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人教版（2024）九年级下册 28.1 锐角三角函数 讲义
【题型1】平面直角坐标系中求余弦值
【典型例题】如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的坐标为(3，4)，则cosα的值是(　　)
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则cosα的值是（　　）

A. B. C. D.2
【举一反三2】如图，已知锐角α的顶点在原点，始边为x轴的正半轴，终边经过(1，2)．如图，则sinα＝ ，cosα＝ ．
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，点在点的左边，与轴交于点．抛物线的对称轴为直线，点的坐标为．
(1)求点坐标；
(2)求的值；
(3)若点在该抛物线上，求的值．
【题型2】余弦值的变化情况
【典型例题】、都是锐角，且，则下列各式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂，阻力臂，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（ ）

A.越来越小 B.不变 C.越来越大 D.无法确定
【举一反三2】已知30°＜α＜60°，下列各式正确的是(　　)
A.＜cosα＜ B.＜cosα＜ C.＜cosα＜ D.＜cosα＜
【举一反三3】三角函数、、之间的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三4】已知30°＜α＜60°，下列各式正确的是(　　)
A.＜cosα＜ B.＜cosα＜ C.＜cosα＜ D.＜cosα＜
【举一反三5】cos30°________ cos40°(填大小关系)
【举一反三6】比较sin30°和cos30°的大小，用“＜”连接 ．
【举一反三7】比较大小： （用“”或“”填空）．
【题型3】直接由定义求正切值
【典型例题】如图，在中，，则的值是（ ）
A.2 B. C. D.
【举一反三1】如图，在中，，，垂足为D．如果，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】中，，则 ．
【举一反三3】如图，AB和⊙O切于点B，AB=5，OB=3，则tanA= ．
【举一反三4】如图，在中，．
(1)求作分别与，相切，使得圆心O落在上，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，已知，，求的值．
【题型4】正弦值的变化情况
【典型例题】在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的4倍，那么锐角A的正弦值(　　)
A.扩大4倍 B.缩小4倍 C.扩大16倍 D.没有变化
【举一反三1】在Rt△ABC中，若各边长都扩大5倍，则锐角A的正弦值(　　)
A.不变 B.扩大5倍 C.缩小到原来的15 D.不能确定
【举一反三2】若的各边都扩大倍，得到，那么锐角、的正弦值的关系为（ ）
A. B. C. D.不能确定
【举一反三3】比较大小：sin65°__________sin55°(用“＞”或“＜”填空)．
【举一反三4】比较大小： ．（填“”，“”，或“”）
【举一反三5】在Rt△ABC中，∠C＝90°.当∠A确定时，它的正弦值是否随之确定？请说明理由．
【题型5】用计算器求锐角三角函数值
【典型例题】用计算器求的值，按键顺序是（　　）
A.
B.
C.
D.
【举一反三1】若tan，利用科学计算器计算的度数，下列按键顺序正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【举一反三2】利用计算器求值时，若按键顺序为则输出结果为 ．

