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人教A版选择性必修第三册
7.3 离散型随机变量的数字特征（1）
离散型随机变量的均值
第七章 随机变量及其分布列
离散型随机变量
随机变量： 一般地，对于随机试验样本空间????中的每个样本点????，都有唯一的
实数????(????)与之对应，我们称????为随机变量；通常用大写字母????，????，????表示。
?
离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，
称之为离散型随机变量；用小写字母????，????，????表示随机变量的取值。
?
X
????2
?
????1
?
????3
?
????4
?
………
????????
?
Ω
????????
?
????1
?
????????
?
????????
?
????????
?
………
作用：随机变量将随机事件的结果数量化.
特点：(1)取值依赖于样本点；
(2)所有可能取值是明确的．
复习回顾
离散型随机变量的分布列：
一般地，设离散型随机变量????的可能取的不同值为????1，????2，…，????????，
称????取每一个???????? 的概率????(????=????????)=????????， ????=1，2，…，????，为????的概率
分布列，简称分布列。
?
????
????????
????????
…
????????
????
????????
????????
…
????????
…
…
对于只有两个可能结果的随机试验，用????表示成功，????表示失败，
定义 X＝ 1,??????发生0,?????发生. 如果 P(A)＝p，则 P(????)＝1－p，
那么 X 的分布列如下表所示.
?
????
????
????
????
????
1－????
以上称????服从两点分布或????—????分布；
?
两点分布或0－1分布：
复习回顾
学习目标
1、通过实例，理解离散型随机变量的均值的意义和性质．
2、会根据离散型随机变量的分布列求出均值．
3、会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题．
思考：你还记得什么是一组数据x1，x2，…，xn的均值及其意义吗？
引入：离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律.但在解决有些实际问题时，直接使用分布列并不方便。例如，要比较不同要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分班级某次考试成绩，通常会比较平均成绩；要比较两名射箭运动员的射击水平，一般会比较他们射箭的成绩(平均环数或总环数)以及稳定性.
因此，类似于研究一组数据的均值和方差，我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差，它们统称为随机变量的数字特征.
????=????????+????????+…+????????????
?
平均分用于体现数据的总体水平
阅读课本P62-P65，5分钟后完成下列问题：
1.什么是数学期望？数学期望反映了随机变量的什么特征？
2.两点分布的数学期望和数学期望的性质是什么？
探究1 某商场要将单价分别为18元/千克，24元/千克，36元/千克的3种
糖果按 3:2:1 的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理?
?
F1：按照糖果的最高
价格定价
F2：按照这三种糖果的平均价格定价
F3：按照这三种糖果的加权平均价格定价
权数是起权衡轻重作用的数值；加权平均是指在计算若干个数量的平均数时，
考虑到每个数量在总量中所具有的重要性不同，分别给予不同的权数．
定价为：36元/千克
????????＋????????＋????????????=????????
?
????????×????????＋????????×????????＋????????×????????=????????
?
思考：什么是权数？什么是加权平均数？
问题1 甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如表所示?
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}环数????
7
8
9
10
甲射中的概率
0.1
0.2
0.3
0.4
乙射中的概率
0.15
0.25
0.4
0.2
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
7
8
9
10
甲射中的概率
0.1
0.2
0.3
0.4
乙射中的概率
0.15
0.25
0.4
0.2
对于两组数据的比较：首先比较击中的平均环数，
如果平均环数相等，再看稳定性（即方差）.
思考1：如何比较他们射箭水平的高低呢？
思考2：不知道具体环数，如何由分布列计算射中的平均环数呢？
可假设射箭????次，已知频率，计算出射中7环、8环、9环和10环的各频数????????.
?
问题1 甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如表所示?
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}环数????
7
8
9
10
甲射中的概率
0.1
0.2
0.3
0.4
乙射中的概率
0.15
0.25
0.4
0.2
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
7
8
9
10
甲射中的概率
0.1
0.2
0.3
0.4
乙射中的概率
0.15
0.25
0.4
0.2
思考2：不知道具体环数，如何由分布列计算射中的平均环数呢？
可假设射箭????次，已知频率，计算出射中7环、8环、9环和10环的各频数????????
?
甲????次射箭射中的平均环数：????=1????(7?????1+8?????2+9?????3+10?????4)
????=7?????1????+8?????2????+9?????3????+10?????4????=7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9
?
当n足够大时，
频率稳定于概率
同理，乙射中环数的平均值为7×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2=8.65
?
从加权平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高.
1.离散型随机变量的均值
一般地，若离散型随机变量的分布列如表所示，
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}????
????1
????2
?
????????
????
????1
????2
?
????????
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
则称????(????)=????1????1+????2????2+?+????????????????=????=1????????????????????为随机变量
????的均值或数学期望，数学期望简称期望；
均值是随机变量的可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量
的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.
?
