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第二十三章 旋转
23.1 图形的旋转(1)
教学目标 1.了解旋转及其旋转中心、旋转角和旋转对应点的概念.
2.能从生活实例中抽象出旋转.
教学重点 图形旋转的有关概念及其应用.
教学难点 从生活中抽象出旋转有关概念.
教学过程
一、问题情境
1.同学们都见过风车吧,小小的风车在风的吹动下不停地转动,能够转动的物体还有很多,如时钟的指针,同学们知道它们所做的这种运动叫什么吗
师生活动:教师展示图片,学生观察,并回忆小学曾经知道的旋转.
追问1:我们应该研究旋转的哪些方面
追问:我们已经学习过哪些图形变化的方式 主要研究了它们的哪些方面
追问3:平移和轴对称的定义是怎样得出的 旋转的定义如何得出
师生活动：教师提出问题,学生思考回答,师生共同总结出以下两点：
(1)已经学移、轴对称这两种图形的变化,并分别研究了它们的定义、性质,以及坐标表示,旋转也可以从这些方面去研究；
(2)平移和轴对称的定义都是通过观察一系列具体实例,归纳出它们的共同特征得出的,旋转也可以这样去得出定义.
二、新知形成
1.观察实例：钟表的指针在不停地转动（图1）,风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置（图2）.
思考：这些现象有哪些共同特点
(1)物体均围绕固定点（旋转中心）转动；
(2)转动过程中物体形状、大小保持不变；
(3)转动具有方向性（如顺时针/逆时针）；
(4)转动后物体位置发生改变，但与原位置存在对应关系。
教师指出：如果将上面实例中的指针、叶片看作平面图形,那么上述运动就可看作是一个平面图形绕着平面内某一个点转动一个角度,数学中把这叫做图形的旋转。
追问：同学们能给图形的旋转下个定义吗
师生活动：师生共同得出旋转定义后,教师结合定义给出“旋转中心”“旋转方向”“旋转方向”“对应点”等概念.
定义:把一个平面图形绕着平面内某一点转动一个角度,叫做图形的旋转.
三、例题分析
例1 如图,如果把钟表的指针看做△OAB,它绕点O按顺时针方向旋转 得到△OEF,在这个旋转过程中: (1)旋转中心是什么 旋转角是什么 (2)经过旋转,点A、B分别移动到什么位置 解:(1)旋转中心是O,∠AOE、∠BOF等都是旋转角； (2)经过旋转,点A和点B分别移动到点E和点F的位置．
四、当堂训练
1.下列生活中的实例,不是旋转的是( B )
A.大风车的转动C.电风扇叶片的转动 B.汽车在笔直的公路上行驶D.钟表的指针的转动
2.如图,△绕点按逆时针方向旋转得到△,在这个旋转过程中:
(1)旋转中心是点；旋转角是或；
(2)对应点:点E与点,点F与点；
(3)对应线段:线段OF与线段,
线段OE与线段,线段EF与线段；
(4)对应角:∠EOF与,∠E与,∠F与.
3.如图,杠杆绕支点转动撬起重物,杠杆的旋转中心在哪里 旋转角是哪个角
解:杠杆的旋转中心为点O,旋转角是或.
4.如图,在中,,,以顶点为旋转中心,将顺时针旋转到的位置,其中,分别是,的对应点,且点落在边上,求旋转角的度数.
解:∵,
∴
由旋转得,且点E落在边AB上
∴
∴
即旋转角的度数为.
五、课堂小结
1.旋转的定义是什么
2.旋转的三要素是什么
六、课堂小测
1.将笑脸图按顺时针方向旋转后得到的是( A )
2.下列四个三角形中,不能由旋转得到的是( B )
3.如图,是由逆时针旋转得到的,
其中.通过观察,旋转中心是点 C ,
在中,是直角的角是,与线段
相等的线段是,若,则旋转角是
.
4.如图,△ABC与△ADE都是等腰直角三角形,,点E在AB上,如果△ABC经旋转后能与△ADE重合,那么
(1)旋转中心是点；
(2)旋转的方向是 逆时针 ,
旋转角的度数是°；
或旋转的方向是 顺时针 ,
旋转角的度数是°；
(3)对应线段:线段AB与线段对应,
线段BC与线段对应,
线段AC与线段对应；
(4)线段AD与AC的位置关系是,
线段AD与BC的位置关系是.
七、作业布置
课时训练P65－66基础必做、中档运用 选做题: P66
八、教学反思
23.1 图形的旋转(2)
教学目标 1.掌握图形的旋转的基本性质及运用.
2.能根据旋转的基本性质画出旋转后的图形.
教学重点 图形的旋转的基本性质及能根据性质画出旋转后的图形.
教学难点 图形的旋转的基本性质的探究过程.
教学过程
一、问题情境
1.问题:什么是图形的旋转 旋转的三要素是什么 追问:平移、轴对称图形都有各自的基本性质,那么图形的旋转是否也有基本性质呢 师生活动:类比平移，轴对称，让学生思考旋转是否有相应的性质.
2.动手操作：参照图,请大家在硬纸板上,挖一个三角
形洞,再挖一个小洞O作为旋转中心,硬纸板下面放一张
白纸.先在纸上描出这个挖掉的三角形洞(△ABC) ,然后
围绕O转动硬纸板,再描出这个挖掉的三角形洞(△A′B′C′),
移开硬纸板.
