资源简介

第六章 几何图形初步
6.3　角
6.3.1　角的概念
核心素养目标：
1.通过丰富的实例，理解角的形成，建立几何中角的概念，掌握角的两种定义形式、几种表示方法，理解角的度量制.
2.通过在图片、实例中找角的过程，培养学生的观察、探究、抽象、概括的能力以及把实际问题转化为数学问题的能力.
3.通过实际操作，体会角在实际生活中的应用，培养学生积极参与数学学习活动的热情和对数学的好奇心与求知欲.
教学重难点：
重点：角的概念与角的表示方法以及角度的换算.
难点：正确理解角的概念，角度的换算.
【命题热点】
　角的定义及表示方法
1.如图，由点O引射线OA，OB，OC，则这三条射线组成　3　个角，
分别是　∠1，∠2、∠BOC　，其中∠AOB用数字表示为　∠1　，∠2用三个字母表示为　∠AOC　.
　角的度量及换算
2.计算：1800'＝（D）
A.10° B.18° C.20° D.30°
3.计算：21°30'＝　21.5　°.
　时钟上的角度问题
4.钟表上的时间是3时30分，此时时针与分针所成的夹角是　75　度.
　方位角
5.如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东62°的方向上，观测到小岛B在它南偏东38°的方向上，则∠AOB的度数是　80°　.
【教学过程】
一、情境引入：（投影展示）
请同学们看屏幕，这是时钟转动的时刻.
同学们，观察时钟的时针与分针，给我们什么样的平面图形的形象？请把它画出来.学生思考后动手画出图形.
那么这些图形叫作什么图形呢？这是我们这节课将要学习的内容——角.
二、新知探究，合作交流：（以小组学习方式进行）
[探究一：角的概念及表示方法]
阅读教材P170内容，完成下面问题：
1.课件演示角的形成过程，你知道角是由什么图形组成的吗？
答：有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.
2.思考：（1）　角　也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转形成的图形.
（2）角的表示方法有4种：
①用　三个大写字母　可表示任意一个角，即用角的两边上的两个字母和顶点的字母表示角，必须把　顶点　的字母写在中间；
②用一个大写字母表示一个　独立　（以某一个字母为顶点的角只有　一　个）的角；
③在角的顶点处加上弧线，标注上数字，用这个　数字　来表示角；
④在角的顶点处加上弧线，标注上小写希腊字母，用这个　小写希腊字母　来表示这个角.
3.应用：如图所示，写出全部符合条件的角.
（1）能用一个大写字母表示的角；
（2）能用一个数字表示的角，并将这些角用字母表示出来；
（3）以D为顶点且小于平角的角；
（4）以A为顶点且小于平角的角.
解：（1）∠B.
（2）∠1可用∠ABD（∠ABC，∠ABE，∠B）表示；∠2可用∠CAD表示.
（3）∠ADC，∠ADE和∠ADB.
（4）∠BAD，∠DAC（∠2）和∠BAC.
[探究二：度、分、秒之间的换算]
阅读教材P171内容，完成下面问题：
1.填空：1周角＝　360°　，1平角＝　180°　，1°＝　60'　，
1'＝　60″　.
2.思考：（1）57.32°＝　57　° 　19　'　12　″；
（2）27°14'24″＝　27.24°　.
3.应用：计算：
（1）13°29'＋78°37'　　　
解：原式＝91°66'
＝92°6'　　（2）61°39'－22°5'32″
解：原式＝61°38'60″－22°5'32″
＝39°33'28″
【仿例】求2点15分，时针与分针的夹角的度数.
答案：时针每小时转30°，分针每分钟转6°.
从零点至2点15分：
时针转过的度数：2×30°＝67.5°；
分针转过的度数：15×6°＝90°；
即其夹角的度数：90°－67.5°＝22.5°.
归纳：计算钟表上的角度，要先求出时针与分针各转过多少度，涉及时针每小时转多少度，分针每小时转多少度.
[探究三：方位角]
阅读教材P171例1，完成下面问题：
1.什么是方位角？
答：方位角是以正北或正南方向为基准，描述物体运动方向的角.
2.思考：如图，射线OA表示的方向是　北偏西30°　，射线OB表示的方向是　南偏东65°　，射线OC表示的方向是　南偏西30°　，射线OD表示的方向是　北偏东45°（或东北方向）　.