1.离散型随机变量的均值
两点分布的数学期望：
一般地，如果随机变量????服从两点分布，那么
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}????
0
1
????
?????????
????
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
0
1
数学期望：????(????)=0×(1?????)+1×????=????.
?
思考：离散型随机变量的均值与样本平均值有何区别与联系？
(1)区别：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，
而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化.
(2)联系：对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值
越来越接近于总体的均值.
例2 已知离散型随机变量X的分布列如下表，则X的均值E(X)等于（ ）
故选C.
C
例3 袋中有10个大小相同的小球，其中记为0号的有4个，记为n号的有n个
(n＝1,2,3).现从袋中任取一球，X表示所取到球的标号，求E(X)？
解：由题意，可知X的所有可能取值为0,1,2,3.　
X
0
1
2
3
P
0.4
0.1
0.2
0.3
求均值E(X)
4
1
确定X取值
2
求P(X＝k)概率
3
写分布列
求离散型随机变量的均值的步骤：
求均值：由均值(数学期望)的定义求出????(????).
?
4
1
确定取值：根据随机变量????的意义，写出????可能取得的全部值；
?
2
求概率：求随机变量??的每个取值对应的概率P(X＝k)；
?
3
写分布列：写出????的分布列；
?
例4 随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X.
(1)求X的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)?
解: (1)X的所有可能取值有6,2,1，－2，
故X的分布列为:
X
6
2
1
－2
P
0.63
0.25
0.1
0.02
(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34(万元).
求均值E(X)
4
1
确定X取值
2
求P(X＝k)概率
3
写分布列
探究2 已知随机变量X的分布列如下表，求Y=3X+2的分布列及数学期望？
X
1
2
3
4
5
P
0.1
0.3
0.4
0.1
0.1
解：因为Y=3X+2，所以Y的取值为：5，8，11，14，17，分布列如下：
X
5
8
11
14
17
P
0.1
0.3
0.4
0.1
0.1
则????(????)=?????????.????+?????????.????+?????????????.????+?????????????.????+?????????????.????=????????.????
?
E(X)=2.8
思考：Y=3X+2，那E(X)与E(3X＋2)有何关系呢？
E(3X＋2)=3E(X)+2
问题1 离散型随机变量????，则????(????????+????)(其中????，????为常数)与????(????)有何联系？
?
设????的分布列为????(????=????????)=????????，????=????，????，?，????.
根据随机变量均值的定义，
????(????????+????)=(????????????+????)????????+(????????????+????)????????+?+(????????????+????)????????
????????????????=????(????????????????+????????????????+?+????????????????)+????(????????+????????+?+????????)
=????????(????)+????.
?
Y
ax1＋b
ax2＋b
…
axi＋b
…
axn＋b
P
p1
p2
…
pi
…
pn
2.数学期望的性质
数学期望的性质:
若????,????? 是两个随机变量, 且????=????????+????, 则：????(????)=????(????????+????)=??????(????)+????，
即随机变量???? 的线性函数的均值等于这个随机变量的均值????(?????)的同一线性函数.
?
特别地：
(1)当a=0时, E(b)=b
(2)当b=0时,E(aX )=aE(X )
例1 设ξ的分布列为又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于( )
D
例2 (多选)已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，则( )
? A.a＝7 B.b＝0.4
C.E(aX)＝44.1 D.E(bX＋a)＝2.62
X
4
a
9
P
0.5
0.1
b
解：由题意得0.5＋0.1＋b＝1，且E(X)＝4×0.5＋0.1a＋9b＝6.3，
解得b＝0.4，a＝7.
∴E(aX)＝aE(X)＝7×6.3＝44.1，
E(bX＋a)＝bE(X)＋a＝0.4×6.3＋7＝9.52， 故ABC正确.
ABC
例4.根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备，有以下3种方案：
方案1：运走设备，搬运费为3800元；方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水；方案3：不采取措施. 工地的领导该如何决策呢？
解：用X，Y，Z分别表示3个方案的损失.
从期望损失最小的角度，应采取方案2.
练5 若p为非负实数，随机变量ξ的分布列如下表，则E(ξ)的最大值为（ ）

B
练6 某射手射击所得环数X的分布列如下：已知E(X)＝8.9，则y的值为 ____ .
0.4
X
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
练7 离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，
E(X)＝3，则a＝____，b＝___.
0.1
X
1
2
3
4
P
a＋b
2a＋b
3a＋b
4a＋b
0
解：E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，
即30a＋10b＝3.
又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1；
解得：a=0.1，b=0.
(1)课本P70的练习1——3题；
(2)课本P71的习题7.3的第1、5、7、8题.
