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第十八章 分式
18.1.1 从分数到分式
教学目标1. 了解分式的概念. 2.能用分式表示简单实际问题中的数量关系．3.掌握分式有意义的条件，体会特殊到一般的研究过程．
重点 分式的概念，分式有意义的条件．
难点 理解分式与分数、整式之间的联系．
核心素养1.通过对分式与分数的类比,学生亲身经历探究整式扩充到分
式的过程,初步学会运用类比转化的思想方法研究数学问题.2.学生通
过类比方法的学习,提高了对事物之间是普遍联系又是变化发展的辩证
观点的再认识.
教学过程
一、问题情境
1.长方形的面积为10，长为7 ，则宽为；长方形的面积为，长为，则宽为.
2.在越野滑雪比赛中，若一名滑雪运动员在平地滑行km用时h，则他的平均速度为km/h；若他在上坡滑行km比在平地滑行同样的距离多用h ，则他的平均速度为km/h.
师生活动：学生发言，相互补充，教师总结引导学生思考如何用字母表示实际情境中的关系，引出分式的概念．
二、新知形成
1. 分式的概念
思考：式子以及本章引言中的式子有什么共同点 它们与分数有什么相同点和不同点
可以发现,这些式子都像分数一样都是(即)的形式.分数的分子与分母都是整数,而这些式子中的都是整式,并且中都含有字母.
归纳:一般地,如果表示两个整式,并且中含有字母,那么式子叫作分式.在分式中，叫作分子，叫作分母.
师生活动：结合上述问题，引导学生，讲解分式的定义.
2. 分式有意义的条件
分式有意义的条件是分母不为，即当时，分式才有意义.
三、例题分析
例1下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义
(1)；(2)；(3)；(4).
解:(1)要使分式有意义,则分母,即；
(2)要使分式有意义,则分母,即；
(3)要使分式有意义,则分母,即；
(4)要使分式有意义,则分母,即.
师生活动：学生尝试解决，师生共同分析．教师板书．教师强调分式有意义的前提是整个分母不为0的条件，而不是分母中的某个字母不等于0．
四、当堂训练
1.列式表示下列各量:
(1)某村有个人,耕地,则人均耕地面积为；
(2)的面积为,边的长为,则高为；
2.下列式子，,,,,，,中， 是分式；是整式.两类式子的区别是什么？
解：区别是分式是的形式，并且中都含有字母.
3. 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
(1)当时,分式没有意义；
(2)当时,分式有意义；
(3)当时,分式有意义；
(4)当时,分式有意义；
(5)当时,分式有意义；
(6)当时,分式有意义；
(7)当时,分式的值等于.
4.分式可以表示现实生活中的某些数量关系.请你构造一个问题情境，使其中的数量关系可以用分式表示.
解：甲乙两地路程为100km，一辆车从甲地出发，以每小时km的速度匀速形式，则到达乙地需要的时间为h.
五、课堂小结
（1）什么是分式？它与分数、整式有何关系？（2）分式有意义的条件是什么？考虑分式有意义条件时要注意哪些问题？
六、课堂小测
1.填空并判断所填式子是不是分式.
(1)一位作家先用天写完了一部小说的上集,又用天写完下集,这部小说(上、下集)共万字,这位作家平均每天的写作量为万字；
(2)走一段长的路,步行用了,骑自行车所用时间比步行所用时间的一半少,骑自行车的平均速度为.
(3)甲完成一项工作需要h，乙完成同样工作比甲少1h，乙的工作效率为
2.下列各式中，哪些是整式，哪些是分式？
解：整式：，
分式：
3.满足什么条件时下列分式有意义？
解：（1）;（2）;（3）为任意实数；（4）.
4.小李要打一份12000 字的文件，第一天她打字2h,平均打字速度为字/min,第二天她平均打字速度比第一天快了10字/min，两天打完全部文件，第二天她打字用了多长时间
解：第二天打字用了h.
5.某村种植了 hm 玉米，总产量为kg;水稻的种植面积比玉米的种植面积多p hm ，水稻的总产量比玉米总产量的2倍多kg.写出表示玉米和水稻的单位面积产量(单位:kg/hm )的式子.
解：玉米的单位面积产量为kg/hm ，水稻的单位面积产量为 kg/hm .
七、作业布置
课时训练 基础必做、中档运用 选做题:
八、教学反思
18.1.2 分式的基本性质(1)
教学目标 1.理解分式的意义,掌握分式的性质及基本运用. 2.通过类比分数的基本性质,探索分式的基本性质,初步掌握类比的思想方法.
3.感受类比的理性美,培养观察能力,形成自主学习、合作学习的良好习惯.
重点 理解并掌握分式的基本性质.
难点 灵活运用分式的基本性质进行分式变形.
核心素养 通过探索和运用分式基本性质的过程,体会类比和数形结合
的数学思想方法,使学生从具体到抽象、由数到形的认识过程中,发展联
想能力和思维能力.
