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2025-2026学年人教版数学七年级上册 第五章 一元一次方程
5.1 方程 （讲义）
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学习目标
理解方程的概念，能识别方程。
理解方程的解的含义，能判断一个数是不是某个方程的解。
能根据简单的实际问题中的等量关系列出方程。
初步感受方程思想在解决实际问题中的作用。
知识点梳理
知识点一：方程的概念
在小学阶段，我们已经接触过一些用字母表示数的例子。现在，我们来学习一种重要的数学工具——方程。
引入： 我们来看一个问题：一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70千米/小时，卡车的行驶速度是60千米/小时，客车比卡车早1小时经过B地。A，B两地间的路程是多少？ 如果我们用算术方法解决这个问题，可能会有些繁琐。但如果我们设A，B两地间的路程是x千米，那么客车从A地到B地所用的时间就是x除以70小时，卡车所用的时间就是x除以60小时。根据“客车比卡车早1小时经过B地”，我们可以得到一个关系：卡车所用时间减去客车所用时间等于1小时。也就是： x除以60减去x除以70等于1。 像这样，我们把所要解决的问题中的未知数用字母表示，根据问题中的相等关系列出含有未知数的等式，这就是我们要学习的方程。
方程的定义： 方程：含有未知数的等式叫做方程。
关键词解析：
含有未知数： 方程中必须有我们不知道的数，通常用字母x, y, z等来表示，这些字母叫做未知数。
等式： 方程必须是一个等式，即等号两边的表达式的值相等。
例如：
3x + 5 = 14 （含有未知数x，且是等式，所以是方程）
2y - 7 = 9 （含有未知数y，且是等式，所以是方程）
x - 4 = 0 （含有未知数x，且是等式，所以是方程）
5 + 8 = 13 （虽然是等式，但不含有未知数，所以不是方程）
3a - 2 （虽然含有未知数a，但不是等式，所以不是方程）
知识点二：方程的解
方程的解的定义： 当我们列出方程后，接下来就是要找出未知数取什么值时，才能使方程左右两边相等。 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 求方程的解的过程叫做解方程。
例如： 对于方程 x + 3 = 5， 当x = 2时，左边 = 2 + 3 = 5，右边 = 5，左边 = 右边。 所以，x = 2是方程x + 3 = 5的解。
检验一个数是不是方程的解的方法： 将这个数代入方程的左右两边，分别计算出左右两边的值。
如果左边的值等于右边的值，那么这个数就是方程的解。
如果左边的值不等于右边的值，那么这个数就不是方程的解。
例如： 检验x = 5是不是方程 2x - 1 = 9的解。 解：把x = 5代入方程左边：2×5 - 1 = 10 - 1 = 9。 方程右边 = 9。 因为左边 = 右边，所以x = 5是方程2x - 1 = 9的解。
知识点三：根据实际问题列方程
列方程解决实际问题是方程的重要应用。其关键在于找到问题中的等量关系。
列方程的一般步骤（初步）：
审题： 理解题意，找出题目中的已知量和未知量。
设未知数： 用字母（如x）表示题目中的未知量。
找等量关系： 分析题目中的数量关系，找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。这是列方程的关键。
列方程： 根据找出的等量关系，列出含有未知数的等式（即方程）。
例如： 问题：某校七年级共有学生216人，其中男生人数比女生人数多12人，求女生有多少人？ 分析： 已知量：七年级总人数216人，男生比女生多12人。 未知量：女生人数。 设未知数：设女生有x人。 则男生人数为（x + 12）人。 等量关系：男生人数 + 女生人数 = 七年级总人数。 列方程：x + (x + 12) = 216。
注意： 列方程时，要注意单位统一，并且方程两边所表示的意义要相同。
知识点总结
方程的概念： 含有未知数的等式叫做方程。（两个条件：①含有未知数；②是等式）
方程的解： 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。求方程的解的过程叫做解方程。
检验方程的解： 将未知数的值代入方程，看左右两边是否相等。
列方程： 关键是找出实际问题中的等量关系，并用含有未知数的等式表示出来。步骤可概括为：设未知数、找等量关系、列方程。
巩固练习
一、选择题
1．下列四个式子中，是方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．若是关于的方程的解，则的值是（　　）
A． B．0 C．1 D．
3．根据等式的性质，下列变形中正确的是（ ）
A．若a2=2a，则a=2 B．若，则bm=bn
C．若a2m=a2n，则m=n D．若-a=10，则a=-8
4．已知等式 ，则下列式子成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．将一堆糖果分给幼儿园的小朋友，如果每人2颗，那么就多4颗；如果每人3颗，那么就少6颗．设有糖果颗，则可得方程为（　　）
A． B． C． D．
6．下列说法中，正确的是（　　）
A．若a=b，则 B．若a=b，则ac=bd
C．若a=b，则ac=bc D．若ac=bc，则a=b
7．如果，且.下列说法中，正确的个数是（　　）
① ； ②如果，那么 ；③ ； ④
A．个 B．个 C．个 D．个
8．一件标价为500元的上衣按八折销售，可获利60元．设这件上衣成本价为 元，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．小刚同学在做作业时，不小心将方程中的一个常数涂黑了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是，请问这个被涂黑的常数是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．1
二、填空题
10．若关于的方程的解为，则　 　．
11．若在□内填上一个数，使方程与有相同的解，则□内应填的数是　 　．
12．列等式表示“x的三分之一减y的差等于6”是　 　．
13．若﹣，根据等式性质 　 　（填“1”或“2”）得到﹣2x=3y﹣5．
14．如图所示，两个天平都平衡，则与3个球体相等质量的正方体的个数为　 　．
15．设某数为x，根据下列条件列出方程：
（1）某数的比它的3倍少7．　　 　
（2）某数比它的2倍多1．　 　
（3）某数的3倍与2的和是它的一半．　　 　 　
（4）某数的与6的差的绝对值是．　 　．
16．某中学的学生自己动手整修操场，如果让七年级学生单独工作，需要 完成；如果让八年级学生单独工作，需要 完成．如果让七、八年级一起工作 ，再由八年级单独完成剩余部分，求一共需要多少小时能完成．设共需要x小时完成，则可列方程　 　．
三、解答题
17．回答下列问题：
从10a=12，能不能得到5a=6，为什么？
18．阅读下列解题过程，指出它错在了哪一步？为什么？
2（x﹣1）﹣1=3（x﹣1）﹣1．
两边同时加上1，得2（x﹣1）=3（x﹣1），第一步
两边同时除以（x﹣1），得2=3．第二步．
19．三角形的内角和为180°，已知三角形的第一个内角是第二个内角的3 倍，第三个内角比第二个内角小20°，求三角形每个内角的度数？
20．根据等式性质．回答下列问题；
（1）从ab=bc能否得到a=c．为什么？
（2）从=能否得到a=c，为什么？
（3）从ab=1能否得到a+1=+1，为什么？
参考答案
1．B
2．A
3．B
4．D
5．A
6．C
7．B
8．B
9．C
10．
11．3
12．
13．2；1
14．3
15．3x﹣x=7；x﹣2x=1；3x+2=x；|x﹣6|=
16．
17．能
18．解：解题过程第二步出错，理由为：方程两边不能除以x﹣1，x﹣1可能为0．
19．120°，40°，20°
20．（1）解：从ab=bc不能得到a=c，理由如下：
b=0时，两边都除以0，无意义．
（2）解：从=能得到a=c，理由如下：
两边都乘以b，=能得到a=c．
（3）解：从ab=1能得到a+1=+1，理由如下：
两边都除以b，两边都加1，
ab=1能得到a+1=+1．

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