【举一反三3】用科学计算器计算： cos 32°≈ .(精确到0.01)
【举一反三4】用计算器求下列各式的值．（结果精确到）
(1)； (2)； (3)．
【举一反三5】用计算器求下列锐角三角函数值，并填入表中：
随着锐角A的度数不断增大，有怎样的变化趋势？呢？呢？你能说明自己的结论吗？
【题型6】在正方形网格中求余弦值
【典型例题】如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是(　　)
A. B.1 C. D.
【举一反三1】如图，个形状大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点已知菱形的一个角为，、、都在格点上；点在过、、三点的圆弧上，若也在格点上，且，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【举一反三2】如图，正方形网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的余弦值是__________．
【举一反三3】如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是________．
【举一反三4】请按下列要求画图并填空：
（1）平移线段使点平移到点，画出平移后所得的线段；
（2）将线段绕点逆时针旋转90°，画出旋转后所得的线段，并直接写出
的值为　　 ．
【题型7】由特殊角的三角函数值判断三角形的形状
【典型例题】若的内角满足，则的形状是（ ）
A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.三角不全相等的锐角三角形
【举一反三1】在中，，那么是（ ）
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
【举一反三2】若∠A、∠B为△ABC中的锐角，且(2sinA-)2＋(cosB-)2＝0，则△ABC是(　　)
A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.无法确定
【举一反三3】中，均为锐角，且，
则的形状是 ．
【举一反三4】在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且sinA＝，cosB＝，试判断△ABC的形状．
【题型8】正切值的变化情况
【典型例题】已知30°＜α＜60°，下列各式正确的是(　　)
A.22＜tanα＜ B.＜tanα＜ C.＜tanα＜ D.＜tanα＜
【举一反三1】在RtABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则tanA的值（ ）
A.不变 B.扩大5倍 C.缩小5倍 D.不能确定
【举一反三2】随着锐角α的增大，tanα的值(　　)
A.增大 B.减小 C.不变 D.增大还是减小不确定
【举一反三3】比较tan20°，tan50°，tan70°的大小，下列不等式正确的是（　　）
A.tan70°＜tan50°＜tan20° B.tan50°＜tan20°＜tan70° C.tan20°＜tan50°＜tan70° D.tan20°＜tan70°＜tan50°
【举一反三4】在直角三角形中， 如果各边都扩大 1 倍， 则其锐角的正切值（ ）
A.扩大 1 倍 B.没有变化 C.缩小为原来的一半 D.不能确定
【举一反三5】比较大小： （填“”“”或“”）．
【举一反三6】比较、、和的大小，并由小到大排列： ．
【举一反三7】比较大小： （填“”或“”）
【举一反三8】按从小到大的顺序用“”把，，，连接起来
【题型9】利用勾股定理求正弦值
【典型例题】如图，在矩形中，是边上两点，且，连接与相交于点，连接．若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sinA的值为(　　)
A. B. C. D.
【举一反三2】在中，，则的正弦值为（ ）
A. B. C.2 D.
【举一反三3】△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝3，那么sinB＝________.
【举一反三4】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，且AC＝1，BC＝2，则sin∠A＝____________.
【举一反三5】如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，试求sin∠ECM的值．
【题型10】根据余弦值确定角的大小
【典型例题】已知，则锐角的取值范围是（ 　）
A. B. C. D.
【举一反三1】已知，A，B均为锐角，则A的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】当锐角的时，的值为（ ）
A.小于 B.小于 C.大于 D.大于
【举一反三3】若锐角满足，则锐角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三4】若 为锐角，且cos0.6，则（ ）
A.0 30 B.30 45 C.45 60 D.60 90
【举一反三5】若cosA＞cos60°，则锐角A的取值范围是________．
【举一反三6】已知为锐角，，则 度．
【举一反三7】cosA =，A为锐角，则A = ；2cos(α-10°) = 1，则锐角α = .
【举一反三8】已知为锐角，，则 度．
【题型11】根据正切值确定角的大小
【典型例题】已知为锐角，且，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】已知tan α＝，则锐角α的取值范围是(　　)
A.0°＜α＜30° B.30°＜α＜45° C.45°＜α＜60° D.60°＜α＜90°
【举一反三2】锐角α满足，且，则α的取值范围为（　　）
A.30°＜α＜45° B.45°＜α＜60° C.60°＜α＜90° D.30°＜α＜60°
【举一反三3】某同学遇到了这样一道题：，则锐角的度数应是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三4】已知∠A是Rt△ABC的一个内角，且tan A＜˙，那么∠A的取值范围是________．
【举一反三5】已知∠A是Rt△ABC的一个内角，且tan A＜˙，那么∠A的取值范围是________．
【举一反三6】已知tanA＝0.7，则∠A________________30°(填“＜”或“＞”)．
【题型12】求特殊角的三角函数值
【典型例题】小明利用如图所示的量角器量出的度数，的值为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】等于（ ）
A. B. C. D.1
【举一反三2】在△ABC中，∠A＝120°，∠B＝45°，∠C＝15°，则cosB等于(　　)
A. B. C. D.
【举一反三3】已知∠A为锐角，且tanA=，则∠A的大小为 ．
【举一反三4】计算：sin30°+cos45°= ．
【举一反三5】同学们，在我们进入高中以后，将还会学到下面三角函数公式：
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
例：sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝
(1)试仿照例题，求出cos15°的准确值；
(2)我们知道，tan α＝sinαcosα，试求出tan 15°的准确值．
【题型13】直接由定义求余弦值
【典型例题】cosα表示的是(　　)
A.一个角 B.一个实数 C.一个点 D.一条射线
【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C=90，sinA=，则cosB的值等于（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】一等腰三角形的两边长为5 cm和8 cm，则它的底角的余弦值是(　　)
A. B.或 C.或 D.或
【举一反三3】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，则cos∠ABC值是（ ）．
A.2 B. C. D.
【举一反三4】如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则cosB的值为(　　)
A. B. C. D.
【举一反三5】在中，，，，那么 ．
【举一反三6】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有 个
（1）；（2）；（3）；（4）．
【举一反三7】已知CD是Rt△ABC斜边上的高线，且AB＝10，若BC＝8，则cos∠ACD＝__________.
【举一反三8】已知等腰三角形两条边的长分别是底角为，则 ．
【题型14】锐角三角函数值的变化情况
【典型例题】把各边的长度都扩大倍得到，其中与是对应顶点，则锐角的余弦值比锐角的余弦值（ ）
A.扩大4倍 B.保持不变 C.缩小4倍 D.扩大2倍
【举一反三1】在中，各边的长度都缩小4倍，那么锐角A的三角函数值（ ）
A.扩大4倍 B.保持不变 C.缩小2倍 D.缩小4倍
【举一反三2】当角度在0°到90°之间变化时，函数值随着角度的增大而增大的三角函数是(　　)
A.正弦和余弦 B.正弦和正切 C.余弦和正切 D.正弦、余弦和正切
【举一反三3】比较大小： ．
【举一反三4】如图所示的网格是正方形网格，则∠AOB ∠COD．（填“＞”，“＝”或“＜”）

【举一反三5】如图，已知和射线上一点（点与点不重合），且点到、的距离为、．

(1)若，，，试比较、的大小；
(2)若，，，都是锐角，且．
试判断、的大小，并给出证明．
【举一反三6】已知：如图，，、是上的两点，．

（1）求证：；
（2）锐角的正切函数值随角度的增大而________．
【题型15】利用勾股定理求余弦值
【典型例题】如图，四边形为菱形，对角线，交于点O，，垂足为E．若，，则为（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，中，，，则（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，中，，，，为直线上一动点，连接．
（1） ．
（2）线段的最小值是
【举一反三3】如图，为的弦，C为上一点，于点D．若，，则 ．
【举一反三4】如图，在中，直径，与弦相交于点E，连接，若，求的值．
【题型16】锐角三角函数的定义
【典型例题】在中，为最大角，下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，点A（x，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，cosα＝，
则tanα的值为（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3BC，则sinB＝________，cosB＝________.
【举一反三3】如图，在中，，，．
求的长、和的值．

【举一反三4】在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，AB＝15，AC＝9，分别求出sinA和tan B的值．
【题型17】已知三角函数值求另一个三角函数值
【典型例题】△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA的值是（　　）
A.2 B. C.2 D.
【举一反三1】已知为锐角，且，那么的正切值为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝则cosA等于（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】已知sinA＝，则cosA的值是(　　)
A.2 B. C. D.
【举一反三4】已知sinA＝，∠A为锐角，则cos2A等于(　　)
A. B. C. D.1
【举一反三5】在Rt△ABC中，∠ACB=90，sinB=，则cosB= ；若，
则= ．
【举一反三6】已知是锐角，，则 °
【举一反三7】已知，是锐角，则 .
【题型18】先求三角函数值再求角的度数
【典型例题】某个水库大坝的横断面为梯形，迎水坡的坡度是1∶，背水坡为1∶1，那么两个坡的坡角和为(　　)．
A.90° B.75° C.60° D.105°
【举一反三1】如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，下列判断正确的是(　　)
A.∠A＝30° B.∠A＝45° C.cosA＝ D.tanA＝
【举一反三2】在Rt△ABC中，已知∠B＝90°，AC＝10，AB＝5，则∠A等于(　　)
A.45° B.30° C.60° D.50°
【举一反三3】如图，过点O、A(1，0)、B(0，)作⊙M，D为⊙M上不同于点O、A的点，则∠ODA的度数为（　　）
A.60° B.60°或120° C.30° D.30°或150°
【举一反三4】中，，，，则 ．
【举一反三5】在Rt△ABC中，∠C＝90°，2a＝c，则∠B＝________.
【举一反三6】如图⊙O是△ABC的外接圆，AD是的直径，连接CD，若半径为2，AC=，则∠B=

