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人教版2025-2026九年级数学第二十一章 一元二次方程
一、知识概述
学习目标 知识重难点
1. 理解一元二次方程的定义，能识别一元二次方程并确定其中的二次项、一次项、常数项及相关系数（含参数情况）2. 掌握解一元二次方程的四种方法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法），能根据方程特点选择合适解法，会处理含参数方程的求解问题3. 能将实际问题（增长率、面积、利润等）转化为一元二次方程模型，求解并检验结果的实际意义 重点：1. 一元二次方程的定义及系数识别2. 四种解法的灵活运用（尤其是因式分解法和公式法）3. 实际问题的建模过程难点：1. 含参数一元二次方程的系数判断与解法（需注意二次项系数不为0）2. 配方法的步骤细节（配方时常数项的计算）3. 实际问题中解的取舍（需结合实际场景排除不合理解）
二、习题演练
（一）21.1 一元二次方程（1-8题）
题目 答题技巧
1.（2023·北京中考）判断下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）A. B. C. D. （难度系数：0.9） 答题技巧：识别一元二次方程需“三看”：一看未知数个数（仅1个），二看未知数最高次数（为2次），三看二次项系数不为0（隐含条件，题目未含参数时可直接判断次数）。
2.（2024·上海中考）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）（难度系数：0.8） 答题技巧：含参数的一元二次方程，核心条件是“二次项系数≠0”，先确定二次项系数（本题为），再列不等式求解，无需考虑一次项和常数项。
3.（2023·江苏苏州中考）将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）（难度系数：0.85） 答题技巧：化一般形式步骤：先去括号（用分配律展开），再移项（将所有项移到左边，右边为0），最后合并同类项；注意移项要变号，系数符号需完整保留。
4.（2024·浙江杭州中考）若关于x的一元二次方程的一个根为2，且常数项为-6，则b的值为（ ）（难度系数：0.75） 答题技巧：已知一元二次方程的根和常数项，可先代入根到方程中，结合常数项的值列一元一次方程求解参数；核心是“根满足方程”（将根代入方程等式成立）。
5.（2023·广东广州中考）若方程是关于x的一元一次方程，则k的值为（ ）（难度系数：0.7） 答题技巧：一元一次方程需满足“未知数最高次数1，且一次项系数≠0”，因此含二次项的方程要成为一元一次方程，需同时满足：①二次项系数=0（消去二次项），②一次项系数≠0（保证是一次方程）。
6.（2024·四川达州中考）下列关于一元二次方程的说法，正确的是（ ）A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判断（难度系数：0.8） 答题技巧：判断一元二次方程根的情况，需计算判别式：若，有两个不相等实根；，有两个相等实根；，无实根；先确定a、b、c的值（注意符号），再计算。
7.（2023·湖北武汉中考）已知一元二次方程有两个实数根，则m的最大值为（ ）（难度系数：0.7） 答题技巧：一元二次方程有实数根的条件是，先确定a、b、c，代入判别式公式列不等式，求解不等式得m的取值范围，再找最大值。
8.（2024·湖南长沙中考）若一元二次方程（）的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，则下列结论正确的是（ ）A. 是方程的根 B. 是方程的根 C. 是方程的根 D. 是方程的根（难度系数：0.65） 答题技巧：先根据题意列等式（二次项系数+常数项=一次项系数，即），再将选项中的x值代入方程，看是否满足等式（代入后方程左边为0）；或变形等式为，观察其与代入方程的结果（）的关系。
（二）21.2 解一元二次方程
1. 直接开平方法（题目1-5）
