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1.1 平方根与立方根
学习目标
理解平方根、算术平方根、立方根的概念，知道乘方与开方互为逆运算。
会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。
能熟练地求出一个非负数的平方根、算术平方根以及一个数的立方根，并能运用相关知识解决实际问题。
知识点讲解
（一）平方根
定义：如果一个数(x)的平方等于(a)，即，那么这个数(x)就叫做(a)的平方根（也叫做二次方根）。例如，因为，所以是(4)的平方根。
表示方法：正数(a)的平方根可表示为，读作“正负根号(a)”，其中表示(a)的正平方根（又叫算术平方根），表示(a)的负平方根。例如，(9)的平方根表示为，，。
性质：
正数有两个平方根，它们互为相反数。
(0)的平方根是(0)。
负数没有平方根。
（二）算术平方根
定义：正数(a)的正的平方根叫做(a)的算术平方根，(0)的算术平方根是(0)。例如，(4)的算术平方根是。
性质：
算术平方根具有双重非负性，即且。
（三）立方根
定义：如果一个数(x)的立方等于(a)，即，那么这个数(x)就叫做(a)的立方根（也叫做三次方根）。例如，因为，所以(2)是(8)的立方根。
表示方法：数(a)的立方根用符号表示，读作“三次根号(a)”。例如，(-8)的立方根表示为。
性质：
正数的立方根是正数。
负数的立方根是负数。
(0)的立方根是(0)。
例题解析
（一）平方根相关例题
求(144)的平方根。
已知，求(x)的值。
若有意义，求(a)的取值范围。
（二）算术平方根相关例题
求(0.64)的算术平方根。
已知，求(x)的值。
（三）立方根相关例题
求(-27)的立方根。
已知，求(x)的值。
巩固练习
（一）选择题
(16)的平方根是（ ）
A. (4)
B. (-4)
C..
下列说法正确的是（ ）
A. (0)没有算术平方根
B. 一个数的算术平方根一定是正数
C. 一个数的立方根一定比这个数小
D. 一个非零数的立方根，仍然是一个非零数
的算术平方根是（ ）
A. (2)
B.
.
.
（二）填空题
(25)的算术平方根是______。
的值为______。
若，则。
（三）解答题
求(81)的平方根与算术平方根。
已知，求(xy)的值。
求的值。1.1 平方根与立方根
学习目标
理解平方根、算术平方根、立方根的概念，知道乘方与开方互为逆运算。
会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。
能熟练地求出一个非负数的平方根、算术平方根以及一个数的立方根，并能运用相关知识解决实际问题。
知识点讲解
（一）平方根
定义：如果一个数(x)的平方等于(a)，即，那么这个数(x)就叫做(a)的平方根（也叫做二次方根）。例如，因为，所以是(4)的平方根。
表示方法：正数(a)的平方根可表示为，读作“正负根号(a)”，其中表示(a)的正平方根（又叫算术平方根），表示(a)的负平方根。例如，(9)的平方根表示为，，。
性质：
正数有两个平方根，它们互为相反数。
(0)的平方根是(0)。
负数没有平方根。
（二）算术平方根
定义：正数(a)的正的平方根叫做(a)的算术平方根，(0)的算术平方根是(0)。例如，(4)的算术平方根是。
性质：
算术平方根具有双重非负性，即且。
（三）立方根
定义：如果一个数(x)的立方等于(a)，即，那么这个数(x)就叫做(a)的立方根（也叫做三次方根）。例如，因为，所以(2)是(8)的立方根。
表示方法：数(a)的立方根用符号表示，读作“三次根号(a)”。例如，(-8)的立方根表示为。
性质：
正数的立方根是正数。
负数的立方根是负数。
(0)的立方根是(0)。
例题解析
（一）平方根相关例题
求(144)的平方根。
解析：
因为，所以(144)的平方根是，即。
已知，求(x)的值。
解析：
因为，根据平方根的定义，(x)是(25)的平方根，又因为，所以。
若有意义，求(a)的取值范围。
解析：
因为算术平方根具有双重非负性，所以，
移项可得。
（二）算术平方根相关例题
求(0.64)的算术平方根。
解析：
因为，所以(0.64)的算术平方根是(0.8)，即。
已知，求(x)的值。
解析：
因为，两边同时平方可得，
即，
移项得，
所以。
（三）立方根相关例题
求(-27)的立方根。
解析：
因为，所以(-27)的立方根是(-3)，即。
已知，求(x)的值。
解析：
因为，根据立方根的定义，(x)是(64)的立方根，又因为，所以。
巩固练习
（一）选择题
(16)的平方根是（ ）
A. (4)
B. (-4)
C..
下列说法正确的是（ ）
A. (0)没有算术平方根
B. 一个数的算术平方根一定是正数
C. 一个数的立方根一定比这个数小
D. 一个非零数的立方根，仍然是一个非零数
的算术平方根是（ ）
A. (2)
B.
.
.
（二）填空题
(25)的算术平方根是______。
的值为______。
若，则。
（三）解答题
求(81)的平方根与算术平方根。
已知，求(xy)的值。
求的值。
巩固练习答案
（一）选择题
答案：C
解析：因为，所以(16)的平方根是。
答案：D
解析：(0)的算术平方根是(0)，A 错误；(0)的算术平方根是(0)，不是正数，B 错误；例如(0)和(1)的立方根等于它本身，C 错误；一个非零数的立方根，仍然是一个非零数，D 正确。
答案：C
解析：，(2)的算术平方根是，所以的算术平方根是。
（二）填空题
答案：(5)
解析：因为，所以(25)的算术平方根是(5)。
答案：(-2)
解析：因为，所以。
答案：
解析：因为，所以。
（三）解答题
答案：
(81)的平方根：因为，所以(81)的平方根是，即；
(81)的算术平方根：因为，所以(81)的算术平方根是(9)，即。
答案：
要使与有意义，则且，
即且，所以。
把代入，得。
所以(xy = 2×3 = 6)。
答案：

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