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第五章 一元一次方程
5.3　实际问题与一元一次方程
第1课时　产品配套和工程问题
核心素养目标：
1.掌握利用一元一次方程解决实际问题，根据实际问题中的等量关系列出方程，掌握配套问题，培养分析问题、解决问题的能力.
2.经历分析配套问题中的数量关系，列出方程，并依据乘法的分配律去括号，感悟方程是刻画现实世界的一个有效模型，训练学生运用新知识解决实际问题的能力，体会“建模”思想.
教学重难点：
重点：根据题意，分析各类问题中的数量关系，会熟练地列方程解应用题.
难点：从实际问题中抽象出数学模型.
【命题热点】
　配套问题
1.一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，如果1立方米木料可制作方桌的桌面50个或制作桌腿300条，现有5立方米木料，请你设计一下，用多少木料做桌面，用多少木料做桌腿，恰好配成方桌多少张？
解：设用x立方米木料做桌面，那么用（5－x）立方米木料做桌腿，根据题意，得
4×50x＝300（5－x）.解得x＝3.
所以5－x＝2，50x＝150.
答：用3立方米木料做桌面，用2立方米木料做桌腿，恰好配成方桌150张.
　工程问题
2.维修一段管道，师傅单独维修需4小时完成，徒弟单独维修需6小时完成.如果徒弟先修30分钟，再与师傅一块维修，还需　2.2　小时完成.
【教学过程】
一、情境引入：
从前面的讨论中我们可以看出，方程是分析和解决问题的一种很有用的数学工具.本节我们重点讨论如何用一元一次方程解决实际问题.
二、新知探究，合作交流：（以小组学习方式进行）
[探究一：产品配套问题]
阅读教材P133例1内容，完成下面问题：
1.例1中的等量关系是什么？
例1中的等量关系是：每天生产的螺母数量＝每天生产的螺栓数量×2.
归纳：用一元一次方程解决实际问题的基本思路是：设、列、解、检、答等步骤.
2.思考：如果设x名工人生产螺母，那么列出方程是　2000x＝2×1200（22－x）　.
3.应用：（1）某童车厂生产由一个车身和三个车轮组成的童车，工厂有88名工人，每名工人每个星期可生产5个车身或9个车轮，问如何安排这些工人，使得他们每个星期生产的车身和车轮配套？
解：设安排x个工人生产车身，则生产车轮有（88－x）人，根据题意得：5x＝（88－x）×9÷3.
去括号，得5x＝88×3－3x，
移项且合并同类项，得8x＝88×3，
系数化为1，得x＝33.
故安排生产车轮有88－33＝55（人）.
答：安排33人生产车身，55人生产车轮.
（2）完成教材P134练习第3题.
[探究二：工程问题]
阅读教材P133－P134例2内容，完成下面问题：
1.工程问题中一般把总工作量看作什么？
答：看成单位1.
　　归纳：工程问题中一般用“工作量＝人均效率×人数×时间”的关系考虑问题.
2.应用：（1）一项工程，由甲单独做需30天，由乙单独做需50天，现由甲、乙共同完成这项工程且施工期间乙要休息14天，那么完成这项工程需要几天？
解：设这项工程需要x天完成.
由题意，得x＋（x－14）＝1，
去分母，得5x＋3（x－14）＝150，
去括号，得5x＋3x－42＝150，
移项、合并同类项，得8x＝192，
系数化为1，得x＝24.
答：完成这项工程需要24天.
（2）完成教材P134练习第1、2题.
【仿例】检查一处住宅区的自来水管，甲单独完成需14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需12天，前7天由甲、乙两人合作，但乙中途离开了一段时间，后两天乙、丙两人合作完成，问中途乙离开了几天？
解：设乙离开了x天，乙实际工作了（7－x＋2）天，根据题意得：＋＋＝1，即－＋＋＝1.移项、合并同类项，得－＝－.系数化为1，得x＝3.答：乙中途离开了3天.
归纳：正确地表示出工作效率是解题的关键.
[集中展示与交流]
1.组织学生以小组为单位进行有序展示（表演、口述讲解或板书）学习成果，并将疑难问题展示在黑板上，小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
三、评价与反思：（引导学生自己总结）
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上，教师点评并板书：
（1）产品配套问题.
（2）工程问题.
（3）用一元一次方程解决问题的基本过程：
2.分层作业：
（1）完成教材P140习题第3、4、5题.
