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第二十四章 圆
24.1.1 圆
教学目标 探索圆的定义，理解并掌握弧、弦、优弧、劣弧及半圆等基本概念，并能够从图形中识别．
重点 理解圆的有关概念，并能够从图形中识别.
难点 圆的运动式定义，及在复杂图形中准确识别圆的有关图形.
教学过程
一、问题情境
1. 如教材图，观察下列图形，从中找出共同特点．
师生活动：学生观察图形，发现图中都有圆，然后回答问题，此时学生可以再举出一些生活中类似的图形．教师让学生观察图形，感受圆和实际生活的密切联系，同时激发学生的学习欲望以及探究热情．
二、新知形成
1.如图，观察下列画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？
师生活动：学生小组合作、分组讨论，通过动画演示，发现在一个平面内一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点形成的图形就是圆．
教师在学生归纳的基础上，引导学生对圆定义：在一个平面内，一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆.
追问1：圆的定义体现了点与线的什么关系？
追问2：什么是圆心、半径，怎样用符号表示圆？
师生活动：圆的定义体现了点动成线.师生合作归纳圆的相关概念，固定的端点O叫作圆心，线段OA的长度叫作这个圆的半径．
圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
同时从圆的定义中归纳：
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；
（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
追问3：圆可以看做无数个点组成，你能从点出发给圆定义吗？
师生活动：师生合作归纳，圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合.
追问4：圆中还有哪些你熟悉的元素？如图，什么是弦、直径、弧和半圆？
师生活动：学生小组讨论，讨论结束后派一名代表发言进行交流，在交流中逐步完善自己的结果．教师在学生交流的基础上与学生一起总结出上述概念的严格定义.
连接圆上任意两点的线段叫作弦.经过圆心的弦叫作直径.
如图，AB，AC是弦，AB是直径.
圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧.
以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆．
大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如图中的.
小于半圆的弧叫作劣弧，如图中的．
追问5：什么是等圆，什么是等弧？等弧是长度相等的弧吗？
师生活动：师生合作归纳，能够重合的两个圆叫做等圆.容易看出，半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.而长度相等的弧未必是等弧.
2.讨论，车轮为什么做成圆形？如果做成正方形会有什么结果？
师生活动：学生首先根据对圆的概念的理解独立思考，然后进行分组讨论，最后进行交流．教师引导学生进行如下分析：如图，把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳；如果做成其他图形，比如正方形，正方形的中心（对角线的交点）距离地面的距离随着正方形的滚动而改变，由于中心到地面的距离就不是保持不变，因此不稳定．
三、例题分析
例1.矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴，，AC＝BD.
∴OA＝OC＝OB＝OD.
∴A，B，C，D四个点在以点O为圆心，OA为半径的圆上.
四、当堂训练
1.如何在操场上画一个半径是5m的圆 说出你的理由.
解：可以定一个圆心，取一根5m长的绳子，将绳子的一端固定在圆心处，拉直绳子后绕着圆心旋转一周，另一个端点画出的图形就是半径为
5m的圆.
2.你见过树木的年轮吗 从树木的年轮，可以知道树木的年龄.把树干的横截面看成是圆形的，如果一棵20年树龄的树的树干直径是23cm，这棵树的半径平均每年增加多少
解：∵树干直径是23cm，∴树干的半径是cm
∵树木的树龄是20年
∴这棵树的半径平均每年增加（cm）.
答：这棵树的半径平均每年增加 cm.
3.△ABC中，∠C＝90°.求证：A，B，C三点在同一个圆上.
证明：如图，取AB的中点D，连接CD.
∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点
∴，
∴DC＝DA＝DB
∴A，B，C三点在以点D为圆心，CD长为半径的圆上.
五、课堂小结
1.圆的定义及其有关概念，并会准确辨认；
2.如何证明若干个点共圆.
六、课堂小测
1. 求证：直径是圆中最长的弦.
已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是任意一条非直径的弦.
求证：AB＞CD .
证明：连接OC，OD
∵OA＝OB＝OC＝OD
∴AB＝OA＋OB＝OC＋OD
在△OCD中，OC＋OD＞CD
∴AB＞CD .
从而得到：直径是圆中最长的弦.
2. 如图，在半径为50mm的⊙O中，弦AB长50mm.求：（1）∠AOB的度数;（2） 点O到AB的距离.
解：（1）∵半径为50mm，AB长50mm
∴OA＝OB＝AB，∴△OAB是等边三角形
∴∠AOB＝60°
（2）过点O作OC⊥AB于点C.
∴，∴
∴点O到AB的距离为mm.
七、作业布置
课时训练P65-66基础必做、中档运用 选做题：P66
八、教学反思
24.1.2 垂直于弦的直径（1）
教学目标 探索圆的轴对称得出垂径定理及其推论的过程，理解并运用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明.
重点 理解并运用垂径定理及推论进行有关的计算和证明.
难点 垂径定理的探索过程及其灵活运用.
教学过程
一、问题情境
1.上节课，我们学习了与圆有关的一些概念，比如：圆，半径，圆心，直径，弦，弧，优弧，半圆，等圆，等弧等，下面我们一起来研究圆的性质.
2.用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
师生活动： 教师引导学生逐一回忆与圆有关的概念.学生动手操作，观察操作结果，可以发现沿着圆的任意一条直径对折，直径两旁的部分能够完全重合，由此可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
二、新知形成
1. 下面我们来证明这个结论.
师生活动：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上.如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点.过点A作AA'⊥CD，交⊙O于点A'，垂足为M，连接OA，OA'.
在△OAA’中，
∵OA＝OA'，∴△OAA’是等腰三角形.
又 AA'⊥CD，∴AM＝MA'.
即CD是AA'的垂直平分线.
这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A'，因此⊙O关于直线CD对称.
追问1：通过上面的证明你能发现哪些相等的线段和相等的弧？
师生活动： 如果⊙O的直径CD垂直于弦AA'，垂足为M，那么点A和点A'是对称点.把圆沿着直径CD折叠时，点A与点A'重合，AM与A'M重合，，分别与，重合.
因此，AM＝A'M， ＝， ＝.即直径CD平分弦AA'，并且平分， .这样，我们就得到垂径定理”：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分7弦所对的两条弧.进一步，我们还可以得到推论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
三、例题分析
例1 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，
距今约有1400年的历史，是我国古代
人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是
圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）
为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为
7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.
解： 解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图抽象出几何图形.
如图，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与相交于点C，连接OA.根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高.
由题设可知AB＝37，CD＝7.23，所以，
OD＝OC-CD＝R-7.23.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
，
即.
解得.
因此，赵州桥的主拱桥半径约为27.3m.
例2. ⊙ O 的半径为13 cm，AB，CD是⊙ O的两条平行弦，AB＝24 cm，
CD＝10 cm.求AB和CD之间的距离.
解：分两种情况：
（1）当两弦在圆心的异侧时，如图所示
作OE⊥AB于E，长EO交CD于F，连接OA ，OC.
∵ AB ∥ CD ，OE⊥AB，OF⊥CD
∵ OE⊥AB 　
∴ AE＝AB ＝12
∵ OF⊥CD 　
∴ CF＝CD ＝5
∴ OE＝＝＝5，
OF＝＝＝12
∴ EF＝OF＋OE＝17（cm）
（2）当两弦在圆心的同侧时，如图所示
同上可求得 EF＝OF－OE＝7（cm）
综上所述，AB与CD的距离为17 cm或7 cm.
四、当堂训练
1如图，在⊙O中，弦AB的长为，圆心O到AB的距离为，求⊙O的半径.
解：连接OA，过点O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝AB＝4
在Rt△AOE中，由勾股定理，得
OA ＝＝＝5，
⊙O的半径为5 cm.
2.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，
OE⊥AC，垂足分别为D、E.求证：四边形ADOE是正方形.
证明：∵ AB ⊥ AC，OD ⊥ AB ，OE ⊥ AC
∴∠ EAD＝∠ODA＝∠OEA＝90°
∴四边形ADOE是矩形
∵ OD⊥AB，OE⊥AC
∴ AD＝AB，AE＝AC
∵ AB＝AC，AD＝AE，四边形ADOE是正方形.
五、课堂小结
1.圆周对称性及相关性质，特别是垂径定理及其推论的理解；
2.如何运用垂径定理解决一些有关证明、计算的题型.
六、课堂小测
1. 如图，两个圆都以点O为圆心，
大圆的弦AB交小圆于C，D两点.求证：AC＝BD.
证明：过点O作OE ⊥ AB于点E.
∵ OE⊥AB ∴ AE＝BE，CE＝DE， ∴ AC＝BD .
2. 如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，圆心O到它们的距离分
别是OM和ON，如果AB＞CD，那么OM和ON的大小有什么关系？
解：OM＜ON. 理由：连接OA，OC，则OA＝OC.
∵ OM ⊥ AB 　∴ AM＝AB 同理 CN＝CD
∵ AB＞CD 　 ∴ AM＞CN
∵ OM＝，ON ＝
∴ OM＜ON .
七、作业布置
课时训练P65-66基础必做、中档运用 选做题：P66
八、教学反思
24.1.2 垂直于弦的直径（2）
教学目标 掌握垂径定理及其推论在生活中的应用.
重点 垂径定理及其推论的应用.
难点 垂径定理及其推论的应用.
教学过程
一、问题情境
1.提问：
（1）圆是轴对称图形，那么它的对称轴是什么？（任意一条直径的所在直线）
（2）垂径定理的内容是什么？（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.）
（3）垂径定理推论的内容是什么？
（平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.）
师生活动：教师引导学生回忆，并在黑板画图分析，以此加深学生对所学知识的巩固.
2.赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，它的
主桥拱是圆弧形，怎样测量圆拱的高？
师生活动：引导学生把实际问题转化
为数学问题，并思考怎样画出圆弧的中点.
二、新知形成
1.如图，已知，请你利用尺规作图的方法
作出的中点，说出你的作法．
师生活动：根据基本尺规作图可以发现不能直接作出弧的中点，
但是利用垂径定理只需要作出弧所对的弦的垂直平分线，垂直平分线与弧的交点就是弧的中点．作法如下：1.连接AB；2.作AB的中垂线，交于点C，点C就是所求的点．
追问1：怎样测量圆弧AB的高？
师生活动：圆弧的中点到弦AB的距离就是圆弧的拱高，利用尺规作图可以画出高并测量.
三、例题分析
例1.某水平放置的圆柱形排水管道的截面是直径为1 m的圆，如图所示.若水面宽AB＝0.8 m，求水的最大深度.
解：如图，过点O作OC⊥AB于点C，连接OA.
∴∠ACO＝90°，AC＝AB.
∵AB＝0.8 m，
∴AC＝0.4 m.
∵直径为1 m，
∴OA＝0.5 m.
在Rt△ACO中，根据勾股定理，得
OC＝＝0.3 m.
0.3＋0.5＝0.8(m).∴水的最大深度为0.8 m.
