资源简介

10.3 分式的乘除法 教学设计
1.教学内容
本课基于“北京版2024·八年级上册第十章《分式》 二、分式的运算 10.3 分式的乘除法”，核心知识包括分式乘除法、分式乘方以及分式的基本性质。通过类比分数运算，学生学习分式基本运算法则及运用因式分解、约分等方法简化分式，并在实际问题中理解分式运算的价值。
2.内容解析
本节主要解决分式乘法的“”、分式除法的“”以及分式乘方“”等原则，通过因式分解及约分方法，提高运算准确性；强调先因式分解后约分，以获得最简结果，帮助学生形成系统的代数运算思路。
1.教学目标
掌握分式的乘法、除法运算法则，并能正确进行计算。
理解分式乘方的运算规则，并能正确运用。
能对分式进行约分、因式分解，提高运算的准确性。
2.目标解析
目标1关注对分式乘除法则的熟练掌握，让学生在分式乘除中熟悉先乘（或颠倒后再乘）、再约分的核心程序。；
目标2聚焦分式乘方的书写及转换，引导学生在代数式层面理解指数作用，强化符号意识。；
目标3强调运算过程中的因式分解及化简能力，以减小错误率，提高表达与推理的灵活度，帮助学生处理复杂分式，形成简化习惯与审辨能力。
学生已学习分数、整式乘除及因式分解，对分式概念已有初步感知。但对分式分母含多项式及分式乘除法思路尚需系统梳理。因式分解后的约分对注意力不强的学生存在难度，需要通过示例与练习强化。在综合运算时，易忽略多项式因式分解和约分的先后；相对于简单分数乘除，分式乘除和带有多字母因式分解的结合更具挑战，需要通过示例与强化训练加以巩固。
复习回顾
师：回顾分数乘法法则：
师：分数的除法法则是：
师：分数乘方的计算方法是
师：分式的基本性质：分式的分子、分母同时乘（或除以）同一个非零整式，分式的值不变。
创设情景，引入新课
师：同学们，在前面我们学习了分式的基本性质，以及分数(数的)乘除法法则。今天我们来看看分式的乘除法和乘方是如何运用的。
师：先来看这样一个生活情境：
一个长方形的长是 ，宽是，求它的面积。
如果另一个长方形的面积是 ，长是，求它的宽。
面积运算的过程其实就蕴含了“乘”和“除”，对应到分式，就是分式相乘和相除的计算。
师：请大家结合之前对于分数乘法、除法的记忆，思考分式是否也可以按照类似的方法进行运算？
【设计意图】
通过生活中熟悉的长方形面积和宽的求解情境，引发学生对“乘”与“除”的思考，激发学习兴趣。
从旧知(分数乘除)自然过渡到新知(分式乘除)，帮助学生明确学习方向。
探究点1：分式乘法
问题引入
师：回顾分数乘法法则：
那么对于分式，例如
你能仿照分数的乘法方法进行计算吗？
2. 新知导出
由之前的计算可知：
一般地，分式的乘法法则是：
在具体运算中，要先“分子乘分子，分母乘分母”，再约分(如有公因式)。
【设计意图】
通过类比分数乘法，引导学生自然获得分式的乘法法则；
通过计算示例，培养学生先乘后约分与因式分解的意识。
探究点2：分式除法
问题引入
师：分数的除法法则是：
那么对于分式，比如
该如何计算？
新知导出
计算过程：
约去公因式 后，结果为：
一般地，分式除以分式，把除式的分子、分母对调后，与被除式相乘：
【设计意图】
借助分数除法的“乘以倒数”准则，让学生体会分式除法的同理性；
通过演示约分步骤，帮助学生巩固“先颠倒再乘法，然后再约分”的流程。
探究点3：分式乘方
问题引入
师：分数乘方的计算方法是
那么对于分式，例如
你能列式计算吗？
2. 新知导出
计算时，可将分式的分子和分母分别乘方：
因此，分式乘方的法则与分数乘方一致：
.
【设计意图】
通过与分数乘方的对比，让学生理解并记忆“分子、分母分别乘方”；
让学生形成对分式运算的一致性认识，提升运算准确性与概括能力。
例题巩固
题目1：计算
解析步骤：
先将多项式因式分解：
带入分式后：
约分“”并合并：
答案总结：
最终结果为
题目2：
解：原式
题目3：
解：原式=
=
【设计意图】
通过一道完整例题的演示，学生对分式乘法的计算流程实现了从因式分解→乘法法则→约分的综合应用；
让学生在真实的教材例题中进一步巩固计算技能，形成举一反三的能力。
【归纳小结】
1.分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，可先约去分子、分母的公因式，再按照法则进行计算.
