资源简介

《锐角三角函数》教案
教学目标
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦、余弦和正切的意义.
2.能够运用sinA、cosA、tanA表示直角三角形两边的比.
3.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.
4.理解锐角三角函数的意义.
教学重难点
1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明.
2.能用sinA、cosA、tanA表示直角三角形两边的比.
3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算.
4.用函数的观点理解正弦、余弦和正切.
教学过程
一.创设情境，提出问题，引入新课
[师]我们在上一节课曾讨论过用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度，并且得出了当倾斜角确定时，其对边与斜边之比随之确定.也就是说这一比值只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关.并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切.
现在我们提出两个问题：
[问题1]当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗？
[问题2]梯子的倾斜程度与这些比有关吗？如果有，是怎样的关系？
二.讲授新课
1.正弦、余弦及三角函数的定义
多媒体演示如下内容：
想一想：如图
(1)直角三角形AB1C1
和直角三角形AB2C2有
什么关系？
(2)有什么
关系？ 呢？
(3)如果改变A2在梯子A1B上的位置呢？你由此可得出什么结论？
(4)如果改变梯子A1B的倾斜角的大小呢？你由此又可得出什么结论？
请同学们讨论后回答.
[生]∵A1C1⊥BC1，A2C2⊥BC2，
∴A1C1//A2C2.
∴Rt△BA1C1∽Rt△BA2C2.
(相似三角形对应边成比例).
由于A2是梯子A1B上的任意—点，所以，如果改变A2在梯子A1B上的位置，上述
结论仍成立.
由此我们可得出结论：只要梯子的倾斜角确定，倾斜角的对边.与斜边的比值，倾斜角
的邻边与斜边的比值随之确定.也就是说，这一比值只与倾斜角有关，而与直角三角形大
小无关.
[生]如果改变梯子A1B的倾斜角的大小，如虚线的位置，倾斜角的对边与斜边的比
值，邻边与斜边的比值随之改变.
[师]我们会发现这是一个变化的过程.对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值都随着倾斜角的改变而改变，同时，如果给定一个倾斜角的值，它的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值是唯一确定的.这是一种什么关系呢？
[生]函数关系.
[师]很好！上面我们有了和定义正切相同的基础，接着我们类比正切还可以有如下定义：(用多媒体演示)
在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.如图，∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正弦(sine)，记作sinA，即
sinA＝
∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦(cosine)，记作cosA，即
cosA=
锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数(trigonometricfunction).
[师]你能用自己的语言解释一下你是如何理解“sinA、cosA、tanA都是之A的三角函数”呢？
[生]我们在前面已讨论过，当直角三角形中的锐角A确定时.∠A的对边与斜边的比值，∠A的邻边与斜边的比值，∠A的对边与邻边的比值也都唯一确定.在“∠A的三角函数”概念中，∠A是自变量，其取值范围是0°2.梯子的倾斜程度与sinA和cosA的关系
[师]我们上一节知道了梯子的倾斜程度与tanA有关系：tanA的值越大，梯子越陡.由此我们想到梯子的倾斜程度是否也和sinA、cosA有关系呢？如果有关系，是怎样的关系？
(
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)[生]如图所示，AB＝A1B1，
在Rt△ABC中，sinA=，在
Rt△A1B1C中，sinA1=.
∵ ＜，
即sinA所以梯子的倾斜程度与sinA有关系.sinA的值越大，梯子越陡.正弦值也能反映梯子的倾斜程度.
[生]同样道理cosA= cosA1＝，
∵AB=A1B1 ＞ 即cosA>cosA1，
所以梯子的倾斜程度与cosA也有关系.cosA的值越小，梯子越陡.
[师]同学们分析得很棒，能够结合图形分析就更为妙哉！从理论上讲正弦和余弦都可以刻画梯子的倾斜程度，但实际中通常使用正切.
如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边之比便随之确定，这个比叫做∠A的正切(tangent)，记作tanA，即
tanA=.
注意:
1.tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”.
2.tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比.
3.tanA不表示“tan”乘以“A”.
4.初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A是锐角的正切.
如图，有一山坡在水平方向上每前进100m，就升高60m，那么山坡的坡度(即坡角α的正切——tanα)就是tanα=.
这里要注意区分坡度和坡角.坡面的铅直高度与水平宽度的比即坡角的正切称为坡度.坡度越大，坡面就越陡.
三.例题讲解
多媒体演示.
例1 已知：如课本第78页图20-5，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝3，BC＝4，求sinA和sinB的值.
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA＝，AC＝10，AB等于多少？sinB呢？cosB、sinA呢？你能得出什么结论？请用一般式表达.
分析：这是正弦、余弦定义的进一步应用，同时进一步渗透sin(90°-A)＝cosA，cos
(90°-A)=sinA.
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=10，cosA＝，cosA＝，
∴AB=，
sinB＝
根据勾股定理，得
BC2＝AB2-AC2＝()2-102=
∴BC＝.
∴cosB＝，
sinA＝
可以得出同例1一样的结论.
∵∠A+∠B=90°，
∴sinA：cosB=cos(90-A)，即sinA＝cos(90°-A)；
cosA＝sinB＝sin(90°-A)，即cosA＝sin(90°-A).
sinA的值越大，梯子越陡；
cosA的值越小，梯子越陡.
例3 在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求∠A的三角函数值.
例4 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D点，AB＝16，
BC＝12，求sin∠DCA和tan∠DCA的值.
四.随堂练习
如图，△ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗？
分析:要求tanC，需从图中找到∠C所在的直角三角形.因为BD⊥AC，所以∠C在Rt△BDC中.然后求出∠C的对边与邻边的比，即的值.
解:∵△ABC是等腰直角三角形，BD⊥AC，
∴CD=AC=×3=1.5.
在Rt△BDC中，tanC==1.
五.课时小结
本节课我们类比正切得出了正弦、余弦和正切的概念，用函数的观念认识了三种三角函数，即在锐角A的三角函数概念中，∠A是自变量，其取值范围是0°<∠A<90°；三个比值是因变量.当∠A确定时，三个比值分别唯一确定；当∠A变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应.

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