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人教版（2024）九年级下册 27.3 位似 讲义
【题型1】位似图形的性质
【典型例题】如图，在△ABC外取一点O，连接OA，OB，OC，并取它们的中点分别为D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的个数是（ ）
①△ABC与△DEF位似
②△ABC与△DEF周长比为2∶1
③△ABC与△DEF面积比为4∶1
④△ABC与△DEF是相似图形

A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三1】如图，五边形ABCDE是由五边形FGHMN经过位似变换得到的，点O是位似中心，F、G、H、M、N分别是OA、OB、OC、OD、OE的中点，则五边形ABCDE与五边形FGHMN的面积比是（　　）
A.6：1 B.5：1 C.4：1 D.2：1
【举一反三2】如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（ ）

A. B. C. D.点C、点O、点三点在同一直线上
【举一反三3】如图，△EFD和△CFB是以点F为位似中心的位似图形，EF：FC＝1：2，
若S△EFD＝1，求四边形EBCD的面积．

【举一反三4】如图，O是△ABC内任意一点，D、E、F分别为 AO、BO、CO上的点，且△ABC与△DEF是位似三角形，位似中心为O．若AD＝AO，则△ABC与△DEF的位似比为　 　．
【举一反三5】在放映电影时，我们需要把胶片上的图片放大到银幕上，以便人们欣赏．如图，点P为放映机的光源，△ABC是胶片上面的画面，△A′B′C′为银幕上看到的画面．若胶片上图片的规格是2.5 cm×2.5 cm，放映的银幕规格是2 m×2 m，光源P与胶片的距离是20 cm，则银幕应距离光源P多远时，放映的图象正好布满整个银幕？
【题型2】坐标系中的位似变换
【典型例题】如图，线段AB两个端点的坐标分别为，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的一半后得到线段，则端点C的坐标为（　　）

A. B. C. D.
【举一反三1】如图，已知E′（2，﹣1），F′（，），以原点O为位似中心，按比例尺1：2把△E′F′O扩大，则E′点对应点E的坐标为（　　）
A.（﹣4，2） B.（4，﹣2） C.（﹣1，﹣1） D.（﹣1，4）
【举一反三2】如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1∶2，∠OCD=90°，CO=CD．若B(2，0)，则点C的坐标为( )

A.(2，2) B.(1，2) C.（，2） D.(2，1)
【举一反三3】如图，正方形与正方形是位似图形，点O为位似中心，相似比为，点D的坐标为，则点B的坐标为 ．

【举一反三4】如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，与是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．

(1)画出位似中心点O；
(2)求出与的位似比；
(3)以点P为位似中心，在所给的网格图的右边再画一个，
使它与的位似比等于2．
【举一反三5】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，
，．

(1)画出与关于轴对称的；
(2)以原点为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为；
(3)点的坐标__________．
【题型3】坐标系中的位似作图
【典型例题】如图所示，在平面直角坐标系中，有两点A（4，2），B（3，0），以原点为位似中心，A′B′与AB的相似比为，得到线段A′B′．正确的画法是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形.则图中与成轴对称的格点三角形有( )

A.个 B.个 C.个 D.个
【举一反三2】在平面直角坐标系中，△ABC顶点A的坐标为（2，3），若以原点O为位似中心，画△ABC的位似图形△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′的相似比等于2：1，则点A′的坐标　 　．
【举一反三3】如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A(-2，4)，B(-4，0)，O(0，0)，以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的相似比为，则此时点B关于对称中心的对应点的坐标是 ．

已知三个顶点的坐标分别为，，

(1)画出关于轴对称的；
(2)以点为位似中心，在网格内将放大为原来的2倍，得到，
并写出点的坐标．
【举一反三5】在13×13的网格图中，已知△ABC和点M(1，2)．
(1)以点M为位似中心，画出△ABC的位似图形△A′B′C′，其中△A′B′C′与△ABC的位似比为2；
(2)写出△A′B′C′的各顶点坐标．

