资源简介

5.4二元一次方程与一次函数（第2课时） 教学设计
一、内容与内容解析
（一）教学内容
本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第五章“二元一次方程组”的第四节。内容包括：待定系数法的定义、解题步骤，以及利用待定系数法求一次函数解析式（含已知两点坐标、结合二元一次方程组求解两种场景）。
（二）教学内容解析
本节课是“二元一次方程组”与“一次函数”的深度融合点——待定系数法本质是“用二元一次方程组解决函数解析式求解问题”，既为后续学习二次函数、反比例函数的解析式求解奠定方法基础，也让学生体会“代数方程”与“几何图形”的转化思想，是初中数学“数形结合”能力培养的关键课例。基于以上分析，确定本节课的教学重点为：
【教学重点】图像法求解二元一次方程组的原理和方法。
二、目标与目标解析
（一）教学目标
1.能说出待定系数法的定义，掌握“设→列→解→写”四步解题法，能利用待定系数法求已知两点坐标的一次函数解析式。
2. 通过“已知函数图像求解析式”的探究，经历“问题→猜想→建模→验证”的过程，提升将几何问题转化为代数问题的能力。
3. 在解决“根据实际场景（如气温变化、路程计算）求函数解析式”的问题中，感受数学与生活的联系，增强应用意识。
（二）教学目标解析
1.目标1达成标志：学生能独立完成“已知两点(1,2)、(3,4)，求一次函数y=kx+b解析式”的计算，并完整叙述解题步骤。
2. 目标2达成标志：学生能主动提出“求解析式需先设k、b，再用两点坐标列方程组”的思路，而非依赖教师提示。
3.目标3达成标志：学生能在课堂练习中，正确分析“手机话费套餐（月租+流量费）”的函数关系，并通过待定系数法求出套餐费用解析式。
三、学生学情分析
已有基础：学生已掌握一次函数的图像与性质，能解二元一次方程组，知道“一次函数与二元一次方程的关系”（如y=kx+b对应kx - y + b = 0），具备知识迁移的前提。
潜在困难：
理解“待定系数法”的逻辑：为何要先“设”未知的k、b，再通过方程组“求”，易混淆“设解析式”与“列方程”的先后逻辑。
计算失误：列方程组时易因符号错误（如点坐标代入y=kx+b时漏负号）、解方程组时计算出错，导致解析式求解错误。
学习优势：八年级学生已具备初步的探究意识，对“从图像找信息、用方程解决问题”的形式较熟悉，适合通过情境探究推动学习。
基于以上分析，确定教学难点如下：
【教学难点】灵活运用图像法解决实际问题中的二元一次方程组，并对结果进行合理的解释。
四、教学策略分析
1. 情境驱动策略：以“气象局记录某地气温：凌晨2点气温-2℃，上午8点气温4℃，气温随时间呈一次函数变化，求气温y(℃)与时间x(时)的解析式”为引入，激发学生“求未知函数解析式”的需求。
2. 问题链引导策略：通过“①求一次函数解析式需要知道什么？（k、b）②如何得到k、b的值？（列方程）③需要几个方程？（两个）④两个方程从哪里来？（两个点的坐标）”的问题链，逐步推导待定系数法的步骤。
3. 多感官互动策略：结合几何画板动态演示“已知两点确定一条直线，对应唯一一次函数”，让学生直观感受“两点坐标→方程组→k、b→解析式”的转化过程，突破抽象难点。
五、教学过程分析
（一）复习引入
呈现问题：“小明家距离学校1000米，他上学时，出发5分钟后距离学校800米，且走路速度不变（路程y与时间x呈一次函数关系），求y与x的函数解析式。”
提问引导：“要解决这个问题，需要先知道什么？（一次函数解析式y=kx+b）”“但k和b不知道，怎么求？”
设计意图：通过复习旧知，激活学生已有的知识储备，降低新知识的学习难度。
（二）主动参与、感悟新知
情境探究
已知A，B两地相距100 km，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行。假设他们都匀速骑行，则他们各自与A地之间的距离s（单位：km）都是骑行时间t（单位：h）的一次函数。骑行1 h乙距离A地80 km，骑行2 h甲距离A地30 km。经过多长时间两人相遇？
你能解决这个问题吗？
预设方案1：分别画出两人s与t之间关系的图象（如图），找出两个图象交点的横坐标即可。
预设方案2：由于s是t的一次函数，只要分别求出甲、乙两人s与t的函数表达式，再将这两个表达式联立，求解方程组，便可求得相遇时间。
预设方案3：分别求出甲、乙两人的骑行速度，再根据两人之间的距离计算相遇时间。
问题：（1）你是怎样做的？与同伴进行交流。