例2.如图，某条河上有一座圆弧形拱桥，桥下面水面宽度AB为7.2米，桥的最高处点C离水面的高度2.4米．现在有一艘宽3米，船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里，问：这艘船是否能够通过这座拱桥？说明理由．
解：（1）如图，连接OA，OG，过点O作OC⊥AB于点E，交GF于点M，交于点C．
∵OC⊥AB， ∴E为中点，
∵AB＝7.2cm， ∴．
又，∴设，则．
在中，根据勾股定理得：，
解得r＝3.9．
，船舱顶部为长方形并高出水面AB2m，
，
，
在中，，
．
，
此货船能顺利通过这座弧形拱桥．
四、当堂训练
1. 如图，某桥拱可以近似地看作半径为250 m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300 m，则桥拱离路面最大距离为 50 m.
2.如图，AB为⊙O的直径，E为OB与CD的中点，CD＝4，求⊙O的周长.
解：如图，连接OC，设OC＝OB＝x.
∵E为OB中点，∴OE＝x.
∵E为CD中点，∴OE⊥CD，CE＝CD＝2 QUOTE .
在Rt△OCE中，OE2＋CE2＝OC2，
即（x）2＋（2 QUOTE ）2＝x2.
解得x＝4. ∴⊙O的周长为2π×4＝8π.
拓展提问：连接OC，BC，BD，OD，则四边形ODBC是 菱 形.
五、课堂小结
垂径定理及推论在实际问题中的应用，通常要结合直角三角形的勾股定理等知识来解决，要理解勾股定理应用的基本图形.
六、课堂小测
1. 某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚20 cm的砖塞在球的两侧(其中间的截面图如图所示)，他量了下两砖之间的距离刚好是80 cm，则图中截面圆的半径是( D )
A.80 cm B.70 cm
C.60 cm D.50 cm
2. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（ ），点 O 是这段弧所在圆的圆心.AB＝300 m，C是上的一点，OC⊥AB，垂足为D，
CD＝45m，求这段弯路的半径.
解：∵半径OC⊥弦AB ，AB＝300，
∴ DB＝AB＝150
设⊙O的半径为rm，则OD＝（r－45）m
在Rt△OBD中，OB 2＝OD 2＋DB 2
即，解得r＝272.5
答：这段弯路的半径为272.5 m.
3. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分.如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD＝4 m，EM ＝6 m.求⊙O的半径.
解：连接OC.
∵ M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O
∴ EM⊥CD，CM＝CD＝2
设⊙O的半径为x m，则OC＝OE＝x m
∵ EM＝6
∴ OM＝6－x
在Rt△OCM中，由勾股定理，得
OC 2＝CM 2＋OM 2
，解得，
∴⊙O的半径为m.
七、作业布置
课时训练P65-66基础必做、中档运用 选做题：P66
八、教学反思
24.1.3 弧、弦、圆心角
教学目标 理解圆心角概念和圆的旋转不变性；掌握圆心角、弧、弦之间的关系及其运用.
重点 圆心角、弧、弦之间的关系，并运用此关系进行有关计算和证明.
难点 运用圆心角、弧、弦之间的关系进行有关计算和证明.
教学过程
一、问题情境
1. 剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合吗 由此你能得到什么结论 把圆绕圆心旋转任意一个角度呢
师生活动：学生通过观察、探究后发现，圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心，不仅如此，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合.利用这个性质，我们还可以得到圆的其他性质.
二、新知形成
1. 我们把顶点在圆心的角叫做圆心角，利用上面的性质可以研究在同一个圆中，圆心角及其所对的弧、弦之间的关系.
思考：如图，当圆心角∠AOB＝∠A'OB'时，它们所对的弧和、弦AB和A'B'相等吗 为什么
师生活动：引导学生发现利用旋转可以得到＝， AB＝A'B'.
我们把∠AOB连同绕圆心O旋转，使射线OA与OA'重合.
∵∠AOB＝∠A'OB'，
∴射线OB与OB'重合.
又OA＝OA'，OB＝OB'，
∴点A与A'重合，点B与B'重合.
因此，与重合，AB与A'B'重合.即＝， AB＝A'B'.
这样，我们就得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等;
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
追问1：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，则它们所对应的其余各组量有什么关系
师生活动：师生合作归纳，同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，则它们所对应的其余各组量分别相等.
三、例题分析
例1. 如图，在⊙O中，，∠ACB＝60°.求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
证明：∵，
∴AB＝AC，△ABC是等腰三角形.
又∠ACB＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
AB＝BC＝CA.
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
例2. 如图，OA，OB是⊙O的两条半径，∠AOB＝120°，C是 QUOTE 的中点，连接AC，BC. 求证：四边形OACB是菱形.
证明：连接OC. ∵C是的中点 ∴＝
∴AC＝BC，∠AOC＝∠BOC
∵∠AOB＝120° ∴∠AOC＝60°
∵OA＝OC ∴△AOC是等边三角形
∴AC＝OA ∴OB＝OA＝AC＝BC
∴四边形OACB是菱形.
四、当堂训练
1.如图，AB、CD是⊙O的两条弦.
（1）如果，那么 ， ∠COD ；
（2）如果，那么 CD ， ∠COD ；
（3）如果∠AOB＝∠COD，那么 CD ， ；
（4）如果，，OF⊥CD，垂足分别为E、F.OE与OF相等吗 为什么
解： 理由：∵ OE⊥AB ，OF⊥CD
∴ AE＝AB ， CF＝CD ，∠AEO＝∠CFO＝90°
∵ AB＝CD 　∴ AE＝CF
∵ OA＝OC ∴Rt△AOE≌Rt△COF（HL）∴ OE＝OF .
2.如图，AB是⊙O的直径，，∠COD，求∠AOE.
解：∵＝＝ ∴∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE
∵∠COD＝35°∴∠BOE＝3∠COD＝105°
∴∠AOE ＝180°－∠BOE＝75°.
五、课堂小结
圆心角、弧、弦之间的关系：（注：“在同圆和等圆中”不能省略）
1.在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；
2.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，
所对的弦相等；
3.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，
所对的优（劣）弧相等．
六、课堂小测
1.如图，在⊙O中，＝，∠C＝75°，求∠A的度数.
解：∵＝ ∴ AB＝AC
∴∠B＝∠C＝75°
∴∠A＝180°－（∠B＋∠C）＝180°－（75°＋75°）＝30°.
2.如图，在⊙O中，AD＝BC，比较与的长度，并说明理由.
解：＝ .
理由：∵AD＝BC ∴＝
∴+＝+ ∴ ＝.
七、作业布置
课时训练P65-66基础必做、中档运用 选做题：P66
八、教学反思
24.1.4 圆周角（1）
教学目标 理解圆周角的概念，探索圆周角定理，会用圆周角定理进行简单的论证和计算.
重点 探索圆周角定理，会用圆周角定理进行简单的论证和计算.
难点 分情况证明圆周角定理.
教学过程
一、问题情境
1. 足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈进行
无人防守的射门训练.如图，甲，乙两名运动员分别
在C、D两处，他们争论不休，都说在自己所在的
位置对球门AB的张角大，如果你是教练，请评一评
他们两个人谁的位置对球门AB的张角大？
师生活动：学生动手画图、度量并猜想，∠ADB和∠ACB相等.教师也可以利用《几何画板》进行演示，在圆弧上拖动点D和点C的位置，发现∠ADB和∠ACB的度数不变.
追问1：如图，∠ACB的顶点和边有哪些特点
师生活动：学生观察图形，教师引导学生结合图形认识到，∠ACB的顶点在⊙O上，角的两边分别交⊙O于A、B两点.教师进而指出，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角，叫做圆周角.圆周角与圆心角都是与圆有关的角.
二、新知形成
1.如图，∠ACB是圆周角，作出AB所对的圆心角∠AOB， 分别测量∠ACB和∠AOB的度数，它们之间有什么关系
师生活动：学生画图，连接OA，OB，得到圆心角∠AOB.教师指出∠ACB 和∠AOB都对着弧AB，然后提出以下问题.
追问1：图中∠ACB和∠AOB有怎样的关系
师生活动：学生通过观察、度量、猜想，
发现一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
追问2：在⊙O上任取一条弧，作出这条弧所对的圆周
角和圆心角，测量它们的度数，你能得出同样的结论吗
师生活动：除学生动手画图、度量并验证猜想外，教师也可以利用《几何画板》进行演示，从更广泛的角度验证猜想.
2.如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
追问3：在圆上任取BC，画出圆心角∠BOC和圆周角∠BAC，圆心与圆周角有几种位置关系
师生活动：学生动手画图、交流、思考，得到圆心与圆周角的三种位置关系，如图，圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部.
追问4：要得出一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，那么以上述三种情况我们都必须要证明.我们先选择其中的第一种情况进行证明.那么如何证明呢
师生活动：由同圆半径相等可知，OC=OA，所以∠A=∠C，根据定理“三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和”可得∠BOC=∠C+∠A，所以∠BOC=2∠A.即同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.
追问5：当圆心在圆周角的一边上的时候，圆周角∠BAC的边AB部分就是⊙O的直径，因此给证明思路的寻找带来了不少方便，当圆心不在圆周角的边上时，比如在角的内部，又该如何证明呢
师生活动：连接AO并延长交⊙O于点D，可以转化为第一种情况的证明，即如果作过点A的直径AD，那么由（1）中的结论可知：
∠BAD=∠BOD，∠CAD=∠COD，两式相加即可得到∠BAC=∠BOC.
学生独立完成最后一种情况的证明，并交流自己的证明思路.
通过上面的证明，我们得到：同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.其实，等弧的情况下该命题也是成立的.
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.
追问6：一条弧可以对着不同的圆周角，这些圆周角之间有什么关系 也就是说，同弧或等弧所对的圆周角之间有什么关系
师生活动：学生回忆课前情景，先观察、猜想，根据定理得到推论：同弧或等弧所对的圆周角相等.
三、例题分析
1. 如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ AOB＝2∠BOC .
求证：∠ACB＝2∠BAC .
证明：∵∠AOB ，∠ACB所对的弧为
∴∠AOB＝2∠ACB
同理，得∠BOC＝2∠BAC
∵∠AOB＝2∠BOC ，∴∠ACB＝2∠BAC .
2. 如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD把它的4个内角分成8个角，这些角中哪些相等？
解：∠1＝∠4，∠2＝∠7，∠3＝∠6，∠5＝∠8.
理由：同弧所对的圆周角相等.
四、当堂训练
1.判断下列图形中的角是不是圆周角，是的请打“√”，不是的请打“×”.
（ × ） （ × ） （ √ ） （ × ） （ × ）
2.如图，△ABC的三个顶点在⊙O上，∠C＝30°，AB＝2cm，求⊙O的半径长.
解：∵＝
∴∠AOB＝2∠C＝60°
∵OA＝OB
∴△OAB是等边三角形
∴半径OA＝AB＝2cm
3.如图，AB是☉O的直径，点C，D是☉O上的两点，且AC＝CD.求证：OC∥BD.
证明：∵AC＝CD，
∴.
∴∠ABC＝∠DBC.
