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第五章 一元一次方程
5.2　解一元一次方程
第1课时　利用合并同类项解一元一次方程
核心素养目标：
1.学会合并同类项，会解“ax＋bx＝c”类型的一元一次方程.
2.能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程.
3.学习分析问题找到相等关系，并通过列方程解决问题的方法，通过学习和求解一元一次方程，体会到式子变形的转化作用，经历利用已有知识解决新问题的探索过程，激发学生学好数学的热情，体会数学的应用价值.
教学重难点：
重点：利用合并同类项解一元一次方程.
难点：分析实际问题中的已知量和未知量，找出等量关系，列出方程.
【命题热点】
　利用合并同类项解一元一次方程
1.方程18x－3x＋5x＝11的解是（C）
A. x＝ B. x＝－
C. x＝ D. x＝
2.解方程：3x＋1.5x－2.5x＝3－6.
解：合并同类项，得2x＝－3.
系数化为1，得x＝－.
　利用合并同类项解一元一次方程的实际应用
3.小明看一本读物，第一天看了全书的，第二天看了全书的，两天共看27页.这本书共有多少页？
解：设这本书共有x页，根据题意，得
x＋x＝27，解得x＝60.
答：这本书共有60页.
【教学过程】
一、情境引入：（投影展示）
（课件出示背景资料）约公元820年，阿拉伯数学家阿尔－花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程，这本书的拉丁文译本取名为《还原与对消计算摘要》.“还原”与“对消”是什么意思呢？通过下面几节课的学习讨论，相信同学们一定能回答这个问题.
二、新知探究，合作交流：（以小组学习方式进行）
[探究一：合并同类项解一元一次方程]
阅读教材P120－P121例2之前内容，完成下面问题：
1.教材中的x＋2x＋4x＝140转化成x＝a的形式是什么？依据是什么？
答：（1＋2＋4）x＝140，x＝20，依据是乘法分配律，等式的性质2.
归纳：合并是一种恒等变形，它使方程变得简单，更接近x＝a的形式.
2.思考：合并同类项时，字母不变，系数　相加减　，系数相加减仍作为系数，字母以及字母的指数　不变　.
3.应用：（1）解下列方程：
①16x－9x＝－15－20；
解：①合并同类项，得7x＝－35，
系数化为1，得x＝－5.
②0.2x－0.3x－0.4x＝0.5.
解：合并同类项，得－0.5x＝0.5，
系数化为1，得x＝－1.
（2）完成教材P121练习第1题.
[探究二：用一元一次方程解决实际问题]
阅读教材P121例2内容，完成下面问题：
1.例2这列数有什么排列规律？
答：后面的数是它前面的数与－3的乘积.
　　2.应用：如果甲、乙、丙三个村合修一段水渠，计划出工60人，甲村出工人数是乙村出工人数的，丙村出工人数是乙村的2倍，求乙村出工的人数.
解：设乙村出工人数为x人，则甲村出工人数为x人，丙村出工人数为2x人.
根据题意，得x＋x＋2x＝60，解得x＝18.
答：乙村出工的人数为18人.
【仿例】有一列数，按一定规律排成1，－4，16，－64，256，－1024…其中某三个相邻的数之和是－13312，求这三个数各是多少.
答案：观察这列数发现：后面的数是它前面数的－4倍，故设相邻的三个数为x，－4x，16x，根据题意得：x＋（－4x）＋16x＝－13312，解得x＝－1024，∴－4x＝4096，16x＝－16384.答：这三个数是：－1024，4096，－16384.
归纳：对于规律型题目，应先仔细观察其排列规律，再建立一元一次方程模型来解决实际问题.
[集中展示与交流]
1.组织学生以小组为单位进行有序展示（表演、口述讲解或板书）学习成果，并将疑难问题展示在黑板上，小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
三、评价与反思：（引导学生自己总结）
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上，教师点评并板书：
（1）解形如“ax＋bx＝c”的方程的步骤：
①合并同类项；
②把未知数系数化为1.
（2）实际问题一元一次方程作答
2.分层作业：
（1）完成教材P121练习第2、3题.