【题型19】平面直角坐标系中求正弦值
【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，已知⊙A经过点E、B、O、C且点O为坐标原点，点C在y轴上，点E在x轴上，A（﹣6，4），则sin∠OBC的值为（ ）

A. B. C. D.
【举一反三1】如图，点D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD的值是(　　)
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，已知∠α的一边在x轴上，另一边经过点A(2，4)，顶点为(－1，0)，则sinα的值是(　　)
A. B. C. D.
【举一反三3】如图所示，直径为的经过点和点、是轴右侧优弧上一点，则 ．

【举一反三4】如图，四边形的边与y轴的正半轴重合，垂直于x轴，反比例函数的图象经过四边形的对角线，的交点．

（1）若，则 ；
（2）若的面积为2，则k的值为 ．
【举一反三5】如图，点C是线段上一点，直线，垂足为点C．

(1)在直线l上作一点P，使（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，连接，若，求的值．
【题型20】在正方形网格中求正弦值
【典型例题】如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，则的值是（　　）

A.1 B. C. D.
【举一反三1】如图，在单位长度为1的网格中，的三个顶点均在格点上，则的值等于（　　）

A. B. C. D.
【举一反三2】在正方形网格中，的位置如图所示，则sin∠BAC的值为 ．

【举一反三3】如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为 ．

【举一反三4】多边形面积的求解有多种方法，通过不同方法的应用，可以求解某些边和角．
[基础掌握]在中，，，．求的面积；
[灵活运用]在中，，，．求的面积；
[迁移提升]如图，的顶点都在边长为的小正方形的顶点上，请直接写出的值．

【举一反三5】图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点均在格点上．

只用无刻度的直尺，在图①、图②中分别画一个△PBC，使点P在格点上，
且∠BPC=∠BAC，所画的两个三角形不全等，不要求写出画法．
(2) sin∠BPC=______．
【题型21】已知锐角三角函数值用计算器求角的度数
【典型例题】已知，求a，若用计算器计算且结果为“30”，最后按键( )
A.AC10N B.SHIET C.MODE D.SHIFT
【举一反三1】已知sinA=0.1782，则锐角A的度数大约为（　　）
A.8° B.9° C.10° D.11°
【举一反三2】已知，则锐角的度数大约为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】（1）若sinα=0.5138，则锐角α= ；
（2）若2cosβ=0.7568，则锐角β= ；
（3）若tan A=37.50，则∠A= （结果精确到1〞）.
【举一反三4】已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：
(1)sinA＝0.7325，sinB＝0.0547；
(2)cosA＝0.6054，cosB＝0.1659；
(3)tanA＝4.8425，tanB＝0.8816.
【举一反三5】利用计算器求下列各锐角的度数．（精确到）
（1），求；
（2），求；
（3），求；
（4），求．
【题型22】直接由定义求正弦值
【典型例题】已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA的值是(　　)
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sinB的值是(　　)
A. B. C. D.
【举一反三2】在直角三角形ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，AC＝4，则sinB＝________.
【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，BC＝1，AC＝.
(1)求sinA的值．
(2)你能通过sinA的值求sin∠CBD的值吗？若能，请求出sin∠CBD的值，若不能，请说明理由．
【题型23】特殊角的三角函数值的运算
【典型例题】的值等于（ ）
A.1 B. C. D.2
【举一反三1】sin45°－cos60°等于(　　)
A. B. C. D.
【举一反三2】计算： ．
【举一反三3】 ．
【举一反三4】计算：4cos30°-tan45°tan60°+2sin45°.
【题型24】平面直角坐标系中求正切值
【典型例题】如图，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为(12,5)，则tanα等于(　　)
A. B. C. D.
【举一反三1】在直角坐标系xOy中，点P(4，y)在第四象限内，且OP与x轴正半轴的夹角的正切值是2，则y的值是(　　)
A.2 B.8 C.－2 D.－8
【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，与y轴相交于B点，直线与圆相切，，若，则的值是 ．

【举一反三3】如图是直线的图像，求锐角的三个三角函数值．

【题型25】在正方形网格中求正切值
【典型例题】如图，在的正方形网格中，A，B，C是正方形网格的格点，连接，则的值是（ ）

A. B. C. D.
【举一反三1】如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tanA的值是（ ）

A. B. C. D.
【举一反三2】如图，已知A、B、C三点均在格点上，则tanA的值为____________．
【举一反三3】如图，由边长为1的正方形构成的9×5网格，小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上

(1) _______；
(2)仅用无刻度的直尺在上找一点E，使平分；
（画图过程中起辅助作用的用虚线表示，画图结果用实线表示）
(3)求的值．
【举一反三4】如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，四边形的四个顶点都 在格点上，O为边的中点，若把四边形绕着点O顺时针旋转180°，
试解决下列问题：

(1)画出四边形旋转后的图形四边形；
(2)设点B旋转后的对应点为，求的值．
【题型26】同角三角函数的关系
【典型例题】在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则cosA的值为(　　)
A. B. C. D.
【举一反三1】 已知A，B是两个锐角，且满足，，则实数t所有可能值的和为（　　）
A. B. C.1 D.
【举一反三2】如果∠A是锐角，则下列结论正确个数为(　　)个．
①＝sinA－1；②sinA＋cosA＞1；③tanA＞sin A；④cosA＝sin(90°－∠A)
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，是第一象限内的点，且，则 ．
【举一反三4】已知tan α＝，那么sinα＝__________.(其中α为锐角)
【举一反三5】化简求值：，其中tanα＝2.
【题型27】根据正弦值确定角的大小
【典型例题】α为锐角，且sinα＝0.6，则(　　)
A.0°＜α＜30° B.30°＜α＜45° C.45°＜α＜60° D.60°＜α＜90°
【举一反三1】已知是锐角，且，那么等于（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如果∠A是锐角，且sinA＝，那么∠A的范围是(　　)
A.0°＜∠A＜30° B.30°＜∠A＜45° C.45°＜∠A＜60° D.60°＜∠A＜90°
【举一反三3】若∠A是锐角，且sinA＝，则（ ）
A.0°＜∠A＜30° B.30°＜∠A＜45° C.45°＜∠A＜60° D.60°＜∠A＜90°
【举一反三4】已知为锐角，，则 ．
【举一反三5】已知为锐角，，则= 度．
【举一反三6】若，则锐角 ．
【举一反三7】若，则锐角 °．
【题型28】互余两角的三角函数关系
【典型例题】在中，，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】在中，，若，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】在中，∠C=90°，如果，那么的值是( )
A. B. C. D.
【举一反三3】在中， C=90°，tan A =3，tanB=
【举一反三4】在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，求cosB.
【题型29】由特殊角的三角函数值求角的度数
【典型例题】若sin(α－10°)＝，则∠α为(　　)
A.30° B.40° C.60° D.70°
【举一反三1】已知sinα＝，则锐角α的度数是(　　)
A.30° B.37° C.45° D.60°
【举一反三2】已知tan A＝1，则锐角A的度数是(　　)
A.30° B.45° C.60° D.75°
【举一反三3】如果（为锐角），则 ， ．
【举一反三4】已知a为锐角，且则 ．
【举一反三5】已知，求锐角．
【举一反三6】 在中， 已知 求的值．
【题型30】利用勾股定理求正切值
【典型例题】矩形中，，，以为直径在矩形内作半圆．切于点（如图），则的值为（　　）

