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6.3.1二项式定理
发布任务
新知初探
我们一起来猜想（????+????)????的展开式

?
(????+????)????=
?
……
展开式共有????+???? 项．
?
1
各项的次数和都等于二项式的次数????；
?
2
观察以上展开式，分析其运算过程，
你能发现什么规律？
字母????按降幂排列，次数从????递减到0；
字母????按升幂排列，次数从0递增到????.
?
3
___????????+___?????????????????????+……___??????????????????????+___????????
?
如何验证项的猜想并确定系数？
(????+????)????展开式有几项？其各项的形式是什么？
?
????2
?
????????
?
????????
?
????2
?
(????+????)2 =
?
????2
?
????????
?
????2
?
(????+????)????各项的系数分别是什么，如何才能更快速确定系数？
?
1????2
?
2????????
?
1????2
?
项
角度一 多项式乘以多项式

展开式的每一项都是从这两个因式中各取一个字母相乘得到.
发现：
两个盒里都有大小相同，质地相同的????、????两小球，每个盒分别取一个球，将两个球字母相乘，有几种结果?
?
第一类：
选择0个????
?
第二类：
选择1个????
?
第三类：
选择2个????
?
(a+b)2=(a+b)(a+b)
????+????3展开式有几项？
各项的形式是什么？
?
系数
各项的系数分别是什么？
从组合的角度分析展开式的系数.
????30
?
????31
?
??????32
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
3????0????
?
2????1????
?
1????2????
?
0????3????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
??
?
??????33
?
a3
????????????
?
????????????
?
????????????
?
b3
????????????
?
????????????
?
????????????
?
????3
?
????2????
?
????????2
?
????3
?
项
=????????????????????+????????????????????????????+????????????????????????????+????????????????????
?
大家能够根据以上方法求出????+????4，????+????5的展开式吗？
?
????+????项
?
系数
分析(????+????)????展开后有哪些项？各项的形式是什么？系数分别是多少？
?
(????+????)????=(????+????)(????+????)(????+????)......(????+????)
?
????????
?
?????????????????
?
?????????????????????
?
???????????????????????......
?
????????
?
角度二:计数原理

……
(????+????)????=????????????????????+?????????????????????????????????+?+?????????????????????????????????+?+????????????????????，????∈?????.
?
都
不
取
????
?
取
一
个
????
?
取
两
个
????
?
取
三
个
????
?
取
????
个
????
?
......

角度三 ：几何角度
概念讲解
公式 (????+????)????=????????0????????+????????1?????????1????+…+?????????????????????????????????+…+????????????????????(????∈?????) 叫作二项式定理.
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定义
二项式系数：各项的系数____ (????∈{0,1,2，…，????})叫做二项式系数．
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式中的?????????????????????????????????叫做二项展开式的通项，用????????+1表示，
即通项为展开式的第????+1项：????????+1=?????????????????????????????????.
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2.指数规律：
(1)各项的次数均之和为????；
(2)各项里????的指数由????降到0，????的指数由0升到????.
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3.二项式系数规律：
两项和的????次幂的展开式共有????+1个项 .
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(????+????)????=????????????????????+?????????????????????????????????+?+?????????????????????????????????+?+????????????????????，????∈?????.
?
只与项数有关系，与????,????没有关系.
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1.项数规律：

4.二项式定理对任意的数????,????都成立
若设a＝1, b＝x，则有
?
若设a＝b＝1， 则有
????????=????????????+ ????????????+……+ ????????????+……+ ????????????
?
二项展开式的特点
典例分析
例题1.求(1?2????)7的第4项的二项式系数；
?
解（1）第4项的二项式系数为????73=35.
?
例题2.求(1?2????)7的第4项的系数.
?
（2）????4=????7314(?2????)3=?280????3
?
此时运用通项公式，谁为????？谁为????？
?
由此猜想:(????+????)????与(????+????)????展开式是否相同？
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(????+????)????与(????+????)????结果相同，但具体到展开式的某一项时是不同的！
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某一项的二项式系数：是一个组合数????????????
某一项的系数：是该项字母前的数连同符号
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　(1)学会正确区分二项式系数与项的系数
二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关．
(2)求二项展开式特定项的步骤：
反思领悟

课堂练习
1.求(1+2????)7的展开式的第4项的系数；
2.求(2?????????????)????的展开式中????2项的二项式系数；
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l
解：(1)(1+2????)7的展开式的第4项是
????3+1=????73×17?3×(2????)3=????73×23×????3
=35×8×????3=280????3.
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(2)(2?????1????)6的展开式的通项是????6????(2????)6?????(?1????)????=(?1)????26?????????6????????3?????.
根据题意，得3?????=2，????=1.
因此，????2的二项式系数是????61=6.
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基础检验
3．在二项式(?????????????)????????的展开式中，
（1）求展开式中含????????项的系数：
（2）如果第3????项和第????+2项的二项式系数相等，试求????的值.
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解：（1）设第????+1项为????????+1=C12k(?2)k????6?32????
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令6?32????=3，解得????=2
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所以展开式中含????3项的系数为C122(?2)2=264.
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（2）∵第3????项的二项式系数为????123?????1，第????+2项的二项式系数为????12????+1，
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因为????123?????1=????12????+1，
所以3?????1=????+1，解得????=1或????=3.
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能力提升
课堂小结
??????????????????以后的这一天是星期几？
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????????????????=(????+????)????????????=????????????????????????????+?????????????????????????????????????????+?+????????????????????????????????????+????????????????????????????????????????????，
?
即????????????????除以7余数是1，所以是星期_二_.
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完成任务

用数学精准逻辑，利用二项式定理为低碳环保等民生议题提供切实支撑！
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}二项式定理
(????+????)????=????????0????????+????????1?????????1????1+?+?????????????????????????????????+?+????????????????????
(????∈?????)
二项展开
公式右边的多项式
二项式系数
????????????(????=0，1，?，????)
二项展开式的通项
????????+1=?????????????????????????????????
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}二项式定理
二项展开
公式右边的多项式
二项式系数
二项展开式的通项
课堂小结

课后作业
必做题：
选做题：
配套练习《二项式定理》

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