教学过程
一、问题情境
1.计算:×时，使用了什么性质？
答：运用了分数的基本性质.
2.你能说出分数的基本性质吗
答：分数的分子与分母都乘(或除以)同一个不为零的数,分数的值不变.
3.尝试用字母表示分数的基本性质:
答：＝ , ＝.(其中a,b,c是实数,且c≠0)
师生活动：小组讨论交流如何用字母表示分数的基本性质,然后写出分数的基本性质的字母表达式.
二、新知形成
1.分式与分数也有类似的性质,你能说出分式的基本性质吗
答：分式的基本性质:分式的分子与分母乘(或除以)同一个不为0的整式,分式的值不变.
2.你能用式子表示这个性质吗
答：＝ , ＝.(其中A,B,C是整式,且C≠0)
师生活动：学生尝试着用式子表示分式的性质,加强对学生的抽象表达能力的培养.
三、例题分析
例1 下列等式，从左到右是如何运用分式的基本性质变形的？
(1) (2)
解：(1) 分式的分子与分母乘同一个不等于0的整式，分式的值不变，即；
（2） 分式的分子与分母除以同一个不等于0的整式，分式的值不变化，即.
例2 填空：(1) (2)
(3) (4)
解：(1) 因为，所以括号中应填;
(2) 因为,所以括号中应填;
(3) 因为，所以括号中应填;
(4) 因为，所以括号中应填.
四、当堂训练
1. 下列等式，从左到右是如何运用分式的基本性质变形的？
(1) (2) .
解：（1）根据分式的基本性质，分式的分子与分母同时乘以同一个不为的整式，分式的值不变；
（2）先对分母因式分解，，然后根据分式的基本性质，分式的分子与分母同时除以同一个不为0的整式，分式的值不变.
2. 不改变分式的值，把下列各式中分子与分母的各项系数化为整数：
(1) ; (2) .
解：（1）分子分母同时乘以6，得到；
（2）分子分母同时乘以10，得到.
五、课堂小结
根据以下问题回顾本节课所学的知识．
1.分式的基本性质是什么？
2.分式的变号法则是什么？
3.如何利用分式的基本性质进行分式的变形？
4.什么是分式的约分 怎样进行分式的约分 什么是最简分式？
六、课堂小测
1.下列各组中的两个分式是否相等 为什么
(1)； 答:相等. 理由:∵ ∴； (2). 答:相等. 理由:∵ ∴.
2.不改变分式的值,使下列分式的分子和分母都不含“”号:
(1)； (2)；
(3)； (4)
七、作业布置
课时训练 基础必做、中档运用 选做题:
八、教学反思
18.1.2 分式的基本性质(2)
教学目标 1. 理解分式约分、通分的意义,理解最简公分母的概念. 2.类比分数通分,掌握分式通分的方法. 3.通过思考、探讨等活动,发展学生实践能力和合作意识.
重点 运用分式的基本性质正确地进行分式的约分、通分.
难点 通分时最简公分母的确定；运用通分法则将分式进行变形.
核心素养 通过运用分式基本性质进行约分和通分的过程,体会转化与化归的数学思想方法,使学生发展良好的数学运算能力，从而促进数学推理能力的发展.
教学过程
一、问题情境
在计算×时,我们采用了约分的方法.
二、新知形成
分式,相等吗 为什么
答：利用分式的基本性质,分式约去分子与分母的公因式a,并不改变分式的值,可以得到.
教师点拨:分式可以化为,我们把这样的分式变形叫做_分式的约分_.
通分：
提出最简公分母概念:一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母,它叫做最简公分母.
师生活动：学生讨论、小组交流、总结得出求最简公分母的步骤:
(1)系数取各分式的分母中系数最小公倍数；
(2)各分式的分母中所有字母或因式都要取到；
(3)相同字母(或因式)的幂取指数最大的；
(4)所得的系数的最小公倍数与各字母(或因式)的最高次幂的积(其中系数都取正数)即为最简公分母.
三、例题分析
例1 约分:(1)；(2)；(3).
解:(1)＝－＝－；
(2)＝＝；
(3)＝＝2(x－y).
归纳：若分子和分母都是多项式,则往往需要把分子、分母分解因式(即化成乘积的形式),然后才能进行约分.约分后,分子与分母没有公因式,我们把这样的分式称为 最简分式 .(不能再化简的分式)
例2 通分：
(1) (2)
解：(1) 最简公分母是
(2) 最简公分母是.
,
四、当堂训练
1.约分:
(1)； (2)；
解:原式 ； 解:原式 ；
(3)； (4).
解:原式 ； 解:原式 .
五、课堂小结
根据以下问题回顾本节课所学的知识．
1.分式的基本性质是什么？ 2.分式的变号法则是什么？ 3.如何利用分式的基本性质进行分式的变形？ 4.什么是分式的约分 怎样进行分式的约分 什么是最简分式？
六、课堂小测
1.约分:
(1)； (2)；
解:原式 ； 解:原式 ；
(3)； (4).
