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第二十一章 一元二次方程
一、知识概述
类别 具体内容
学习目标 1. 理解一元二次方程的定义，能准确判断一个方程是否为一元二次方程；2. 掌握解一元二次方程的四种方法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法），能根据方程特点选择恰当解法；3. 能建立一元二次方程模型解决实际问题（如增长率、面积、利润问题等），掌握“设未知数—列方程—解方程—检验—作答”的解题流程；4. 理解一元二次方程根的判别式的意义，能利用判别式判断方程根的情况
知识重难点 重点：1. 一元二次方程的定义及一般形式（，）；2. 解一元二次方程的四种方法（尤其是因式分解法和公式法的灵活运用）；3. 列一元二次方程解决实际问题难点：1. 配方法的步骤（将二次项系数化为1、移项、配方、开方）；2. 实际问题中等量关系的寻找（如面积问题中“整体减部分”“平移后边长关系”，利润问题中“总利润=单利润×销售量”）；3. 方程解的实际意义检验（如长度、人数不能为负，增长率不能大于1等）
二、习题演练
题目 答题技巧
1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）A. 　　B. 　　C. 　　D. 答题技巧：红色字体：判断一元二次方程需满足三个条件：①整式方程（分母不含未知数、根号不含未知数）；②只含一个未知数；③未知数最高次数为2且二次项系数不为0。逐一排除不符合条件的选项：A是一次方程，C是分式方程，D是二元一次方程，仅B符合。
2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）A. 3，-5，1　　B. 3，5，1　　C. 3，-5，-1　　D. 3，5，-1 答题技巧：红色字体：先将方程化为一般形式（），其中是二次项（系数），是一次项（系数），是常数项，注意符号要随项一起走。本题方程已为一般形式，直接提取系数即可。
3. 若方程是一元二次方程，则的值为（　　）A. 2　　B. -2　　C. 　　D. 无法确定 答题技巧：红色字体：根据一元二次方程定义，需同时满足：①二次项系数（避免二次项消失）；②未知数最高次数（保证是二次方程）。先解次数方程得，再排除（系数为0），最终得。
4. 用直接开平方法解方程，所得的解是（　　）A. ，　　B. ，　　C. ，　　D. ， 答题技巧：红色字体：直接开平方法适用于“（）”形式的方程，解题步骤：①两边同时开平方，得；②分两种情况解一元一次方程。本题开平方后得，分别解和即可。
5. 用配方法解方程，配方后所得的方程是（　　）A. 　　B. 　　C. 　　D. 答题技巧：红色字体：配方法步骤：①移项（将常数项移到右边）：；②配方（两边加“一次项系数一半的平方”，即）：；③化为完全平方形式：。
6. 用公式法解方程，其中的值是（　　）A. 17　　B. 13　　C. 25　　D. 5 答题技巧：红色字体：公式法中，根的判别式，需先确定一般形式中、、的值（，，），注意的符号；再代入计算：。
7. 用因式分解法解方程，所得的解是（　　）A. 　　B. ，　　C. 　　D. ， 答题技巧：红色字体：因式分解法核心是“降次”，先提取公因式，将方程化为；再根据“若两个数的积为0，则至少一个数为0”，得或，解出两个根。
8. 方程的根的情况是（　　）A. 有两个不相等的实数根　　B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根　　D. 无法确定 答题技巧：红色字体：判断根的情况需计算判别式：①→两个不相等实根；②→两个相等实根；③→无实根。本题，，，，故有两个相等实根。
9. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　）A. 　　B. 　　C. 　　D. 答题技巧：红色字体：方程有实数根（包括两个相等或不相等实根），需满足。先计算，再列不等式，解得。
10. 解方程，最简便的方法是（　　）A. 直接开平方法　　B. 配方法　　C. 公式法　　D. 因式分解法 答题技巧：红色字体：选择解法的原则是“简便优先”：①能因式分解（如二次三项式能拆成两个一次式乘积）优先用因式分解法；②形如“”用直接开平方法；③二次项系数为1且一次项系数为偶数用配方法；④无法因式分解或形式复杂用公式法。本题可分解为，故用因式分解法最简便。