人教版（2024）九年级下册 27.3 位似 讲义（参考答案）
【题型1】位似图形的性质
【典型例题】如图，在△ABC外取一点O，连接OA，OB，OC，并取它们的中点分别为D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的个数是（ ）
①△ABC与△DEF位似
②△ABC与△DEF周长比为2∶1
③△ABC与△DEF面积比为4∶1
④△ABC与△DEF是相似图形

A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】
解：∵D、E、F分别为OA、OB、OC的中点，
∴DE∥AB，DF∥AC，EF∥BC，DE＝AB，DF＝AC，EF＝BC，
∴△ABC∽△DEF，相似比为2∶1，
∴△ABC与△DEF位似，△ABC与△DEF周长比为2∶1，△ABC与△DEF面积比为4∶1，
∴①②③④的说法都正确，
故选：D．
【举一反三1】如图，五边形ABCDE是由五边形FGHMN经过位似变换得到的，点O是位似中心，F、G、H、M、N分别是OA、OB、OC、OD、OE的中点，则五边形ABCDE与五边形FGHMN的面积比是（　　）
A.6：1 B.5：1 C.4：1 D.2：1
【答案】C
【解析】∵F为AO中点，∴OF：OA＝1：2，
∴五边形ABCDE与五边形FGHMN的面积比：4：1；
故选：C．
【举一反三2】如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（ ）

A. B. C. D.点C、点O、点三点在同一直线上
【答案】A
【解析】
解：以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，
，：，则选项正确；
，则选项错误；
与是位似图形， ，则选项正确；
以点O为位似中心，点与点是对应点，
点、点、点三点在同一直线上，则选项正确；
故选：A．
【举一反三3】如图，△EFD和△CFB是以点F为位似中心的位似图形，EF：FC＝1：2，
若S△EFD＝1，求四边形EBCD的面积．

【答案】
9
【解析】
解：∵△EFD和△CFB是以点F为位似中心的位似图形，
∴△DEF∽△BCF，
∴＝（）2＝， ∴S△BCF＝4S△DEF＝4×1＝4，
∵EF：FC＝1：2， ∴S△DCF＝2S△DEF＝2，S△BCF＝2S△BEF，
∴S△BEF＝2， ∴四边形EBCD的面积＝1+4+2+2＝9．
【举一反三4】如图，O是△ABC内任意一点，D、E、F分别为 AO、BO、CO上的点，且△ABC与△DEF是位似三角形，位似中心为O．若AD＝AO，则△ABC与△DEF的位似比为　 　．
【答案】
【解析】∵O是△ABC内任意一点，D、E、F分别为 AO、BO、CO上的点，且△ABC与△DEF是位似三角形，位似中心为O．
AD＝AO，∴＝，
则△ABC与△DEF的位似比为：．
【举一反三5】在放映电影时，我们需要把胶片上的图片放大到银幕上，以便人们欣赏．如图，点P为放映机的光源，△ABC是胶片上面的画面，△A′B′C′为银幕上看到的画面．若胶片上图片的规格是2.5 cm×2.5 cm，放映的银幕规格是2 m×2 m，光源P与胶片的距离是20 cm，则银幕应距离光源P多远时，放映的图象正好布满整个银幕？
【答案】解：图中△A′B′C′是△ABC的位似图形，
设银幕距离光源P为x m时，放映的图象正好布满整个银幕，
则位似比＝＝，解得x＝16．
即银幕应距离光源P为16 m时，放映的图象正好布满整个银幕．
【题型2】坐标系中的位似变换
【典型例题】如图，线段AB两个端点的坐标分别为，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的一半后得到线段，则端点C的坐标为（　　）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
解：∵线段两个端点的坐标分别为，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，
∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，
∴端点C的坐标为，
故选：D．
【举一反三1】如图，已知E′（2，﹣1），F′（，），以原点O为位似中心，按比例尺1：2把△E′F′O扩大，则E′点对应点E的坐标为（　　）
A.（﹣4，2） B.（4，﹣2） C.（﹣1，﹣1） D.（﹣1，4）
【答案】A
【解析】∵E′（2，﹣1），以原点O为位似中心，按比例尺1：2把△E′F′O扩大，
∴E′点对应点E的坐标为（2×（﹣2），﹣1×（﹣2）），即（﹣4，2），
故选：A．
【举一反三2】如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1∶2，∠OCD=90°，CO=CD．若B(2，0)，则点C的坐标为( )

