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人教版（2024）九年级下册 27.2.2 相似三角形的性质 讲义
【题型1】相似三角形对应线段的比等于相似比
【典型例题】将一个三角形改成与它相似的三角形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的(　　)
A.9倍 B.3倍 C.81倍 D.18倍
【举一反三1】如图，在△中，点分别是的中点，则下列结论：①；②△∽△；③其中正确的有（ ）

A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
【举一反三2】如果一个直角三角形的两条边分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3,4及x，那么x的值(　　)
A.只有一个 B.可以有2个 C.可以有3个 D.无数个
【举一反三3】如图，在与中，，，，则的度数为 ．

【举一反三4】两个相似三角形的面积之比是， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为 厘米．
【举一反三5】如图，已知∽，且、是角平分线，、是中线．
求证：∽ ADE．

【举一反三6】如图，是的内接三角形，是的中点，交于点．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【题型2】相似三角形的判定与性质的综合
【典型例题】如图，在中，点E在边上，，连接交于点F，若的面积为4，则 ABCD的面积为（　　）
A.28 B.30 C.32 D.16
【举一反三1】中，是斜边上的高，于，，
则
A. B. C. D.以上都不对
【举一反三2】如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E是AD的中点，连接BE交AC于点F，S△ABF＝6，则S△AEF＝（　　）

A.6 B.3 C.2 D.1
【举一反三3】如图，在平行四边形中，点M为边的中点，与相交于点N，
已知，那么等于 ．
【举一反三4】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC．
（1）求证：直线DM是⊙O的切线；
（2）求证：DE2＝DF DA．
【举一反三5】如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE；
（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ．
【题型3】相似三角形的面积比等于相似比的平方
【典型例题】已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF面积之比为1：4．若BC＝1，则EF的长是（　　）
A. B.2 C.4 D.16
【举一反三1】如果两个相似三角形对应高的比为3∶5，面积之比为2∶x，那么x的算术平方根为(　　)
A. B.± C. D.±
【举一反三2】已知两个相似三角形的周长比为，若较大三角形的面积等于，则较小三角形面积等于 ．
【举一反三3】如果把两条直角边分别为30 cm，40 cm的直角三角形按相似比3：5进行缩小，得到的直角三角形的两条直角边的长和面积各是多少？
人教版（2024）九年级下册 27.2.2 相似三角形的性质 讲义（参考答案）
【题型1】相似三角形对应线段的比等于相似比
【典型例题】将一个三角形改成与它相似的三角形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的(　　)
A.9倍 B.3倍 C.81倍 D.18倍
【答案】B
【解析】∵两个相似三角形的面积比为1∶9，∴这两个相似三角形的相似比为1∶3，∴这两个相似三角形的周长比为1∶3，∴周长扩大为原来的3倍，故选B.
【举一反三1】如图，在△中，点分别是的中点，则下列结论：①；②△∽△；③其中正确的有（ ）

A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
【答案】A
【解析】
解：因为点分别是的中点，所以是△的中位线.由中位线的性质可推出①②③全部正确.
故选A.
【举一反三2】如果一个直角三角形的两条边分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3,4及x，那么x的值(　　)
A.只有一个 B.可以有2个 C.可以有3个 D.无数个
【答案】B
【解析】∵一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3和4及x，∴x可能是斜边或4是斜边，∴x＝5或7.∴x的值可以有2个．故选B.
【举一反三3】如图，在与中，，，，则的度数为 ．

【答案】
/40度
【解析】
解：，；
，， ，
， ，
， ；
， ，
；
， ，
；
故答案为：．
【举一反三4】两个相似三角形的面积之比是， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为 厘米．
【答案】
3
【解析】
解：∵两个三角形面积比为9:25， ∴两个三角形相似比为3:5
设：另一三角形对应边上的高为x， ∴，解得x=3
故答案为：3
【举一反三5】如图，已知∽，且、是角平分线，、是中线．
求证：∽ ADE．

