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人教版（2024）九年级下册 28.2.1 解直角三角形 讲义
【题型1】解直角三角形的简单应用
【典型例题】如图是一款桌面可调整的学习桌，桌面宽度为60cm，桌面平放时高度为70cm，若书写时桌面适宜倾斜角的度数为，则桌沿（点A）处到地面的高度h为（ ）

A. B. C. D.
【举一反三1】在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝α，BD是斜边AC上的高，那么(　　)
A.AC＝BC·sin α B.AC＝AB·cos α C.BC＝AC·tan α D.CD＝BD·tanα
【举一反三2】如图，学校测量组在池塘边的点处测得，再在距离点米的处测得．则、两点的距离是（ ）
A. B. C. D.20
【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，若△ABC的面积为，则∠A＝________.
【举一反三4】如图，某风景区有三个景点，，，景点在的北偏西60°方向、且在的北偏西15°方向上，景点在的正西方向上，千米，求景点到的距离（结果保留根号）．
【举一反三5】如图，海岛A四周30海里范围内是暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60 ，航行20海里后到C处，见岛A在北偏西45 ，货轮继续向西航行，有无触礁危险？

【题型2】解直角三角形
【典型例题】如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为（ ）
A. B.2 C. D.3
【举一反三1】在中，，则的值为（ ）
A.8 B.9 C.10 D.12
【举一反三2】△ABC中，∠C＝90°，cos ∠A＝0.3，AB＝10，则AC＝__________.
【举一反三3】在中，，，，解这个直角三角形．
【举一反三4】在Rt△ABC中，C = 90，， AC =24，求BC的长．
人教版（2024）九年级下册 28.2.1 解直角三角形 讲义（参考答案）
【题型1】解直角三角形的简单应用
【典型例题】如图是一款桌面可调整的学习桌，桌面宽度为60cm，桌面平放时高度为70cm，若书写时桌面适宜倾斜角的度数为，则桌沿（点A）处到地面的高度h为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：由题意得：， 在中，，
∴，
∵，
∴桌沿（点A）处到地面的高度．
故选：A．
【举一反三1】在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝α，BD是斜边AC上的高，那么(　　)
A.AC＝BC·sin α B.AC＝AB·cos α C.BC＝AC·tan α D.CD＝BD·tanα
【答案】D
【解析】如图所示，在△ABC中，∠A＝α，
A.sinα＝，∴AC＝，故本选项错误；
B.cosα＝，∴AC＝，故本选项错误；
C.sinα＝，∴BC＝ACsinα，故本选项错误；
D.∵∠ABC＝90°，BD⊥AC，∴∠BDC＝∠ABC＝90°，
∴∠A＋∠C＝90°，∠C＋∠CBD＝90°，∴∠CBD＝∠A＝α，
在△DBC中，tanα＝，∴CD＝BD·tanα，故本选项正确；
故选D.
【举一反三2】如图，学校测量组在池塘边的点处测得，再在距离点米的处测得．则、两点的距离是（ ）
A. B. C. D.20
【答案】B
【解析】解：在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，AC=10，∠C=60°，
∴tan∠C=， ∴AB=tan∠C AC=tan60°×10=10．
故选B．
【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，若△ABC的面积为，则∠A＝________.
【答案】60°
【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，若△ABC的面积为，∴S＝AC·BC＝，∴AC＝，∵tan A＝＝10÷＝，∴∠A＝60°.
【举一反三4】如图，某风景区有三个景点，，，景点在的北偏西60°方向、且在的北偏西15°方向上，景点在的正西方向上，千米，求景点到的距离（结果保留根号）．
【答案】解：如图所示，作BD⊥AC于D点，
由题意可得：∠DAB=30°，∠ABC=90°+15°=105°，
∴∠DBA=90°-∠DAB=60°，∠DBC=∠ABC-∠DBA=45°，
∴△BDC为等腰直角三角形，
在Rt△ABD中，
∵∠DAB=30°， ∴AB=2BD，BD=80千米，
在等腰直角△BDC中，千米，
∴景点到的距离为千米．
【举一反三5】如图，海岛A四周30海里范围内是暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60 ，航行20海里后到C处，见岛A在北偏西45 ，货轮继续向西航行，有无触礁危险？

【答案】解：如图，过点A作AD⊥CB于点D．

在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，则Rt△ACD是等腰直角三角形，则AD＝CD．
在Rt△ABD中，∠ABD＝90° 60°＝30°， ∴BD＝ AD
∵BC＝BD CD， ∴20＝AD AD， ∴AD＝＝＜30海里．
故该船继续航行（沿原方向）有触礁的危险.
【题型2】解直角三角形
【典型例题】如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为（ ）
A. B.2 C. D.3
【答案】C
【解析】解：∵AD⊥BC， ∴△ADC是直角三角形，
∵∠C=45°， ∴∠DAC=45°， ∴AD=DC，
∵AC=8， ∴AD=4，
在Rt△ABD中，∠B=60°， ∴BD===，
∵BE平分∠ABC， ∴∠EBD=30°，
∴DE=BD tan30°==， ∴AE=AD-DE=，
故选C.
【举一反三1】在中，，则的值为（ ）
A.8 B.9 C.10 D.12
【答案】C
【解析】解：∵， ∴，即，
∵ ∴，，
解得，（负值舍去），
故选：C．
【举一反三2】△ABC中，∠C＝90°，cos ∠A＝0.3，AB＝10，则AC＝__________.
【答案】3
【解析】∵∠C＝90°，AB＝10，∴cosA＝＝＝0.3，∴AC＝3.
【举一反三3】在中，，，，解这个直角三角形．
【答案】解：如图，在中，，，，
∴
∵， ∴，
∴．
【举一反三4】在Rt△ABC中，C = 90，， AC =24，求BC的长．
【答案】解：在Rt△ABC中，C = 90，
∴
设BC=5x，AB=13x. ， 由勾股定理得AC =12x.
∵AC =24, ∴12x=24 解得x=2。 ∴BC=5x=10

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