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠ABC.
∴∠OCB＝∠DBC.
∴OC∥BD.
五、课堂小结
1.本节课学习了哪些主要内容
2.我们是怎样探究圆周角定理的 证明过程中用到了哪些思想方法
六、课堂小测
1. 如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，判断△ABC的形状，并证明你的结论.
解：△ABC是等边三角形.
证明：∵∠APC＝∠CPB＝60°
∴∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠CPB＝60°
∴∠ABC＝∠BAC＝60°
∴∠ACB＝60°
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB
∴△ABC是等边三角形.
2.如图，在⊙O中，半径OA ⊥弦BC，∠AOB＝50°，点D在优弧BC上.求∠ADC的度数.
解：连接OC.
∵ OB＝OC ，OA ⊥ BC
∴∠AOC＝∠AOB＝50°
∵＝
∴∠ADC＝∠AOC＝25°.
七、作业布置
课时训练P65-66基础必做、中档运用 选做题：P66
八、教学反思
24.1.4 圆周角（2）
教学目标 掌握圆周角定理的推论及其运用；理解圆内接多边形等有关概念，及掌握圆内接四边形对角互补的性质及其运用.
重点 圆周角定理的推论与圆内接四边形对角互补的探究及运用.
难点 圆周角定理推论的灵活运用及辅助线的添加.
教学过程
一、问题情境
1.上节课，我们学习了圆周角的有关概念及圆周角定理.提问：
（1）圆周角定理的内容是什么？
（一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.）
（2）同弧或等弧所对的圆周角有什么关系？
（根据圆周角定理，可推出同弧或等弧所对的圆周角相等.）
2.如图，用直角曲尺检查制作成半圆形的工件，则合格的工件是（ D ）
A B C D
师生活动：实例感受特殊的圆弧——半圆，它所对的圆周角是直角.
二、新知形成
1.如图，为什么半圆所对的圆周角是直角？
师生活动：教师引导学生说出其原因，半圆是一个
所对圆心角为平角（180°）的弧，这个弧所对的圆
周角等于圆心角的一半，因此半圆所对的圆周角等于
90°，即为直角.
追问1：如果一条弧所对的圆周角是90°，那么这条弧所对的圆心角是什么样的角呢？
师生活动：通过分析发现，如果一条弧所对的圆周角是90°，那么这条弧所对的圆心角是180°.归纳：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
2.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.圆内接四边形的对角有什么关系呢？
师生活动：连接OA，OC.利用圆周角定理可以得出：
，同理，.
归纳：圆内接四边形的性质——圆内接四边形对角互补.
三、例题分析
例1.如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O与点D，求BC，AD，BD的长.
解：如图，连接OD.
∵AB是直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°.
在Rt△ABC中，.
∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠AOD＝∠BOD， ∴AD＝BD.
又在Rt△ABD中，
，
∴.
例2.如图，OA，OB，OC都是☉O的半径，∠ACB＝2∠BAC.
（1）求证：∠AOB＝2∠BOC；
（2）若AB＝4，BC＝，求☉O的半径.
（1）证明：∵∠ACB＝∠AOB，∠BAC＝∠BOC，
又∠ACB＝2∠BAC，
∴∠AOB＝2∠BOC
（2）解：如图，过点O作半径OD⊥AB于点E，
交☉O于点D，则AE＝BE. 连接BD.
∵∠AOB＝2∠BOC，∠DOB＝∠AOB
∴∠DOB＝∠BOC. ∴BD＝BC
∵AB＝4，BC＝， ∴BE＝2，BD＝
在 Rt△BDE 中，DE＝＝1
在Rt△BOE中，OB2＝(OB－1)2＋22
解得OB＝，即☉O的半径是.
四、当堂训练
1.如图，你能用三角尺确定一张圆形纸片的圆心吗？有几种方法？与同学交流一下.
解：把三角尺的直角顶点放在圆上，让三角尺的两条
直角边与圆相交于两个点，连接这两个交点，得到一条
线段，这条线段就是圆的一条直径.再把三角尺的直角
顶点放在圆上的另一个位置，重复刚才的操作，得到
另一条直径，两条直径的交点就是圆心.
2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点.若∠B＝110°，求∠ADE的度数.
解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠B＋∠ADC＝180°
∵∠ADE ＋∠ADC＝180° ∴∠ADE ＝∠B
∵∠B＝110° ∴∠ADE ＝110°.
五、课堂小结
1.同弧或等弧所对的圆周角有什么关系
2.圆周角定理的推论是什么
3.圆内接多边形的有关概念及圆内接多边形的性质.
六、课堂小测
1.求证：圆内接平行四边形是矩形.（根据题意画出图形，写出已知、求证并证明）
已知：如图， ABCD内接于⊙O.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠A＝∠C
∵四边形ABCD内接于⊙O
∴∠A＋∠C＝180°
∴∠A＝90° ∴平行四边形ABCD是矩形.
2.如图，铁路和公路在点处交汇，，在点处有一栋居民楼，．如果火车行驶时，周围以内会受到噪声的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向行驶时，居民楼是否受到噪声的影响？如果火车行驶的速度为，居民楼受噪声影响的时间约为多少秒（结果保留小数点后一位）？（参考数据：，
解：过点A作，
，，
，
居民楼会受到噪音的影响；
过点作，
， ，
在中，，
，
火车行驶的速度为， ．
答：居民楼受噪音影响的时间约为4.8秒．
3. 如图，一个海港在范围内是浅滩.为了使深水船只不进入浅滩，需
要测量船所在的位置与两个灯塔的视角∠XPY ，并把它与已知的危险角
∠XZY（ QUOTE 上任意一点 Z 与两个灯塔所成的角）相比较，航行中保持
∠XPY＜∠XZY . 你知道这样做的道理吗？
解：延长YZ交PX于点Q
当点P在 QUOTE 所在的圆外时，有
∠XPY＜∠XQY＜∠XZY
即∠XPY＜∠XZY
∴只要航行中保持∠XPY＜∠XZY，
就会保证点 P在所在的圆外，
也就保证船不进入浅滩.
七、作业布置
课时训练P65-66基础必做、中档运用 选做题：P66
八、教学反思
24.2.1 点与圆的位置关系（1）
教学目标 掌握点与圆的三种位置关系及这三种位置关系对应圆的半径r与点到圆心的距离d之间的数量关系.
重点 点与圆的几种位置关系及用数量关系表述点与圆的位置关系.
难点 理解点和圆的位置关系及点到圆心的距离与半径的大小关系.
教学过程
一、问题情境
1.我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为我国赢得荣誉.你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？
师生活动：引导学生把实际问题转化
为数学问题，靶上有圆，这些圆圆心相
同，半径不同，称为同心圆.击中的位置
看作一些点，点的不同位置决定了环数.
二、新知形成
1.观察图形，这些点与圆有哪些位置关系？
追问1：点与圆的位置与这些点与圆心的距离有何关系？
师生活动：让学生自己观察、分类、探究，学生不难得出：
如图，设⊙O的半径为r，
点A在圆内，则OA＜r；点B在圆上，则OAr；
点C在圆外，则OC＞r.
追问2：反过来，由数量关系——点与圆心的距离，是否可以确定图形——点与圆的位置关系？
师生活动：引导学生总结，教师板书得出：
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
点P在圆外d＞r；点P在圆上d＝r；点P在圆内d＜r.
说明：符号读作：等价于，它表示从符号的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端.
三、例题分析
例 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，点D是AB的中点，以A为圆心，以3cm为半径画圆.请判断：
（1）点C与⊙A的位置关系；
（2）点B与⊙A的位置关系；
（3）点D与⊙A的位置关系.
解：，，，
，，，
（1），点C在⊙A上；
（2），，点B在⊙A外；
（3），，点D在⊙A内．
四、当堂训练
1. 画出由所有到已知点O的距离大于或等于1cm，
并且小于或等于2 cm的点组成的图形.
解：图中的圆环（阴影部分）为所求的图形.
2.体育课上，小明和小丽的铅球成绩分别是和，他们投出的铅球分别落在图中哪个区域内？
解：，
小明投出的铅球落在区域6—7之间；
，
小丽投出的铅球落在区域5—6之间．
五、课堂小结
点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，
则有：点P在圆外d＞r；点P在圆上d＝r；点P在圆内d＜r.
六、课堂小测
1. ⊙ O的半径为10 cm，根据下列点P到圆心O的距离，判断点P和⊙O的位置关系：
（1）OP＝8 cm时，点P在⊙O 内 ；
（2）OP＝10 cm时，点P在⊙O 上 ；
（3）OP＝12 cm时，点P在⊙O 外 .
2.如图，在矩形 ABCD 中，AB＝2，AD＝1，以顶点D为圆心作半径为 r 的圆.若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，求r的取值范围.
解：连接BD.
∵四边形ABCD是矩形 ∴∠A＝90°，CD＝AB＝2
∴ BD＝＝＝
∴ DA＜DC＜DB
∵顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外
∴ DA＜r＜DB ，即1＜r＜.
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC ＝5，M为AB的中点.以点C为圆心，4为半径作⊙C，试分别判断点A，B，M与⊙C 的位置关系.
解：在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝5
∴ AB＝＝＝
∵ M为AB的中点 ∴CM＝AB＝
∵⊙C的半径为4 ∴AC＝4，则点A在圆上；
BC＝5＞4，则点B在圆外； CM＝＜4，则点M在圆内.
4. 已知AB长为2 cm，画半径为1.2 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能作出多少个？半径为1 cm呢？半径为0.5 cm呢？若能，请画出图形.
解：如图，当半径为1.2 cm时，这样的圆能画出2个；
当半径为1 cm时，这样的圆只能画出1个；
当半径为0.5 cm时，这样的圆不存在.
七、作业布置
课时训练P65-66基础必做、中档运用
选做题：P66
八、教学反思
24.2.1 点与圆的位置关系（2）
教学目标 理解不在同一条直线上的三个点确定一个圆；了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形、反证法等概念.
重点 理解并掌握确定圆的条件及利用其作圆；了解反证法等概念.
难点 反证法的引入及确定圆的条件的准确理解.
教学过程
一、问题情境
1. 如图，是一个残破的圆轮，李师傅想要再浇铸一个同样大
小的圆轮，你能想办法帮李师傅的忙吗？
问题：要浇铸一个同样大小的圆，实际上就是要找到此圆弧
的圆心和半径，怎样才能找到圆弧的圆心？
师生活动：以问题情境引起学生思考确定一个圆的关键就是确定圆心的位置和半径的大小，那么确定一个圆的条件是什么？
二、新知形成
1.我们知道，已知圆心和半径，可以作一个圆.经过一个已知点A能不能作圆，这样的圆你能作出多少个？经过两个已知点A，B能不能作圆？如果能，圆心分布有什么特点？
师生活动：作圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小.对于经过已知点作圆的问题，当圆心确定后，半径也就随之确定，这时作圆的问题就转化为确定圆心的问题.因此，经过一个点A作圆，只要以点A以外任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径就可以作出，这样的圆有无数个.经过两点A、B作圆，由于所作圆的圆心到A、B两点的距离相等，所以圆心在线段AB的垂直平分线上，这样的圆也可以作出无数个.