二、新知形成
1.问题:如图,线段OA与OA′有什么关系 ∠AOA′与∠BOB′有什么关系？△ABC与△A′B′C′的形状和大小有什么关系？由此得到什么结论？
归纳旋转的性质:
①对应点到旋转中心的距离相等；
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
③旋转前后的图形全等.
三、例题分析
例1 如图,E是正方形ABCD中CD边上任意一点,以点A为中心, 把△ADE顺时针旋转90°,画出旋转后的图形．分析:关键是确定△ADE三个顶点的对应点,即它们旋转后的位置.解:因为点A是旋转中心,所以它的对应点是它本身. 正方形ABCD中AD AB,∠DAB 90°,所以旋转后点D与点B重合. 设点E的对应点为点E′.因为旋转后的图形与旋转前的图形全等,所以 ∠ABE′ ∠ADE 90°,BE′ DE. 因此,在CB的延长线上取点E′,使得BE′ DE,则△ABE为旋转后 的图形.
四、当堂训练
1.如图,小明坐在秋千上,秋千旋转了.请在图中小明身上任意选一点P,利用旋转性质,标出点P的对应点P′.
(1)这两个点到旋转中心的距离有怎样的关系
(2)这两个点与旋转中心所连线段的夹角是多少度
解:标出点P与P′的位置如图所示.
(1)这两个点到旋转中心的距离相等；
(2)这两个点与旋转中心所连线段的夹角是.
2.找出图中扳手拧螺母时的旋转中心和旋转角.
解:图中扳手拧螺母时的旋转中心为点,
旋转角为.
3.按要求画出旋转后的图形:
(1)以A为中心,把△ABC逆时针旋转；解:就是所要画的三角形； (2)在△ABC外取点O为中心,把△ABC顺时针旋转.解:就是所要画的三角形.
4.如图,△ABC中,.
(1)画出将△ABC绕点逆时针旋转后的△A′BC′；
(2)在(1)的条件下,若,求的长.
解:(1)如图,△A′BC′就是旋转后的三角形；
(2)连接,由旋转,得,
在△ABC中,
∴
∴.
五、课堂小结
(1)图形的旋转的基本性质；①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前后的图形全等.(2)根据性质准确画出旋转后的图形,应注意什么？
六、课堂小测
1.如图,将绕点逆时针旋转后的图案应该是( A )
A. B. C. D.
2.按要求画出旋转后的图形:
(1)以B为中心,把顺时针 旋转； (2)以AC中点为中心,把 旋转.
解:图中为所求三角形； 解:图中为所求三角形.
3.在△ABC中,,是边上的任意一点.以点为中心,取旋转角等于,把△ABP逆时针旋转,画出旋转后的图形.
解:如图所示,旋转后得到的三角形为△ACQ.
4.分别画出△绕点逆时针旋转和后的.
解:如图所示,是绕点逆时针
旋转后得到的图形；
是绕点逆时针旋转
后得到的图形.
七、作业布置
课时训练P65－66基础必做、中档运用 选做题: P66
八、教学反思
23.1 图形的旋转(3)
教学目标 1. 利用旋转知识,设计出美丽的图案.
2. 培养学生的艺术创作能力和初步的艺术欣赏能力,感受数学知识的应用价值.
教学重点 理解旋转中心与旋转角对图形变化的影响.
教学难点 灵活运用旋转原理进行创意设计.
教学过程
一、问题情境
1.旋转的三要素以及旋转的性质是什么
2.请同学们独立完成下面的作图题.
如左下图,△OAB绕点O旋转后,E点是B点的对应点,作出△OAB旋转后的图形.
归纳:作图应满足三要素：旋转中心、旋转角、对应点,而旋转中心、旋转角固定下来,对应点就自然而然地固定下来．因此,下面就选择不同的旋转中心、不同的旋转角来进行研究图形的旋转．
二、新知形成
1.动手操作:剪一个月牙形纸片,如图1,选择不同的旋转角（,）进行旋转,不同的旋转中心（,）进行旋转 .
师生活动:在图2的两个旋转中,旋转中心不变,旋转角改变了,产生了不同的旋转效果.在图3的两个旋转中,旋转角不变,旋转中心改变了,产生了不同的旋转效果．
我们可以借助旋转设计出许多美丽的图案
三、例题分析
例1.把一个三角尺进行旋转: (1)看下面两个图形,回答问题:图①是把三角尺以点为旋转中心,旋转度,旋转了次得到的；图②是把三角尺以点为旋转中心,旋转度,旋转了次得到的；这两个图形是选择不同的旋转,相同的旋转.(2)看下面两个图形,回答问题: 图③是把三角尺以点为旋转中心,旋转度,旋转了次得到的；图④是把三角尺以点为旋转中心,旋转度,旋转了次得到的；这两个图形是选择不同的旋转,相同的旋转.(3)归纳:由(1)、(2)两小题可以体会,把一个图案进行旋转,选择不同的、不同的,会出现不同的效果.
四、当堂训练
1.下面两个图形是由一个基本的图形经过旋转得到的,分别写出旋转中心和旋转角度.
解:图(1)中,点O为旋转中心,旋转角为；
图(2)中,点O为旋转中心,旋转角为.
