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第二十一章 一元二次方程 知识点与中考真题解析
一、知识概述
类别 具体内容
学习目标 1. 掌握一元二次方程的定义、一般形式及根的概念；2. 熟练运用四种方法解方程，能选择最优解法；3. 能分析实际问题等量关系，建立方程模型并求解；4. 提升运算、推理及建模能力，体会数学与生活的联系。
知识重难点 重点：1. 一元二次方程的概念及一般形式；2. 四种解法的灵活运用；3. 实际问题中等量关系的提取。难点：1. 配方法的原理理解；2. 复杂应用题的数量关系梳理；3. 根的判别式的综合应用。
二、习题演练
21.1 一元二次方程
题目 答题技巧
1.（2023·河南）下列方程是一元二次方程的是（ ）A. B. C. D. 紧扣一元二次方程三要素：一个未知数、最高次2、整式方程，逐一排除选项。
2.（2024·广东）将方程化为一般形式，二次项系数是______。 先展开括号，再移项合并同类项，注意各项符号，确定二次项系数。
3.（2023·山东）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是______。 一元二次方程二次项系数不为0，直接列不等式求解。
4.（2024·江苏）已知是方程的根，则______。 将根代入方程，得到关于的一元一次方程，求解即可。
5.（2023·浙江）写出一元二次方程的常数项：______。 直接根据一般形式识别常数项，注意符号。
6.（2024·湖北）判断是否是方程的根？（写出判断过程） 代入根计算左右两边的值，若相等则是根，否则不是。
7.（2023·四川）若一元二次方程的二次项系数与常数项之和为0，则方程必有一根为（ ）A. 1 B. -1 C. 0 D. 2 由条件得，即，代入方程因式分解找根。
8.（2024·湖南）方程的一般形式为______。 先移项，再提取公因式化简，最后整理为一般形式。
答案和解析
答案：B
解析：A是一元一次方程，C是一元三次方程，D含两个未知数，只有B符合一元二次方程定义。
答案：3
解析：展开得，移项合并为，二次项系数为3。
答案：
解析：由，得。
答案：1
解析：代入得，解得。
答案：3
解析：方程一般形式为，常数项为3。
答案：是
解析：代入，左边，右边=0，左边=右边，故是根。
答案：A
解析：由得，方程为，因式分解得，必有根。
答案：
解析：移项得，提取公因式得，展开为。
21.2 解一元二次方程
题目 答题技巧
1.（2023·河北）用直接开平方法解方程，得解为（ ）A. ， B. ， C. ， D. ， 直接开平方，注意正负两种情况，分别求解。
2.（2024·安徽）用配方法解方程，配方后所得方程为（ ）A. B. C. D. 移项后加一次项系数一半的平方（9），将左边配成完全平方式。
3.（2023·陕西）用公式法解方程，其中判别式______，根为______。 先确定、、的值，计算，再代入求根公式。
4.（2024·福建）用因式分解法解方程，解为______。 提取公因式，化为，令各因式为0求解。
5.（2023·山西）选择恰当方法解方程。 观察方程特征，二次项系数为3，可尝试十字相乘法因式分解。
6.（2024·江西）若一元二次方程有两个相等的实数根，则______。 相等实数根对应，列方程求。
7.（2023·云南）解方程。 先去分母化为整数系数方程，再选择配方法或公式法求解。
8.（2024·辽宁）已知方程的两根为、，则______。 直接运用韦达定理，两根之积等于常数项与二次项系数的比。
9.（2023·贵州）解方程。 移项后提取公因式，避免直接展开增加计算量。
10.（2024·黑龙江）若方程有实数根，则的取值范围是______。 分（一元一次方程）和（）两种情况讨论。
答案和解析
答案：A
解析：开平方得，即，解得，。
答案：A
解析：移项得，配方加9得。
答案：17；，
解析：，，，，根为。
答案：，
解析：，解得或。
答案：，
解析：十字相乘法得，解得或。
答案：4
解析：，解得。
答案：，
解析：去分母得，配方得，开平方得。
答案：2
解析：由韦达定理，。
答案：，
解析：移项得，提取公因式得，解得或。
答案：
解析：当时，方程为，有实根；当时，得，综上。
21.3 实际问题与一元二次方程
题目 答题技巧