A. B. C. D.
【举一反三1】如图，内接于，为的直径，若，，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【举一反三2】在中，是边上的高，是边上的中线，．若，，则的值为（ ）
A.2或 B.2或 C.3或 D.3或
【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若c＝4a，则tan A＝__________.
【举一反三4】若中，，，则 ．

【举一反三5】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，求tan A和tan B.
【举一反三6】如图，在矩形中，，E是边上的一点，将沿着 折叠，点A恰好落在边上的点F 处，连接．

(1)求证：；
(2)求的值．
【题型31】由特殊角的三角函数值求三角形内角的度数
【典型例题】如果，那么＝（ ）．
A.30° B.45° C.60° D.90°
【举一反三1】把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】在△ABC中，若|sinA－|＋（cosB-）2＝0，则∠C的度数是(　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
【举一反三3】若，则锐角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三4】如果，那么＝（ ）．
A.30° B.45° C.60° D.90°
【举一反三5】的两个锐角和满足，
则的度数是 ．
【举一反三6】在△ABC中，已知sinA＝，cosB＝，则∠C＝________度．
【举一反三7】已知中，均为锐角，且满足，则 ．
人教版（2024）九年级下册 28.1 锐角三角函数 讲义（参考答案）
【题型1】平面直角坐标系中求余弦值
【典型例题】如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的坐标为(3，4)，则cosα的值是(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】过点P作PQ⊥x轴于点Q，则OQ＝3，PQ＝4.在Rt△OPQ中，由勾股定理，可得OP＝5.∴cosα＝＝.故选A.
【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则cosα的值是（　　）

A. B. C. D.2
【答案】C
【解析】如图，作AH⊥x轴于H．

∵A（2，1）， ∴OH＝2，AH＝1，
∴OA＝＝＝，
∴cosα＝＝＝，
故选：C．
【举一反三2】如图，已知锐角α的顶点在原点，始边为x轴的正半轴，终边经过(1，2)．如图，则sinα＝ ，cosα＝ ．
【答案】
【解析】如图，过P点作PD⊥x轴，垂足为D，
∵P（1，2） ∴OD=1，PD=2, ∴OP=,
∴,.
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，点在点的左边，与轴交于点．抛物线的对称轴为直线，点的坐标为．
(1)求点坐标；
(2)求的值；
(3)若点在该抛物线上，求的值．
【答案】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线，点的坐标为，
∴， ∴；
（2）∵抛物线，
当时，， ∴，而，
∴，
∴；
（3）∵抛物线的对称轴为直线，点的坐标为，
∴， 解得：， ∴抛物线为：，
∵点在该抛物线上，
∴即， 解得，．
【题型2】余弦值的变化情况
【典型例题】、都是锐角，且，则下列各式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
解：∵ 、都是锐角，且，
∴ ， ∴ ，，．
故选：
【举一反三1】如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂，阻力臂，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（ ）