2.如图,用左面的三角形经过怎样的旋转,可以得到右面的图形
(友情提示:计算旋转角,画出旋转中心)
解:如图,作等边,然后以为基本图形,绕点顺时针旋转两次,就可以得到右面的图形.
3.如图,在平面直角坐标系中,画出以原点O为旋转中心,把点逆时针旋转,得到点,并求出点的坐标.
解:点如图所示.
分别过点,作x轴的垂线,垂足分别为,
则,,
由旋转得,
∴
∵
∴
∴≌
∴,
∴点的坐标为.
五、课堂小结
1.选择不同的旋转中心、不同的旋转角,设计出美丽的图案；2.作出几个复合图形组成的图案旋转后的图案,要先求出图中的关键点 ——线的端点、角的顶点、圆的圆心等．
六、课堂小测
1.如图,,都是等边三角形.图中的
可以看成是将绕点, 顺 时针
旋转°得到的,所以DC .
2.把图中的五角星图案,绕着它的中心O旋转.旋转角至少为多少度时,旋转后的五角星能与自身重合 (写出以内的所有角度)
解:如图所示的五角星绕中心O旋转
,,,后
都能与自身重合.
4.如图,K是正方形ABCD内一点,以AK为一边作正方形AKLM,使L,M在AK的同旁,连接BK和DM,试用旋转的性质说明线段BK与DM之间的数量关系.
解:∵四边形ABCD,四边形AKLM都是正方形
∴,,
把和看作旋转角
∴△ADM可以看作由△ABK绕点A,
逆时针旋转得到的
∴.
七、作业布置
课时训练P65－66基础必做、中档运用 选做题: P66
八、教学反思
23.2.1 中心对称
教学目标 1. 理解中心对称的有关概念,并掌握中心对称的基本性质及其运用. 2. 通过观察发现、动手动脑自主探索、合作交流体验成功的喜悦,享受到学习数学的乐趣.
教学重点 理解中心对称的有关概念,并掌握中心对称的基本性质及其运用.
教学难点 探索中心对称的性质及利用性质作图.
教学过程
一、问题情境
1.(1)如图1,把其中一个图案绕点O旋转,你有什么发现
(2)如图2,线段AC,BD相交于点O,OA=OC,OB=OD.把△OCD绕点O旋转,有什么发现
师生活动:教师展示两组图形,演示旋转的过程,学生观察后回答问题.二、新知形成
1.你能说说上述两个旋转的共同点吗
追问1:图形中旋转中心是哪个点
追问2:旋转的角度是多少
追问3:两个图形的关系是什么
师生活动:师生共同归纳得出:把一个图形绕着某一点旋转,如果它能够和另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心(简称中心).
2.中心对称是特殊的旋转,它会有哪些性质
师生活动:教师引导学生动手操作,完成教科书64~65页的画图:旋转三角尺,画关于点对称的两个三角形;利用画好的图形,分别连接对应点,, 如下图所示.
追问1:点O在线段AA'上吗 如果在,在什么位置
追问2:和有什么关系
追问3:你能从以上过程中得到什么结论
追问4:中心对称是特殊的旋转,你能从旋转的性质出发总结(演绎、类比)出中心对称的性质吗
追问5:中心对称的旋转角度是,这使得对称点和对称中心这三点有怎样的特殊位置关系
师生活动:师生共同归纳得出中心对称的性质:(1)关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分；(2)关于中心对称的两个图形是全等图形.
三、例题分析
例1(1)如图1,选择点O为对称中心,画出点 A关于点O的对称点A'；
(2)如图2,选择点O为对称中心,画出与关于点O对称的
解:(1)如图所示,连接,在的延长线上截取 ,即可以求得点关于点O的对称点.
(2)如图所示，作出,,三点关于点的对称点,,依次连接，,,就可得到与关于点对称的.
四、当堂训练
1.如图,△ABC和关于点O对称.
(1)图中相等的线段有:=,
=,=；
(2)连接,,,则,,,
都经过点；
(3)∵△ABC与关于点对称
∴△ABC ≌ .
2.下图中的两个四边形关于某点对称,画出它们的对称中心.
解:任意找两对对称点,连接两对对称点,
对称点连线的交点O,即为对称中心.
3.分别画出下列图形关于点O对称的图形.
解:对称图形如图所示.
4.下面两个图形中,能否经过一次或二次变换(平移、轴对称或旋转),由△ABC得到△DCE,请你分别写出变换过程.
解:图(1),将以点为
旋转中心,顺时针旋转,
得到；
图(2),将以点为
旋转中心,顺时针旋转,
再以所在直线为对称轴
做轴对称,得到(答案不唯一).
五、课堂小结
(1)中心对称的有关概念以及中心对称的基本性质；
(2)利用中心对称的性质作图应注意的事项.
六、课堂小测
1.如图,画出△ABC关于点成中心对称的.
解:如图所示.
2.分别画出下列图形关于点O的对称图形:
解:关于点O对称图形如图所示.
3.已知△ABC,能否通过平移、轴对称或旋转,得到另一个三角形,使得这两个三角形能够拼成一个以AC,AB为邻边的平行四边形.
解:以的中点为旋转中心把旋转,
即得以AC,AB为邻边的□ABA′C.
4.如图,△ABO与△CDO关于点O对称,连接AD,BC.求证:.