追问1：经过不在同一条直线上的三个点 A，B，C 能不能作圆？
如果能，如何确定所作圆的圆心？
师生活动：对于经过不在同一条直线上的三点作圆的问题，因为所求的圆要经过 A，B，C 三点，所以圆心到这三点的距离要相等.因此，这个点既要在线段AB 的垂直平分线上，又要在线段 BC的垂直平分线上.如图，分别作出线段AB 的垂直平分线l1 和线段BC的垂直平分线l2 ，设它们的交点为O，则OA＝OB＝OC.于是以点 O 为圆心，OA（或 OB，OC）为半径，便可作出经过 A，B，C 三点的圆.因为过 A，B，C 三点的圆的圆心只能是点O，半径等于OA，所以这样的圆只有一个，即不在同一条直线上的三个点确定一个圆.由图可以看出，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.
追问2：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？
师生活动：如图，假设经过同一条直线 l上的 A、B、C
三点可以作一个圆.设这个圆的圆心为 P，那么点 P 既
在线段 AB 的垂直平分线 l1 上，又在线段 BC 的垂直平分线 l2 上，即点 P 为 l1 与 l2 的交点，而 l1 ⊥l，l2 ⊥l，这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.所以，经过同一条直线上的三个点不能作圆.上面证明的方法与我们以前学过的证明不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立（即假设经过同一条直线上的三个点可以作一个圆），由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立.这种方法叫做反证法.
追问3：在某些情形下，反证法是很有效的证明方法.例如，你可以用反证法证明平行线的性质“两直线平行，同位角相等”吗？
师生活动：如图，我们要证明：如果 AB//CD，
那么 ∠1＝∠2.假设 ∠1≠∠2，过点 O 作直线 A′B′，
使 ∠EOB′＝∠2.根据“同位角相等，两直线平行”，
可得 A′B′//CD.这样，过点 O 就有两条直线 AB，
A′B′ 都平行于 CD，这与平行公理“经过直线外一点，
有且只有一条直线与这条直线平行” 矛盾. 这说明假设
∠1≠∠2不正确，从而∠1＝∠2.
三、例题分析
例1.如图，是一个残破的圆轮,李师傅想要再浇铸一个同样大小的圆轮,你能想办法帮李师傅的忙吗？
答：能.图中OD就是所求的半径. 理由：因为圆心
到圆上任意两点的距离都相等，所以圆心在圆的任
意一条弦的垂直平分线上，所以只要画任意两条不
平行弦的垂直平分线，它们的交点就是圆心，从而
能确定轮子的半径.
例2.在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，
求△ABC外接圆半径的长.
解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∵ AB＝AC
∴ BD＝CD＝BC＝4
∴△ABC外接圆的圆心O在AD上
连接OB
在Rt△ABD中，AD＝＝＝3
设△ABC外接圆半径为r，则OB＝r，OD＝3-r
在Rt△OBD中，OB 2＝OD 2＋BD 2
∴ ，解得 r ＝
即△ABC外接圆半径的长为 .
四、当堂训练
1. 如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心？并说明理由.
答：改变工具的位置，画出两条不同位置的直线CD，它们的交点就是
圆心.
理由：∵ A，B两点在圆上
∴圆心到 A，B两点的距离相等
∴圆心在线段AB的垂直平分线上
∴圆心在直线CD上
∴两条不同位置的直线CD交点即为圆心.
2. 如图，分别作出锐角三角形、直角三角形
和钝角三角形的外接圆，它们外心的位置有什么特点？
答：锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边中点，钝
角三角形的外心在三角形外.
3. 请将下面运用反证法进行证明的过程补全.
已知：在△ ABC中，AB＝AC . 求证：∠B＜90°.
证明：假设 ∠ B ≥90° ，
∵ AB＝AC ， ∴∠B＝∠C≥90°，
∴∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与 三角形的内角和等于180°　 相矛盾，
∴ 假设 不成立，
∴∠B＜90°.
五、课堂小结
1.过一点、二点、三点的圆分别可以画多少个？
2.确定圆的条件的是什么？
3.弄清三角形的外接圆、外心、圆的内接三角形及反证法等概念.
六、课堂小测
1.“已知a2＝b2，a＞0，b＞0，求证：a＝b”.若用反证法证明，
则应假设( B )
A.a＝b B.a≠b C.a2＝b2 D.a2≠b2
2.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，
点B在y轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，
∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是( B )
A.( QUOTE ，1) B.(－ QUOTE ，1)
C.(－1， QUOTE ) D.(－2，2 QUOTE )
七、作业布置
课时训练P65-66基础必做、中档运用 选做题：P66
八、教学反思
24.2.2 直线和圆的位置关系（1）
教学目标 掌握直线与圆的三种位置关系并了解相应的有关概念；掌握直线与圆的三种位置关系的判定方法和性质.
重点 直线与圆的三种位置关系及其判定方法和性质.
难点 如何通过数量关系准确判断直线与圆的位置关系.
教学过程
一、问题情境
1.（课件放映太阳升起的过程）在太阳升起的过程中，
太阳和地平线会有几种位置关系？如果我们把太阳
看作一个圆，把地平线看作一条直线，由此你能得出
直线和圆的位置关系吗？
师生活动：学生通过观察、分析，抽象出几何图形，
太阳是圆，地平线是直线，为后续学习埋下伏笔.
二、新知形成
1.在纸上画一条直线l，把钥匙环看作一个圆.在纸上移动钥匙环，你能发现在移动钥匙环的过程中，它与直线l的公共点个数的变化情况吗？
师生活动：学生操作后，得出三种情况：两个公共点，一个公共点，没有公共点. 教师讲述概念，直线与圆有两个公共点时，称这条直线与圆相交，这条直线叫圆的割线，两个公共点叫做直线与圆的交点.直线与圆有一个公共点时，称这条直线与圆相切，这条直线叫圆的切线，这个点叫切点.直线与圆没有公共点时，称这条直线与圆相离.
2.回顾点与圆的位置关系，是如何利用数量关系来判断位置关系的？
师生活动：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外d＞r；点P在圆上d=r；点P在圆内d＜r.
追问1：联系点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系与圆心到直线的距离与半径的大小又有怎样关系？
师生活动：教师引导学生由图形联想到数量关系，得出：
如图，设⊙O的半径为r，直线l到圆心O的距离为d，
直线l与⊙O相交，则d＜r；
直线l与⊙O相切，则d=r；
直线l与⊙O相离，则d＞r.
追问2：反过来，能否由d与r的数量关系联想到圆与直线的位置关系？
师生活动：学生观察、分析图形，得出d＜r，则直线l与⊙O相交；
d r，则直线l与⊙O相切；d＞r，则直线l与⊙O相离.
师生归纳得出：设⊙O的半径为r，直线l到圆心O的距离为d，
直线l与⊙O相交d＜r；
直线l与⊙O相切d=r；
直线l与⊙O相离d＞r.
教师总结：判断直线与圆相切的方法：①定义；②d与r的大小关系.
三、例题分析
例1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10 cm，BC＝16 cm，判断以点A为
圆心，下列r为半径的⊙A与直线BC的位置关系：
（1）r＝5 cm；　　　（2）r＝6 cm；　　　（3）r＝7 cm.
解：过点A作AD ⊥ BC，垂足为点D.
∵ AB＝AC，BC＝16 ∴ BD＝BC＝8
在Rt△ ABD中， AD＝＝＝6（cm）
即圆心A到直线BC的距离d为6 cm
（1）当 r＝5cm时，d＞r ∴⊙A与直线BC相离；
（2）当r＝6cm时，d＝r ∴⊙A与直线BC相切；
（3）当r＝7cm时，d＜r ∴⊙A与直线BC相交.
四、当堂训练
1.已知⊙O的直径为13 ，圆心O到直线的距离为.
若，则与⊙O有 2 个公共点，这时与⊙O的位置关系是 相交 ；
若，则与⊙O有 1 个公共点，这时与⊙O的位置关系是 相切 ；
若，则与⊙O有 0 个公共点，这时与⊙O的位置关系是 相离 .
五、课堂小结
1.直线与圆的三种位置关系的相关概念；
2.直线与圆的三种位置关系：直线l与⊙O相交d＜r；
直线l与⊙O相切d=r；直线l与⊙O相离d＞r.
3.判断直线与圆相切的方法：①定义；②d与r的大小关系.
六、课堂小测
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，判断以点C为圆心，下列r为半径的⊙C与AB的位置关系：
（1）r＝2 cm；　　　（2）r＝2.4 cm；　　　（3）r＝3 cm.
解：过点C作CD⊥AB于点D.
在Rt△ABC中，∠ACB＝90° ∴AB＝＝＝5
∵S△ABC＝AB · CD＝AC · BC ∴AB · CD＝AC · BC
∴CD＝＝＝2.4（cm）
（1）当r＝2cm时，CD＞r ∴AB与⊙C相离；
（2）当r＝2.4cm时，CD＝r ∴AB与⊙C相切；
（3）当r＝3cm时，CD＜r ∴AB与⊙C相交.
七、作业布置
课时训练P65-66基础必做、中档运用 选做题：P66
八、教学反思
24.2.2 直线和圆的位置关系（2）
教学目标 掌握直线与圆相切的判定方法和性质，能运用相关知识进行计算与证明.
重点 切线的判定定理和性质定理的理解及其运用.
难点 切线的判定定理和性质定理的灵活运用.
教学过程
一、问题情境
1.生活中下雨天当你快速转动雨伞时飞出的水珠，在砂轮上打磨工件时飞出的火星，都是沿着圆的切线方向飞出的，怎样的直线是圆的切线？
师生活动：学生通过情境感受切线的现实意义，并引发思考.
二、新知形成
1.如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线
l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O
有什么位置关系？
师生活动：教师启发学生用上一节课所学知识——切线
的判定方法来判断直线l是⊙O的切线. 教师引导学生发
现判定直线l是切线需要两个条件：①OA是半径；②OA⊥l于点A.这样我们得到，切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
追问1：将上面思考的问题反过来，如图，如果直线 l是⊙O的切线，切点为 A，那么半径 OA 与直线 l 是不是一定垂直呢？
师生活动：容易得出OA⊥l，进而得到，切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.这个定理可以通过反证法证明，留给学生课后思考.
三、例题分析
例1.如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是⊙O的切线.
证明：如图，过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD、OA.
∵ ⊙O与AB相切于点D， ∴ OD⊥AB.
又 △ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴ AO是∠BAC的平分线. ∴ OE＝OD，
∵ OE⊥AC ∴OE是⊙O的半径.
这样，AC经过⊙O的半径OE的外端E，并且垂直于半径OE，所以AC与⊙O相切.
例2.如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB是小圆的切线，
点P为切点.求证：AP＝BP.
证明：连接OP
∵ AB 是小圆的切线 ∴ OP ⊥ AB ∴ AP＝BP .