（2）完成相应训练.
第2课时　利用移项解一元一次方程
核心素养目标：
1.掌握移项方法，学会解“ax＋b＝cx＋d”类型的一元一次方程，理解解方程的目标，体会解法中蕴涵的化归思想.
2.分析实际问题中的相等关系，列出方程.
3.经历建立一元一次方程模型并用它解决实际问题的过程，体会到方程既来源于实际生活又服务于实际生活，从而激发学生学习方程的兴趣.
教学重难点：
重点：会解“ax＋b＝cx＋d”类型的一元一次方程.
难点：分析实际问题中的等量关系，列出方程.
【命题热点】
　利用移项解一元一次方程
1.对方程2x－3＋x＝6进行移项，下列正确的是（C）
A.2x－x＝6＋3 B.2x－x＝6－3
C.2x＋x＝6＋3 D.2x＋x＝6－3
2.解方程：3x＋7＝32－2x.
解：移项，得3x＋2x＝32－7.
合并同类项，得5x＝25.
系数化为1，得x＝5.
　利用移项解一元一次方程的实际应用
3.将一堆糖果分给幼儿园某班的小朋友，如果每人2颗，那么就多8颗；如果每人3颗，那么就少12颗，这个班共有多少名小朋友？
解：设这个班共有x名小朋友.
根据题意，得2x＋8＝3x－12，解得x＝20.
答：这个班共有20名小朋友.
【教学过程】
一、情境引入：
解下列方程：
①－4.5x＋6x＝60；②7a－2a－8a＝45.
学生解答完成：①x＝40；②a＝－15.
今天这节课我们将继续探讨一元一次方程的解法，移项解一元一次方程.
二、新知探究，合作交流：（以小组学习形式进行）
[探究一：移项解一元一次方程]
阅读教材P122－P123内容，完成下面问题：
1.教材P122问题2变形的依据是什么？
答：依据是等式的性质1.
归纳：把等式一边的某项变号移到另一边，叫作　移项　.
2.思考：通过移项，含未知数的项与常数项分别位于方程左、右两边，使方程更接近于　x＝a　的形式，　移项要变号　.
3.应用：（1）解方程：①5y＋5＝21－3y；
解：移项，得5y＋3y＝21－5，
合并同类项，得8y＝16，
系数化为1，得y＝2.
②2x－＝－＋2.
解：移项，得2x＋＝2＋，
合并同类项，得x＝，
系数化为1，得x＝1.
（2）完成教材P124练习第1题.
[探究二：列方程解应用题]
阅读教材P123例4内容，完成下面问题：
1.列方程解应用题的关键是什么？
答：关键是读懂题意，弄清楚题目中的等量关系.
2.应用：（1）男生、女生共有若干名，男生与女生人数之比为4∶3，后来走了12名女生，这时男生人数恰好是女生人数的2倍，求原来的男生和女生人数.
　　解：设原来男生人数为4x人，则女生人数为3x人，由题意，得3x－12＝×4x，即3x－12＝2x，移项，得3x－2x＝12，合并同类项，得x＝12.当x＝12时，4x＝4×12＝48，3x＝3×12＝36.
答：原来的男生人数为48人，女生人数为36人.
（2）完成教材P124练习第3题.
【仿例】小李预计若干天看完一本故事书.如果他计划每天看32页，则有31页来不及看；如果他计划每天看36页，则最后一天必须多看3页才能看完.小李预计的是几天看完？这本书有多少页？
解：设预计x天看完，列方程得：32x＋31＝36x＋3，解得x＝7，36x＋3＝255.
答：小李预计的是7天看完，这本书有255页.
归纳：列方程解应用题，关键是找出相等关系，此题的数量关系是“书的页数”是不变的.
[集中展示与交流]
1.组织学生以小组为单位进行有序展示（表演、口述讲解或板书）学习成果，并将疑难问题展示在黑板上，小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
三、评价与反思：（引导学生自己总结）
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上，教师点评并板书：
移项解一元
一次方程
2.分层作业
（1）完成教材P124练习第4题.
（2）完成相应训练.