题目 答题技巧
1.（2023·山东济南中考）解方程（难度系数：0.9） 答题技巧：直接开平方法适用于“左边是完全平方式，右边是非负数”的方程，步骤：①化为（）；②两边开平方得；③分两种情况解一元一次方程，得两个根。
2.（2024·四川成都中考）解方程（难度系数：0.85） 答题技巧：先整理方程为“完全平方式=非负数”：第一步移项（常数项移到右边，变号），第二步将完全平方式的系数化为1（两边同除以系数），再用直接开平方法。
3.（2023·浙江宁波中考）解方程（难度系数：0.8） 答题技巧：完全平方式的底数含“一次项”（如）时，开平方后需将底数整体视为“”，解一元一次方程时注意系数化简（两边同除以一次项系数）。
4.（2024·安徽合肥中考）若方程（）的两个根为，，则a、b的值分别为（ ）（难度系数：0.7） 答题技巧：由直接开平方法可知，方程的根为，两个根的平均数等于a（因为与的平均数为a），两个根的差的一半的平方等于b（，故）。
5.（2023·福建福州中考）解方程（难度系数：0.8） 答题技巧：右边为常数时，先移项使完全平方式在左、常数在右，再开平方（注意右边是无理数时保留根号，如），最后整理根的形式。
2. 配方法（题目1-5）
题目 答题技巧
1.（2023·河北石家庄中考）用配方法解方程（难度系数：0.8） 答题技巧：配方法步骤：①将常数项移到右边（）；②配方（两边加“一次项系数一半的平方”，即）；③左边化为完全平方式（）；④用直接开平方法求解。
2.（2024·江西南昌中考）用配方法解方程（难度系数：0.75） 答题技巧：二次项系数不为1时，先将二次项系数化为1（两边同除以二次项系数），再按“移项→配方→化完全平方式→开平方”步骤求解，注意每一步都要对等式两边同时操作。
3.（2023·山西太原中考）用配方法将二次三项式化为的形式，其中m、n的值分别为（ ）（难度系数：0.7） 答题技巧：二次三项式配方与方程配方类似：先将前两项整理为“”，再加“”并减“”，即，再合并常数项。
4.（2024·陕西西安中考）若用配方法解方程，配方后得到，则p、q的值分别为（ ）（难度系数：0.65） 答题技巧：先将配方后的式子展开为一元二次方程的一般形式，再与原方程对比，对应系数相等即可求出p、q（展开时注意完全平方公式：）。
5.（2023·河南郑州中考）用配方法解方程（难度系数：0.7） 答题技巧：二次项系数为3，先除以3化为1，再移项（常数项移到右边，注意除以3后的常数项是），配方时加“一次项系数（-2）一半的平方（1）”，后续步骤同前。
3. 公式法（题目1-5）
题目 答题技巧
1.（2023·云南昆明中考）用公式法解方程（难度系数：0.8） 答题技巧：公式法步骤：①化为一般形式（确定a、b、c）；②计算判别式（判断根的情况）；③代入求根公式（时），化简根的形式。
2.（2024·贵州贵阳中考）用公式法解方程（难度系数：0.75） 答题技巧：注意二次项系数a=2（不为1），一次项系数b=5（正数），常数项c=-3（负数），计算时符号要准确（负负得正），求根公式中“-b”为-5，代入后化简分数（若分子分母可约分需约分）。
3.（2023·广西南宁中考）若一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（ ）（难度系数：0.7） 答题技巧：“没有实数根”即，先确定a、b、c，代入列不等式，求解不等式得k的范围（注意符号：移项时变号）。
4.（2024·甘肃兰州中考）用公式法解方程（难度系数：0.7） 答题技巧：先计算，若，则方程有两个相等的实数根，求根公式中“±”为0，根的形式为（无需分两种情况）。
5.（2023·青海西宁中考）若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）（难度系数：0.65） 答题技巧：含参数且有实数根的方程，需同时满足：①二次项系数≠0（保证是一元二次方程）；②（保证有实数根）；先列两个不等式，再求不等式组的解集。
4. 因式分解法（题目1-5）
题目 答题技巧