（2）完成相应训练.
第2课时　销售中的盈亏
核心素养目标：
1.理解商品销售中所涉及的进价、原价、售价、利润、打折、利润率等这些基本量之间的关系.
2.能利用一元一次方程解决商品销售中的实际问题.
3.通过商品销售问题的学习，使学生认识到数学的应用价值，通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心.
教学重难点：
重点：理解商品销售中的“进价”“标价”“售价”“利润”及“利润率”等的含义.弄清它们之间存在的等量关系.
难点：能根据商品销售问题中的数量关系找出等量关系，列出方程.
【命题热点】
　销售问题
1.某种商品每件的标价是220元，按标价的八折销售时，仍可获利10％，则这种商品每件的进价为　160　元.
　储蓄问题
2.老王把 10000元按一年期定期储蓄存入银行，到期支取时，扣去利息税后实得本利和为10160元，已知利息税税率为20％，问当时一年期定期储蓄的年利率为多少？
解：设当时一年期定期储蓄的年利率为x，由题意，得10000（1＋x）－20％×10000x＝10160，
解得x＝0.02.
答：当时一年期定期储蓄的年利率为2％.
【教学过程】
一、情境引入：（投影展示）
填空：
（1）一件衣服的进价为50元，售价为60元，利润是　　　　元，利润率是　　　.
（2）一件衣服的进价为50元，售价为80元，若按售价的8折出售，利润是　　　元，利润率是　　　.
（3）一件衣服的进价为50元，若要利润率是20％，应把售价定为　　　　元.
学生思考后得出答案：（1）10，20％；（2）14，28％；（3）60.
这节课我们将要学习产品中的销售问题.
二、新知探究，合作交流：（以小组学习方式进行）
[探究一：销售中的盈亏]
阅读教材P135内容，完成下面问题：
1.盈利和亏损分别是什么意思？
答：进价小于售价就是盈利，进价大于售价就是亏损.
归纳：不要认为一件盈利25％，一件亏损25％，结果就是不盈不亏，因为盈亏要看这两件衣服的总进价和总售价.
2.思考：利润＝　售价　－　进价　；
利润率＝　×100％.
3.应用：（1）两件商品都卖84元，其中一件亏损20％，另一件盈利40％，则两件商品卖出后是盈利还是亏本？
解：设亏损20％的那件商品的进价为x元，
依题意，得x－20％x＝84，解得x＝105，
设盈利40％的那件商品的进价为y元，依题意，得y＋40％y＝84，解得y＝60，
两件商品的进价为105＋60＝165（元），而两件商品的售价为84＋84＝168（元）.
进价小于售价，所以这两件商品卖出后共盈利3元.
（2）完成教材P136练习第1题.
[探究二：折扣问题]
1.什么是打折？
答：商家为了促销所采用的一种销售手段，打折就是以标价为基础，按一定比例降价出售，如打八折，就是按标价的80％出售.
2.思考：实际售价＝　标价　×打折率.
3.应用：商场将某种品牌的冰箱先按进价提高50％作为标价，然后打出“八折酬宾，外送100元运装费”的广告，结果每台冰箱仍获利300元，求每台冰箱的进价是多少元.
解：设每台冰箱的进价为x元，则标价为x·（1＋50％）元.根据题意，得x·（1＋50％）×80％－100＝x＋300.解这个方程，得x＝2000.答：每台冰箱的进价是2000元.
　　【仿例】一种商品的进价是400元，标价为600元，打折销售时的利润率为5％，那么此商品是按几折销售的？
解：设此商品是按x折销售的.
根据题意，得600×＝400（1＋5％），解得x＝7.
答：此商品是按七折销售的.
归纳：利用一元一次方程来解决商品销售中的一些实际问题，首先要弄清楚商品的进价，标价，售价，打折，利润等含义，以及它们之间的关系，然后分析题目中的数量关系，找出能表示题目全部意义的等量关系，根据这个等量关系列出方程.求出方程的解后，一定要检验解的合理性.
[集中展示与交流]
1.组织学生以小组为单位进行有序展示（表演、口述讲解或板书）学习成果，并将疑难问题展示在黑板上，小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
三、评价与反思：（引导学生自己总结）
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上，教师点评并板书：
利润＝售价－进价
售价＝标价×
利润率＝×100％
售价＝进价＋利润＝进价×（1＋利润率）
商品的原价×（1＋提高的百分数）＝商品的现价
商品的原价×（1－降低的百分数）＝商品的现价
2.分层作业：
（1）完成教材P141习题第10题.