A.越来越小 B.不变 C.越来越大 D.无法确定
【答案】A
【解析】
解：∵动力×动力臂=阻力×阻力臂，
∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0，
∴动力随着动力臂的增大而减小，
∵杠杆向下运动时的度数越来越小，此时的值越来越大，
又∵动力臂， ∴此时动力臂也越来越大， ∴此时的动力越来越小，
故选：A．
【举一反三2】已知30°＜α＜60°，下列各式正确的是(　　)
A.＜cosα＜ B.＜cosα＜ C.＜cosα＜ D.＜cosα＜
【答案】C
【解析】∵cos30°＝，cos60°＝，锐角的余弦函数是减函数，∴＜cosα＜.故选C.
【举一反三3】三角函数、、之间的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
解：，
又，余弦值随着角度的增大而减小，
．
故选：C．
【举一反三4】已知30°＜α＜60°，下列各式正确的是(　　)
A.＜cosα＜ B.＜cosα＜ C.＜cosα＜ D.＜cosα＜
【答案】C
【解析】∵cos30°＝，cos60°＝，锐角的余弦函数是减函数，∴＜cosα＜.故选C.
【举一反三5】cos30°________ cos40°(填大小关系)
【答案】＞
【解析】∵锐角的余弦值随着角的增大而减小，∴cos 30°＞cos40°.
【举一反三6】比较sin30°和cos30°的大小，用“＜”连接 ．
【答案】
sin30°＜cos30°
【解析】
解：∵cos30°=sin60°，正弦的锐角三角函数值随角度的增大而增大，
∴sin30°＜sin60°，故sin30°＜cos30°
故答案为：sin30°＜cos30°．
【举一反三7】比较大小： （用“”或“”填空）．
【答案】
＞
【解析】
解：∵45°＜55°，
∴cos45°＞cos55°．
故答案为：＞．
【题型3】直接由定义求正切值
【典型例题】如图，在中，，则的值是（ ）
A.2 B. C. D.
【答案】B
【解析】解：∵，
∴．
故选：B.
【举一反三1】如图，在中，，，垂足为D．如果，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：∵，，∴，
∴， ∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴， ∴， ∴，
∴，
故选：B．
【举一反三2】中，，则 ．
【答案】/
【解析】解：在中，，
∴，
故答案为：．
【举一反三3】如图，AB和⊙O切于点B，AB=5，OB=3，则tanA= ．
【答案】
【解析】解：根据切线的性质，由直线AB与⊙O相切于点B，可得∠OBA=90°
所以tanA=
【举一反三4】如图，在中，．
(1)求作分别与，相切，使得圆心O落在上，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，已知，，求的值．
【答案】解：（1）如图，作的角平分线，过作的垂线，垂足为，
以为圆心，为半径画圆，作于M，
由角平分线的性质可得：到的距离为圆的半径，
∴是的切线，即，
由作图可得：是的切线，
∴即为所求．
（2）由（1）得：，，，
∵，
∵，，
∴，
∴．
【题型4】正弦值的变化情况
【典型例题】在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的4倍，那么锐角A的正弦值(　　)
A.扩大4倍 B.缩小4倍 C.扩大16倍 D.没有变化
【答案】D
【解析】根据锐角三角函数的概念，知若各边长都扩大4倍，则sinA的值不变．故选D.
【举一反三1】在Rt△ABC中，若各边长都扩大5倍，则锐角A的正弦值(　　)
A.不变 B.扩大5倍 C.缩小到原来的15 D.不能确定
【答案】A
【解析】设Rt△ABC的三边长为a，b，c，则sinA＝，如果各边长都扩大3倍，则sinA＝＝，故∠A的正弦值大小不变．故选A.
【举一反三2】若的各边都扩大倍，得到，那么锐角、的正弦值的关系为（ ）
A. B. C. D.不能确定
【答案】C
【解析】解：设Rt△ABC直角为∠C，对应边分别为a、b、c，
故知sinA=， 当各边扩大3倍时， sinA′==，
故sinA=sinA′，
故选C．
【举一反三3】比较大小：sin65°__________sin55°(用“＞”或“＜”填空)．
【答案】＞
【解析】∵65°＞55°，∴sin65°＞sin55°.
【举一反三4】比较大小： ．（填“”，“”，或“”）
【答案】
【解析】解：由“一个锐角的正弦值随着锐角的增大而增大”可知，
，
故答案为：．
【举一反三5】在Rt△ABC中，∠C＝90°.当∠A确定时，它的正弦值是否随之确定？请说明理由．
【答案】解　在Rt△ABC中，∠C＝90°.当∠A确定时，它的正弦值是随之确定，理由是：sinA＝，∠A确定，∠A对边与斜边的比值是不变的．
【题型5】用计算器求锐角三角函数值
【典型例题】用计算器求的值，按键顺序是（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
解：先按键“”，再输入角的度数，按键“”即可得到结果．
故选：D．
【举一反三1】若tan，利用科学计算器计算的度数，下列按键顺序正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
解：在计算器中按下，然后找到的按键符号，即键
按下键，再按键，A项符合题意
故选：A．
【举一反三2】利用计算器求值时，若按键顺序为则输出结果为 ．

【答案】
【解析】
解：由题意得，计算器输出的结果为，
故答案为：．
【举一反三3】用科学计算器计算： cos 32°≈ .(精确到0.01)
【答案】
2.68
【解析】
解： cos 32°=3.1623×0.8480≈2.68，
故答案为2.68．
【举一反三4】用计算器求下列各式的值．（结果精确到）
(1)； (2)； (3)．
【答案】
解：（1）；
（2）；
（3）
【举一反三5】用计算器求下列锐角三角函数值，并填入表中：
随着锐角A的度数不断增大，有怎样的变化趋势？呢？呢？你能说明自己的结论吗？
【答案】
解：
随着锐角A的度数不断增大，的值不断增大，的值不断减小，的值不断增大．
理由：在中，，假定的对边不变，当增大时，必有斜边减小，因此的值增大；假定的邻边不变，当增大时，必有斜边增大，对边增大，因此的值减小，的值增大．
【题型6】在正方形网格中求余弦值
【典型例题】如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是(　　)
A. B.1 C. D.
【答案】D
【解析】由圆周角定理，得∠AED＝∠ABD.在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝＝5，cos∠AED＝cos∠ABC＝＝＝，故选D.
【举一反三1】如图，个形状大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点已知菱形的一个角为，、、都在格点上；点在过、、三点的圆弧上，若也在格点上，且，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：在图中标上点、，连接，