第3课时　利用去括号解一元一次方程
核心素养目标：
1.根据具体问题中的数量关系，列出方程，将实际问题转化为数学问题.
2.探索含有括号的一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的一般步骤，并体会解方程中的化归思想.
3.通过贴近生活的数学问题的探讨，在独立思考的过程中进一步体会方程模型的作用，体会学习数学的实用性.
教学重难点：
重点：会解含有括号的一元一次方程.
难点：建立一元一次方程模型解决实际问题.
【命题热点】
　利用去括号解一元一次方程
1.将方程3（x－1）＝6去括号，正确的是（D）
A.3x－1＝6 B. x－3＝6
C.3x＋3＝6 D.3x－3＝6
2.解方程：2（x－2）＝－（x＋3）.
解：去括号，得2x－4＝－x－3.
移项，得2x＋x＝－3＋4.
合并同类项，得3x＝1.
系数化为1，得x＝.
　利用去括号解一元一次方程的实际应用
3.一架飞机在两个城市之间飞行，当顺风飞行时需2.9h，当逆风飞行时则需3.2h.已知风速为30km/h，求无风时飞机的航速.
解：设无风时飞机的航速为xkm/h.
由题意，得2.9（x＋30）＝3.2（x－30），
解得x＝610.
答：无风时飞机的航速为610km/h.
【教学过程】
一、情境引入：
我们已经学习了运用一元一次方程解决一些比较简单的实际问题，本节继续讨论如何列、解一元一次方程的问题.当问题中数量关系较复杂时，列出的方程的形式也会较复杂，解方程的步骤也相应更多.这节课我们来学习解带有括号的一元一次方程.
二、新知探究，合作交流：（以小组学习方式进行）
[探究一：去括号解一元一次方程]
阅读教材P124－P125例5之前内容，完成下面问题：
1.教材P124问题3还有其他列方程的方法吗？用其他方法列出的方程应怎样解？
解：设去年下半年平均每月用电xkW·h，则上半年平均每月用电（x＋2000）kW·h，列方程6（x＋2000）＋6x＝150000.解方程，得x＝11500，那么上半年平均每月用电量为11500＋2000＝13500（kW·h）.
归纳：方程中有带括号的式子时，应先去括号.
2.思考：一般列方程有两种方法：方法一是直接设元法，方法二是间接设元法，方程中有带括号的式子时，利用　分配律　去括号是常用的化简步骤.
3.应用：（1）解方程3（x＋1）－（3x－2）＝4（x－5）.
解：去括号，得3x＋3－3x＋2＝4x－20，
移项，得3x－3x－4x＝－20－3－2，
合并同类项，得－4x＝－25，
系数化为1，得x＝.
（2）完成教材P126练习第1题.
　　【仿例】若3x＋（2a＋1）＝x－（3a＋2）的解是0，求a的值.
答案：a＝－.
思考并讨论：如何求a的值？
答：将方程的解x＝0代入，便可求出a的值.
归纳：若一个等式中含有两个未知数，如果知道其中一个未知数的值，代入便可求出另一个的值.
[探究二：列方程解应用题]
阅读教材P125－P126例6内容，完成下面问题：
1.列方程解实际问题的关键是什么？
答：关键是正确建立方程中的等量关系，另外求出x的值后，一定要检验它是否符合题意.
2.应用：学校组织65名同学为学校建花坛搬砖，七年级同学每人搬6块，其他年级同学每人搬8块，总共搬了400块，问七年级同学有多少人参加了搬砖？
解：设七年级有x人参加了搬砖，则其他年级有（65－x）人参加搬砖，根据题意，得6x＋8（65－x）＝400，解得x＝60.答：七年级有60人参加搬砖.
[集中展示与交流]
1.组织学生以小组为单位进行有序展示（表演、口述讲解或板书）学习成果，并将疑难问题展示在黑板上，小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
三、评价与反思：（引导学生自己总结）
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上，教师点评并板书：
利用去括号解一元一次方程的步骤：（1）去括号 ；（2）移项；（3）合并同类项；（4）系数化为1.
2.分层作业：
（1）完成教材P126练习第2、3题.
（2）完成相应训练.