（2）完成相应训练.
第3课时　球赛中的积分问题
核心素养目标：
1.通过对实际问题的分析，掌握用方程计算球赛积分这一类问题的方法.
2.学会解决信息图表问题的方法.
3.经历探索球赛积分中数量关系的过程，进一步体会方程式解决实际问题的数学模型，认识数学与生活的紧密联系、数学题目的形式多样性，培养学生学习数学的兴趣.
教学重难点：
重点：把实际问题转化为数学问题，不仅会列方程求出问题的解，还会进行推理判断.
难点：分析题意找出实际问题中的等量关系，列出方程.
【命题热点】
　球赛积分问题
1.在NBA的某场季后赛中，有一球员22投14中得28分，除了3个三分球全中外，他还投中　8　个两分球和　3　个罚球.（罚球得一分）
2.某项球类比赛，每场比赛必须分出胜负，其中胜1场得2分，负1场得1分.某队在全部16场比赛中得到25分，求这个队胜、负场数分别是多少？
解：设这个队胜x场，则负（16－x）场，根据题意，得2x＋1×（16－x）＝25，解得x＝9.
则16－x＝7.
答：这个队胜9场，负7场.
【教学过程】
一、情境引入：（投影展示）
请同学们观察下面几幅图片，看看这些球员的精彩比赛……他们是怎么分出胜负的？
今天这节课我们继续来探讨用一元一次方程解决实际问题——球赛中的积分问题.
二、新知探究，合作交流：（以小组学习方式进行）
[探究一：球赛积分问题]
阅读教材P136探究2内容，完成下面问题：
1.观察探究2表格，如果删去积分榜的最后一列，你还能用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系吗？
答：还能用式子表示这三者之间的关系.
归纳：利用方程解决实际问题时，不仅要注意列、解方程的过程是否正确，还要　检验　方程的解是否符合问题的实际意义.
2.应用：某球队参加了10场足球赛，共积17分，已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，其中该队输了3场，该队胜了几场？
解：设该球队共胜了x场.
根据题意，得3x＋10－3－x＝17，解得x＝5.
答：这支球队共胜了5场.
【仿例】下表是德国足球甲级联赛部分球队积分榜，观察后先列方程写出计算过程，然后把结果填在表格里.
球队 比赛场次 胜场 负场 平场 积分
沃尔夫斯堡 34 21 69
斯图加特 34 7 67
柏林赫塔 34 8 64
　　（规定：足球比赛胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分.）
解：设沃尔夫斯堡负x场，则平（34－21－x）场.根据题意，得21×3＋（34－21－x）＝69.解得x＝7，则平了34－21－x＝6（场）.同理建立方程可求得斯图加特胜了20场，负了7场；柏林赫塔胜了19场，平了7场.
　　归纳：比赛总场数＝胜场数＋负场数＋平场数；
比赛总积分＝胜场积分＋平场积分＋负场积分.
[探究二：图表信息问题]
1.某飞机停机前的运行速度v（米/秒）和运行时间t（秒）之间的关系如下表：
t 0 1 2 3 4 …
v 42 39 36 33 30 …
　　（1）观察表中数据规律，求飞机运行7秒时的运行速度；
（2）利用（1）探究的规律说明飞机经过多少运行时间后可以停下来.
解：观察表格，可发现飞机的速度每秒减小3米.
（1）飞机运行7秒时的运行速度为42－3×7＝21（米/秒）.
（2）由题意，得42－3t＝0.解得t＝14.即14秒后飞机停下来.
2.应用：体育文化用品商店购进篮球和排球共20个，进价和售价如表，全部销售完后共获利润260元.
篮球 排球
进价（元/个） 80 50
售价（元/个） 95 60
　　（1）购进篮球和排球各多少个？
（2）销售6个排球的利润与销售多少个篮球的利润相等？
答案：（1）篮球12个，排球8个.　（2）4个.
[集中展示与交流]
1.组织学生以小组为单位进行有序展示（表演、口述讲解或板书）学习成果，并将疑难问题展示在黑板上，小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
三、评价与反思：（引导学生自己总结）
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上，教师点评并板书：
相等关系
2.分层作业：
（1）完成教材P141习题第12题.
（2）完成相应训练.
第4课时　方案设计问题
核心素养目标：
1.初步学会用一元一次方程解决实际问题.