四边形为菱形， ，平分．
， 为等边三角形， ，点为圆弧的圆心．
，
以点为圆心长度为半径补充完整圆，点即是所求，如图所示．
所对的圆周角为、，
图中所标点符合题意．
四边形为菱形，且，为等边三角形，
．
故选：B．
【举一反三2】如图，正方形网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的余弦值是__________．
【答案】
【解析】如图，作OC⊥AB的延长线于点C，在Rt△OAC中，AC＝4，OA＝＝2，则cos ∠OAB＝＝＝＝.
【举一反三3】如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是________．
【答案】
【解析】连接AB，∵OA2＝12＋32＝10，AB2＝12＋32＝10，OB2＝22＋42＝20，∴OA2＋AB2＝OB2，OA＝AB，∴△AOB是等腰直角三角形，即∠OAB＝90°，∴∠AOB＝45°，∴cos ∠AOB＝cos45°＝.
【举一反三4】请按下列要求画图并填空：
（1）平移线段使点平移到点，画出平移后所得的线段；
（2）将线段绕点逆时针旋转90°，画出旋转后所得的线段，并直接写出
的值为　　 ．
【答案】解：（1）如图，CD为所求作线段．
（2）如图 ，BE为所求作线段．
过点B作BF⊥CE于F．
在Rt△BCE中，
∵CF=1，BF=4， ∴CB=
∴cos∠BCF=
∴cos∠BCE=
故答案为：
【题型7】由特殊角的三角函数值判断三角形的形状
【典型例题】若的内角满足，则的形状是（ ）
A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.三角不全相等的锐角三角形
【答案】A
【解析】
解：由题意得：，， 即，，
∴， ∴， 即的形状是直角三角形．
故选：A．
【举一反三1】在中，，那么是（ ）
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
【答案】A
【解析】
解：∵， ∴，
∴， ∴， 是等腰三角形
故选：A．
【举一反三2】若∠A、∠B为△ABC中的锐角，且(2sinA-)2＋(cosB-)2＝0，则△ABC是(　　)
A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.无法确定
【答案】A
【解析】∵(2sinA-)2＋(cosB－)2＝0，∴2sinA－＝0，cos B－＝0，∴sinA＝，cosB＝，∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴∠C＝60°，∴△ABC为等边三角形．故选A.
【举一反三3】中，均为锐角，且，
则的形状是 ．
【答案】
等边三角形
【解析】
解：， 解得，
在中，均为锐角， ，
是等边三角形，
故答案为：等边三角形．
【举一反三4】在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且sinA＝，cosB＝，试判断△ABC的形状．
【答案】解　由△ABC中，∠A、∠B为锐角，且sinA＝，cos B＝，得∠A＝∠B＝30°，△ABC是等腰三角形．
【题型8】正切值的变化情况
【典型例题】已知30°＜α＜60°，下列各式正确的是(　　)
A.22＜tanα＜ B.＜tanα＜ C.＜tanα＜ D.＜tanα＜
【答案】C
【解析】∵tan30°＝，tan60°＝，锐角的正切值随着α的增大而增大，∴＜tan α＜.故选C.
【举一反三1】在RtABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则tanA的值（ ）
A.不变 B.扩大5倍 C.缩小5倍 D.不能确定
【答案】A
【解析】
解：∵∠C＝90°，各边都扩大5倍所得的三角形与原三角形相似，
∴∠A的大小没有变， ∴tanA的值不变．
故选：A．
【举一反三2】随着锐角α的增大，tanα的值(　　)
A.增大 B.减小 C.不变 D.增大还是减小不确定
【答案】A
【解析】当角度在0°～90°间变化时，正切值随着角度的增大而增大，故选A.
【举一反三3】比较tan20°，tan50°，tan70°的大小，下列不等式正确的是（　　）
A.tan70°＜tan50°＜tan20° B.tan50°＜tan20°＜tan70° C.tan20°＜tan50°＜tan70° D.tan20°＜tan70°＜tan50°
【答案】C
【解析】
解：由正切函数随角增大而增大，得：tan20°＜tan50°＜tan70°，
故C符合题意．
故选C．
【举一反三4】在直角三角形中， 如果各边都扩大 1 倍， 则其锐角的正切值（ ）
A.扩大 1 倍 B.没有变化 C.缩小为原来的一半 D.不能确定
【答案】B
【解析】
解：根据锐角三角函数的概念，知：
如果各边都扩大 1 倍，即各边都变为原来的2倍，边长比不变，
则其锐角的正切值不变．
故选：B．
【举一反三5】比较大小： （填“”“”或“”）．
【答案】
【解析】
解：在锐角三角函数中，正切值随角度的增加而增加，
故答案为：．
【举一反三6】比较、、和的大小，并由小到大排列： ．
【答案】
【解析】
解：，正弦值随着角度的增大而增大
，
故答案为：
【举一反三7】比较大小： （填“”或“”）
【答案】
【解析】
解：在锐角三角函数中，正切值随角度的增加而增加，
，
故答案为：．
【举一反三8】按从小到大的顺序用“”把，，，连接起来
【答案】
【解析】
解：∵20°＜40°＜60°＜80°，
∴.
故答案为t
【题型9】利用勾股定理求正弦值
【典型例题】如图，在矩形中，是边上两点，且，连接与相交于点，连接．若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：∵矩形，，，，
∴，，
∴，， ∴， ∴
过点作，则：，
∴，
∴， ∴，，
∴，
∴，∴；
故选A．
【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sinA的值为(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC＝＝12，∴sinA＝＝，故选B.
【举一反三2】在中，，则的正弦值为（ ）
A. B. C.2 D.
【答案】B
【解析】解：如图所示：
∵，
∴，
∴；
故选B．
【举一反三3】△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝3，那么sinB＝________.
【答案】
【解析】∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝3，∴AB＝＝＝，∴sinB＝＝＝.
【举一反三4】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，且AC＝1，BC＝2，则sin∠A＝____________.
【答案】
【解析】∵∠C＝90°，∴AC2＋BC2＝AB2，∵AC＝1，BC＝2，∴AB＝；∴sin∠A＝＝＝.
【举一反三5】如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，试求sin∠ECM的值．
【答案】解　设AE＝x，则BE＝3x，BC＝4x，AM＝2x，CD＝4x，则EC＝＝5x，EM＝＝x，CM＝＝2x，∵EM2＋CM2＝CE2，∴△CEM是直角三角形，∴sin∠ECM＝＝.
【题型10】根据余弦值确定角的大小
【典型例题】已知，则锐角的取值范围是（ 　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：，，
由可得，
在锐角范围内，余弦函数值随着角度的增大而减小，
，
故选：D．
【举一反三1】已知，A，B均为锐角，则A的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：∵，
∵， 当，越大，越小，
故．
故选D．
【举一反三2】当锐角的时，的值为（ ）
A.小于 B.小于 C.大于 D.大于
【答案】A
【解析】解：根据cos45°＝，余弦函数随角增大而减小，则∠A一定小于45°．
故选：A．
【举一反三3】若锐角满足，则锐角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵，，
∴；
故选C．
【举一反三4】若 为锐角，且cos0.6，则（ ）
A.0 30 B.30 45 C.45 60 D.60 90
【答案】C
【解析】解：根据特殊的三角函数值,得
cos45°=，cos60°=
由于＜0.6＜ 故45°＜＜60°
所以选C.
【举一反三5】若cosA＞cos60°，则锐角A的取值范围是________．
【答案】0°＜A＜60°