11. 若是一元二次方程的一个根，则的值为（　　）A. -3　　B. 3　　C. -2　　D. 2 答题技巧：红色字体：“方程的根”即满足方程的未知数的值，将代入方程，得，化简为，解一元一次方程得。
12. 已知一元二次方程的两个根分别为、，则的值为（　　）A. 4　　B. -4　　C. 3　　D. -3 答题技巧：红色字体：利用韦达定理（根与系数的关系）：对于（），两根之和，两根之积。本题，，故。
13. 若一元二次方程的两根之差为，则的值为（　　）A. 　　B. 　　C. 　　D. 答题技巧：红色字体：利用韦达定理和“”的变形公式。设两根为、，则，；由，两边平方得，代入变形公式：，解得，故。
14. 某商品原价为200元，连续两次降价后售价为162元，若每次降价的百分率相同，则这个百分率为（　　）A. 10%　　B. 20%　　C. 15%　　D. 25% 答题技巧：红色字体：增长率/降价率问题公式：（“+”表增长，“-”表降价，为次数）。设百分率为，则第一次降价后价为，第二次为，列方程，解方程时注意百分率，舍去不合理的解。
15. 一个长方形的长比宽多3cm，面积为40cm ，则这个长方形的宽为（　　）A. 5cm　　B. 8cm　　C. -5cm或8cm　　D. -8cm或5cm 答题技巧：红色字体：面积问题需设未知数表示边长，再根据“面积公式”列方程。设宽为cm，则长为cm，列方程，化为一般形式；解方程后需检验解的实际意义（长度不能为负），舍去负根。
16. 解方程： 答题技巧：红色字体：先将左边展开，化为一元二次方程一般形式：，整理得；再观察是否能因式分解（可分解为），或用公式法，避免直接对开平方（右边不是完全平方，且左边不是平方形式）。
17. 解方程： 答题技巧：红色字体：二次项系数不为1，且无法因式分解，优先用公式法或配方法。用公式法：先确定，，，计算，再代入求根公式，化简根号（），最终得。
18. 解方程： 答题技巧：红色字体：方程两边都有项，优先移项后提取公因式，避免直接除以（可能漏根）。移项得，提取公因式：，化简括号内式子：，最终方程为，解出两根。
19. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　）A. 　　B. 且　　C. 　　D. 且 答题技巧：红色字体：需同时满足两个条件：①是一元二次方程→二次项系数（）；②有两个不相等实根→。计算，列不等式→，综上且。
20. 某工厂今年1月份的产值为100万元，3月份的产值为121万元，若每月产值的增长率相同，则2月份的产值为（　　）A. 110万元　　B. 115万元　　C. 120万元　　D. 125万元 答题技巧：红色字体：增长率问题中，“1月到3月”是两次增长，设增长率为，则3月产值为，解方程得（舍去负根），则2月产值为1月产值×(1 + x) = 100×1.1 = 110万元，无需先求的具体值，简化计算。
21. 若、是一元二次方程的两个根，则的值为（　　）A. 3　　B. -3　　C. 　　D. 答题技巧：红色字体：先将所求式子通分，化为用韦达定理表示的形式：；再用韦达定理得，，代入计算：。
22. 解方程：（用配方法） 答题技巧：红色字体：配方法步骤：①移项：；②配方（加一次项系数一半的平方，即）：；③化为完全平方：；④开平方：；⑤解两个一元一次方程，得两根。
23. 若方程的两个根为，，则、的值分别为（　　）A. ，　　B. ，　　C. ，　　D. ， 答题技巧：红色字体：利用韦达定理逆用：若两根为、，则方程可表示为，展开后与对比系数。展开，故，；或直接用韦达定理：，，计算得→，→。
24. 一个直角三角形的两条直角边的和为14cm，面积为24cm ，则斜边的长为（　　）A. 10cm　　B. 12cm　　C. 14cm　　D. 16cm 答题技巧：红色字体：设其中一条直角边为cm，则另一条为cm，根据“直角三角形面积=直角边1×直角边2”列方程：，化为一般形式；解方程得两条直角边为6cm和8cm，再用勾股定理求斜边：cm。
25. 解方程： 答题技巧：红色字体：方程两边都是完全平方形式，可移项后用“平方差公式因式分解”（），避免直接开平方漏根。移项得，因式分解：，化简括号内：，解出两根。
26. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（　　）A. 　　B. 　　C. 　　D. 答题技巧：红色字体：方程没有实数根，即判别式。计算，列不等式，解得。
27. 某商场销售一批衬衫，每件进价为100元，售价为150元时，平均每天可售出20件，为扩大销售，商场决定降价销售，经调查发现，每件衬衫每降价1元，平均每天可多售出2件，若商场想平均每天盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？设每件衬衫降价元，可列方程为（　　）A. 　　B. C. 　　D. 答题技巧：红色字体：利润问题核心公式：“总盈利=单件盈利×销售量”。单件盈利=售价 - 进价 - 降价金额= ；销售量=原销售量 + 因降价增加的销售量= （每降1元多售2件，降元多售件）；根据总盈利1600元，列方程即可，注意销售量不能为负，后续解方程需检验。
28. 解方程： 答题技巧：红色字体：观察方程左边是完全平方公式（），即，，，故左边可化为，直接开平方得，解得两个相等的实根。
29. 已知一元二次方程的两个根为、，则的值为（　　）A. 5　　B. 6　　C. 7　　D. 8 答题技巧：红色字体：将所求式子用韦达定理变形：；用韦达定理得，，代入计算：。
30. 如图（无图，改为文字描述：一个矩形场地，长比宽多4m，现要在场地四周修一条宽1m的小路，小路面积为48m ，求原矩形场地的长和宽） 答题技巧：红色字体：面积问题中“小路面积”=“大矩形面积（场地+小路） - 原矩形面积”。设原矩形宽为m，则长为m；大矩形宽=原宽 + 2×小路宽= （左右各1m），大矩形长=原长 + 2×小路宽= ；根据小路面积=48，列方程：，展开后化简解方程，检验解的实际意义。
答案与解析（绿色字体）
答案：B解析：A是一元一次方程，C是分式方程（分母含未知数），D是二元一次方程，仅B满足“整式方程、单未知数、最高次2”，故选B。
答案：A解析：方程为一般形式，二次项系数，一次项系数，常数项，注意一次项系数符号，故选A。
答案：B解析：由一元二次方程定义，，解得→，排除（系数为0），故，选B。
答案：A解析：开平方得，当时，；当时，，故，，选A。
答案：A解析：移项得，配方加得，即，选A。
答案：A解析：，，，，选A。
答案：B解析：提取公因式得，故或，解得，，选B。
答案：B解析：，故方程有两个相等的实数根，选B。
答案：A解析：方程有实数根→，，解得，选A。
答案：D解析：可分解为，因式分解法无需复杂计算，最简便，选D。
答案：A解析：将代入方程得，解得，选A。
答案：A解析：韦达定理：，选A。
答案：B解析：由韦达定理，，；，得，故，选B。
答案：A解析：设百分率为，列方程，化简得，开平方得（舍去），解得，选A。
答案：A解析：设宽为cm，长为cm，列方程，即，因式分解得，解得（舍去），，故宽为5cm，选A。
答案：，解析：展开左边得，整理为，因式分解得，故或，解得，。
答案：，解析：，，，，代入求根公式，故，。
答案：，解析：移项得，提取公因式得，即，解得，。
答案：B解析：需满足，→，且，故选B。
答案：A解析：设增长率为，列方程，解得，故2月产值=100×1.1=110万元，选A。
答案：B解析：，由韦达定理，，，代入得，选B。
答案：，解析：移项得，配方加得，开平方得，解得，。
答案：A解析：由韦达定理，→→；→→，选A。
答案：A解析：设直角边为cm和cm，列方程，即，解得，，斜边=cm，选A。
答案：，解析：移项得，因式分解得，即，解得，。
答案：A解析：方程无实根→，→，选A。
答案：A解析：单件盈利=150 - 100 - x，销售量=20 + 2x，总盈利=(150 - 100 - x)(20 + 2x)=1600，选A。
答案：解析：左边化为，开平方得，解得。
答案：A解析：，选A。
答案：原矩形宽为6m，长为10m解析：设原矩形宽为m，长为m，大矩形宽=，长=，列方程，展开得，化简得，解得？（此处修正：重新计算：→？不对，重新展开：，，相减得→→，则长=9 + 4=13m？之前步骤无误，计算正确：原宽9m，长13m，检验：大矩形长15m，宽11m，面积165m ，原面积117m ，小路面积165 - 117=48m ，正确。故答案：原矩形宽为9m，长为13m。

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