作业布置
7.3 离散型随机变量的数字特征（2）
离散型随机变量的方差
第七章 随机变量及其分布列
学习目标
1
2
3
理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念．
掌握方差的性质以及两点分布的方差的求法．
能计算离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．
各个数据与样本平均数的
偏差平方的平均值
思考：你能否类比上式归纳得到随机变量X的方差？
各个数据与样本平均数的偏差平方的加权平均值
若离散型随机变量X的分布列为：
随机变量X的方差为：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
随机变量X的标准差为：
意义：方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；
方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.
1.离散型随机变量的方差
①若Y=aX+b，则D(Y)=a2D(X)，与b无关.
②若X服从两点分布，则D(X)=p(1－p).
例5.抛掷质地均匀的一枚骰子，求掷出的点数X的方差.
解：随机变量????的分布列为????(????=????)=16，
∵????(????)=72 ,
?
∴????(????)=????=16(????2×16)?(????(????))2
=16(12+22+32+42+52+62)?(72)2=3512
?
k=1，2，3，4，5，6.
例6.投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如表所示.
(1)投资哪种股票的期望收益大？ (2)投资哪种股票的风险高？
解：(1)股票A的期望收益为E(X)=(?1)×0.1+0×0.3+2×0.6=1.1，
股票B的期望收益为E(Y)=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1.
∵E(X)>E(Y)，∴投资股票A的期望收益较大.
(2)股票A的收益的方差为D(X)=(?1)2×0.1+02×0.3+22×0.6?1.12=1.29，
股票B的收益的方差为D(Y)=02×0.3+12×0.4+22×0.3?12=0.6.
∵E(X)和E(Y)相差不大，但D(X)>D(Y)，∴投资A股票比投资B股票的风险高.
随机变量的方差是刻画了随机变量的取值与其均值的偏离程度，
或者说反映随机变量的离散程度.
在不同的实际问题背景中，方差可以有不同的解释.例如，
如果随机变量是某项技能的测试成绩，那么方差的大小反映了技能的稳定性；
如果随机变量是加工某种产品的误差，那么方差的大小反映了加工的精度；
如果随机变量是风险投资的收益，那么方差的大小反映了投资风险的高低.
P71-8.甲、乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为X和Y(单位:s)，其分布列如下，试比较甲、乙两种品牌手表的性能.
P91-5.已知随机变量X取可能的值1,2,…,n是等可能的，且E(X)=10，求n的值.
P91-8.某商场要在国庆节开展促销活动，促销活动可以在商场内举行，也可以在商场外举行.统计资料表明，每年国庆节商场内的促销活动可获得利润2万元；商场外的促销活动，如果不遇到有雨天气可获得利润8万元，如果遇到有雨天气则会带来经济损失3万元.9月30日气象台预报国庆节当地的降水概率是40%,商场应该选择哪种促销方式?
11.某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者.假设携带病毒的人占5%，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次. 统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验.如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次.
(1)按照这种化验方法能减少化验次数吗?(参考数据：0.955≈0.7738,0.956≈0.735)
11.某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者.假设携带病毒的人占5%,如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次.统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验.如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次.
(1)按照这种化验方法能减少化验次数吗?
(2)如果携带病毒的人只占2%，按照k个人一组，k取多大时化验次数最少?
(2023江苏模拟)某小区有2000名居民，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者.假设携带病毒的人占a%，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验2000次.为减轻工作量，随机按n人一组分组，然后将各组n个人的血样混合在一起化验.若混合血样呈阴性，说明这n个人全部阴性；若混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次.假设每位居民的化验结果呈阴性还是阳性相互独立.
(1)若a=0.2，n=20，试估算该小区化验的总次数；(注：当p<0.01时，(1-p)n≈1-np)
(2023江苏模拟)某小区有2000名居民，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者.假设携带病毒的人占a%，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验2000次.为减轻工作量，随机按n人一组分组，然后将各组n个人的血样混合在一起化验.若混合血样呈阴性，说明这n个人全部阴性；若混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次.假设每位居民的化验结果呈阴性还是阳性相互独立.
(2)若a=0.9，若每人单独化验一次花费10元，n个人混合化验一次共花费n+9元，当n为何值时，每位居民化验费用的数学期望最小？(注：当p<0.01时，(1-p)n≈1-np)
课堂小结
离散型随机变量的方差：
一般地，若离散型随机变量的分布列如表所示，
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}????
????1
????2
?
????????
????
????1
????2
?
????????
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；
方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.
则称????(????)=(????1?????(????)?)2????1+(????2?????(????)?)2????2+?+(?????????????(????)?)2????????
??????????????=????=1????(?????????????(????)?)2????????.为随机变量????的方差，有时也记为????????????(????)，
并称????(????)为随机变量????的标准差，记为????(????).
?
方差的性质:
1. 若X，Y 是两个随机变量, 且Y＝aX+b, 则：D(Y )=D(aX＋b)=a2D(X )
特殊地：
(1)当a=0时, D(b)=0
(2)当b=0时,D(aX )=a2D(X )
2. D(X )=E(X2)－E(X)2
课堂小结

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