（2）你认为方案1和方案2哪一种求出的结果更准确？
（3）在方案2中，如何确定一次函数表达式呢？
小结：借助图象可以直观地获得结果，但往往难以获得准确的结果。为了获得准确的结果，我们通常采用代数方法。
小亮 如图，可以分别画出 s 与 t 之间的图象，找出交点的横坐标就行了！
用图象法解决问题
结果准确吗？
小明 对于乙，s 是 t 的一次函数，可以设 s＝kt＋b。当 t＝0 时，s＝100；t＝1 时，s＝80。将它们分别代入 s＝kt＋b 中，从而确定 s 与 t 之间的关系式。同样可以求出甲的 s 与 t 之间的关系式，再联立这两个关系式，求解方程组就行了！
用二元一次方程组的方法确定一次函数表达式
解：对于乙，设 s＝k1t＋b1，
根据图象，得
解得
∴乙的表达式为 s＝－20t＋100。
对于甲，设 s＝k2t，
根据图象，得 2k2＝30，
解得 k2＝15，
∴甲的表达式为 s＝15t。
联立
解得。
小颖 骑行 1 h 后乙距离 A 地 80 km，即乙的速度是 20 km/h；骑行 2 h 后甲距离 A 地 30 km，即甲的速度是 15 km/h，由此可以求出甲、乙两人的速度和……
例 在某汽车客运站，乘坐长途车的乘客可以免费携带一定质量的行李，超过该质量需购买行李票，且行李费y（单位：元）是行李质量x（单位：kg）的一次函数。已知李明带了60 kg的行李，交了行李费5元；张华带了90 kg的行李，交了行李费10元。
（1）写出y与x之间的关系式；
（2）每名乘客最多可免费携带多少千克的行李？
解：（1）设y＝kx＋b，根据题意，得
解这个方程组，得
所以 。
（2）令y＝0，即，解得x＝30；当x＞30时，y＞0。
所以，每名乘客最多可免费携带30 kg的行李。
像本例这样，先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫作待定系数法。
一次函数的表达式有两个参数k，b，因此要确定一次函数的表达式，需要两个条件！
利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤：
1.用含字母的系数设出一次函数的表达式：y＝kx＋b。
2.将已知条件代入上述表达式中得 k，b 的二元一次方程组。
3.解这个二元一次方程组得 k，b。
4.进而求出一次函数的表达式。
尝试·思考
已知一次函数y＝2x＋b 的图象经过点（a，7）和（－2，a），求这个函数的表达式。
问题：（1）确定一次函数表达式时，需要确定哪几个参数的值？需要几个条件？
（2）用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤是什么？
※（3）在本题y与x的一次函数关系式中，k值的实际意义是什么？
（三）课堂总结
1、本节课研究了什么问题？
2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？
3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？
【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。
（四）布置作业、巩固提高
1．如图，一次函数的图象经过 A，B 两点，则这个一次函数的表达式是( )
2．已知 y 是 x 的一次函数，下表中列出了部分对应值，则 m 等于( )
A.－1 B．0 C．－2 D.
3．如图是某航空公司托运行李的费用y(元)与行李质量 x(千克)之间的关系图象，由图象可知，乘客可以免费托运行李的最大质量为 千克。
4．某水果店以每千克 8 元的价格购进苹果若干千克，销售了部分苹果后，余下的苹果每千克降价 4 元销售，全部售完。
销售金额 y(元)与销售量 x(千克)之间的关系如图所示，请根据图象提供的信息完成下列问题：
(1)降价前苹果的销售单价是 元/千克；
(2)求降价后销售金额 y(元)与销售量 x(千克)之间的函数表达
式，并写出自变量的取值范围；
(3)该水果店这次销售苹果盈利了多少元？
5.A，B两地相距100 km，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行。假设他们都匀速骑行，则他们各自与A地之间的距离s（单位：km）都是骑行时间t（单位：h）的一次函数。骑行1 h乙距离A地80 km，骑行2 h甲距离A地30 km，经过多长时间两人相遇？

展开更多......

收起↑