四、当堂训练
1. 如图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB.
求证：AT是⊙O的切线.
证明：∵ AB＝AT，∠ABT＝45°
∴∠ATB＝∠ABT＝45°
∴∠TAB＝180°－∠ATB－∠ABT＝90°
∴ AT⊥AB
∵ AB是⊙O的直径 ∴ AT是⊙O的切线.
2. 如图，AB是⊙O的直径，直线l1，l2是⊙O的切线，A，B为切点，l1，l2有怎样的位置关系？证明你的结论.
答：l1∥l2.
证明：∵ AB是⊙O的直径，
直线l 1，l 2是⊙O的切线，A，B为切点.
∴ l1⊥ AB ， l2⊥ AB ∴∠1＝90°，∠2＝90°
∴∠1＋∠2＝180° ∴ l1∥ l2.
五、课堂小结
1.切线的判定定理和性质定理；
2.圆的切线有哪些判定方法？有哪些区别？
六、课堂小测
1.如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，
CA=CB，求证：直线AB是⊙O的切线.
证明：连接OC.
∵ OA＝OB，CA＝CB ∴ OC⊥AB
∵ OC是⊙O的半径 ∴直线AB是⊙O的切线.
2. 如图，一个油桶靠在直立的墙边，量得WY＝0.65m，并且XY⊥WY，这个油桶的底面半径是多少？为什么？
答：这个油桶的底面半径是0.65 m.
理由：设油桶底面圆的圆心为O，连接OX，OW.
∵YX，YW分别切⊙O于X，W ∴OX⊥YX，OW⊥YW
∵YX⊥YW ∴∠OXY=∠OWY=∠WYX=90°
∴四边形OXYW是矩形
∵OX＝OW ∴四边形OXYW是正方形
∴OW＝WY＝0.65 m.
3. 如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D. 求证：AC平分∠DAB .
证明：连接OC
∵DC切⊙O于点C ∴OC⊥CD
∵AD⊥CD ∴∠OCE＝∠ADC＝90°
∴OC∥AD ∴∠DAC＝∠OCA
∵OC＝OA ∴∠OAC＝∠OCA
∴∠DAC＝∠OAC ∴AC平分∠DAB .
七、作业布置
课时训练P65-66基础必做、中档运用 选做题：P66
八、教学反思
24.2.2 直线和圆的位置关系（3）
教学目标 掌握切线长定理，学会运用切线长定理进行计算与证明；了解有关三角形的内切圆和三角形的内心等概念.
重点 切线长定理和内心的定义及其运用.
难点 切线长定理的灵活运用.
教学过程
一、问题情境
1.一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形用料，使圆的面积尽可能大？
师生活动：引导学生把实际问题转化成数学问题：三角形中画一个圆，使圆尽可能大.学生探究后发现，当圆与三角形三边都相切时，这个圆最大.
追问1：怎样才能作出与三边都相切的圆？
师生活动：引起学生思考并尝试.
二、新知形成
1.请学生按步骤操作：
（1）在一张透明的纸上画⊙O及⊙O上一点A，过点A画⊙O的切线AP.
（2）画射线PO，沿着直线PO将纸对折，用顶针确定与点A重合的点，记为点B.
（3）画射线PB，连接OB.
（4）请学生观察并思考：OB是⊙O的半径吗？PB是⊙O的切线吗？为什么？图中你能发现哪些结论
师生活动：引导学生利用圆的轴对称性说明OB是⊙O的半径，PB是⊙O的切线，鼓励学生自主发现图中的结论.从学生发现的众多结论中，选择PA=PB，教师讲述切线长的概念， 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.并指出：切线与切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量，指的是“图形”.而切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量，指的是“数量”.请学生说理证明PA=PB，∠APO=∠BPO，学生说理，教师板书过程.
证明：如图，连接 OA 和 OB.
∵ PA 和 PB 是 OO 的两条切线，
∴ OA⊥AP， OB⊥BP.
又 OA＝OB，OP＝OP.
∴ Rt△AOP Rt△BOP.
∴ PA＝PB，∠APO＝∠BPO.
请学生用文字语言叙述得到的结论，板书切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
2.解决课前提出的实际问题.教师提出问题，引导学生思考：
（1）与三角形三边都相切的圆是否存在？
（2）假如存在，圆心在哪？如何找到圆心？
师生活动：引导学生发现圆心到三边的距离都等于半径，圆心就是三条角平分线的交点，只需画出两条角平分线即可.师生共同画出三角形的内切圆，并讲述三角形的内切圆、内心、外切三角形的概念.
作图过程：如图，分别作∠B、∠C的平分线BM和CN相交于点I，那么点I到AB、BC、CA的距离都相等.以点I为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与△ABC的三条边都相切，圆I就是所求作的圆.内切圆和内心的定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.引导学生从文字与意义上区分“内切圆”与“外接圆”的概念.
追问1：直角三角形与钝角三角形的内切圆存在吗？
师生活动：请学生画出直角三角形、钝角三角形的内切圆.
三、例题分析
例1.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9，BC=14，CA=13，求AF、BD、CE的长.
解：设AF=x，则AE=x，CD=CE=AC-AE＝13-x，
BD=BF=AB-AF＝9-x.
由BD+CD=BC，可得（13-x）+（9-x）=14.
解得x=4.因此AF=4，BD=5，CE=9.
变式：如图，把△ABC改为直角三角形，已知BC＝a，AC＝b，AB=c，求内切圆的半径r.
解：∵⊙O是Rt△ABC的内切圆
∴OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，
OD＝OE＝OF＝r
∴∠ACB＝∠OFC＝∠ODC＝90°
∴四边形OFCD是矩形
∵OF＝OD ∴矩形OFCD是正方形 ∴CF＝CD＝OD＝r
∴AF=AE=AC-CF＝b-r，BD=BE=CB-BD＝a-r.
由AE+EB=AB，可得（b-r）+（a-r）=c. 解得.
四、当堂训练
1.如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝75°，
点O是△ABC的内心，求∠BOC的度数.
解：∵点O是△ABC的内心 ∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB
∴∠OBC＝∠ABC＝×50°＝25°，
∠OCB＝∠ACB＝×75°＝37.5°，
∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝117.5°.
2. 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且⊙O的半径为r，△ABC的周长为l，求△ ABC的面积.（用含l，r的代数式表示）
解：连接OA，OB，OC，OD，OE，OF
根据题意可知：OE⊥AC，OF⊥AB，OD⊥BC
∵ OD＝OE＝OF＝r，AB＋BC＋AC＝l
∴ S △ ABC ＝S △ OBC＋S △ OAC＋S △ OAB
＝BC · OD＋AC · OE＋AB · OF
＝r（BC＋AC＋AB）＝rl .
五、课堂小结
1.切线长定理；2.三角形的内切圆、内心的概念.
六、课堂小测
1.一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是25 cm.
（1）如果UV＝28 cm，VT是多少？
（2）如果∠UVW＝60°，VT是多少？
解：（1）∵UV切⊙T于U ∴∠TUV＝90
∴ VT＝＝＝（cm）
（2）∵ UV，VW分别切⊙T于U，W
∴ VT平分∠UVW，TU⊥UV
∴∠UVT＝∠UVW＝30°，∴ VT ＝2 UT ＝50（cm）.
2. 如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，
∠BAC＝25°，求∠P的度数.
解：∵PA，PB是⊙O的切线
∴OA⊥PA，PA＝PB
∴∠OAP＝90°，∠PAB＝∠PBA
∵∠BAC＝25°　
∴∠PAB＝∠PBA＝∠OAP－∠BAC＝65°
∴∠P＝180°－∠PAB－∠PBA＝50°.
3. 如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB∥CD，
BO＝6 cm，CO＝8 cm，求BC的长.
解：∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G
∴∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠DCB
∴
∵ AB∥CD 　∴∠ABC＋∠BCD＝180°
∴∠CBO＋∠BCO＝90° ∴∠BOC＝90°
∵BO＝6，CO＝8　
∴BC＝＝10（cm）.
七、作业布置
课时训练P65-66基础必做、中档运用 选做题：P66
八、教学反思
24.2 实验与探究 圆和圆的位置关系
教学目标 了解圆和圆的位置关系及简单的运用；探索圆和圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径间的数量关系.
重点 探索并了解圆和圆的位置关系．
难点 探索圆和圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径的数量关系．
教学过程
一、问题情境
1.点和圆有几种位置关系？直线和圆有几种位置关系？如何识别？
追问1：两个圆的位置关系又如何呢？
追问2：圆和圆的各种位置关系在生活中随处可见，你还能再举出一些例子吗
师生活动：通过复习巩固旧知，同时引起学生思考两圆的位置关系.通过观察和分析，发现两圆的位置关系的各种情况，为后续学习铺垫.
二、新知形成
1.观察两个半径不同的、，固定其中一个而移动另一个的过程中，会出现几种不同的位置关系？
（1）根据观察，请你摆出和的几种不同的位置关系；
（2）你能否根据两圆公共点的个数类比直线和圆的位置关系定义，给出两圆位置关系的定义吗？
师生活动：引导学生根据圆和圆的位置关系，猜测出两圆的圆心距与两圆半径之间的数量关系，再利用刻度尺进行测量，验证猜想．
归纳：两圆外离d＞R+r；两圆外切d＝R+r；
两圆相交R-r＜d＜R+r；两圆内切d＝R-r.
（两圆只有一个公共点，称两圆相切，相切包括内切与外切两种情况）
两圆内含d＜R-r（同心圆是两圆内含的特殊情况）
追问1：圆是轴对称图形，两个圆是否也组成轴对称图形呢？如果能组成轴对图形，那么对称轴是什么？
师生活动：两圆的各种位置关系所构成的图形都是轴对称图形，其对称轴是连心线.
三、例题分析
例1. ⊙O 1和⊙O 2的半径分别为3 cm和4 cm，如果O 1 O 2满足下列条件，
⊙O 1和⊙O 2各有什么位置关系？
（1）O1O2＝8 cm时，⊙O 1和⊙O 2 外离 ；
（2）O1O2＝7 cm时，⊙O 1和⊙O 2 外切 ；
（3）O1O2＝5 cm时，⊙O 1和⊙O 2 相交 ；
（4）O1O2＝1 cm时，⊙O 1和⊙O 2 内切 ；
（5）O1O2＝0.5 cm时，⊙O 1和⊙O 2 内含 ；
（6）O1O2＝0时，⊙O 1和⊙O 2 内含（同心） .
四、当堂训练
1.已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为R1和R2，且R1＝2，O1 O2＝7，
若⊙O1与⊙O2相切，求R2的值.
解：当⊙O1与⊙O2外切时，O1O2＝R1＋R2
∴2＋R2＝7　解得R2＝5
当⊙O1与⊙O2内切时，O1O2＝R2－R1
∴ R2－2＝7　解得R2＝9
综上所述，R2的值为5或9.
2. 如图，⊙O1，⊙O2，⊙O3两两外切，⊙O1的半径r1＝1，⊙O2的半径r2＝2，⊙O3的半径r3＝3，试判断△O1O2O3的形状.