解:原式 ； 解:原式 .
2.通分:
(1)与； (2)与；
解:最简公分母是 , ； 解:最简公分母是 , ；
(3)与；
解:最简公分母是 , ；
七、作业布置
课时训练 基础必做、中档运用 选做题:
八、教学反思
18.2.1 分式的乘法与除法(1)
教学目标1. 理解并掌握分式的乘除法则,运用法则进行简单的分式乘除运算. 2. 经历探索分式的乘除法运算法则的过程,并能结合具体情境说明其合理性. 3. 培养学生的观察、类比、归纳能力和与同伴合作交流的情感.
重点 掌握分式的乘除运算.
难点 正确运用分式的基本性质约分.
核心素养 1.经历探索分式的乘除法运算,发展合情推理的能力,培养学生大胆猜想的能力.2.形成解决问题的基本策略，运用类比思想,从特殊到一般,从分数的乘除法运算过渡到分式的乘除法运算.
教学过程
一、问题情境
1.计算:×；÷.
答：分数的运算法则知×＝；÷＝×＝.
我们在小学学习了分数的乘除法,对于分式如何进行计算呢 这就是我们这节要学习的内容.
二、新知形成
问题1:一个水平放置的长方体容器,其容积为V,底面的长为a,宽为b时,当容器的水占容积的时,水面的高度是多少
答：水面的高度为·.
问题2:大拖拉机m天耕地a hm2,小拖拉机n天耕地b hm2,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍
答：大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的倍.
根据上面的计算,请同学们总结一下对分式的乘除法的法则是什么
答：分式的乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母.
分式的除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.
；.
师生活动：结合上述问题，引导学生，讲解分式乘法与除法.
三、例题分析
例1计算: (1)； (2). 解:(1)； (2). 例2　计算: (1)； (2). 解:(1)原式； (2)原式. 例3 “丰收1号”小麦试验田边长为a米(a＞1)的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分,“丰收2号”小麦的试验田是边长 为(a－1)米的正方形,两块试验田的小麦都收获了500千克.高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍 解: . “丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量 的倍.
四、当堂训练
1.(20分)计算:
(1)； 解:原式； (2)； 解:原式
(3)； 解:原式 ； (4)÷； 解:原式 ；
(5).
解:原式 .
五、课堂小结
(1)分式的乘除法法则；(2)运用法则时注意符号的变化；
(3)因式分解在分式乘除法中的应用；(4)步骤要完整,结果要最简.最后结果中的分子、分母既可保持乘积的形式,也可以写成一个多项式,如或.
六、课堂小测
1.计算:
(1)； 解:原式； (2)； 解:原式；
(3)÷； 解:原式 ； (4)÷. 解:原式 .
七、作业布置
课时训练 基础必做、中档运用 选做题:
八、教学反思
18.2.1 分式的乘法与除法(2)
教学目标1.能应用分式的乘除法法则进行乘除混合运算. 2.能用类比的方法灵活应用分式的乘除法法则进行分式的乘除混合运算. 3.在发展推理能力和有条理的表达能力的同时,体会学习数学的兴趣.
重点 掌握分式乘除法法则及其应用.
难点 掌握分子分母是多项式的分式的乘除法混合运算．
核心素养 1.运用分式的乘除法和乘方运算方法,发展合情推理的能力,培养学生的运算能力.2.通过类比思想，从整式的乘方过渡到分式的乘方运算，并与乘除法相结合，为以后学习分式的加减运算作铺垫.
教学过程
一、问题情境
1.分式的乘除法法则.
分式的乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,用分母的积作为积的分母.
分式的除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.
2.乘方的意义:
(n为正整数). (n为正整数).
二、新知形成
1.由整式的乘方引出分式的乘方,并由特殊到一般地引导学生进行归纳.
(1)()2＝·＝；(2)同理:()3＝··＝；（3）()n＝＝.
2.分式乘方法则:()n＝.(n为正整数)
文字叙述:分式乘方是把分子、分母分别乘方.
3.目前为止,正整数指数幂的运算法则都有什么？
(1)an·an＝am n； (2)am÷an＝am n；
(3)(am)n＝amn； (4)(ab)n＝anbn；
(5)()n＝.
师生活动：结合上述问题，引导学生，讲解分式的混合运算.
三、例题分析
例1计算÷·.
解:÷·
＝··　(先把除法统一成乘法运算)
＝.(约分到最简公式)
归纳：分式乘除运算的一般步骤:(1)先把除法统一成乘法运算；(2)分子、分母中能分解因式的多项式分解因式；(3)确定分式的符号,然后约分；(4)结果应是最简分式.
例2计算:(1)； (2).
解:(1)原式；
(2)原式.