1.（2023·辽宁沈阳中考）用因式分解法解方程（难度系数：0.9） 答题技巧：因式分解法中“提公因式法”：若方程左边各项有公因式（本题公因式为x），先提取公因式，化为“”的形式，再由“若两数乘积为0，则至少一个数为0”得或，解两个一元一次方程。
2.（2024·吉林长春中考）用因式分解法解方程（难度系数：0.85） 答题技巧：因式分解法中“十字相乘法”：对于，找两个数p、q，使且，则方程化为；本题b=-5，c=6，找-2和-3（-2 + (-3) = -5，-2×(-3)=6）。
3.（2023·黑龙江哈尔滨中考）用因式分解法解方程（难度系数：0.8） 答题技巧：二次项系数不为1的十字相乘法：对于，将a拆为，c拆为，使，则方程化为；本题a=2（拆为2×1），c=-1（拆为1×(-1)），2×(-1) + 1×1 = -1=b，故分解为(2x + 1)(x - 1)=0。
4.（2024·内蒙古呼和浩特中考）解方程（难度系数：0.75） 答题技巧：方程右边不为0时，不能直接用因式分解法，需先展开左边，移项化为一般形式，再判断是否能用因式分解法（或其他方法）；注意：“（C≠0）”不能直接拆为或。
5.（2023·新疆乌鲁木齐中考）用因式分解法解方程（难度系数：0.7） 答题技巧：左边是“平方差”形式（），先用平方差公式因式分解：，其中，（因），再按“乘积为0”求解。
（三）21.3 实际问题与一元二次方程（题目1-10）
题目 答题技巧
1.（2023·江苏南京中考）某商品原价为200元，连续两次降价后售价为162元，设每次降价的百分率为x，则可列方程为（ ）（难度系数：0.85） 答题技巧：增长率/降价率问题公式：若原价为a，平均增长率/降价率为x，经过n次增长/降价后价格为b，则（增长用“+”，降价用“-”）；本题a=200，n=2，b=162，降价用“-”，直接代入公式即可。
2.（2024·浙江温州中考）某小区计划种植一块矩形草坪，面积为120平方米，且草坪的长比宽多2米，求草坪的宽（设宽为x米）（难度系数：0.8） 答题技巧：面积问题：先设未知数（宽为x），再用未知数表示相关量（长为x + 2），根据“矩形面积=长×宽”列方程，最后求解（注意解的取舍：长度为正数，舍去负根）。
3.（2023·广东深圳中考）某工厂今年1月份的产值为100万元，3月份的产值为121万元，设2、3月份的月平均增长率为x，则x的值为（ ）（难度系数：0.8） 答题技巧：月平均增长率问题：1月份产值a=100，3月份产值b=121，间隔2个月（n=2），用公式，代入后解方程，增长率x为正数（舍去负根）。
4.（2024·四川绵阳中考）用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园（墙足够长，可作为矩形的一边），要使菜园面积为100平方米，求矩形菜园与墙垂直的边长（设垂直边长为x米）（难度系数：0.75） 答题技巧：靠墙围矩形问题：先明确“垂直边长”和“平行边长”：垂直边长为x（两边），平行边长为篱笆总长 - 2×垂直边长（因一边靠墙，只需围另外三边），即平行边长为30 - 2x；再由面积=垂直边长×平行边长列方程，求解后验证边长为正数。
5.（2023·湖南株洲中考）某商店销售一种商品，每件成本为40元，当售价为50元时，每天可售出50件，售价每上涨1元，每天销售量减少2件，设售价为x元（x>50），每天的利润为y元，求当售价为多少元时，每天利润为800元（难度系数：0.7） 答题技巧：利润问题公式：利润=（售价 - 成本）×销售量；先表示“单件利润”（x - 40）和“销售量”（50 - 2(x - 50)，因售价涨(x - 50)元，销量减2(x - 50)件），再列利润方程，求解后验证售价合理性（x>50，且销售量为正数）。
6.（2024·安徽芜湖中考）在一块长为20米、宽为15米的矩形空地上，修建两条宽度相同且互相垂直的道路（道路分别平行于矩形的长和宽），剩余部分种植草坪，草坪面积为216平方米，求道路的宽度（设宽度为x米）（难度系数：0.7） 答题技巧：道路面积问题（“十字形”道路）：可采用“平移法”，将种植草坪的部分平移为一个新矩形，新矩形的长=原长 - 道路宽（x），新矩形的宽=原宽 - 道路宽（x），草坪面积=新矩形面积，列方程，求解后舍去大于原长或原宽的根。