3.应用：（1）填空：如图，小明在操场上从A点出发，
先沿南偏东30°方向走到B点，再沿南偏东60°方向走到C点，这时∠ABC的度数是　150°　.
（2）完成教材P178习题第5题.
[集中展示与交流]
1.组织学生以小组为单位进行有序展示（表演、口述讲解或板书）学习成果，并将疑难问题展示在黑板上，小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
三、评价与反思：（引导学生自己总结）
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上，教师点评并板书：
（1）角的概念及表示方法.
（2）度、分、秒之间的换算.
（3）方位角.
2.分层作业：
（1）完成教材P178习题第3、6题.
（2）完成相应训练.
6.3.2　角的比较与运算
核心素养目标：
1.会利用度、分、秒之间的单位互化及角的和、差、倍、分的计算解决简单的几何图形问题及实际问题.
2.通过运用度、分、秒间的互化及角度的简单运算，经历利用已有知识解决新问题的探索过程，培养学生的数感和对数学活动的兴趣.
教学重难点：
重点：会比较角的大小，会分析图中角的和差关系，能熟练运用角的平分线.
难点：分析图中角的和差关系以及角的平分线的运用.
【命题热点】
　角的大小比较
1.在∠AOB内部任取一点C，作射线OC，则一定存在（A）
A.∠AOB＞∠AOC B.∠AOC＞∠BOC
C.∠BOC＞∠AOC D.∠AOC＝∠BOC
　角的运算
2.把一张纸按图中方式折叠后，若得到∠AOB'＝70°，则∠B'OG＝　55　度.
【教学过程】
一、情境引入：（投影展示）
怎样比较图中∠A，∠B，∠C的大小？
学生思考讨论得出结论：（1）可用量角器先量出角的度数，然后比较它们的大小；（2）类比线段长短的比较方法，也可把它们叠合在一起比较大小.这节课我们将要学习角的大小比较及角的有关运算.
二、新知探究，合作交流：（以小组学习方式进行）
[探究一：角的比较]
阅读教材P173内容，完成下面问题：
1.如何用叠合的方法比较角的大小？
答：把一个角移到另一个角上，使顶点及一条边分别重合；两个角的另一边都在重合边的同侧，观察这两边的位置关系，就能得出两个角的大小关系.
归纳：角的大小比较方法有　度量法　和　叠合法　，其中度量法是从数进行比较，叠合法是从形进行比较，从数量上看，数大的角　大　，从形上看，开口大的角　大　.
2.应用：（1）
如图所示，回答下列问题：
①比较∠FOD与∠FOE的大小；
②借助三角尺比较∠DOA与∠DOF的大小；
③借助量角器比较∠AOE与∠DOF的大小.
解：①∠FOD＜∠FOE.
②∵∠DOA＞90°，∠DOF＜90°，
∴∠DOA＞∠DOF.
③通过度量，得到∠AOE＜∠DOF.
（2）完成教材P174练习第1题.
[探究二：角的运算]
阅读教材P174－P175内容，完成下面问题：
1.填空：如图，∠AOC＝∠　AOB　＋∠　BOC　＝∠　AOD　－∠　COD　，∠BOD＝∠　BOC　＋∠　COD　＝∠　AOD　－∠　AOB　.
　　2.思考：在透明纸上面画一个角，沿着顶点对折，使角的两边重合，如图，∠AOC被折痕OB分成的两个角有什么关系？
答：相等.
归纳：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的　平分线　.类似地，还有角的三等分线等.
3.应用：（1）如图，O是直线PQ上的点，已知∠AOB＝90°，OC平分∠AOQ，∠BOQ＝20°，求∠POC的度数.
解：∵∠AOB＝90°，∠BOQ＝20°，
∴∠AOQ＝∠AOB－∠BOQ＝90°－20°＝70°.
∵OC平分∠AOQ，∴∠COQ＝∠AOQ＝×70°＝35°.
∴∠POC＝180°－∠COQ＝180°－35°＝145°.
（2）完成教材P176练习第2、3题.
【仿例】如图所示，OB是∠AOC的平分线，OD平分∠COE，若∠AOE＝128°，求∠BOD的度数.
解：由角平分线定义可知∠BOC＝∠AOC，∠COD＝∠COE.故∠BOD＝∠BOC＋∠COD＝∠AOC＋∠COE＝（∠AOC＋∠COE）＝∠AOE＝×128°＝64°.
归纳：题目中有角平分线的，由角平分线可找到角之间的数量关系，即相等或倍数关系.