证明:∵△ABO与△CDO关于点O对称
∴
∴四边形ABCD是平行四边形
∴.
七、作业布置
课时训练P65－66基础必做、中档运用 选做题: P66
八、教学反思
23.2.2 中心对称图形
教学目标 1.通过具体事例,理解中心对称图形的概念.
2.掌握中心对称图形的性质.
3.了解中心对称与中心对称图形的关系.
教学重点 中心对称图形的有关概念及其运用.
教学难点 区别关于中心对称的两个图形和中心对称图形.
教学过程
一、问题情境
1.观察下面的两幅图,你想到了什么
追问:说一说,成轴对称和轴对称图形之间的区别与联系
师生活动:复习轴对称的知识,图1中的两个图形成轴对称,图2中的图形是一个轴对称图形.
2.如果两个图形成中心对称,那么这两个图形有什么性质
(1)关于中心对称的两个图形是全等形；
(2)关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心平分．
二、新知形成
1.(1)如图1,将线段绕它的中点旋转,你有什么发现
(2)如图2将绕它的两条对角线的交点旋转,你有什么发现
师生活动:可以发现,线段绕它的中点旋转后与它本身重合；绕它的两条对角线的交点旋转后与它本身重合；像这样,把一个形绕着某一个点旋转,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心.
2.中心对称与中心对称图形的区别与联系是什么
师生活动:区别:中心对称指两个全等图形的相互位置关系，
中心对称图形指一个图形本身成中心对称.
联系:如果将中心对称的两个图形看成一个整体,
则它们是中心对称图形.
如果将中心对称图形对称的两部分看成两个图形,则它们成中心对称.
三、例题分析
1.填写下表:
常见几何图形 是不是中心对称图形 如果是,写出对称中心
线段 是 线段的中点
角 不是
直角三角形 不是
等边三角形 不是
平行四边形 是 对角线交点
正方形 是 对角线交点
圆 是 圆心
四、当堂训练
1.下列图形是中心对称图形吗 如果是中心对称图形,在图形中标出其对称中心O.
解:第一、二、四、五个图形是中心对称图形,其对称中心是图中所标的点O.
2.过菱形对角线交点的一条直线,把菱形分成了两个梯形,这两个梯形是全等的吗 为什么
解:这两个梯形全等.因为菱形为中心对称图形,
对角线的交点为对称中心,过对角线交点的
直线把菱形分成的两个梯形关于菱形对角线
的交点中心对称,所以这两个梯形全等.
3.如图,O1,O2分别是两个半圆的圆心,这个图形是中心对称图形吗 如果不是,请说明理由；如果是,请指出对称中心.
解:此图形为中心对称图形,对称
中心为线段O1O2的中点O.
五、课堂小结
1.中心对称及中心对称图形的有关概念；
2.能判断简单的几何图形是否是中心对称图形；了解中心对称图形的应用.
3.区别:中心对称指两个全等图形的相互位置关系，
中心对称图形指一个图形本身成中心对称.
联系:如果将中心对称的两个图形看成一个整体,
则它们是中心对称图形.
六、课堂小测
1.下列图形是中心对称图形的是( A )
A. B. C. D.
2.下面的平面图形中,不是中心对称图形的是( D )
A.圆 B.菱形 C.矩形 D.等边三角形
3.如图,点A,B,C在正方形格点(小正方形的顶点)上,分别在图1,图2中确定格点D,并画出一个以A,B,C,D为顶点的四边形,使其为中心对称图形.
解:所画图形如图所示.
4.如图,由两个全等的梯形可以拼成一个菱形吗 符合什么条件的两个全等梯形可以拼成一个菱形
解:两个全等的梯形不一定能拼成
一个菱形.上底加下底等于一腰
的两个梯形可以拼成一个菱形.
5.如图,四边形ABCD关于O点成中心对称图形.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:连接AC,BD
∵四边形ABCD关于O点成中心对称图形
∴O点在AC上,也在BD上,且,
∴四边形ABCD是平行四边形.
七、作业布置
课时训练P65－66基础必做、中档运用 选做题: P66
八、教学反思
23.2.3 关于原点对称的点的坐标
教学目标 1.掌握关于原点对称的点的坐标特点,会写出某点关于原点对称的点的坐标．
2.能够验证关于原点对称的点的坐标特点．
3.会运用关于原点对称的点的坐标特点作出某图形关于原点对称的图形．
教学重点 理解点P与点P′关于原点对称时,它们的横纵坐标的关系,并会利用它们的关系进行运用.
教学难点 运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其灵活的运用.
教学过程
一、问题情境
1.我们之前学过，在直角坐标系中,分别以x轴和y轴为对称轴时,一对对称点的坐标之间的关系.你还记得它们的内容吗
师生活动:教师引导学生回顾关于坐标轴对称的点的相关知识．
点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为 (x，－y) ；
点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为 (－x，y) ．
接下来我们来探究关于原点对称的点的坐标特征.
二、新知形成
1.如图,在平面直角坐标系中,已知:A( ,0),B(0, 3),C(2,1),D( 1,2),
E( 3, 4),作出这些已知点关于原点O的对称点,并写出它们的坐标.
如图所示的,,,,分别是A( ,0),B(0, 3),C(2,1),D( 1,2), E( 3, 4)的对称点.