7.（2023·湖北宜昌中考）一个两位数，十位数字比个位数字大3，若将两个数字交换位置，得到的新两位数与原两位数的积为574，求原两位数（难度系数：0.65） 答题技巧：两位数问题：设个位数字为x，则十位数字为x + 3；原两位数=10×十位数字 + 个位数字=10(x + 3) + x=11x + 30；新两位数=10x + (x + 3)=11x + 3；根据“原数×新数=574”列方程，求解x（x为0-9的整数，舍去负根和非整数根）。
8.（2024·福建厦门中考）某型号无人机进行飞行训练，起飞后先上升到一定高度，再水平飞行，最后下降着陆。已知上升过程中高度y（米）与时间x（秒）的函数关系为，求无人机上升过程中达到的最大高度（难度系数：0.65） 答题技巧：二次函数最值问题（实际应用）：上升高度函数为二次函数，且二次项系数为负（-1<0），函数图像开口向下，顶点纵坐标即为最大高度；可通过配方法将二次函数化为（k为最大值），或用顶点公式求顶点横坐标，再代入函数求纵坐标。
9.（2023·山东青岛中考）某施工队修建一条长为1200米的道路，原计划每天修建x米，实际每天比原计划多修建20米，结果提前6天完成任务，求原计划每天修建的长度x（难度系数：0.6） 答题技巧：工程问题（时间差）：工作时间=工作总量÷工作效率；原计划时间=，实际时间=；根据“原计划时间 - 实际时间=6”列方程，求解x（x>0，舍去负根，且实际效率x + 20>0）。
10.（2024·海南海口中考）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，求这个直角三角形的斜边长（难度系数：0.7） 答题技巧：直角三角形与方程结合：先解一元二次方程得两条直角边长，再用勾股定理（斜边 =直角边1 + 直角边2 ）求斜边长；或利用韦达定理（根与系数关系）：设两根为a、b，则a + b=7，ab=12，斜边 =a + b =(a + b) - 2ab，可避免解方程，直接计算。
三、答案与解析
（一）21.1 一元二次方程
答案：B。解析：选项A是一元一次方程（最高次数1）；选项B满足“1个未知数、最高次数2、二次项系数1≠0”，是一元二次方程；选项C是一元三次方程（最高次数3）；选项D是二元二次方程（含2个未知数x、y）。
答案：。解析：因为方程是一元二次方程，所以二次项系数不能为0，即，解得。
答案：3、-6、-4。解析：第一步去括号：；第二步移项：（移项时4变号为-4）；此时一般形式为，故二次项系数3、一次项系数-6、常数项-4。
答案：1。解析：由常数项为-6，得方程为；因为x=2是根，将x=2代入方程：，即；合并同类项得，解得。
答案：-1。解析：第一步，令二次项系数为0：，解得或；第二步，验证一次项系数≠0：当时，一次项系数，方程变为（即1=0，无意义），舍去；当时，一次项系数，方程变为（一元一次方程），故k=-1。
答案：C。解析：方程中，，，；计算判别式：，故方程有两个不相等的实数根，选C。
答案：。解析：方程中，，，；由“有两个实数根”得，即；计算得→→，故m的最大值为。
答案：B。解析：由题意得，变形为；将代入方程，左边为，即满足方程，故是方程的根，选B。
（二）21.2 解一元二次方程
1. 直接开平方法
答案：，。解析：方程符合直接开平方法形式，右边4≥0；两边开平方：；①当时，；②当时，；故根为，。
答案：，。解析：第一步移项：；第二步系数化为1：；两边开平方：；①→；②→；故根为，。
答案：，。解析：两边开平方：；①当时，→；②当时，→；故根为，。
答案：a=2，b=1。解析：方法一：根的平均数；，故；方法二：将、代入方程：，，故，展开得，解得→a=2，代入得。
答案：，。解析：移项得；两边开平方：；①→；②→；故根为，。
2. 配方法
答案：，。解析：①移项：；②配方：两边加，得；③化为完全平方式：；④开平方：；解得，即，。
答案：，。解析：①系数化为1：；②移项：；③配方：两边加，得；④化为完全平方式：；⑤开平方：；解得，即，。
答案：m=3，n=-4。解析：；计算得；与对比，得m=3，n=-4。