师生活动：．学生板演、纠错并及时总结做题方法及应注意的地方:
①对于乘、除和乘方的混合运算,应注意运算顺序,但在做乘方运算的同时,可将除变乘；②做乘方运算要先确定符号.
四、当堂训练
(1) ； 解:原式 ；
(2)； 解:原式 ；
(3)； 解:原式 ；
(4). 解:原式 .
五、课堂小结
1.分式的乘方法则.2.运算中的注意事项.
六、课堂小测
(1)； 解:原式 ； (2)； 解:原式；
(3)； 解:原式 ； (4)； 解:原式 ；
(5)； 解:原式 ； (6). 解:原式 .
七、作业布置
课时训练 基础必做、中档运用 选做题:
八、教学反思
18.3.1 分式的加法与减法（1）
教学目标1. 经历探索分式加减运算法则的过程,理解其算理. 2. 会进行简单分式的加减运算,具有一定的代数化归能力. 3. 培养学生积极思考,应用类比方法的能力.
重点 运用分式的加减运算法则进行运算.
难点 异分母分式的加减运算.
核心素养 通过本节的学习,让学生理清分式的加减运算与分式通分约分之间的相互联系,解决分式加减运算中常见的问题,增强分式运算的能力.
教学过程
一、问题情境
1.分式的乘除法法则.
分式的乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,用分母的积作为积的分母.
分式的除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.
2.乘方的意义:
(n为正整数). (n为正整数).
二、新知形成
1.分式的加减法与分数的加减法类似,它们的实质相同.观察下列分数 加减运算的式子:,,,. 你能将它们推广,得出分式的加减法法则吗 答：同分母分式加减法.公式:. 文字叙述:同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减. 2.异分母的分式加减法. 答：分式:. 文字叙述:异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减.
师生活动：教师提出问题,让学生列出算式,得到分式的加减法法则.学生讨论:组内交流,教师点拨.
三、例题分析
例1计算: ； （2）＋－. 解: ； （2）原式＝－－＝＝＝1. 例2 计算: (1) ；(2) . 解：(1) ；
四、当堂训练
(1); (2)；
解:原式 ； 解:原式 ；
(3)； 解:原式 ； (4)； 解:原式 ；
(5)；
解:原式 ；
五、课堂小结
根据以下问题回顾本节课所学的知识．
1.同分母分式相加减,分母不变,只需将分子作加减运算,但注意每个分子是个整体,要适时添上括号.
2.对于整式和分式之间的加减运算,则把整式看成一个整体,即看成是分母为1的分式,以便通分.
3.异分母分式的加减运算,首先观察每个公式是否为最简分式,能约分的先约分,使分式简化,然后再通分,这样可使运算简化.
4.作为最后结果,如果是分式则应该是最简分式.
六、课堂小测
1.计算:
(1)； (2)；
解:原式 ； 解:原式 ；
(3).
解:原式 .
2.甲、乙两地相距,提速前火车从甲地到乙地要用,提速后从甲地到乙地行车时间减少了,提速后火车速度比原来速度快了多少
解:根据题意,得
答:提速后火车速度比原来速度快了.
七、作业布置
课时训练 基础必做、中档运用 选做题:
八、教学反思
18.3.1 分式的加法与减法（2）
教学目标1. 明确分式混合运算的顺序,熟练地进行分式的混合运算.. 2. 经历探索分式加减乘除混合运算方法的过程. 3. 结合已有的数学经验解决新问题,获得成就感和克服困难的方法和勇气.
重点 分式的加减乘除混合运算及其应用.
难点 分式加减乘除混合运算.
核心素养 通过本节的学习,让学生理清分式加减运算与乘除运算之间的相互联系,解决分式混合运算中常见的问题,增强分式混合运算的能力,并能根据给定的条件求分式的值.
教学过程
一、复习导入
分式的乘除运算主要是通过约分进行的，分式的加减运算主要是通过通分进行的。
分数的混合运算法则是先乘除，后加减，有括号先算括号里面的 ，类似的，分式的混合运算法则是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的。
师生活动：
二、例题分析
(1) （2)
解：
例2 张华和李明同时从甲地沿同一路线步行去乙地. 张华在前半段路程的平均行走速度是 km/h，在后半段路程的平均行走速度是 km/h；李明全程的平均行走速度是 km/h. 如果，两人谁先到达乙地
解：设从甲地到乙地的路程为 km，张华从甲地到乙地的时间（单位：h）为李明从甲地到乙地的时间（单位：h）为
两人的时间差为
因为均大于0，且，所以，即
因此，李明先到达乙地.
四、当堂训练
1. 计算
(1)： (2)
(3) (4)
五、课堂小结
1.分式的混合运算法则；
2.一些题应用运算律、公式能简便运算.
六、课堂小测
(1)； 解:原式 (2)； 解:原式 ；
(3)； 解:原式 ； (4). 解:原式 .