追问:这些坐标与已知点的坐标有什么关系
师生活动 分组讨论:关于原点作中心对称时,
①它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系
纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系
②坐标与坐标之间符号又有什么特点
师生分析共同总结:
(1)从上面可知,横坐标与横坐标的绝对值相等,纵坐标与纵坐标的绝对值相等．
(2)坐标符号相反,即设P(x,y)关于原点O的对称点P′( x, y)．
三、例题分析
例1.如图,在平面直角坐标系中,,,.
(1)请画出A,B,C关于原点的对称点,,；
(2)点关于原点的对称点(,),
点关于原点的对称点(,),
点关于原点的对称点(,)；
(3)通过(1)(2)的结论,判断下列各点中哪两个点关于原点对称
.
答:点C与点F关于原点对称.
四、当堂训练
1.在平面直角坐标系中点和点的位置关系是　A　
A．关于原点对称 B．关于轴对称
C．关于轴对称 D．轴
2.已知点，关于原点对称，则的值为 A　
A．1 B． C．0 D．2
3.写出下列各点关于原点的对称点,,,的坐标:
,,,.
解:,,,.
4.如图,已知点的坐标为,点的坐标为,菱形ABCD的对角线交于坐标原点.求C,D两点的坐标.
解:根据题意,可知点与点关于原点对称,点
与点关于原点对称
∴点的坐标为,点的坐标为.
5.已知,,,若线段与互相平分,在平面直角坐标系中画出图形,并求点D关于坐标原点的对称点的坐标.
解:如图所示.
连接
∵线段与互相平分
∴四边形ABCD是平行四边形
∴,
∴点D的坐标为
∴点D关于坐标原点的对称点的坐标为.
五、课堂小结
(1)当点P与点P′关于原点对称时,它们的横纵坐标有什么关系？(2)关于原点对称的点坐标的性质在平面直角坐标系的运用,注意体会 数形结合思想.
六、课堂小测
1.在平面直角坐标系xOy中,点B(3,1)关于原点成中心对称的点的坐标为(　D　)
A. B. C. D.
2.已知点与点关于原点对称,则,.
3.如图,在平面直角坐标系xOy中,四边形各顶点坐标分别,
,,,画出与四边形关于原点对称的图形,并写出各点的对称点的坐标.
解:如图,四边形就是所要
画的四边形.点A,B,C, D的对
称点的坐标分别为:,
,,.
4.如图,在平面直角坐标系中,已知点,.
(1)作出点B关于原点的对称点C,并写出点C的坐标；
(2)在(1)的条件下,求的面积.
解:(1)点C的位置如图,点C的坐标为；
(2).
七、作业布置
课时训练P65－66基础必做、中档运用 选做题: P66
八、教学反思
23. 3 课题学习 图案设计
教学目标 1.利用平移、轴对称和旋转的这些图形变换中的一种或组合进行图案设计,设计出称心如意的图案．
2.通过复习平移、轴对称、旋转的知识,然后利用这些知识让学生开动脑筋,大胆联想,设计出一幅幅美丽的图案．
教学重点 利用所学知识设计图案．
教学难点 如何利用平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或它们的组合得出图案．
教学过程
一、问题情境
1.(1)如图,已知线段是线段平移后的图形,是点的对称点，作出线段并说明与有什么位置关系
如右图所示.
(2)如图,已知线段,作出线段关于对称轴的对称线段,并说明与对称线段之间有什么关系
如右图所示.
(3)如图,已知线段,作出线段关于点顺时针旋转的旋转后的图形,并说明这两条线段之间有什么关系
如右图所示
接下来我们来要探究图形在平移,轴对称,旋转变换下的图案设计.
二、新知形成
1.师生活动：(1)将图1以为旋转中心逆时针旋转三次作图得到图2
(2)将图2作的对称图形得到图3,平移得到图4.
问题:你还能怎么设计图案
三、例题分析
例1.如图1利用正方形各边中点和弧的中点设计的正方形瓷砖图案,用四块如图1所示的正方形瓷砖拼成一个新的正方形,使拼成的图案既是轴对称图形,又是中心对称图形.请在图2和图3中各画一种拼法(要求两种拼法不相同).
解:答案不唯一.
四、当堂训练
1.下列基本图形中,经过平移、旋转或轴对称变换后,不能得到如图a的是(　C　)
A. B. C. D.
2.如图,图1经过　轴对称 变换得到图2；图1经过 旋转 变换得到图3；图1经过　平移 变换得到图4.(填“平移”“旋转”或“轴对称”)
3.如图,(1)中的梯形符合什么条件时,可以经过旋转和轴对称形成(2)中的图案
解:当(1)中的梯形腰与上底边相等
且底角为时,可以经过旋转
和轴对称形成(2)中的图案.
五、课堂小结
1.平移、轴对称和旋转的作图．
2. 利用平移、轴对称和旋转的图形变换中的一种或组合设计图案.
六、课堂小测
1.要在一块长方形的空地上修建一个既是轴对称图形又是中心对称图形的花坛,下列图案中不符合设计要求的是(　D　)
A. B. C. D.
2.已知线段AB,用平移、轴对称或旋转完成以下各题:
(1)画出一个以这条线段为一边的正方形；
(2)画出一个以这条线段为一边的等边三角形；
(3)画出一个以这条线段为一边,一个内角是的菱形.