解：∵⊙O1与⊙O2相外切
∴ O1O2＝r1＋r2＝3
同理，得O1O3＝4，O2O3＝5
∴＝32＋42＝25＝
∴∠O2O1O3＝90°
即△O1O2O3是直角三角形.
五、课堂小结
1.圆与圆的位置关系的几种情况；
2.圆和圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径的数量关系.
六、课堂小测
1. 如图，等圆⊙O 1和⊙O 2相交于A ，B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，连接O1 A，AB，求∠O1 AB的度数.
解：连接O1O2，O1B，O2B
由题意可知O1O2＝O1B＝O2B
∴△O1O2B是等边三角形
∴∠O1O2B＝60°
∴∠O1AB＝∠O1O2B＝30°.
七、作业布置
课时训练P65-66基础必做、中档运用 选做题：P66
八、教学反思
24.3 正多边形和圆（1）
教学目标 了解正多边形与圆的关系；了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念．
重点 探索正多边形与圆的关系，了解正多边形的有关概念并计算．
难点 探索正多边形与圆的关系．
教学过程
一、问题情境
1.什么叫正多边形？从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、中心对称吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？
师生活动：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．
正多边形是轴对称图形，对称轴的条数等于边数；边数为偶数的正多边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点．
追问1：菱形是正多边形吗？矩形、正方形呢？
师生活动：学生复习图形性质后发现菱形的各角不相等，矩形的各边不相等，所以菱形和矩形不是正多边形，正方形是正多边形.
2.我们知道，各边相等、各角也相等的多边形是正多边形.日常生活中，我们经常能看到正多边形形状的物体，利用正多边形，也可以得到许多美丽的图案.你还能举出一些这样的例子吗？
追问2：怎样画出这些美丽的图案呢？
师生活动：正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.
二、新知形成
1.如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE.你能证明五边形ABCDE是正五边形吗？
师生活动：引导学生利用圆周角定理的推论证明.
∵，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，
∴. ∴∠A＝∠B.
同理 ∠B＝∠C＝∠D＝∠E.
又五边形ABCDE 的顶点都在⊙O上，
∴五边形 ABCDE 是⊙O的内接正五边形，
⊙O是正五形 ABCDE 的外接圆.
教师进而给出概念.如图，我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
2.正多边形有内切圆吗 如果有，请指出它的圆心与半径. 内切圆的半径与边心距有什么关系
师生活动：鼓励学生发表自己的意见，观察分析后发现正多边形有内切圆，内切圆的圆心是正多边形的中心，内切圆的半径等于边心距.
三、例题解析
例1.如图，有一个亭子它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积（精确到0.1平方米）.
解：如图，连接OB、OC.因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.因此，亭子地基的周长l＝6×4＝24（m）.
作，垂足为P.在Rt△OPC中，
OC＝4m，（m）
利用勾股定理，可得边心距 （m）.
亭子地基的面积 （m2）.
追问：正n边形的一个内角的度数是多少 中心角呢 正多边形的中心角与外角的大小有什么关系
师生活动：由上述推理可发现，正n边形的一个内角的度数是，中心角是，正多边形的中心角和外角的度数相等.
四、当堂训练
1.各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如果是，说明理由；如果不是，举出反例.
解：各边相等的圆内接多边形是正多边形.因为各边相等的圆内接多边
形的各个角也相等，所以它是正多边形；
而各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形.例如圆内接矩形.
2.分别求半径为 R 的圆内接正三角形、正方形的边长、边心距和面积.
解：（1）如图，连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D.
在正△ABC中，∠BOC＝＝120°，
∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝30°
∵OD⊥BC ∴∠ODB＝90°，BC＝2BD
∴ ∴
∴ ∴
∴正三角形的边长为，边心距为，面积为.
（2）如图，连接OA，OB，过点O作OE⊥AB于点E.
在正方形ABCD中，∠AOB＝＝90°，
∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝45°
∵OE⊥AB ∴∠OEA＝90°
∴
∴ ∴
∴正方形的边长为，边心距为，面积为.
五、课堂小结
1.正多边形和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边形的边心距;
2.正多边形的半径、正多边形的中心角、边长及正多边的边心距之间的等量关系.
六、课堂小测
1. 完成下表中有关正多边形的计算：
边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积
3 60° 120° 2 2 1 6 3
4 90° 90° 2 1 8 4
6 120° 60° 2 2 12 6
2. 如图，要拧开一个边长a＝12 mm的六角形螺帽（下图的正六边形ABCDEF是六角形螺帽的放大图），扳手张开的开口b至少要多少？
解：如图，设O是正六边形ABCDEF的中心
连接OA，OB，过点O作OG⊥AB于G
∵∠AOB＝360°÷6＝60°，OA＝OB
∴△OAB是等边三角形
∴OB＝AB＝12
∴GB＝AB＝6
在Rt△OGB中，OG＝＝6
∴b＝2OG＝12
答：扳手张开的开口b至少要12mm.
七、作业布置
课时训练P65-66基础必做、中档运用 选做题：P66
八、教学反思
24.3 正多边形和圆（2）
教学目标 巩固正多边形的有关概念、性质；会利用量角器或尺规工具，结合等分圆的方法画正多边形.
重点 会利用量角器或尺规工具，结合等分圆的方法画正多边形.
难点 用尺规作图法准确画特殊的正多边形.
教学过程
一、问题情境
1.什么是正多边形？什么是正多边形的中心，半径，
中心角，边心距？
2.如图，实际生活中经常会遇到画正多边形的问题，
这些问题都和等分圆周有关系，这节课我们一起学
习如何画正多边形？
师生活动：通过复习正多边形和圆的相关概念，
思考正多边形和圆的联系，引导学生分析后发现
利用等分圆周可以画正多边形.
二、新知形成
1.用量角器能把一个圆五等分吗？如何画一个半径为2cm正五边形？
师生活动：因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以作相等的圆心角就可以等分圆，从而得到相应的正多边形.具体作法如下：如图，先以2cm为半径作一个⊙O，用量角器画一个72°的圆心角，它对着一条弧，在圆上依次截取与这条弧相等的弧，从而得到圆的五等分点，顺次连接各分点，就得到正五边形.
2.对于特殊的正多边形使用圆规和直尺可以画出来吗？例如能否用尺规画出一个半径为2cm的正六边形？
师生活动：教师引导学生发现正六边形的中心角是60°，它的边长和半径相等，因此结合圆的知识可以利用圆规直接截取得到正六边形.具体作法：如图先以2cm为半径作一个⊙O，保持圆规张角不变，在圆上依次截取，从而得到圆的六等分点，顺次连接各分点，就得到正六边形.
追问1：如何画正三角形？
师生活动：如图，可以将正六边形的顶点隔点连接得到正三角形.
追问2：如何画一个半径为2cm正方形（正四边形）？
师生活动：先以2cm为半径作一个⊙O，再作出两条互相垂直的直径，得到圆的四等分点，再顺次连接得到正方形再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆内接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……
三、例题分析
1.画一个半径为2cm的正五边形，再作出这个正五边形的各条对角线，画出一个五角星.
解：（1）画正五边形：以O为圆心，画一个半径为2cm的圆.将圆周分成五等份，每份对应的圆心角为72°，连接这些等分点，形成一个正五边形.（2）画对角线：从正五边形的每一个顶点出发，
连接到不相邻的另外两个顶点，画出所有对角线.
这些对角线会在五边形内部交叉，形成一个五角星的图案.
2.用等分圆周的方法画出下列图案：
解：使用等分圆周的方法绘制图案，使用圆规在纸上画一个圆，根据选择的等分数，使用量角器或圆在圆周上标记出等分点.再使用直尺连接这些等分点，形成多边形或其他几何图案.
四、当堂训练
1.正多边形都是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴在哪里？正多边形
都是中心对称图形吗？如果是，它的对称中心在哪里？
答：正多边形都是轴对称图形.奇数边的正多边形的对称轴是各个顶点
和它的对边中点连线所在的直线，偶数边的正多边形的对称轴是对边中
点连线所在的直线及顶点与中心连线所在的直线；
正多边形不都是中心对称图形.当边数是奇数时，不是中心对称图形；
当边数是偶数时，是中心对称图形，对称中心就是正多边形的中心.
2.如图，H、I、J、K、L分别是正五边形ABCDE各边的中点，
求证：五边形HIJKL是正五边形．
证明：五边形是正五边形
，
、、、、分别是正五边形各边的中点
，
，五边形是正五边形．
五、课堂小结
1.复习正多边形的有关概念、性质以及正多边形和圆的关系；
2.学习利用等分圆的方法画正多边形.
六、课堂小测
1.用48 m长的篱笆在空地上围成一个绿化场地，现有几种设计方案，正三角形、正方形、正六边形、圆，哪种场地的面积最大？
（参考数据：≈1.73，π≈3.14，精确到1m2）
解：如图，当围成正三角形场地时，边长＝16 m，
高＝（m），面积＝×16×8≈111（m2）
当围成正方形场地时，边长＝12 m，面积＝122＝144（m2）
当围成正六边形场地时，边长＝8 m，可以分成6个小的等边三角形，
小等边三角形高＝（m），
正六边形面积＝6××8×4≈166（m2）
当围成圆形场地时，半径＝m，面积＝π≈183（m2）
综上所述，围成圆形场地时面积最大.
2. 如图，正方形边长为（2＋2）cm，减去四个角后成为一个正八边
形，求这个正八边形的边长和面积.
解：根据题意，得AE＝BD，∠D＝90°，设正八边形的边长为x cm，
则AB＝BC＝x cm，∠ABC＝∠BCF＝135° ∴∠CBD＝∠BCD＝45°
∴ BD＝CD. ∴BD＝x，同理，得AE＝x ，
∵AE＋AB＋BD＝2＋2， ∴x＋x＋x＝2＋2，
解得 x ＝2，∴BD＝×2＝，∴S△BCD＝×＝1
∴S正八边形＝S正方形－4S△BCD＝－4×1＝8＋8
答：这个正八边形的边长为2 cm ，面积为（8＋8）cm 2.
3.把圆分成等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为
顶点的多边形是这个圆的外切正n边形，⊙O的半径是R，分别求它的
外切正三角形，外切正方形，外切六边形的边长．
解：圆的外切正三角形，外切正方形，
外切六边形的边长分别为、和．
七、作业布置
课时训练P65-66基础必做、中档运用 选做题：P66
八、教学反思
24.4.1 弧长和扇形面积
教学目标 了解扇形的概念，熟练掌握弧长和扇形面积的计算公式及其应用．
重点 探索弧长和扇形面积的计算公式及其应用.
难点 弧长和扇形面积的计算公式的灵活运用.
教学过程
一、问题情境
1.问题：在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上
拴着一条长5 m的绳子，绳子的另一端拴着一头牛，
（1）这头牛吃草的最大活动区域有多大？
（2）若这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大？
师生活动：通过观察和分析，引导学生将实际问题抽象为数学问题.