2.体会用一元一次方程解决实际问题的基本过程，经历观察、猜想、分析、总结、归纳等，体验分类讨论思想和方程思想，感受数学与生活的联系，激发学生学习数学的热情.
教学重难点：
重点：探究用一元一次方程解决实际问题的方法技能，进一步感受数学模型化的思想.
难点：分析实际问题中的数量关系，根据其中的等量关系列方程.
【命题热点】
　分段计费问题
1.某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过12吨，按每吨a元收费；若超过12吨，则超过部分按每吨2a元收费，如果某户居民五月份缴纳水费20a元，那么该居民这个月实际用水　16　吨.
　方案选择问题
2.用A4纸在某打印社复印文件，复印页数不超过50页时，每页收费0.12元：复印页数超过50页时，超过部分每页收费0.09元.在某图书馆复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费0.1元。如何根据复印的页数选择复印的地点，使总价格比较便宜？（复印的页数不为零）
解：设复印的页数为x页，
当x＞50时，打印社收费为：[6＋0.09（x－50）]元；
图书馆收费为0.1x元；
由题意，得6＋0.09（x－50）＝0.1x，
解得x＝150.
故当x＝150时，两处收费相等；
当x＞150时，在打印社复印便宜；
当x＜150时，在图书馆复印便宜.
【教学过程】
一、情境引入：
现在社会已进入经济社会、信息社会，人们的生产、生活活动时刻与经济信息相连，人们的交流、沟通常常会用到电话，移动电话已进入千家万户.面对电信公司推出的不同付费套餐，我们应怎样选择适合自己的经济实惠的付费方式呢？我们这节课就要探究这个问题.
二、新知探究，合作交流：（以小组学习方式进行）
[探究一：方案决策问题]
阅读教材P138－P139内容，回答下列问题
1.某校计划添置20张办公桌和一批椅子（椅子不少于20把），现在从A、B两家家具公司了解到：同一款式的产品价格相同，办公桌每张210元，椅子每把70元.A公司的优惠政策为：每买一张办公桌赠送一把椅子；B公司的优惠政策为：办公桌和椅子都实行八折优惠.
（1）若到A公司买办公桌的同时买m（m＞20）把椅子，则应付款多少元？
（2）若规定只能选择一家公司购买桌椅，在什么情况下到两家公司购买付款一样多？
（3）如果买办公桌的同时买30把椅子，可到A、B任意一家公司购买.请你设计一种购买方案，使付款最少.
解：（1）应付款（70m＋2800）元；
（2）设买椅子x把时，到两家购买付款一样多.
则可列方程70x＋2800＝（210×20＋70x）×0.8，解得x＝40.
答：当买40把椅子时，到两家购买付款一样多；
（3）要使付款最少，可先去A公司买20张办公桌，可送20把椅子，再去B公司买10把椅子.
　　2.思考：讨论哪种方案更优惠，实质上是什么？
答：实质比较表示不同方式的几个式子的大小，找出等量关系，列出方程进行解答.
3.应用：某校计划购买若干台电脑，现在从两家商场了解到同一型号的电脑每台报价均为4000元，甲商场经理说：“第一台按原报价收费，其余每台优惠25％”，乙商场经理说：“每台优惠20％”.
（1）若购买4台，哪家商场较优惠？买6台呢？
（2）买多少台时两家商场收费一样多？
（3）你知道怎样选择更省钱吗？
解：（1）甲：4000＋4000（1－25％）×（4－1）＝13000（元）；
乙：4000×（1－20％）×4＝12800（元），
买4台选乙商场优惠.
甲：4000＋4000×（1－25％）×（6－1）＝19000（元）；
乙：4000×（1－20％）×6＝19200（元），
买6台选甲商场优惠.
（2）设买x台，甲、乙收费一样多.
4000＋4000（1－25％）（x－1）＝4000（1－20％）x，∴x＝5.
（3）当购买少于5台时，选乙商场优惠；当购买超过5台时，选甲商场较优惠；当买5台时，选甲、乙商场优惠一样多.
[集中展示与交流]
1.组织学生以小组为单位进行有序展示（表演、口述讲解或板书）学习成果，并将疑难问题展示在黑板上，小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
三、评价与反思：（引导学生自己总结）
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上，教师点评并板书：
2.分层作业：
（1）完成教材P139练习第1、2题.
（2）完成相应训练.

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