解:(1)(2)(3)所画图形如图所示.
3.利用对称性可设计出美丽的图案.在边长为1的方格纸中,有如图所示的四边形(顶点都在格点上).
(1)先画出该四边形关于直线l成轴对称的图形,再画出你所作的图形连同原四边形绕O点按顺时针方向旋转后的图形；
(2)完成上述设计后,整个图案(阴影部分)的面积等于.
解:(1)要求画的图案如图所示.
七、作业布置
课时训练P65－66基础必做、中档运用 选做题: P66
八、教学反思
阅读与思考——旋转对称
教学目标 1.理解旋转对称的概念,掌握正n边形旋转对称的性质．
2.能识别具有旋转对称性质的图形,会计算其最小旋转角度,体会数学在生活中的应用,提高观察和分析能力.
教学重点 旋转对称的概念和正n边形旋转对称性质.
教学难点 理解正多边形绕中心旋转后与自身重合的最小旋转角度.
教学过程
一、问题情境
1.回顾轴对称和中心对称有关知识.
轴对称:一个图形关于直线对称
中心对称:一个图形关于点对称
2.展示生活中常见图形：
问题: 为什么像螺母、扳手、罐头等物体的某些部分的形状呈正多边形这是为什么呢 让我们一起来探究其中的奥秘.
二、新知形成
1.请同学们拿出课前准备好的几种正多边形纸片,大家带着这样一个问题动手操作一下.
问题:将正三角形绕中心最少旋转多少度能够和原图形重合
教师总结:我们发现将正三角形绕中心最少旋转能与原图形重合.
类比正三角形的旋转完成正四边形,正五边形,正六边形的旋转过程并完善以下表格.
设正多边形的边数为旋转的最小角度为
n 3 4 5 6 …
追问:把正n边形绕其中心O旋转度,当旋转后的正多边形与原图形重合时,最小的度数是什么 并思考的度数与正多边形的边数n的关系是什么
师生活动:由特殊到一般,归纳总结出.
2.旋转对称的概念:把正n边形绕着它的中心旋转的整数倍后,所得的正n边形与原正n边形重合,我们说,正n边形关于其中心有的旋转对称.
一般的,如果一个图形绕着某点O旋转角后所得到的图形与原图形重合,则称此图形关于点O有角的旋转对称.
3.如果一个图形是中心对称图形,则把它绕对称中心旋转后所得图形与原来图形重合,所以中心对称图形关于其对称中心有的旋转对称.
圆关于圆心有任意角的旋转对称,许多物体呈圆形就是应用了圆的这种性质.当我们用一个扳手扳转一个正六边形螺母时,要应用正六边形关于其中心有的整数倍的旋转对称,也要应用圆关于圆心有任意角的旋转对称.
三、例题分析
1.将下列常见图形的序号填在相应的空格内：
①线段；②角；③两条相交直线；④等腰直角三角形；⑤正方形；⑥正五边形；⑦正八边形；③圆．
(1)只有一条对称轴的轴对称图形有　②④　；
(2)只有两条对称轴的轴对称图形有　①③　；
(3)有三条或三条以上对称轴的轴对称图形有　⑤⑥⑦⑧　；
(4)旋转对称图形有　①③⑤⑥⑦⑧　；
(5)中心对称图形有　①③⑤⑦⑧　．
四、当堂训练
1.下列图形中,是中心对称图形且旋转后能与自身重合的图形是 　　　
A.等边三角形 B.正方形 C.正八边形 D.正十二边形
2.如图所示的五角星是旋转对称图形,该图形绕旋
转对称中心点按下列角度旋转后,能与其自身
重合的是 　
A. B. C. D.
3.把一个平面图形绕着平面上一个定点旋转度后,与初始图形重合,这种图形叫做旋转对称图形,这个定点叫做旋转对称中心,旋转的角度叫做旋转角.生活中的旋转对称图形有很多,善于捕捉生活中的这些美丽的图形,积累素材,可以为今后设计图案打下基础,下列正多边形,绕其中心旋转一定角度后与自身重合,其中旋转角度最小的是
A. B. C. D．
五、课堂小结
1.旋转对称的概念
2.轴对称、中心对称、旋转对称的区别
3.旋转对称图形的最小旋转角的计算
六、课堂小测
1.我们知道,在平面内,如果一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后能与自身重合,那么就称这个图形是旋转对称图形,旋转的这个角称为这个图形的一个旋转角.例如,正方形绕着它的对角线的交点旋转后能与自身重合所以正方形是旋转对称图形,它有一个旋转角为．
(1)判断下列说法是否正确（在相应横线里填上“对”或“错”
①正五边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为.　对　；
②长方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为.　对　；
(2)写出两个多边形,它们都是旋转对称图形,都有一个旋转角为,其中一个是轴对称图形,但不是中心对称图形；另一个既是轴对称图形,又是中心对称图形.
解：(1)①
正五边形是旋转对称图形,它有一个旋转角为；
②
长方形是旋转对称图形,它有一个旋转角为；
故答案为：对，对；
(2) ,
正五边形满足有一个旋转角为,是轴对称图形,但不是中心对称图形,正十边形有一个旋转角为,既是轴对称图形,又是中心对称图形．
七、布置作业
八、教学反思
数学活动——旋转与对称的坐标变化规律
教学目标 1.理解点关于坐标轴的对称变换．
2.掌握绕原点旋转的坐标变化规律．
教学重点 掌握点的对称和旋转的坐标变化规律.