（1）这头牛吃草的最大活动区域是一个以A（柱子）为圆心，5 m为半径的圆的面积.
（2）如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域应该是n°圆心角的两条半径和n°圆心角所对的弧所围成的圆的一部分的图形.像这样，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
二、新知形成
1.我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分.想一想，如何计算圆周长？圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长？由此出发，1°的圆心角所对的弧长是多少？n°的圆心角呢？
师生活动：教师引导学生按问题逐步深入，在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2πR，所以1°的圆心角所对的弧长是 ，即 .于是 n°的圆心角所对的弧长为.
2.如图可以发现，扇形的面积除了与圆的半径有关外还与组成扇形的圆心角的大小有关.圆心角越大，扇形面积也就越大.怎样计算半径为R，圆心角为n°的扇形面积呢？由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分.想一想，如何计算圆的面积？圆面积可以看作是多少度的圆心角所对的扇形的面积？1°的圆心角所对的扇形面积是多少？n°的圆心角呢？
师生活动：类比弧长公式的推导，师生共同探究扇形面积.在半径为 R 的圆中，因为 360°的圆心角所对的扇形的面积就是
圆面积 S＝πR2，所以圆心角是1°的扇形面积是 .
于是圆心角为n°的扇形面积是.
追问1：比较扇形面积公式与弧长公式，能否用弧长表示扇形的面积？
师生活动：对比两个公式后发现S扇形 ＝ lR，其中l为扇形的弧长，R为半径.
三、例题分析
例 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高 0.3 m.求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）.
解：如图，连接OA、OB，作OC⊥AB于D，交⊙O于点C，连接AC.
∵OC＝0.6 m，DC＝0.3 m ∴OD＝OC DC＝0.3 （m）
∴OD＝DC，又OC⊥AB ∴AD是线段OC的垂直平分线
∴AC＝AO＝OC ∴△AOC是等边三角形
∴∠AOD＝60°
∵OC⊥AB ∴
∴∠AOC=∠BOC ∴∠AOB＝2∠AOD＝120°.
有水部分的面积
（m2）
追问1：怎样求AB的长？
解：（m），（m）.
四、当堂训练
1.弧长相等的两段弧是等弧吗？
答：弧长相等的两段弧不一定是等弧．
2.有一段弯道是圆弧形的,道长是12,弧所对的圆心角是,这段圆
弧所在圆的半径是多少米（结果保留到小数点后一位）
解：根据题意得，，解得，．
答：这段圆弧所在圆的半径R是8.5米．
3.如图,正三角形ABC的边长为a,分别以A、B、C为圆心,为半径的圆相切于点D、E、F三点,求图中阴影部分的面积.
解：连接
由题意可得：，，
故，
则图中阴影部分的面积为：．
五、课堂小结
1.n°的圆心角所对的弧长为，所对的扇形；
2. （l为扇形的弧长，R为扇形的半径）
六、课堂小测
1. 如图，两个大小一样的传送轮连接着
一条传送带，求这条传送带的长.
解：l＝π·3＋2×10＝3π＋20
答：这条传送带的长为（3π＋20）m.
2. 如图是一段弯形管道，其中∠O＝∠O'＝90°，
中心线的两条圆弧半径都为1000 mm，求图中
管道的展直长度.（精确到1 mm）
解：l＝3000＋π×1000≈6142（mm）
答：图中管道的展直长度约为6142 mm.
3. 如图，草坪上的自动喷水装置能旋转220°，它的喷灌区域是一个扇形，这个扇形的半径是20 m，求它能喷灌的草坪的面积.
解：（m2）
答：它能喷灌的草坪的面积为m2.
4. 正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，求图中阴影部分的面积.
解：S阴＝4S半圆－S正方形＝4××π·－a 2
＝a 2
答：图中阴影部分的面积为a 2.
5.如图，有一个圆形花坛，要把它分成面积相等的四部分，以种植不同的花卉，请你提供设计方案．
解：过点O作互相垂直的直线AB，CD，⊙O被直线AB，CD分成面积相等的四个部分．也可以把直径改为中心对称的两条弧线．
七、作业布置
课时训练P65-66基础必做、中档运用 选做题：P66
八、教学反思
24.4.2 圆锥的侧面积和全面积
教学目标 了解圆锥的特征及圆锥的母线的概念；了解圆锥的侧面展开图是扇形；会计算圆锥的侧面积和全面积.
重点 圆锥的侧面积和全面积的计算．
难点 明确扇形中各元素与圆锥各个元素之间的关系．
教学过程
一、问题情境
1.你知道扇形的弧长和面积公式吗？
追问1：扇形OAB的弧长是2π，面积是8π，求该扇形的圆心角∠AOB的度数.
师生活动：教师引导，①弧长和扇形的面积公式也是函数，当知道其中一个变量时，可以代入求另一个变量；②扇形的面积公式也等于弧长与半径乘积的一半. 先求，再用弧长求圆心角，解得n＝45°，即∠AOB＝45°.
2.下图是蒙古包，请你仔细观察图片，说说它整体
框架近似地看是由哪些几何体构成的.你知道怎么
计算包围在它外表毛毡的面积吗？
师生活动：多媒体出示蒙古包图片，发现圆锥和圆
柱.蒙古包是可移动的大型帐篷，这一过程是变立
体图形为平面图形的过程.所以要求外表毛毡的面
积需要思考圆锥和圆柱的平面展开图的形状.
二、新知形成
1.让我们重新认识圆锥，圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体.如图，我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线，连接底面圆的圆心与圆锥的顶点的线段叫做圆锥的高.你能发现圆锥的母线l、底面半径r和高h之间的关系吗？
师生活动：因为高与底面垂直，所以根据勾股定理，得.
追问1：圆锥的侧面展开图是什么图形？如何计算
圆锥的侧面积？如何计算圆锥的全面积？
师生活动：如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，
容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形.设圆锥的母
线长为 l，底面圆的半径为 r，那么这个扇形的半径为
l，扇形的弧长为 2πr，因此圆锥的侧面积为，
所以圆锥的全面积为πr（r+l）.
三、例题分析
例1.蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成.如果
想用毛毡搭建20个底面积为12m2，高为3.2m，外围
高1.8m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（π
取3.142，结果取整数）？
师生活动：抽象为数学问题，是一个由圆锥和圆柱组成
的立体图形．底面圆面积为12m2，高h1与h2的和为
3.2m，高h2为1.8m ，求20个这种立体图形的侧面积？
解：根据题意，圆柱底面积为
半径为（m）
高为，
圆锥母线为（m）
底面圆的周长为（m）
圆柱侧面积为（m2）
圆锥侧面积为（m2）
搭建20个这样的蒙古包至少需要毛毡（m2）.四、当堂训练
1.填空：
（1）75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是 6 cm；
（2）一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则扇形的圆心角150°；
（3）用一个圆心角为120°，半径为 4的扇形作一个圆锥的侧面，这个
圆锥的底面圆的半径为______.
2.圆锥的底面直径是80cm，母线l长90cm，求它的侧面展开图的圆心角和圆锥的全面积.
解：设侧面展开图的圆心角为x°，根据题意，得圆锥的半径为40cm，
，解得.所以圆心角为160°.
圆锥的全面积为.
3.圆锥形的烟囱帽的底面直径是80cm，母线长是50cm，制作100个这样的烟囱帽至少需要多少平方米的铁皮 （精确到1 m2）
解：S侧＝π r · l ＝π×0.4×0.5＝0.2π（m2）
∴100×0.2π≈63（m2）
答：制作100个这样的烟囱帽至少需要63 m2的铁皮.
五、课堂小结
两个公式:圆锥侧面积和全面积；两个结论: , .
六、课堂小测
1.在航海中，常用海里（单位：作为路程的度量单位．把地球看作球体，近似等于赤道所在的圆中的圆心角所对的弧长．已知地球半径（也就是赤道所在圆的半径）约为，约等于多少米取3.14，结果取整数）？
解：，的长度．
答：约等于1852米．
1.折扇是中国传统工艺品，历史悠久．如图是一把完全打开的扇形折扇示意图，外侧两竹条，的夹角为，的长为，扇面的长为，求扇面的面积.
解：.，，，
，
扇面的面积
．
2. 如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面圆的周长
为32 m，母线长7 m，为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，
所需油毡的面积至少是多少？
解： S ＝lR ＝×32×7＝112（m2）
答：所需油毡的面积至少是112 m2.
3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，把它分别绕三边所在直线旋转一周，求所得的三个几何体的全面积.（友情提示：画出沿三边所在直线旋转一周所得到的图形）
解：∵∠ ACB＝90°，AC＝3，BC＝4 ∴ AB＝5
绕BC所在直线旋转一周，如图①
∴ S全＝S侧＋S底＝π×3×5＋π×32＝24π；
绕AC所在直线旋转一周，如图②，
∴ S全＝S侧＋S底＝π×4×5＋π×42＝36π；
绕AB所在直线旋转一周，如图③，
过点C作CO⊥AB于点O, ∵∠ACB＝90° ∴ S△ ABC ＝CD · AB＝CA · CB
∴ CO＝3×4÷5＝2.4 ∴ S全＝π×2.4×4＋π×2.4×3＝16.8π.
4.如图，从一块直径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，求被剪掉的部分的面积；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是多少？
解：连接，如图，，
为⊙O的直径，即，，
扇形的面积；
设圆锥的底面圆的半径为，
，解得.
七、作业布置
课时训练P65-66基础必做、中档运用 选做题：P66
八、教学反思
数学活动 探究四点共圆的条件
教学目标 探索并证明对角互补的四边形的四个顶点共圆的结论.
重点 四点共圆的条件的探究.
难点 四点共圆条件的证明.
教学过程
一、问题情境
1.经过一点 A，可以在平面内作多少个圆？
追问1：经过两点 A，B可以在平面内作多少个圆？这些圆的圆心分布有什么特点？
追问2：经过三点 A，B，C 能不能作圆？如果能，在平面内能作多少个圆？如何确定所作圆的圆心？
师生活动：通过问题回忆不在同一直线上的三点可以确定一个圆，也就是说过任意一个三角形的三个顶点都能作一个圆.外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点.
2.经过平面内四点能不能作圆？也可以说，能否作出过四点的圆呢？
师生活动：让学生动手画一画，实验后发现，若四个点中有任意三点共线，则不能作出过四点的圆；若其中任意三点都不共线，则四个点构成一个四边形.
二、新知形成
1.过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？如图，下列四边形可以吗？
师生活动：通过观察与分析，学生得到条件的猜想，如有一组对边平行的四边形的四个顶点共圆；有两个角是直角的四边形的四个顶点共圆等.
追问1：怎样判断这些四边形的四个顶点共圆？你有好的方法吗？
师生活动：引导学生思考可以先从三个顶点共圆入手，画出这个圆，再观察第四个顶点是否在圆上.
追问2：为什么只有矩形、正方形和等腰梯形四个顶点共圆？
师生活动：师生合作探究，思考图形间的区别与联系，有平行的不一定共圆，有直角的不一定共圆.比较矩形和直角梯形后得到猜想，当两个直角相对时，四边形的四个顶点共圆.