A.(2，2) B.(1，2) C.（，2） D.(2，1)
【答案】A
【解析】
连接CB．

∵∠OCD=90°，CO=CD， ∴△OCD是等腰直角三角形， ∴∠COB=45°．
∵△OAB与△OCD是位似图形，相似比为1∶2，
∴2OB=OD，△OAB是等腰直角三角形．
∵2OB=OD， ∴点B为OD的中点， ∴BC⊥OD．
∵B（2，0）， ∴OB=2，
∵△OAB是等腰直角三角形， ∴∠COB=45°，
∵BC⊥OD， ∴△OBC是等腰直角三角形， ∴BC=OB=2，
∴点C的坐标为（2，2）．
故选：A．
【举一反三3】如图，正方形与正方形是位似图形，点O为位似中心，相似比为，点D的坐标为，则点B的坐标为 ．

【答案】
【解析】
解：∵正方形与正方形是位似图形，点O是位似中心，
相似比为，点D的坐标为，
∴，则，
∴点B的坐标是：．
故答案为：．
【举一反三4】如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，与是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．

(1)画出位似中心点O；
(2)求出与的位似比；
(3)以点P为位似中心，在所给的网格图的右边再画一个，
使它与的位似比等于2．
【答案】
解：（1）如图所示：点O就是位似中心．

（2）由（1）知，，，
， 与的位似比为．
（3）如图所示：就是所求作的三角形．

【举一反三5】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，
，．

(1)画出与关于轴对称的；
(2)以原点为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为；
(3)点的坐标__________．
【答案】
解：（1）如图，△即为所要求作的图形；

（2）如图，△即为所要求作的图形．
（3）由图可知点的坐标为．
【题型3】坐标系中的位似作图
【典型例题】如图所示，在平面直角坐标系中，有两点A（4，2），B（3，0），以原点为位似中心，A′B′与AB的相似比为，得到线段A′B′．正确的画法是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】画出图形，如图所示：
故选：D．
【举一反三1】如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形.则图中与成轴对称的格点三角形有( )

A.个 B.个 C.个 D.个
【答案】C
【解析】
符合题意的三角形如图所示：

满足要求的图形有6个
故选：C
【举一反三2】在平面直角坐标系中，△ABC顶点A的坐标为（2，3），若以原点O为位似中心，画△ABC的位似图形△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′的相似比等于2：1，则点A′的坐标　 　．
【答案】（1，），（﹣1，﹣）
【解析】在同一象限内，∵△ABC与△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比是2：1，A坐标为（2，3），
∴则点A′的坐标为：（1，），
不在同一象限内，∵△ABC与△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比是2：1，A坐标为（2，3），
∴则点A′的坐标为：（﹣1，﹣）．
【举一反三3】如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A(-2，4)，B(-4，0)，O(0，0)，以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的相似比为，则此时点B关于对称中心的对应点的坐标是 ．

【答案】
（-2,0）或（2,0）
【解析】
解：由位似比为求得：A( 2，4)，B( 4，0)对应点坐标分别为
A′( 1，2)，B′( 2，0)， 或者A′′(1， 2)，B′′(2，0)，
O点是位似中心，所以位置不变，
所以，下图△A′B′O或△A′′B′′O都为满足题意的位似图形,
∴此时点B关于对称中心的对应点的坐标为（-2,0）或（2,0）.

已知三个顶点的坐标分别为，，

(1)画出关于轴对称的；
(2)以点为位似中心，在网格内将放大为原来的2倍，得到，
并写出点的坐标．
【答案】
解：（1）如图，即为所求．

如图，即为所求．由图可得，．
【举一反三5】在13×13的网格图中，已知△ABC和点M(1，2)．
(1)以点M为位似中心，画出△ABC的位似图形△A′B′C′，其中△A′B′C′与△ABC的位似比为2；
(2)写出△A′B′C′的各顶点坐标．

【答案】
解：（1）如图，△A′B′C′为所作；

（2）A′（3，6），B′（5，2），C′（11，4）；

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