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2025-2026学年人教版数学七年级上册 第五章 一元一次方程
5.3 实际问题与一元一次方程（讲义）
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学习目标
初步学会分析实际问题中的数量关系，能找出题目中的等量关系。
能根据等量关系列出一元一次方程，解决简单的实际问题。
掌握列一元一次方程解决实际问题的一般步骤。
体会数学建模思想，感受数学与现实生活的联系，提高应用数学的意识和能力。
知识点梳理
（一）列一元一次方程解决实际问题的一般步骤
列一元一次方程解决实际问题，关键在于把实际问题转化为数学问题（即建立方程模型）。其一般步骤可以概括为：
审（审题）：
含义： 仔细阅读题目，理解题意，明确题目中的已知量、未知量以及它们之间的数量关系。
关键点： 找出题目中的“相等关系”或“等量关系”，这是列方程的依据。
方法： 可以圈点勾画重要信息，特别是表示数量关系的关键词，如“多”、“少”、“和”、“差”、“倍”、“分”、“是”、“比”、“占”等。
设（设未知数）：
含义： 选择一个适当的未知量用字母表示，通常设为 。
方法：
直接设元法： 问什么设什么（即求什么就设这个量为 ）。
间接设元法： 当直接设元列方程比较困难时，可以设与所求量相关的另一个量为 ，再通过这个量求出所求量。（预习阶段以直接设元为主）
注意： 设未知数时，要带上单位。
列（列方程）：
含义： 根据审题时找到的等量关系，用含未知数 的代数式表示出相关的量，然后列出方程。
核心： 将文字语言描述的等量关系，转化为用数学符号（代数式和等号）表示的方程。
关键： 确保方程两边所表示的意义相同，单位一致。
解（解方程）：
含义： 运用一元一次方程的解法（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）求出未知数的值。
要求： 步骤规范，计算准确。
验（检验）：
含义： 将求得的未知数的值代入原方程，检验是否使方程左右两边相等；同时，还要检验这个解是否符合实际问题的意义（如人数不能为负数，物品数量不能为分数等，除非题目允许）。
重要性： 检验是确保答案正确性的关键一步，不可忽略。
答（写出答案）：
含义： 根据检验的结果，用简洁、完整的语言写出实际问题的答案，并带上相应的单位。
注意： 答案要与题目所问相对应。
（二）常见的实际问题中的等量关系类型（部分列举，预习阶段重点理解方法）
和、差、倍、分问题：
这类问题的关键是抓住题目中表示数量关系的关键词。
例如：
是 的 倍：
比 多（大）：
比 少（小）：
与 的和是 ：
一个量增加（减少）了它的几分之几：例如，某数 增加它的二分之一后是 ，则 或
行程问题（基本类型）：
路程 = 速度 × 时间 ()
相遇问题： 甲走的路程 + 乙走的路程 = 总路程
追及问题（同地不同时）： 前者走的路程 = 后者走的路程
追及问题（同时不同地）： 前者走的路程 + 两地距离 = 后者走的路程
工程问题（基本类型）：
通常把工作总量看作单位“1”。
工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间
工作总量 = 工作效率 × 工作时间
若甲、乙合作完成一项工作，则：甲的工作量 + 乙的工作量 = 总工作量（通常为1）
利润问题：
利润 = 售价 - 进价（成本）
利润率 = 利润 ÷ 进价 × 100%
售价 = 进价 × (1 + 利润率) 或 售价 = 标价 × 折扣
等积变形问题：
形状改变，体积（或面积）不变。
例如：圆柱体积 = 底面积 × 高，长方体体积 = 长 × 宽 × 高。变形前后体积相等。
（三）列方程解应用题的关键步骤强调
“审”和“找”是前提： 准确理解题意，找出等量关系是列方程的基础。
“设”和“列”是核心： 恰当设元，根据等量关系正确列出方程。
“解、验、答”是保障： 确保求解正确，答案符合实际。
知识点总结
核心思想： 列一元一次方程解决实际问题的核心是“用字母表示未知数，根据等量关系列出方程”，即建立数学模型解决实际问题。
一般步骤： 审（审题找等量关系）→ 设（设未知数）→ 列（列方程）→ 解（解方程）→ 验（检验）→ 答（写答案）。这六个步骤缺一不可，尤其是“审”和“验”容易被忽略。
关键环节：
审题： 耐心细致，抓住关键词，明确已知量和未知量。
找等量关系： 这是列方程的依据，是解决问题的关键。可以尝试用文字等式先表示出来。
检验： 不仅要检验解是否满足方程，还要检验解是否符合实际意义。
注意事项：
设未知数时要带单位。
列方程时，方程两边的代数式所表示的意义要相同，单位要统一。
解方程的步骤要规范，计算要准确。
写出答案时要完整、明确，并带上单位。
巩固练习
一、选择题
1．某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（　　）
A．2×1000（26﹣x）=800x B．1000（13﹣x）=800x
C．1000（26﹣x）=2×800x D．1000（26﹣x）=800x
2．在一次猜谜抢答赛上，每人需要回答30道题目，答对1题加20分，答错1题扣10分，小明共得了120分，设小明答对了 道题．根据题意列出的方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．某班同学到一养殖场参观，发现A养殖区母鸡与猪的头数共70，而腿数共196，那么A养殖区的母鸡比猪多(　　)．
A．14只 B．16只 C．22只 D．42只
4．轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时，若船速为26千米/时，水速为2千米/时，求A港和B港相距多少千米．设A港和B港相距x千米．根据题意，可列出的方程是（　　）
A． B．
C． D．
5．某工程甲单独完成要45天，乙单独完成要30天，若乙先单独干22天，剩下的由甲单独完成．问甲、乙一共用几天可以完成全部工作，若设甲、乙共用x天完成，则符合题意的方程是（　　）
A．+=1 B．+=1
C．+=1 D．+=1
6．甲种铅笔每支元，乙种铅笔每支元，用元钱买了两种铅笔共支，设买了甲种铅笔支，则下列方程错误的是（　　）
A． B．
C． D．
7．小明同学买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张．设所用的5元纸币为 张，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C．5 D．