七、作业布置
课时训练 基础必做、中档运用 选做题:
八、教学反思
18.4.1 整数指数幂
教学目标1.知道负整数指数幂a－n＝.(a≠0,n是正整数),掌握负整数指数幂的运算性质. 2.经历培养学生抽象的数学思维能力及类比学习方法的应用. 3.培养学生积极思考,合作交流的意识和能力.
重点 掌握整数指数幂的运算性质.
难点 灵活运用负整数指数幂的运算性质.
核心素养 通过探究整数指数幂的性质,培养学生观察和归纳总结的水平，并提高对于分式和整式混合运算的运算能力.
教学过程
一、复习导入
1.回忆正整数指数幂的运算性质:
(1)同底数的幂的乘法:am·an＝am+n(m,n是正整数)；
(2)幂的乘方:(am)n＝amn(m,n是正整数)；
(3)积的乘方:(ab)n＝anbn(n是正整数)；
(4)同底数的幂的除法:am ÷an＝am n(a≠0,m,n是正整数,m＞n)；
(5)分式的乘方:()n＝(n是正整数).
新知形成
1.在中,当=时,产生0次幂,即当a≠0时,.那么当＜时,会出现怎样的情况呢 我们来讨论下面的问题:
(1)计算:
(2)当≠0时,== ==
归纳:负整数指数幂的运算性质:当n是正整数时,=(a≠0).
2.整数指数幂的运算性质归结为:
(1) am·an＝am＋n(m,n是整数)； (2) (am)n＝amn(m,n是整数)；
(3) (ab)n＝anbn(n是整数)；
师生活动：结合上述问题，引导学生，讲解分式整数指数幂.
三、例题分析
例1计算:
(1)a－2÷a5；(2)()－2；(3)(a－1b2)3；(4)a－2b2·(a2b－2)－3.
解:(1)a－2÷a5＝a－2－5＝a－7＝；
(2)()－2＝＝a4b－6＝；
(3)(a－1b2)3＝a－3b6＝；
(4)a－2b2·(a2b－2)－3＝a－2b2·a－6b6＝a－8b8＝.
四、当堂训练
1.填空:
(1)； ； ；()
(2)； ； .()
2.若有意义,则的取值范围是；
若,则成立的条件为.
3.计算:
(1)； 解:原式 ； (2)； 解:原式 ；
(3)； 解:原式 ； (4). 解:原式 .
4.先化简,再求值:,其中.
解:原式
当时,原式.
五、课堂小结
引进了零指数幂和负整数幂,指数的范围扩大到了全体整数,幂的性质仍然成立.
六、课堂小测
1.(16分)计算:
(1)； 解:原式 ； (2)； 解:原式；
(3)； 解:原式 ； (4). 解:原式 .
2.(4分)计算:.
解:原式
.
七、作业布置
课时训练 基础必做、中档运用 选做题:
八、教学反思
18.4.1 整数指数幂（2）
教学目标1.会用科学记数法表示绝对值较小的数. 2.经历培养学生抽象的数学思维能力及类比学习方法的应用. 3.探索用科学记数法记录小于1的数的过程中发现科学记数法记数的方法,体会科学记数法的好处.重点 掌握整数指数幂的运算性质.
难点 会用科学记数法表示小于1的数.
核心素养 通过利用整数指数幂来表示小于1的科学记数法，体验从大于10的科学记数法中类比小与1的科学记数法的过程，提高学生的推理能力.
教学过程
一、复习导入
我们已经学习了用科学记数法表示一些绝对值较大的数即利用10的正整数次幂,把一个绝对值大于10的数表式成的形式,其中是正整数,1≤＜10.
二、新知形成
用科学记数法表示值较小的数
例如0.1＝＝10 1，0.000 025＝2.5×0.000 01＝2.5×10－5.
我们可以利用10的负整数次幂,用科学记数法表示一些绝对值较小的数,即将它们表示成a×10－n的形式,其中n是正整数,1≤|a|＜10.
三、例题分析
例 1 碳纳米管是一种前沿纳米材料，有很多神奇的特性。它是由呈六边形排列的碳原子构成的单层或多层的同轴圆管，其直径一般为 nm。通常一根头发丝的直径约为70，一根头发丝的直径大约是碳纳米管直径的多少倍？
因此，一根头发丝的直径是碳纳米管直径的倍.
四、当堂训练
1.用科学记数法表示下列各数:
(1)； (2)；
(3)； (4).
2.计算(结果用科学记数法表示):
(1)； (2)；
解:原式 ； 解:原式 ；
(3)； (4).
解:原式 ； 解:原式 .
五、课堂小结
1.引进了零指数幂和负整数幂,指数的范围扩大到了全体整数,幂的性质仍然成立．
2.科学记数法不仅可以表示一个值大于10的数,也可以表示一些绝对值较小的数,在应用中,要注意a必须满足1≤|a|＜10,其中n是正整数．
六、课堂小测
1.(4分)用科学记数法表示下列各数:
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
2.(16分)计算(结果用科学记数法表示):
(1)；
解:原式 ；
(2).