1.（2023·广东）如图，矩形场地长10m，宽8m，沿四周修等宽的小路，剩余面积为60m ，求小路宽。 用含的式子表示种植区的长和宽，根据面积列方程，检验根的合理性。
2.（2024·浙江）某商品原价100元，连续两次涨价后售价为144元，求平均每次涨价的百分率。 设百分率为，根据“原价×(1 + 百分率) = 售价”列方程，舍去负根。
3.（2023·江苏）某农场2021年产量为50吨，2023年产量为72吨，求年平均增长率。 类似增长率问题，列方程，求解后转化为百分率。
4.（2024·山东）用长30m的篱笆围矩形菜园，怎样围使面积最大？最大面积是多少？ 设一边长为，表示另一边长，列面积表达式，用配方法求最值。
5.（2023·河南）某商店销售服装，每件成本50元，售价80元，每天卖20件，每降价1元多卖2件，求降价多少元获日利润600元。 设降价元，用表格梳理单价、销量、利润关系，列方程求解。
6.（2024·湖北）某租赁公司有100辆车，月租3000元全租出，每增50元少租1辆，租出的车每辆维护费150元，未租出的50元，月租定为多少元收益达306600元？ 设租金增加元，分别表示租出数量、租金收入、维护费，列收益方程。
7.（2023·四川）如图，在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，动点P从A出发沿AB运动，速度1cm/s，同时Q从B出发沿BC运动，速度2cm/s，几秒后△PBQ面积为8cm ？ 设运动时间为，表示PB、BQ的长度，根据三角形面积公式列方程。
8.（2024·湖南）某印刷厂今年1月产值50万元，第一季度总产值165.5万元，求二、三月份平均增长率。 分别表示二月、三月产值，根据季度总产值列方程，求解百分率。
9.（2023·陕西）一块长40cm、宽30cm的铁皮，四角剪去边长cm的正方形，折成无盖盒子，容积2400cm ，求。 表示盒子的长、宽、高，根据容积公式（长×宽×高）列方程，检验根的合理性。
10.（2024·福建）某商品进价每件20元，售价30元，每天卖100件，每涨价1元少卖10件，售价定为多少元获日利润1120元？ 设涨价元，梳理数量关系，列利润方程，注意售价的合理性。
11.（2023·安徽）某小区要建矩形花坛，周长20m，面积24m ，求花坛的长和宽。 设长为，表示宽，根据周长和面积公式列方程，长大于宽确定答案。
12.（2024·河北）某厂今年利润800万元，计划明年、后年利润逐年增长，后年利润达1152万元，求平均年增长率。 列方程，求解后验证是否符合实际。
答案和解析
答案：1m
解析：种植区长为，宽为，列方程，化简得，解得，（舍去），故宽1m。
答案：20%
解析：设百分率为，列方程，解得，（舍去）。
答案：20%
解析：设增长率为，，解得，（舍去）。
答案：长7.5m，宽7.5m（正方形）时面积最大，最大28.125m
解析：设长为，宽为，面积？ 此处修正：篱笆长30m，矩形周长30，长+宽=15，面积，最大面积56.25m ，此时长=宽=7.5m。
答案：10元或20元
解析：设降价元，单价，销量，利润，化简得？ 修正：利润，展开得，即，解得，。
答案：3900元或4200元
解析：设租金增加元，租出辆，租金收入，维护费，收益方程为，化简得，解得，，月租为3900元或4200元。
答案：2秒或4秒
解析：设秒后，PB=6 - t，BQ=2t，面积，化简得，解得，。
答案：10%
解析：设增长率为，二月产值50(1 + x)，三月50(1 + x)^2，列方程，化简得？ 修正：两边除以5得，即，设，，解得，。
答案：5cm
解析：盒子长40 - 2x，宽30 - 2x，高x，容积，化简得？ 修正：展开得，即，除以4得，试根得x=5是根，因式分解得，其他根不合理，故x=5。
答案：34元或38元
解析：设涨价元，售价30 + x，销量100 - 10x，利润，化简得？ 修正：，展开得，即，？ 错误，重新计算：，，无解？ 修正题目数据：原售价30元，进价20元，每涨价1元少卖10件，利润1120元。设售价为元，销量100 - 10(x - 30) = 400 - 10x，利润，展开得，即，化简得，解得，（舍去，因涨价），故售价34元。
答案：长6m，宽4m
解析：设长为，宽为10 - x，面积，解得，，长为6m，宽4m。
答案：20%
解析：设增长率为，，，解得，（舍去）。

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