8．某数与8的和的等于这个数的，则这个数为（　　）
A． B． C． D．
9．内径为120mm的圆柱形玻璃杯，和内径为300mm，内高为32mm的圆柱形玻璃盆可以盛同样多的水，则玻璃杯的内高为（　　）
A．150mm B．200mm C．250mm D．300mm
10．有几名同学在日历上圈出相邻的四个数，并计算出它们的和分别为54，62，88，44，10，29，20，其中错误的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．如图，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为2，点M从点A出发以3个单位长度/秒的速度向右运动，同时点N从点B出发以2个单位长度/秒也向右运动，设运动时间为t秒，当时，t的值为　 　．
12．我国明代数学家程大位的数学名著《算法统宗》中有一道以绳测井的题，其原文是：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多4尺，若将绳四折测之，绳多1尺，绳长井深各几何？”用绳子测井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？则该问题的井深是　 　尺.
13．某种品的标价为120元，若以九折降价出售，仍获利20%，该商品的进货价为　 　元．
14．一项工程，甲单独做需10小时完成，乙单独做需12小时完成；现在两人合作3小时后，由乙独做，若设乙队再用x小时完成，则可列方程　 　 ．
15．某班学生在绿化校园活动中共植树140棵，其中5位学生每人种4棵，其余学生每人种3棵，设这个班共有x个学生，由题意可列方程：　　 　．
16．将连续奇数1，3，5，7，9……排成如图所示的数表．
用长方形框在如图所示的数表中任意框出九个数，将长方形框上下左右移动，可框住另外九个数．若这九个数中最小的数是171，则最大的数是 　 　．
17．如图，将一条长为60cm的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分（阴影处）沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺分为了三段，若这三段长度由短到长的比为1：2：3，则折痕对应的刻度有　 　 种可能．
三、解答题
18．某商场经销A，B两种商品，A种商品每件进价元，售价元；B种商品每件售价元，利润率为．
（1）每件A种商品利润率为______，B种商品每件进价为______元；
（2）若该商场同时购进A，B两种商品共件，恰好总进价为元，则该商场购进A，B两种商品各多少件？
19．已知是最小的正整数，且满足．
（1）填空：_________，_________，_________；
（2）数在数轴上对应的点分别是，点为数轴上一动点，其对应的数为，点在1到2之间运动时（即），请化简式子：；
（3）在（2）的条件下，点在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．若在运动过程中的值保持不变，求的值．
20．某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一套西装送一条领带；②西装和领带都按定价的付款．现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带x（）．
（1）若该客户按方案①购买，需付款_________元（用含x的代数式表示）；若该客户按方案②购买，需付款________元（用含x的代数式表示）；
（2）若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？
（3）当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．
21．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，如：可看作数轴上点3到点2的距离：可看作数轴上点3到点的距离． 请你利用数轴解决以下问题：
（1）已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，则可看作点P到表示_______的点的距离；可看作点P到表示_________的点的距离；若数轴上点P位于表示的点与表示2的点之间，则___________；
（2）若数轴上表示m的数求出满足，利用数轴求出满足条件的m的值；（写出求解过程）
（3）已知点A，B，C在数轴上表示数分别为：，3，7，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒钟1个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度……，求Q点运动几秒钟后到点A，B，C各点距离之和最短？
22．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段以达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下：（消费按月份结算，表示立方米）
价目表
每月用水量 价格
不超过 元
超出不超出的部分 元
超出的部分 元
（1）某户居民1月份和2月份的用水量分别为和，则应收水费分别是　 　元和　 　元．
（2）若该户居民3月份用水量为（其中），则应收水费多少元？（用含的式子表示，并化简）．
（3）若该户居民4月份交水费元，求该户居民4月用水多少？
参考答案
1．C
2．A
3．A
4．A
5．A
6．D
7．D
8．A
9．B
10．D
11．或12
12．8
13．90
14．（+）×3+x=1　
15．20+3（x﹣5）=140
16．207
17．4
18．（1），
（2）该商场购进A种商品件，购进B种商品件
19．（1），1，5
（2）
（3）
20．（1），
（2）解：由题意得当时，
方案①需付费为：元，
方案②需付费为：元，
，
按方案①购买较为合算．
（3）解：先按方案①购买20套西装（送20条领带），再按方案②购买10条领带，
共需费用为：元，
，
当时，此方案更省钱．
21．（1）2，，
（2）或
（3）15
22．（1）10；20
（2）解：由依题意得：元
答：应收水费元；
（3）解：设月份用水，
当时，由（2）可得应收水费
解得：，不合题意，
∴
；
解得：
答：该户居民4月用水．

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