【答案】
证明：∵、是两个三角形的中线，、是两个三角形的角平分线，∽，
∴，，．
∴，．
又∽， ∴，．
又点、点为、中点， ∴，．
∴． ∴∽．
∴． ∴， ∴∽．
【举一反三6】如图，是的内接三角形，是的中点，交于点．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】
解：（1）∵是的中点， ∴， ∴，
又∵， ∴．
（2）∵， ∴，
∵， ∴，
∵， ∴，
∵， ∴．
【题型2】相似三角形的判定与性质的综合
【典型例题】如图，在中，点E在边上，，连接交于点F，若的面积为4，则 ABCD的面积为（　　）
A.28 B.30 C.32 D.16
【答案】B
【解析】解：∵四边形为平行四边形， ∴，
∵， ∴， ∴，
∵， ∴，
∴， ∴， ∴，
∴， ∴ ABCD的面积．
故选：B．
【举一反三1】中，是斜边上的高，于，，
则
A. B. C. D.以上都不对
【答案】A
【解析】解：在中，，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【举一反三2】如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E是AD的中点，连接BE交AC于点F，S△ABF＝6，则S△AEF＝（　　）

A.6 B.3 C.2 D.1
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AD＝CB，
∵E是AD的中点，
∴AE＝AD＝CB，AE∥CB，
∴△AEF∽△CBF，
∴＝＝，
∴EF＝BF，
∴S△AEF＝S△ABF＝×6＝3，
故选：B．
【举一反三3】如图，在平行四边形中，点M为边的中点，与相交于点N，
已知，那么等于 ．
【答案】2
【解析】解：点为的中点， ，
在平行四边形中，，
，， ，
， ，
， ．
故答案为：．
【举一反三4】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC．
（1）求证：直线DM是⊙O的切线；
（2）求证：DE2＝DF DA．
【答案】证明：（1）如图，连接DO，并延长交⊙O于点G，连接BG．
∵点E是△ABC的内心，∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC．
∵∠G＝∠BAD，∠BDM＝∠DAC，
∴∠MDB＝∠G，
∵DG为⊙O的直径，
∴∠GBD＝90°，
∴∠G+∠BDG＝90°．
∴∠MDB+∠BDG＝90°，即∠ODM＝90°，
∵OD是半径，
∴直线DM是⊙O的切线；
（2）如图，连接BE．
∵点E是△ABC的内心，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD．
∵∠EBD＝∠CBE+∠CBD，∠BED＝∠ABE+∠BAD，∠CBD＝∠CAD，
∴∠EBD＝∠BED，
∴DB＝DE．
∵∠CBD＝∠BAD，∠ADB＝∠ADB，
∴△DBF∽△DAB，
∴BD2＝DF DA．
∴DE2＝DF DA．
【举一反三5】如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE；
（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ．
【答案】证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝45°，AB＝AC．
∵AP＝AQ，
∴BP＝CQ．
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE．
在△BPE和△CQE中，，
∴△BPE≌△CQE（SAS）；
（2）∵∠BEF＝∠C+∠CQE，∠BEF＝∠BEP+∠DEF，且∠C＝∠DEF＝45°，
∴∠CQE＝∠BEP，
∵∠B＝∠C，
∴△BPE∽△CEQ．
【题型3】相似三角形的面积比等于相似比的平方
【典型例题】已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF面积之比为1：4．若BC＝1，则EF的长是（　　）
A. B.2 C.4 D.16
【答案】B
【解析】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF面积之比为1：4，
∴△ABC与△DEF相似比为1：2，即，∵BC＝1，
∴EF＝2，
故选：B．
【举一反三1】如果两个相似三角形对应高的比为3∶5，面积之比为2∶x，那么x的算术平方根为(　　)
A. B.± C. D.±
【答案】A
【解析】∵两个相似三角形对应高的比为3∶5，∴两个相似三角形的相似比为3∶5，∴两个相似三角形面积比为9∶25，∴2∶x＝9∶25，解得x＝，∴x的算术平方根为，故选A.
【举一反三2】已知两个相似三角形的周长比为，若较大三角形的面积等于，则较小三角形面积等于 ．
【答案】
【解析】解：∵两个相似三角形的周长之比为， ∴两个相似三角形的相似比是，
∴两个相似三角形的面积比是，
又较大三角形的面积等于， ∴较小三角形的面积为，
故答案为：．
【举一反三3】如果把两条直角边分别为30 cm，40 cm的直角三角形按相似比3：5进行缩小，得到的直角三角形的两条直角边的长和面积各是多少？
【答案】解：设缩小后的直角三角形的两条直角边分别为a、b（a＜b），
根据题意得＝＝，
解得a＝18，b＝24，
所以ab＝ 18 24＝216．
答：缩小后的直角三角形的两条直角边分别为18 cm，24 cm，面积为216 cm2．

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