教学难点 用坐标变化规律解释几何变换.
教学过程
一、提出问题
1.在平面直角坐标系中,点的坐标是,作点关于轴的对称点,得到点,再作点关于轴的对称点,得到点.点与点有什么关系 如果点的坐标是,点与点也有同样关系吗 你能用本章知识解释吗
2.在平面直角坐标系中,,把点绕原点顺时针旋转,,,,点的对应点的坐标分别是什么 你能用本章知识解释吗
二、解决问题
1.点的坐标是,则点关于轴的对称点的坐标是,再作点关于轴的对称点,则关于轴的对称点是.
追问: 点关于原点对称的坐标是什么 与点有什么关系 由此能归纳总结出什么规律
师生活动:点关于原点对称的坐标是,与的坐标相同,则可归纳出两次轴对称变换相当于作一次中心对称.
三、解决问题
1.点的坐标是,则点绕原点顺时针旋转,,,
得到的对应点的坐标是什么
旋转的角度
对应点的坐标
师生活动:在求旋转变换下对应点的坐标，借助平面直角
坐标系进行数形结合.如右图,过点作轴,
轴,则,,.
故.
2.点的坐标是,则点绕原点顺时针旋转,,,
得到的对应点的坐标是什么
旋转的角度
对应点的坐标
师生活动:通过本活动让学生自主探究旋转变换下的坐标变化规律.并让学生熟悉探究问题的一般方法:特殊到一般.
四、拓展提升
1.在平面直角坐标系中,点关于轴的对称点是点,点关于轴的对称点是点,若点的坐标是,则点的坐标为　
A. B. C. D.
2.如图,在平面直角坐标系中,直线
交轴于点,交轴于点,作点关于轴的对称
点,是直线上的动点,连接,将绕点
逆时针旋转至.则(1)点的坐标是；
(2)的最小值是．
五、课堂小结
1.回顾点关于 x 轴、y 轴的对称点坐标变化规律,以及经过两次对称变换后与原点的关系.
2. 请总结点绕原点顺时针和逆时针旋转不同角度后的坐标变化规律.
六、课堂小测
1.如图,已知点的坐标为,点是点关于轴的对称点,点与点关于轴对称．
(1)画出直角坐标系；
(2)写出,两点的坐标；
(3)求的面积(为坐标原点)．
解:(1)如图所示；
(2)∵点的坐标为,点是点关于轴的对称点
∴
∵点与点关于轴对称
∴；
(3)∵,
∴
∴.
2.活动目的:经历探究一个点绕原点作一个特殊的旋转时的坐标关系的过程,加深对点的坐标,全等三角形的判定与性质等知识的理解,发展应用意识．
器材准备:直尺,圆规等.
活动步骤:
(1)取一点,以原点为中心,分别顺时针旋转,,,,得到点,,,,在如下图的平面直角坐标系中标出,并把结果填入表格．
旋转的角度
对应点的坐标 　　 　　 　　 　　
(2)结合(1),任取点,以原点为中心,分别顺时针旋转，,,,得到点,,,,并把结果填入表格．
旋转的角度
对应点的坐标 　　 　　 　　 　　
(3)结合(1)(2),任取点,以原点为中心,分别逆时针旋转,,,,得到点,,,,并把结果填入表格．
旋转的角度
对应点的坐标 　　 　　 　　 　　
七、作业布置
八、教学反思
单元复习 图形的旋转
教学目标 1.复习旋转的概念以及性质.
2.复习图形的旋转在坐标中的应用．
3.能作旋转作图和作出某图形关于原点对称的图形．
教学重点 利用旋转的性质求长度和角度,旋转作图以及坐标中的旋转.
教学难点 旋转的知识与其它知识的综合运用
教学过程
一、题练精析
知识点一:旋转的有关概念
1.自来水龙头在拧开的过程,这可看作数学中的( C )
A.轴对称 B.平移 C.旋转 D.变形
2.如图,△CDE可以看作△CAB绕某一点旋转后的图形,请回答下列问题:
(1)旋转中心是点；
旋转角是或；
(2)点A,B,C的对应点依次是；
(3)∠A,∠B,∠ACB的对应角依次是；
(4)线段AC,BC,AB的对应线段依次是．
知识点二:利用旋转求长度和角度
1.如图,在中,,将绕点按
逆时针旋转到的位置,连接,此时,
则旋转角的度数为( A )
A. B.
C. D.
2.如图,点是正方形的边上一点,把
绕点顺时针旋转到的位置,若四边形
的面积为25, ,则的长为( D )
A.5 B.
C.7 D.
3.如图,在中,,,,将绕点逆时针旋转得到,使点落在边上,连接,则的长度是( C )
A.5 B.
C. D.
知识点三：中心对称和中心对称图形
1.下列说法中,正确的是 C　
A.全等的两个图形成中心对称图形
B.旋转后能够重合的两个图形成中心对称图形
C.成中心对称的两个图形全等
D.中心对称图形一定是轴对称图形
2.如图,△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称,
下列结论中不成立的是(　C　)
A. C.
B. D.
知识点四：坐标系中的旋转
1.将点沿轴向左平移4个单位长度后,得到点,点关于轴对称的点的坐标是　 B　
A. B. C. D.
2.已知点关于原点的对称点在第二象限,则的取值范围是 B
A. B. C. D.
3.如图,在平面直角坐标系中,正方形的
顶点的坐标为,则点的坐标是　 C　
A. B.
C. D.
知识点五：旋转作图
1.把Rt△ABC以点S为中心顺时针旋转,画出旋转后的.