解:原式 . 3.科学研究发现,一个水分子的质量大约 , 水中大约有多少个水分子 通过进一步研究科学家又发现,一个水分子是由两个氢原子和一个氧原子所构成,已知一个氧原子的质量约为 ,求一个氢原子的质量. 解:∵ ∴ ∴水中大约有个水分子 ∵ ∴一个氢原子的质量约.
七、作业布置
课时训练 基础必做、中档运用 选做题:
八、教学反思
18.5.分式方程（1）
教学目标1.会辨别整式方程与分式方程,会解可化为一元一次方程的分式方程. 2.经历“问题情境——建立模型——解释应用拓展”的过程,发展学生分析问题,解决问题的能力,培养学生的应用意识. 3.综合运用各种方法解决生活问题,发展社会责任感,通过与同伴合作克服困难,增进应用数学的自信.
重点 解分式方程的基本思路和解法.
难点 理解解分式方程时可能无解的原因.
核心素养 通过经历实际问题一列分式方程一探究解分式方程的过程,体会分式方程是一种有效描述现实世界的模型,发展学生分析问题、解决问题的能力,培养应用意识,渗透转化思想.
教学过程
一、问题情境
前面我们已经学习了哪些方程 是怎样的方程 如何求解
(1)前面我们已经学过了 一元一次、二元一次 方程.
(2)一元一次方程是 整式 方程.
师生活动：
二、新知形成
1.问题:一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h,它以最大航速沿江顺 流航行90 km所用时间,与以最大航速逆流航行60 km所用的时间相等, 江水的流速为多少 [分析]设江水的流速为x千米/时,根据题意,得＝.① 2. 辨析:判断下列各式哪个是分式方程. (1)x＋y＝5；(2)＝；(3)；(4)＝0；(5)＋2x＝5. 根据定义可得:(1)(2)是整式方程,(3)是分式,(4)(5)是分式方程. 3.思考:怎样解分式方程呢 方程①可以解答如下: 方程两边同乘以(30＋v)(30－v),约去分母,得90(30－v)＝60(30＋v). 解这个整式方程,得v＝6. 所以江水的流度为6km/h. 师生活动：结合上述问题，引导学生总结：上述解分式方程的过程,实质上 是将方程的两边乘以同一个整式,约去分母,把分式方程转化为整式方程 来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母. 4.解方程:＝.② 解:方程两边同乘(x2－25),约去分母,得x＋5＝10.解得：x＝5 当x＝5时,原分式方程左边和右边的分母(x－5)与(x2－25)都是0,方程 中出现的两个分式都没有意义,因此,x＝5不是分式方程的根,应当舍去, 所以原分式方程无解. 5.那么,分式方程无解的原因在哪里呢 解分式方程去分母时,方程两边乘同一个含未知数的式子(最简公分母). 方程①两边乘(30＋v)(30－v),得到整式方程,它的解v＝6.当v＝6时, (30＋v)(30－v)≠0,这就是说,去分母时,①两边乘了同一个不为0的式子, 因此所得整式方程的解与①的解相同.方程②两边乘(x－5)(x＋5), 得到整式方程,它的解x＝5.当x＝5时,(x－5)(x＋5)＝0,这就是说,去 分母时,②两边乘了同一个等于0的式子,这时所得整式方程的解使②出 现分母为0的现象,因此这样的解不是②的解 6.验根的方法: 将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程 的解是原分式方程的解:否则,这个解不是原分式方程的解.
三、例题分析
例1 解方程＝.
解:方程两边乘x(x－3),
得2x＝3x－9.
解得x＝9.
检验:当x＝9时,x(x－3)≠0.
所以,原分式方程的解为x＝9.
例2解方程－1＝.
解:方程两边乘(x－1)(x＋2),
得x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3.
解得x＝1.
检验:当x＝1时,(x－1)(x＋2)＝0,
因此x＝1不是原分式方程的解.所以,原分式方程无解.
四、当堂训练
1.解方程:
(1)； (2)；
解:方程两边乘,得 解得 检验:当时, ∴原方程的解是； 解:方程两边乘,得 解得 检验:当时, ∴原方程的解是；
(3)； .
解:方程两边乘,得 解得 检验:当时, ∴原方程的解是； 解:整理,得 方程两边乘,得 解得 检验:当时, ∴原方程的解是.
五、课堂小结
通过本课时的学习,需要我们: 1.会辨别整式方程与分式方程. 2.会解可化为一元一次方程的分式方程 .
解分式方程的一般步骤:①去分母,将分式方程转化为整式方程; ②解整式方程; ③验根作答.
六、课堂小测
1.解方程:
(1)； (2)；
解:方程两边乘,得 解得 检验:当时, ∴原方程的解是； 解:方程两边乘,得 解得 检验: 当时, ∴原方程的解是；
(3)； (4).