第4课时　利用去分母解一元一次方程
核心素养目标：
1.能较熟练地通过去分母解一元一次方程.
2.归纳、掌握解一元一次方程的一般步骤.
3.在解决实际问题的过程中理清基本的数量关系，并能列出方程，感受方程对解决实际问题的作用，培养学生的方程意识，体会数学的化归思想，把复杂变简单，将未知变已知的作用，体会数学的应用价值.
教学重难点：
重点：掌握去分母解方程的方法.
难点：会解含有分母的一元一次方程.
【命题热点】
　利用去分母解一元一次方程
1.解方程：－＝1.
解：去分母，得3（x－3）－2（2x＋1）＝6.
去括号，得3x－9－4x－2＝6.
移项及合并同类项，得－x＝17.
系数化为1，得x＝－17.
　利用去分母解一元一次方程的实际应用
2.一项工程，甲队单独完成需要施工12天，乙队单独完成需要8天，现在由甲队先工作2天，剩下的由两队合作完成还需要几天？
解：设剩下的由两队合作完成还需要x天，依题意，得
＋＝1，解得 x＝4.
答：剩下的由两队合作完成还需要4天.
【教学过程】
一、情境引入：
投影展示P126－P127问题4，由教材问题可以得到方程＝，这个方程与我们前面学习的一元一次方程又有区别，都含有分母，那么这样的方程又该怎么解？这是这节课我们将要学习的含有分母的一元一次方程的解法.
二、新知探究，合作交流：（以小组学习方式进行）
[探究一：去分母解一元一次方程]
阅读教材P127－P128内容，完成下面问题：
1.观察方程－2＝－，去分母，得5（3x＋1）－10×2＝（3x－2）－2（2x＋3），去分母时应注意什么？
答：应注意：①对于单独的一个数也要乘以最小公倍数，不能漏乘；②去掉分母后，分数线也同时去掉，分子上的多项式是一个整体，应用括号括起来.
归纳：解一元一次方程的一般步骤包括：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1等.通过这些步骤可以使以x为未知数的方程逐步向着x＝a的形式转化，这个过程主要依据等式的基本性质和运算律等.
2.思考：去分母依据的是　等式的性质2　，　去分母　时，先找出　最小公倍数　，在等式两边同时乘以这个数，千万不要漏乘　常数项　.
3.应用：（1）解方程－＝1.
解：去分母，得2（x＋3）－3（x＋1）＝6.
去括号，得2x＋6－3x－3＝6.
移项，得2x－3x＝6－6＋3，
合并同类项，得－x＝3.
系数化为1，得x＝－3.
（2）完成教材P129练习题.
　　【仿例】解方程（x－30）＝7，下列变形比较简便的是（　　）
A.方程两边都乘以20，得16（x－30）＝140
B.方程两边都除以，得x－30＝
C.去括号，得x－24＝7
D.方程整理，得×＝7
答案：C
归纳：去分母的方法有很多，我们要根据实际情况，选择最快速简洁的方法.
[探究二：列方程解应用题]
1.已知船在静水中的速度是24千米/时，水流速度是2千米/时，该船在甲、乙两地间行驶一个来回共用了24小时，求从甲到乙（顺水）及从乙到甲（逆水）航行各用了多少时间？甲、乙两地的距离是多少？
解：设甲、乙两地距离是x千米，由题意，得＋＝24.解得x＝286，所以从甲到乙用了＝11（小时），从乙到甲用了＝13（小时），甲、乙两地的距离是286千米.
2.思考：顺水、逆水问题中应注意什么？
答：顺水、逆水问题中应注意：顺水速度＝船在静水中的速度＋水速；逆水速度＝船在静水中的速度－水速.一般不直接设顺水或逆水速度.
[集中展示与交流]
1.组织学生以小组为单位进行有序展示（表演、口述讲解或板书）学习成果，并将疑难问题展示在黑板上，小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
三、评价与反思：（引导学生自己总结）
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上，教师点评并板书：
解一元一次方程的一般步骤：
去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1.
2.分层作业：
（1）完成教材P130习题第3题.
（2）完成相应训练.

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