[集中展示与交流]
1.组织学生以小组为单位进行有序展示（表演、口述讲解或板书）学习成果，并将疑难问题展示在黑板上，小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
三、评价与反思：（引导学生自己总结）
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上，教师点评并板书：
2.分层作业：
（1）完成教材P178习题第7、8题.
（2）完成相应训练.
6.3.3　余角和补角
核心素养目标：
1.在具体的现实情境中，认识一个角的余角和补角，掌握余角和补角的性质.
2.通过余角和补角的学习过程，进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想.
3.体会观察、归纳、推理对获取余角和补角性质的重要作用.初步体会数学中推理的严谨性和结论的确定性，能在独立地和小组交流中获益.
教学重难点：
重点：认识角的互余、互补关系及其性质，确定方位.
难点：互余、互补的性质及确定具体物体的方位.
【命题热点】
　直接利用余角与补角的定义求角的度数
1.若∠A与∠B互为余角，∠A＝30°，则∠B的补角是（B）
A.60° B.120° C.30° D.150°
2.若一个角的补角等于它的余角的3倍，则这个角为（C）
A.75° B.60° C.45° D.30°
　根据余角、补角的性质解决问题
3.将一副三角板按照如图所示的位置摆放，则图中的∠α和∠β的关系一定成立的是（C）
A.∠α与β互余 B.∠α与∠β互补
C.∠α与∠β相等 D.∠α比∠β小
第3题图
第4题图
4.如图，O是直线AB上一点，∠BOE＝∠DOC＝90°，OB平分∠DOF，图中与∠DOE互余的角有哪些？与∠DOE互补的角有哪些？
解：与∠DOE互余的角有∠COE，∠DOB，∠BOF；与∠DOE互补的角有∠COB，∠EOF.
【教学过程】
一、情境引入：
1.你们平时所用的直角三角板的三个内角分别是多少度？其中两个锐角的和是多少度？
2.任意一个直角三角形的两个锐角之和是多少度？
3.除了三角板上的角以外，还有一些角具有这样的特殊关系，你还能举出这样的例子吗？
学生交流并回答：1.30°，60°，90°或45°，45°，90°；90°；2.90°.
今天我们来学习新知识点，余角和补角.
二、新知探究，合作交流：（以小组学习方式进行）
[探究：余角和补角]
阅读教材P176内容，完成下面问题：
1.已知∠1＝36°，∠2＝54°，∠3＝144°，∠4＝36°，那么∠1＋∠2＝？∠3＋∠4＝？
答：∠1＋∠2＝36°＋54°＝90°，∠3＋∠4＝144°＋36°＝180°.
归纳：（1）如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角，即∠1与∠2互余.
（2）如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角，即∠3与∠4互补.
2.思考：如果∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，∠1＝∠3，那么　∠2＝∠4　；如果∠1与∠2，∠3都互为补角，∠2与∠3的大小关系是　∠2＝∠3　；同角（等角）的余角　相等　，同角（等角）的补角　相等　.
　　3.应用：（1）
如图，A、O、B三点在一条直线上，∠AOC＝∠DOE＝90°，图中共有几对相等的角？几对互余的角？几对互补的角？
解：相等的角有五对：∠1与∠3、∠2与∠4、∠AOC与∠COB、∠AOC与∠DOE、∠DOE与∠COB.互余的角有四对：∠1与∠2、∠1与∠4、∠2与∠3、∠3与∠4.互补的角有七对：∠1与∠DOB、∠4与∠AOE、∠AOC与∠COB、∠AOC与∠DOE、∠DOE与∠COB、∠3与∠DOB、∠2与∠AOE.
（2）完成教材P177练习第1题.
【仿例】有一个角的余角比这个角的补角的一半还少8°，那么这个角的余角是多少度？
答案：设这个角的余角为x°，则它的补角为（90＋x）°，依题意得：x＝（90＋x）－8，解得x＝74，所以这个角的余角是74°.
归纳：正确理解两个角互为余角和互为补角的概念才能更快更准的解决问题.
[集中展示与交流]
1.组织学生以小组为单位进行有序展示（表演、口述讲解或板书）学习成果，并将疑难问题展示在黑板上，小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
三、评价与反思：（引导学生自己总结）
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上，教师点评并板书：
（1）同角（等角）的余角相等.
（2）同角（等角）的补角相等.
2.分层作业：
（1）完成教材P178习题第4题.
（2）完成相应训练.

展开更多......

收起↑