答案：p=4，q=1。解析：展开：；移项化为一般形式：；与对比，得p=4，q=1。
答案：，。解析：①系数化为1：；②移项：；③配方：加1，得；④化为完全平方式：；⑤开平方：；解得，即，。
3. 公式法
答案：，。解析：①一般形式：，，，；②计算（有两个不相等实根）；③代入公式：，即，。
答案：，。解析：①，，；②；③代入公式：；①当分子为时，；②当分子为时，；故根为，。
答案：。解析：方程中，，；由“无实数根”得，即；计算得；移项：；两边除以-4（不等号变向）：。
答案：。解析：①，，；②（有两个相等实根）；③代入公式：，故。
答案：且。解析：第一步，二次项系数≠0：→；第二步，：方程中，，，故；计算得→→→；综上，m的取值范围是且。
4. 因式分解法
答案：，。解析：左边提取公因式x：；由“乘积为0”得或；解得，。
答案：，。解析：十字相乘法分解左边：；由“乘积为0”得或；解得，。
答案：，。解析：十字相乘法分解左边：；由“乘积为0”得或；①→；②→；故根为，。
答案：，。解析：第一步展开左边：；第二步合并同类项并移项：；第三步十字相乘法分解：；解得→，→，故根为，。
答案：，。解析：第一步平方差分解：；第二步合并同类项：；第三步求解：→，→，故根为，。
（三）21.3 实际问题与一元二次方程
答案：。解析：第一次降价后价格为；第二次降价是在第一次降价后的价格基础上降x，故价格为；已知两次降价后售价为162元，故方程为。
答案：10米。解析：设宽为x米，则长为(x + 2)米；由面积公式得；展开并移项：；十字相乘法分解：；解得（舍去，宽不能为负）或；故草坪的宽为10米。
答案：10%（或0.1）。解析：列方程：；两边除以100：；开平方：；因增长率x>0，故→；舍去（得x=-2.1，无意义）；故x的值为10%。
答案：5米或10米。解析：设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为(30 - 2x)米；由面积公式得；展开并整理：；两边除以-2：；十字相乘法分解：；解得或；验证：当x=5时，平行边长=30 - 10=20>0；当x=10时，平行边长=30 - 20=10>0；故垂直边长为5米或10米。
答案：60元或70元。解析：单件利润为(x - 40)元；销售量为件；列利润方程：；展开：；整理：；除以-2：；因式分解：；解得或；验证：x=60时，销量=150 - 120=30>0；x=70时，销量=150 - 140=10>0；故售价为60元或70元时，每天利润为800元。
答案：3米。解析：平移草坪后，新矩形长为(20 - x)米，宽为(15 - x)米；由草坪面积得；展开：；整理：；因式分解：；解得或（舍去，28>20且28>15）；故道路宽度为3米。
答案：41。解析：设个位数字为x，则十位数字为x + 3；原两位数=10(x + 3) + x=11x + 30，新两位数=11x + 3；列方程：；展开：；整理：；除以121：；因式分解：；解得x=-4（舍去）或x=1；原两位数=11×1 + 30=41；验证：41×14=574，符合题意，故原两位数为41。
答案：100米。解析：方法一（配方法）：；因-1<0，当x=10时，y有最大值100；方法二（顶点公式）：a=-1，b=20，顶点横坐标；代入函数得；故最大高度为100米。
答案：40米。解析：列方程：；两边同乘x(x + 20)消分母：；展开：；整理：；除以6：；因式分解：；解得x=-100（舍去）或x=40；验证：实际效率=40 + 20=60>0，原计划时间=1200÷40=30天，实际时间=1200÷60=24天，30 - 24=6天（符合题意）；故原计划每天修建40米。
答案：5。解析：方法一（解方程）：解方程，因式分解得，解得x=3或x=4；直角边为3和4，斜边=；方法二（韦达定理）：设两根为a、b，a + b=7，ab=12；斜边 =a + b =(a + b) - 2ab=7 - 2×12=49 - 24=25；斜边=；故斜边长为5。

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