【解析】由cosA＞cos60°，得0°＜A＜60°，故答案为0°＜A＜60°.
【举一反三6】已知为锐角，，则 度．
【答案】
【解析】解：∵为锐角，，，
∴， ∴，
故答案为：
【举一反三7】cosA =，A为锐角，则A = ；2cos(α-10°) = 1，则锐角α = .
【答案】 45°， 70°.
【解析】解：∵cos45°= 且A为锐角， ∴A=45°；
∵2 cos(α-10°) = 1， ∴cos(α-10°)= ，
又∵cos60°= ，且α为锐角， ∴α-10°=60°， ∴α=70°.
【举一反三8】已知为锐角，，则 度．
【答案】
【解析】解：∵为锐角，，，
∴， ∴，
故答案为：
【题型11】根据正切值确定角的大小
【典型例题】已知为锐角，且，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵， ∴，
∵为锐角， ∴， 解得：，
故选：C．
【举一反三1】已知tan α＝，则锐角α的取值范围是(　　)
A.0°＜α＜30° B.30°＜α＜45° C.45°＜α＜60° D.60°＜α＜90°
【答案】C
【解析】∵tan30°＝≈0.577，tan45°＝1，tan60°＝≈1.732，又∵tan α＝＝1.2，∴tan45°＜tan α＜tan60°，∵锐角的正切值随角度的增大而增大，∴45°＜α＜60°，故选C.
【举一反三2】锐角α满足，且，则α的取值范围为（　　）
A.30°＜α＜45° B.45°＜α＜60° C.60°＜α＜90° D.30°＜α＜60°
【答案】B
【解析】解：∵，且， ∴45°﹤α﹤90°
∵，且 ，∴0°＜α＜60°， ∴45°＜α＜60°．
故选：B．
【举一反三3】某同学遇到了这样一道题：，则锐角的度数应是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵，，
∴， ∴；
故选：C．
【举一反三4】已知∠A是Rt△ABC的一个内角，且tan A＜˙，那么∠A的取值范围是________．
【答案】0°＜∠A＜60°
【解析】∵∠A是Rt△ABC的一个内角，∴∠A＜90°，∵tanA＜，∴0°＜∠A＜60°.
【举一反三5】已知∠A是Rt△ABC的一个内角，且tan A＜˙，那么∠A的取值范围是________．
【答案】0°＜∠A＜60°
【解析】∵∠A是Rt△ABC的一个内角，∴∠A＜90°，∵tanA＜，∴0°＜∠A＜60°.
【举一反三6】已知tanA＝0.7，则∠A________________30°(填“＜”或“＞”)．
【答案】>
【解析】∵tanA＝0.7，tan30°＝≈0.577，∴∠A>30°,故答案为∠A>30°
【题型12】求特殊角的三角函数值
【典型例题】小明利用如图所示的量角器量出的度数，的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：由量角器读数可知，
∴，
故选：．
【举一反三1】等于（ ）
A. B. C. D.1
【答案】B
【解析】解：sin60°=
故选B．
【举一反三2】在△ABC中，∠A＝120°，∠B＝45°，∠C＝15°，则cosB等于(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵cos 45°＝，∴cos B＝.故选D.
【举一反三3】已知∠A为锐角，且tanA=，则∠A的大小为 ．
【答案】60°
【解析】解：∵∠A为锐角，且tanA=， ∴∠A=60°.
故答案为60°.
【举一反三4】计算：sin30°+cos45°= ．
【答案】
【解析】解：sin30°+cos45°=+=,
故答案为：.
【举一反三5】同学们，在我们进入高中以后，将还会学到下面三角函数公式：
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
例：sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝
(1)试仿照例题，求出cos15°的准确值；
(2)我们知道，tan α＝sinαcosα，试求出tan 15°的准确值．
【答案】解　(1)cos15°＝cos(45°－30°)=cos45°cos30°＋sin 45°sin30°
＝×＋×＝；
(2)tan15°＝＝÷＝2－.
【题型13】直接由定义求余弦值
【典型例题】cosα表示的是(　　)
A.一个角 B.一个实数 C.一个点 D.一条射线
【答案】B
【解析】解：由三角函数的定义可知，三角函数是线段的比值，所以三角函数是一个实数，
故选B．
【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C=90，sinA=，则cosB的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，
∴若设BC=3x，则AB=5x，
∴cosB=.
故选B.
【举一反三2】一等腰三角形的两边长为5 cm和8 cm，则它的底角的余弦值是(　　)
A. B.或 C.或 D.或
【答案】D
【解析】过顶点A作底边BC的垂线AD，如图，①当5 cm是底边时，BD＝BC＝×5＝，cosB＝＝÷8＝，②当8 cm是底边时，BD＝BC＝×8＝4，cosB＝＝，综上所述，底角的余弦值是或.故选D.
【举一反三3】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，则cos∠ABC值是（ ）．
A.2 B. C. D.
【答案】B
【解析】解：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，
∴AB＝，
∴cos∠ABC＝，
故选：B．
【举一反三4】如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则cosB的值为(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】cosB＝＝.故选A.
【举一反三5】在中，，，，那么 ．
【答案】
【解析】解：如图，，，，
，
故答案为．
【举一反三6】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有 个
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】3
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，
∴∠A＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD， ∴cosA＝＝＝．
故（1），（2），（4）正确．
故答案为：3．
【举一反三7】已知CD是Rt△ABC斜边上的高线，且AB＝10，若BC＝8，则cos∠ACD＝__________.
【答案】
【解析】∵CD是Rt△ABC斜边上的高线，∴CD⊥AB，∴∠A＋∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠A＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴cos∠ACD＝cosB＝＝＝.
【举一反三8】已知等腰三角形两条边的长分别是底角为，则 ．
【答案】或
【解析】解∶如图，当腰长为4时，过点A作于点D，
∴， ∴；
如图，当腰长为6时，过点A作于点D，
∴，
∴；
故答案为：或
【题型14】锐角三角函数值的变化情况
【典型例题】把各边的长度都扩大倍得到，其中与是对应顶点，则锐角的余弦值比锐角的余弦值（ ）
A.扩大4倍 B.保持不变 C.缩小4倍 D.扩大2倍
【答案】B
【解析】
解：∵在中，各边的长度都扩大4倍，
∴各角的大小不变，即大小不变．
∵一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关，
∴锐角A的余弦值保持不变．
故选B．
【举一反三1】在中，各边的长度都缩小4倍，那么锐角A的三角函数值（ ）
A.扩大4倍 B.保持不变 C.缩小2倍 D.缩小4倍
【答案】B
【解析】
解：∵在中，各边的长度都缩小4倍，
∴各角的大小不变，即大小不变．
∵一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关，
∴锐角A的余切值保持不变．
故选B．
【举一反三2】当角度在0°到90°之间变化时，函数值随着角度的增大而增大的三角函数是(　　)
A.正弦和余弦 B.正弦和正切 C.余弦和正切 D.正弦、余弦和正切
【答案】B
【解析】当角度在0°到90°之间变化时，函数值随着角度的增大而增大的三角函数是正弦和正切．故选B.
【举一反三3】比较大小： ．
【答案】
【解析】
解：根据题意作图如下，