解:整理,得 方程两边乘,得 解得 检验:当时, ∴原方程的解是； 解:整理,得 方程两边乘,得 解得 检验:当时, ∴原方程的解是.
七、作业布置
课时训练 基础必做、中档运用 选做题:
八、教学反思
18.5. 分式方程（2）
教学目标1.掌握分式方程的应用 2.通过经历探究解分式方程的过程,发展学生分析问题解决问题的能力,渗透类比与转化的思想. 3.在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯,使学生体验成功的喜悦,体会数学的应用价值.
重点 在不同的实际问题中审明题意设未知数,列分式方程,解决实际问题．
难点 在不同的实际问题中,设未知数列分式方程.
核心素养 经历运用分式方程解决实际问题的过程,发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力.
教学过程
一、复习导入
列方程解应用题的一般步骤:
(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答.
这些解题方法与步骤,对于解分式方程应用题也适用.
这节课,我们将继续学习列分式方程解应用题.
二、例题分析
在解决实际问题时，有时需要列、解分式方程.
例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总
工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？
解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的.记总工程量为1，根据工程的实际进度，得
方程两边乘，得
解得
检验：当时，
所以，原分式方程的解为
由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的，可知乙队的施工速度快.
例2 某次列车平均提速 km/h.在相同的时间内，列车提速前行驶 km，提速后比提速前多行驶 50 km，提速前列车的平均速度为多少？
解：设提速前这次列车的平均速度为km/h，则提速前它行驶km 所用时间为 h；提速后列车的平均速度为 km/h，提速后它行驶()km 所用时间为 h.
根据行驶时间的相等关系，得
方程两边乘，得
解得
.
检验：因为都是正数，所以当时，.
所以，原分式方程的解为.
答：提速前列车的平均速度为 km/h.
三、当堂训练
1.甲、乙两人做某种机械零件.已知甲每小时比乙多做6个,甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等.求甲、乙每小时各做零件多少个.
解:设乙每小时做零件x个,则甲每小时做零件个.
根据题意,得 解得
检验:当时,
∴是原方程的解,且符合题意
∴
答:甲每小时做零件个,乙每小时做零件个.
2.张明清点完一批图书的一半,李强加入清点另一半图书的工作,两人合作清点完另一半图书.如果李强单独清点这批图书需要几小时
解:设李强单独清点这批图书需要.
根据题意,得 解得
检验:当时,
∴是原方程的解,且符合题意
答:李强单独清点这批图书需要.
四、课堂小结
1.列分式方程解应用题的一般步骤:
(1)审:审清题意；(2)设:设未知数(要有单位)；(3)列:根据题目中的数量关系找出相等关系,列出方程；(4)解:解方程,并验根,还要看方程的解是否符合题意；
(5)答:写出答案(要有单位).
五、课堂小测
1.A,B两种机器人都被用来搬运化工原料,A型机器人比B型机器人每小时多搬运,A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等,两种机器人每小时分别搬运多少化工原料
解:设型机器人每小时搬运,则型机器人每小时搬运.
根据题意,得
解得
检验:当时,
∴是原方程的解,且符合题意
∴
答:型机器人每小时搬运,型机器人每小时搬运.
2.一个圆柱形容器的容积为,开始用一根小水管向容器内注水,水面高度达到容器高度一半后,改用一根口径为小水管倍的大水管注水,向容器中注满水的全过程共用时间.求两根水管各自的注水速度.(提示:要考虑大水管的注水速度是小水管注水速度的多少倍.)
解:设小水管注水速度是,则大水管注水速度是.
根据题意,得 解得
检验:当时,
∴是原方程的解,且符合题意,这时
答:小水管注水速度是,大水管注水速度是.
六、作业布置
课时训练 基础必做、中档运用 选做题:
七、教学反思
第十八章 分式
单元复习 分式（1）
教学目标1.掌握分式的有关概念及分式的运算. 2.经历实践探究的过程,进一步体会“类比”和“转化”的思想方法. 3.使学生在总结学习经验和活动经验的过程中,体验因学习方法的大力改进而带来的快乐.
重点 掌握分式的有关概念及分式的运算.
难点 分式的混合运算.
核心素养 本章内容为继整式之后对代数式进一步的研究，从分数到分经历了从具体到抽象、特殊到一般的过程，可以体会到数式通性.在分式的加减乘除以及乘方运算中提升学生的推理运算能力.
教学过程
一、题练精析
知识点一：分式的概念
例1 下列各式中,其中是分式的是 (2)(3)(5)(7) .(填序号)
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).
练习1 在中，是整式，是分式．
知识点二：分式有意义的条件
例2 填空:
(1)当时,分式有意义；
(2)当满足时,分式的值为负数.
练习2填空:
(1)当时,分式有意义；
(2)当时,分式的值为.