解:旋转后的如图所示.
2.如图,在中,,将绕点逆时针旋转一定的角度得到,点的对应点为点.尺规作图:求作,使点的对应点恰好落在的延长线上；(不写作法,保留作图痕迹)
解:(1)如图所示,即为所求；
二、课堂小结
1.利用旋转的不变性求出相应的边角条件
2.坐标中的旋转
3.旋转尺规作图.
三、课堂小测
1.在平面直角坐标系中,与关于原点对称的点的坐标是.
2.如图,在平面直角坐标系中,直线与
轴,轴分别交于,,将绕点
顺时针旋转得到,若点的坐标
为,则直线的解析式为.
3.如图,将△ABC旋转至△DEC,则下列结论中一定
成立的是(　D　)
A. B.
C. D.
4.若点A(n,2)与点B(,m)关于原点对称,则的值(　A　)
A.5 B.1 C. D.
5.如图,和都是等边三角形,可以看作是经过平移、轴对称或旋转得到.说明得到的过程.
解:∵是等边三角形
∴,
同理,
∴以点为旋转中心,将逆时针旋转就得到.
6.如图,Rt△ABC中,,,点D在AC上,且,将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转后,得到△CBE,连接DE.求DE的长.
解:∵,
∴,
∴
由旋转的性质得,
∴
∴.
四、作业布置
五、教学反思
设计意图：通过生活实例，引入本节课的研究对象。
设计意图：通过追问使学生明确旋转和平移、轴对称一样都属于图形的变化，因此可以类比平移和轴对称去研究旋转，向学生渗透类比是发现解决问题方法的重要途径，另外一方面渗透获得定义的一种思想方法——从具体实例中归纳概括本质属性.
设计意图：
1. 让学生从具体实例中发现旋转现象，抽象出旋转的本质属性，即将“生活中的旋转”抽象为“数学中的旋转”；
2. 让学生借助实例，理解数学概念，同时发展抽象概括能力。
通过折纸再次深化学生对平行线的判定方法的理解，引导学生把操作性题抽象成数学问题，利用数学知识、数学原理可以简单方便地解决问题..
设计意图：
通过小结，使学生梳理本节课所学内容——旋转以及旋转的性质.
A.
B.
C.
D.
第1题
通过练习巩固本节课内容
A.
B.
C.
D.
第2题
第3题
第4题
设计意图：通过类比平移和轴对称的学习过程，引出本节课课题.
通过动手操作，培养学生对旋转概念的直观理解.
培养学生归纳总结的能力
E′
检测学生是否掌握旋转的性质以及旋转作图
检测本节课所学知识
设计意图：通过复习旋转的性质以及利用旋转的性质进行作图，引入本节课的研究对象:不同的旋转中心与旋转角对图形变化的影响.
图②
O
图①
O
O
图④
图③
O
图(1)
图(2)
检测所学知识.
设计意图:让学生通过观察图形，感知中心对称的特征，为得出中心对称的概念作铺垫，从旋转变化的角度让学生从几何图形中体会中心对称是特殊的旋转.
设计意图:进一步明确中心对称的共同点
(1)两个图形:
(2)(选定)一个点
(3)旋转角度是 180°；
(4)两个图形重合,
发现两个图形成中心对称的特征,进而概括出中心对称的概念.
设计意图:让学生利用具体图形，获得感性认识，进而归纳出中心对称的性质.
图(1)
图(2)
检测并巩固所学知识
设计意图:通过复习轴对称的知识进行类比学习,引出本节课要学的知识——中心对称图形.
加强对两个图形成中心对称与一个图形是中心对称图形的认识.
禁止标志 风轮叶片 三叶风扇 正方形 正六边形 正三角形
对本节课的知识进行梳理
图1
图2
检测并巩固所学知识．
设计意图:检验学生对关于坐标轴对称的点的特点的掌握情况,为下文引入新知做准备．
对本节课知识进行梳理和总结
图2
图3
图1
图a
图1
图2
图3
图4
(1)
(2)
检测并巩固所学知识
(1)
(3)
(2)
通过复习回顾学过的轴对称与中心对称，引出本节课的课题是旋转对称.
通过实践操作让学生深刻体会最小旋转角，使得与原图形重合.
设计意图:许多旋转着的物体都应用了圆的旋转对称性质.圆的这个性质给我们的生活和生产带来了很多的方便.以后学习了圆的更多知识后.你对圆的这个性质会有更加深刻的认识.
检测并巩固所学知识
通过从一般到特殊的研究方法，归纳出两次轴对称变换相当于作一次中心对称
通过从一般到特殊的研究方法，归纳旋转图形的坐标规律.
检测并巩固所学知识
先复习旋转的基础知识,加深对旋转基础知识的理解
利用旋转的不变性，解决求长度和角度的问题.
第2题
掌握旋转中的坐标变化规律.
检测所学知识.
第2题
126

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