2.分子或分母是多项式的按以下方法进行：
①将原分式中含同一字母的各多项式按降幂(或升幂)排列；在乘除过程中遇到整式则视其为分母为1，分子为这个整式的分式；
②把各分式中分子或分母里的多项式分解因式；
③应用分式乘除法法则进行运算；(注意:结果为最简分式或整式．)
例题3 计算
解：
(2).
解: (2)原式
.
例4 计算:
先化简，再求值：，其中
解：原式
当时，
原式
设计意图：
本部分旨在让学生在掌握基础分式乘除运算与乘方的前提下，进一步接触稍具综合性、挑战性的题目。通过对分子、分母进行因式分解以及多步运算的练习，可以加深对分式乘除法和乘方法则的理解，提高综合应用能力。
归纳小结：
方法总结：根据分式乘除法法则将代数式先进行计算化简，再代入求值.同时注意字母的取值要使分数有意义！
设计意图：
以下练习源自“课堂练习”环节，旨在帮助学生针对性地巩固本节课所学知识，尤其是分式乘除法和乘方运算规则的直接应用。题目布局从基础到稍综合，逐步训练学生的运算准确性和思维条理性。
1. 计算等于（ ）
A.
B.
C.
D.
2. 化简的结果是（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 下列计算对吗？若不对，要怎样改正？
(1) ； 对
(2) ；
(3) ；
(4) ；
4. 先化简，再求值：
(1) ，其中，；
解析：利用分式的乘法法则先进行计算化简，然后代入求值.
解：(1)原式，
当，时，原式；
(2) ，其中．
解析：将除法转化为乘法后约分化简，然后代入求值．
解：原式，
当时，原式．
5. 若，，你能求出分式的值吗？
解：原式
当，时，得
> 注：上述所有题目涉及的字母表示数值时，需保证分母不为零；请注意因式分解前后的字母取值限制。
分式乘除法的核心：分子乘分子、分母乘分母，再进行约分；除法先将“除以”改为“乘以被除分式的倒数”。
分式的乘方：分子和分母分别乘方，再约分。
约分与因式分解是确保结果最简的重要步骤，尤其要注意多项式先因式分解，以防漏掉公因式。
运算完毕后，要回顾字母取值范围，防止分母出现零的情况。
设计意图：通过要点式小结，帮助学生明确本节课的关键知识点和思维流程，为后续的综合运算做铺垫。
二、板书设计（简要，含设计意图）
分式乘法：
公式： × = /
步骤：①分子相乘；②分母相乘；③因式分解并约分。
分式除法：
公式： ÷ = ×
步骤：①将“除式”倒数；②改为乘法；③因式分解并约分。
分式乘方：
公式： = /
步骤：①分子、分母分别乘方；②因式分解并约分。
设计意图：
以最基本的公式和步骤图示，突出“先因式分解-再约分”的操作重点；
让学生一目了然地把握方法，避免在繁琐运算中盲目操作。
教材相应练习：完成课本第10.3节同步练习（或课后对应题目），重点巩固分式乘除法及分式乘方的计算；
拓展探究：
自行编写一个涉及分式乘法与除法综合应用的实际问题，并给出完整的求解过程；
尝试对含有多项式的分子与分母做进一步因式分解，再进行混合运算，检验自己的因式分解与约分能力。
设计意图：既侧重巩固基础运算，又鼓励学生在熟练度提升后进行综合应用与思维拓展，为后续学习打好基础。
本节课的教学目标基本达成：学生对分式乘除、分式乘方的运算规则与步骤有了较清晰的理解，并能初步应用。通过典型例题的讲解与对比，学生对于“乘法先分子相乘再分母相乘，除法颠倒分子分母后再相乘”的概念能够较好区分。但也发现部分学生在因式分解和约分方面仍较生疏，特别是在多项式因式分解时常有遗漏或错误。今后教学中，我会更注重给学生提供多样化的分式结构进行因式分解的练习，并充分利用小组合作的形式，让他们在讨论中查漏补缺，提高对分式运算的准确度与完整度。此外，还需加强对零值分母的辨别与字母取值的强调，确保学生对分式概念的严谨性有更深刻的认识。

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