知识点三：分式的计算
例3
(1)； (2)；
解:原式 ； 解:原式 ；
(3)； (4).
解:原式 ； 解:原式 .
练习3
(1)； 解:原式 ； (2)； 解:原式 ；
(3)； 解:原式； (4)； 解:原式 ；
(5)； 解:原式 ； (6). 解:原式 .
二、课堂小结
教师与学生一起回顾本节课内容,并请学生回答以下问题:
(1)通过对本章的学习,你认为本章的核心知识是什么？
(2)在学习过程中,还有哪些需要注意的地方？
(3)在解决问题的过程中,运用到那些数学思想？
三、课堂小测
1．（1）分式有意义时，求的取值范围．
（2）分式无意义时，求的值．
（3）分式的值为0时，求的值.
解（1）分式有意义，,解得：.
(2)分式无意义，,解得：.
(3)分式的值为0, 且,解得：.
2．先化简，再求值：，其中a满足．
解：
，
a满足，∴，
当时代入求值，原式．
四、作业布置
课时训练 基础必做、中档运用 选做题:
五、教学反思
单元复习 分式（2）
教学目标1. 理解分式方程概念、会解分式方程,并能将实际问题中的等量关系用分式方程表示. 2.经历分式方程的建模思想,发展学生分析问题、解决问题能力,培养学生的应用意识.
重点 会解分式方程,用分式方程解决实际问题.
难点 用分式方程解决实际问题.
核心素养 本章内容的学习为今后进一步学习函数和方程等知识起到奠基的作用,在学习过程中让学生进一步经历探索实际问题中的数量关系的过程;通过问题情景,让学生初步感受分式是解决问题的一种模型,体会分式的意义,发展符号感.
教学过程
一、题练精析
知识点一：分式方程
例1 解方程:
(1)； (2).
解:整理,得 方程两边乘,得 解得 检验:当时, ∴原方程的解是； 解:整理,得 方程两边乘,得 解得 检验:当时, ∴不是原方程的解 ∴原方程无解.
练习1 解方程:.
解:方程两边乘,得
解得
检验:当时,
原方程的解为.
知识点二：分式方程的应用
例2 一辆汽车开往距离出发地的目的地,出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶,一小时后以原来速度的倍匀速行驶,并比原计划提前到达目的地.求前一小时的行驶速度.
解:设前一小时的平均速度为.根据题意,得
解得
经检验是原方程的解,且符合题意
答:前一小时的速度为.
例3 如图,运动场两端的半圆形跑道外径为,内径为,中间为直跑道,整个跑道的面积为,用含,,的式子表示直跑道的长.
解:∵
∴
答:直跑道的长.
练习2 一台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的倍,用这台机器收割小麦比100个农民收割这些小麦要少用,这台收割机每小时收割多少公顷小麦
解:设一个农民每小时收割小麦,则一台收割机每小时收割小麦.
根据题意,得
解得
经检验是所列方程的解,且符合题意
∴当时,
答:这台收割机每小时收割小麦.
课堂小结
教师与学生一起回顾本节课内容,并请学生回答以下问题:
(1)通过对本章的学习,你认为本章的核心知识是什么？
(2)在学习过程中,还有哪些需要注意的地方？
(3)在解决问题的过程中,运用到那些数学思想？
三、课堂小测
1．解下列分式方程
(1)； (2)．
（1）解：， （2），
去分母得：， 去分母得：，
∴， ∴，即 ，
解得：； 解得：，
经检验：是原方程的解． 经检验：是原方程的解．
2．某铸造厂承揽了一项铸造任务，因技术升级改造，实际铸造一个大长方体模块需要的费用比原计划少5元，则实际用3000元铸造的大长方体模块与原计划用4000元铸造的大长方体模块数量相等．
(1)求实际每个大长方体模块的铸造费用是多少元？
(2)若用棱长为2分米的10个正方体实心模块熔铸后，恰好能熔铸成底面是正方形，高5分米的长方体实心模块，求长方体模块的底面边长为多少分米？
（1）解：设实际每个大长方体模块的铸造费用是元，根据题意得：， 解得：，经检验是原方程的解，
答：实际每个大长方体模块的铸造费用是15元；
（2）解：设长方体模块的底面边长为分米，根据题意得：，
解得，答：长方体模块的底面边长为4分米．
3．生物实验课上要求：制作并观察洋葱鳞片叶肉内表皮细胞临时装片，上周生物老师用20元购买了一部分洋葱，本周实验时发现洋葱不够用，由于天气原因，本周洋葱单价上涨了，生物老师花了30元，但只比上周多买了10斤洋葱．求上周生物老师买的洋葱单价为每斤多少元？
解：设上周生物老师购买洋葱的单价为每斤元，则本周所买洋葱的单价为每斤元，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意．
答：上周生物老师购买洋葱的单价为每斤0.5元．
四、作业布置
课时训练 基础必做、中档运用 选做题:
五、教学反思
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