2.如果一个四边形有一组对角是直角，那么这个四边形的四个顶点共圆吗？你能证明吗？
师生活动：将命题抽象成数学问题，
已知：如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°.
求证：四边形ABCD的四个顶点都在同一个圆上.
证明：连接BD，作BD的中点O，连接OA，OC，则
OA＝OB＝OD＝OC，所以A，B，C，D在⊙O上.
结论：共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆.
追问3：观察等腰梯形，过对角互补的四边形的四
个顶点可以作一个圆吗？
师生活动：这个命题其实是圆内接四边形对角互补的逆命题，尝试用反证法证明.已知：四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°.
求证：A，B，C，D四点共圆.
证明：过A，B，D三点作⊙O，假设点C不在⊙O上，则点C在⊙O内或点C在⊙O外.
（1）如图，若点C在⊙O内，延长DC交⊙O于E，
连接BE，则∠A+∠E＝180°.
又∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝∠E.
这与△BEC中，∠BCD>∠E矛盾，
所以点C不在⊙O内.
（2）如图，若点C在⊙O外，设BC与⊙O相交于E，
连接DE，则∠A+∠BED＝180°.
又∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠A+∠C＝180°，
∴∠BED＝∠C.
这与△EDC中，∠BED>∠C矛盾，
所以点C不在⊙O外.
综上，假设不成立，点C在过A，B，D三点的圆上.
结论：经过对角互补的四边形的四个顶点，可以作一个圆.
三、例题分析
例1.如图，∠ABC＝∠ADC，求证：A、B、C、D四点共圆.
证明：连接BD,设BC与AD相交于点E.
∵∠AEB＝∠DEC，∠ABC＝∠ADC
∴△AEB∽△CED
∴ ∴
∵∠BED＝∠AEC ∴△BED∽△AEC
∴∠BDE＝∠ACE
∴∠BAC+∠BDC＝∠BAC+∠BDA+∠ADC
＝∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°
∴A、B、C、D四点共圆.
四、当堂训练
1.如图，在四边形ABCD中，点E在AD的
延长线上，添加下列条件中的一个后，不一
定使A，B，C，D四点共圆的是（ B ）.
A. ∠B+∠ADC＝180° B. ∠A＝∠BCD
C. ∠B＝∠CDE D. ∠A＝∠C＝90°
2. 如图，将一个含 45°角的直角三角板ABC
和一个含30°角的直角三角板ADC拼在一起，
斜边AC恰好重合，则∠BDC＝ 45 °.
3. 如图，正方形ABCD中，点E是BC边上一点（不与B，C重合），
∠AEF＝90°. 作正方形的外角∠DCG的平分线交射线EF于点H.
请补全图形，并探究线段AE与EH之间的大小关系.
答：AE＝EH，理由如下.
作AH的中点O，连接OE、OC.
∵四边形ABCD是正方形，CH平分∠DCG
∴∠ACD＝∠DCH＝45° ∴∠ACH＝90°
∵∠AEF=90° ∴OE＝OA＝OC＝OH
∴A、E、C、H四点共圆
∴∠AHE＝∠ACE＝45° ∴EA＝EH
五、课堂小结
1. 你可以用哪些方法证明四点共圆？
2. 如果要证明五个或五个以上的点共圆，可以怎样做？
六、课堂小测
1.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，四条边AB ，BC，
CD，DA的中点分别为E，F，G，H.这四个点共圆吗？圆心在哪里？
答：这四个点共圆，圆心为O.
理由：连接OE，OF，OG，OH.
∵四边形ABCD是菱形 ∴ AC ⊥ BD
∵ H是AD的中点 ∴ OH＝AD
同理，得OE＝AB ，OF＝BC，OG＝CD
∵四边形ABCD是菱形 ∴ AB＝BC＝CD＝AD
∴ OE＝OF＝OG＝OH
∴ E，F，G，H在以点O为圆心，OE为半径的圆上.
2.如图，在四边形 ABCD 中，∠A＝90°，AB＝5，BC＝8，CD＝6，AD＝5，试判断点A，B，C，D是否在同一个圆上，并证明你的结论.
解：点A，B，C，D在同一个圆上.
证明：连接BD，取BD的中点O，连接OA，OC
∵∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝5
∴ BD 2＝AB 2＋AD 2＝+52＝100
∵ BC＝8，CD＝6 ∴ BC 2＋CD 2＝100＝BD 2
∴∠BCD＝∠BAD＝90° ∴ OA＝OC＝OB＝OD＝BD
∴点A，B，C，D在以O为圆心，BD为直径的圆上.
七、作业布置
课时训练P65-66基础必做、中档运用 选做题：P66
八、教学反思
单元复习 圆（1）
教学目标 了解圆、弧、弦、圆心角、圆周角等有关概念；掌握圆的基本性质,垂径定理、圆周角定理及其推论的理解和应用；圆内接多边形的有关概念及圆内接四边形对角互补的性质的理解和应用.
重点 复习圆的有关概念和基本性质及其应用.
难点 本节知识系统的掌握及其灵活的应用.
教学过程
一、题练精析
知识点一：圆的有关概念
1.如图，在☉O中，半径是 OA，OB，OC ，弦是 AC，AB，BC ，其中最长的弦是 AC， ， 是劣弧， , 是半圆， ∠AOC，∠AOB，∠BOC 是圆心角， ∠ABC 一定是直角.
2.下列说法中，正确的是（ C ）
A. 长度相等的弧是等弧
B. 半圆是弧，弧也是半圆
C. 在一个圆中，直径是最长的弦
D. 弦是直径
知识点二：垂径定理及其推论
3.如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，
若⊙O的半径为2，则弦AB的长为 .
4.如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，
AC，OB交于点D. 若AD＝CD＝8，OD＝6，
则BD的长为（ B ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
知识点三：弧、弦、圆心角间的关系
5.如图，已知AB是☉O的直径，，
∠BOC＝40°，则∠AOE的度数为（ B ）
A. 40° B. 60° C. 80° D. 120°
6.如图，在⊙O中，，AD⊥OC于D.
求证：AB＝2AD.
证明：延长AD交⊙O于E.
∵ OC⊥AD
∴，AE＝2AD
∵，
∴
∴ AB＝AE ，
∴ AB＝2AD.
知识点四：圆周角定理及其推论
7.如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，
点C在劣弧AB上.若∠ABC＝19°，则∠BAC
的度数为（ D ）
A. 23° B. 24° C. 25° D. 26°
8.如图，BD是⊙O的直径，A，C在圆上，
∠A＝50°，则∠DBC的度数是 40° .
二、课堂小结
1.圆的有关概念；
2.圆的基本性质.
三、课堂小测
1. 如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A＝40°，
∠APD＝75°，则∠B＝（ D ）
A. 15° B. 75° C. 40° D. 35°
2. 如图，⊙O的直径CD＝10 cm，AB是
⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM ∶ OC
＝3∶5，则 AB 的长为（ A ）
A. 8 cm B.cm C. 6 cm D. 2 cm
3. 如图，在足球比赛中，甲带球向对方球门PQ
进攻，当他带球冲到A点时，同伴乙已经助攻冲
到B点，此时甲是直接射门好，还是将球传给乙，
让乙射门好？（仅从射门角度考虑）
解：应传球给乙.
理由：如图，设AQ与圆相交于点C，连接PC
∵∠PBQ＝∠PCQ＞∠PAQ，即乙射门的角度更大
∴仅从射门角度考虑，应将球传给乙，让乙射门好.
4. 在直径为650 mm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如下图，若油面宽 AB ＝600 mm，求油的最大深度.
解：连接OA，作半径OC ⊥ AB于D，
则AD＝DB＝AB＝300
∵ OA＝×650＝325
∴在Rt△AOD中，OD＝＝125
根据垂线段最短，可知油的最大深度
CD＝OC－OD＝325－125＝200（mm）.
5. 如图，C是的中点，D，E分别是半径OA，OB的中点.
求证：∠ADC＝∠BEC .
证明：连接OC.
∵ C是的中点 ∴＝
∴∠COD＝∠COE
∵ D，E分别是半径OA，OB的中点
∴ OD＝OA，OE＝OB，OA＝OB ∴ OD＝OE
在△OCD和△OCE中

∴△OCD ≌△OCE（SAS）
∴∠ CDO ＝∠ CEO
∴∠ ADC ＝∠ BEC .
6. 如图，AB是⊙O的弦，半径OA＝20 cm，∠AOB＝120°.求△AOB的面积.
解：过点O作OC⊥AB于C.
∴∠AOC＝∠AOB＝60°，AC＝BC＝AB
在Rt△AOC中，∠A＝90°－∠AOC＝30°
∴ OC＝OA＝10
∴ AC＝＝＝
∴ AB＝2AC＝
∴△AOB的面积＝AB · OC ＝××10＝（cm2）.
7.只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为 7 cm，AB＝6 cm，DC＝8 cm.
请你帮忙计算纸杯的直径= 10cm .
8.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，OD∥BC，OD与AC相交于点E，连接AD.
（1）若∠B＝50°，求∠CAD的度数；
（2）若AB＝10，AC＝8，求DE的长.
解：（1）如图，连接OC
∵OD∥BC ∴∠AOD＝∠B＝50°
∵∠AOC＝2∠B＝100°
∴∠AOD＝∠COD＝50°
∴∠CAD＝∠COD＝25°
（2）∵AB是☉O的直径，AB＝10
∴∠ACB＝90°，OA＝OB＝OD＝5
∴BC＝＝＝6
∵OD∥BC ∴∠AEO=∠ACB=90°
∴OD⊥AC ∴点E是AC中点
∵O为AB中点 ∴OE为△ACB的中位线
∴OE＝ QUOTE BC＝3 ∴DE＝OD－OE＝2.
四、作业布置
课时训练P65－66基础必做、中档运用 选做题: P66
五、教学反思
单元复习 圆（2）
教学目标 了解点与圆、直线与圆的位置关系；掌握切线的概念以及切线的判定和性质,并会进行应用；理解并掌握切线长定理；了解三角形的内心和外心,并会利用尺规作三角形的外接圆、内切圆.
重点 复习点与圆、直线与圆的关系及其有关的知识.
难点 切线的判定和性质的应用.
教学过程
一、题练精析
知识点一：点与圆的位置关系
1.已知⊙O的半径为6，若OP＝5，则点P与⊙O的位置关系是（ C ）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O内 D．不能确定
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D为AB的中点．以A为圆心，r为半径作⊙A，若B、C、D三点中只有一点在⊙A内，则⊙A的半径r的取值范围是（ A ）
A． B．
C． D．
3.如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单
位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的
交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过A、B、C三点的圆的圆心坐标为（ C ）
A． B． C． D．
知识点二：直线与圆的位置关系
4.如图，点A、B、C在⊙O上，AC是直径，AB是弦，点P是⊙O外一点，分别作射线PA，PB，其中PA是

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