①方程x＋y＝5的解有无数个。以方程x＋y＝5的解为坐标的点组成的图象与一次函数y＝5－x的图象相同，是同一条直线。即x＋y＝5与y＝5－x表示的关系相同。
②一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是同一条直线。即一个二元一次方程对应着平面上的一条直线。
二元一次方程 一次函数
操作·思考
如图，在同一平面直角坐标系中分别画出一次函数y＝5－x和y＝2x－1的图象，这两个图象有交点吗？交点的坐标与方程组的解有什么关系？
步骤：（1）如图，在同一平面直角坐标系中分别画出两个一次函数的图象。
（2）发现：两个图象有交点，交点为A（2，3）。
（3）解方程组解为。
（4）发现：一次函数y＝5－x与y＝2x－1图象的交点为A（2，3），而就是方程组的解。
小结：一般地，从图形的角度看，确定两条直线的交点坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线的交点坐标。
思考·交流
如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋1与y＝x－2的图象有怎样的位置关系？方程组解的情况如何？你发现了什么？与同伴进行交流。
结论：对于两条直线当k1≠k2 时，两直线交于一点，此时对应的二元一次方程组有一组解.当k1=k2 b1≠b2时，两直线互相平行，无交点，此时对应的二元一次方程组无解.
利用图像法求二元一次方程组的解一般步骤：
（1）将两个方程化成一次函数形式；
（2）画出两个一次函数图象；
（3）找到两条直线交点坐标即为方程组的解
若两条直线相交，则交点就是二元一次方程组的解；
若两条直线平行，则二元一次方程组无解.
归纳：二元一次方程组的解对应着平面上两条直线的交点。
例1 已知方程组的解是试求直线与的交点坐标。
解：由二元一次方程组与一次函数的关系，可得交点坐标为（，1）。
例2 如图，已知直线y＝mx与y＝kx＋3（m≠0，k≠0，m，k为常数）的交点坐标为P（1，2）。
（1）试确定方程组的解；
（2）试确定方程组的解。
解：（1）由点P（1，2）可得，所求方程组的解为
（2）画出一次函数y＝kx－3的图象（图略），由图可知，所求方程组的解为
（三）课堂总结
1、本节课研究了什么问题？
2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？
3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？
【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。
（四）布置作业、巩固提高
1.以一个二元一次方程组中的两个方程作为一次函数画图形，所得两条直线（ ）
A. 有无数个交点 B.没有交点
C. 只有一个交点 D. 以上都有可能
2. 若方程组没有解,由此一次函数y=2-x与y=-x的图像必定 ( ).
A. 重合 B. 平行 C. 相交 D. 无法判断
3.有一组数同时适合方程x+y=2和x+y=5吗？图象之间有何关系？
4.根据下列图象，说出哪些方程组的解.
5.直线y=ax+b和直线y=bx+3a的交点坐标是(2,-1)，则a= -1，b= 1．
6.一顾客准备办理上网业务，发现有两种收费方式：方式A以每分钟0.1元的价格按上网时间计费；方式B除收月基费20元外再以每分钟0.05元的价格按上网时间计费。顾客选择那种收费方式更划算呢？

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