在中，，，
， ， ，
故答案为：．
【举一反三4】如图所示的网格是正方形网格，则∠AOB ∠COD．（填“＞”，“＝”或“＜”）

【答案】
=
【解析】
解：根据题意可知tan∠AOB＝2，tan∠COD＝2，
∴∠AOB＝∠COD，
故答案为＝.
【举一反三5】如图，已知和射线上一点（点与点不重合），且点到、的距离为、．

(1)若，，，试比较、的大小；
(2)若，，，都是锐角，且．
试判断、的大小，并给出证明．
【答案】
解：（1）在中，，
，
在中，， ，
又， ；
（2）由（1）得，，
， ， ．
【举一反三6】已知：如图，，、是上的两点，．

（1）求证：；
（2）锐角的正切函数值随角度的增大而________．
【答案】
解：（1）∵， ∴和均为直角三角形，
∴，，
∴；
由（1）可知锐角的正切函数值随角度的增大而增大．
【题型15】利用勾股定理求余弦值
【典型例题】如图，四边形为菱形，对角线，交于点O，，垂足为E．若，，则为（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：∵四边形为菱形，，
∴，，， ∴，
∴， ∴AC=2OA=16，
∵，
∴，，
即， ∴，
∴，
故选：A．
【举一反三1】如图，中，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：∵，
∴．
∴．
故选：D．
【举一反三2】如图，中，，，，为直线上一动点，连接．
（1） ．
（2）线段的最小值是
【答案】 /
【解析】解：（1），，，
，
， 故答案为：；
（2）当时，线段取得最小值，
，，，，
， 即， 解得，
故答案为：．
【举一反三3】如图，为的弦，C为上一点，于点D．若，，则 ．
【答案】
【解析】解：∵，，
∴，
在中，， ∴OD＝，
∴．
故答案为：．
【举一反三4】如图，在中，直径，与弦相交于点E，连接，若，求的值．
【答案】解：连结，如图，
是直径， ，
在中，，，
，
，
【题型16】锐角三角函数的定义
【典型例题】在中，为最大角，下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：依题意，，如图所示，
，故A选项错误，
，故B选项正确，
，故C选项错误，
，故D选项错误，
故选：B．
【举一反三1】如图，点A（x，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，cosα＝，
则tanα的值为（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：过A作AB⊥x轴于B，则∠ABO＝90°，
∵cosα＝， 设OB＝3x，则OA＝5x，
∵A（x，4）， ∴AB＝4，
由勾股定理得：， 所以，
解得：x＝1，x= -1（负数舍去）， 即OB＝3，
∴tanα＝＝，
故选：A．
【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3BC，则sinB＝________，cosB＝________.
【答案】　
【解析】设BC为x，则AB＝3x，由勾股定理得，AC＝＝2x，sinB＝＝，cosB＝＝.
【举一反三3】如图，在中，，，．
求的长、和的值．

【答案】解：在中，，，，
由勾股定理得，
则，
【举一反三4】在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，AB＝15，AC＝9，分别求出sinA和tan B的值．
【答案】解　如图，∵∠C＝90°，AB＝15，AC＝9，
∴BC＝＝12，
∴sinA＝＝，tanB＝＝.
【题型17】已知三角函数值求另一个三角函数值
【典型例题】△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA的值是（　　）
A.2 B. C.2 D.
【答案】A
【解析】解：∵△ABC中，∠C=90°，sinA=，
∴cosA===， 则tanA==，
故选A．
【举一反三1】已知为锐角，且，那么的正切值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：∵，为锐角， ∴，
∴．
故选：A．
【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝则cosA等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：如图，画出，
∵， 设，，
根据勾股定理，， ∴．
故选：D．
【举一反三3】已知sinA＝，则cosA的值是(　　)
A.2 B. C. D.
【答案】D
【解析】∵sinA＝，∴∠A＝30°，∴cosA＝.故选D.
【举一反三4】已知sinA＝，∠A为锐角，则cos2A等于(　　)
A. B. C. D.1
【答案】A
【解析】∵sinA＝，∠A为锐角，∴∠A＝30°，∴cos2A＝cos 60°＝.故选A.
【举一反三5】在Rt△ABC中，∠ACB=90，sinB=，则cosB= ；若，
则= ．
【答案】；15°．
【解析】解：根据sin2B+cos2B=1，sinB=， 所以cosB=；
因为， 所以
根据特殊角三角函数值可得，所以=15°．
【举一反三6】已知是锐角，，则 °
【答案】
【解析】解：如图：
由，设， 则，
故
【举一反三7】已知，是锐角，则 .
【答案】
【解析】解：，是锐角，
， ．
故答案为：．
【题型18】先求三角函数值再求角的度数
【典型例题】某个水库大坝的横断面为梯形，迎水坡的坡度是1∶，背水坡为1∶1，那么两个坡的坡角和为(　　)．
A.90° B.75° C.60° D.105°
【答案】B
【解析】解：由题意知：
tanα== ∴α=30°；
tanβ==1， ∴β=45°． ∴∠α+∠β=75°．
故选B．
【举一反三1】如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，下列判断正确的是(　　)
A.∠A＝30° B.∠A＝45° C.cosA＝ D.tanA＝
【答案】D
【解析】∵在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，∴tanA＝＝＝.故选D.
【举一反三2】在Rt△ABC中，已知∠B＝90°，AC＝10，AB＝5，则∠A等于(　　)
A.45° B.30° C.60° D.50°
【答案】A
【解析】在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，AC＝10，AB＝5，∴BC＝＝5，∴tanA＝＝1，∴∠A＝45°.故选A.
【举一反三3】如图，过点O、A(1，0)、B(0，)作⊙M，D为⊙M上不同于点O、A的点，则∠ODA的度数为（　　）
A.60° B.60°或120° C.30° D.30°或150°
【答案】D
【解析】解：如图，连接，
，，，
在中，，，
由题意，分以下两种情况：
（1）如图，当点在轴上方的圆弧上时，
由圆周角定理得：；
（2）如图，当点在轴下方的圆弧上时，
由圆内接四边形的性质得：；
综上，的度数为或，
故选：D．
【举一反三4】中，，，，则 ．
【答案】/60度
【解析】解：如图，，，，
∴，， ∴，∴；
故答案为：
【举一反三5】在Rt△ABC中，∠C＝90°，2a＝c，则∠B＝________.
【答案】30°
【解析】在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，2a＝c，则cosB＝＝，∴∠B＝30°.
【举一反三6】如图⊙O是△ABC的外接圆，AD是的直径，连接CD，若半径为2，AC=，则∠B=

【答案】45°
【解析】解：∵AD是⊙O的直径，半径为2， ∴∠ACD=90°．AD=4
Rt△ACD中，AC=2 ，

sinD=
又∵∠B=∠D，
故答案为：45 ．
【题型19】平面直角坐标系中求正弦值
【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，已知⊙A经过点E、B、O、C且点O为坐标原点，点C在y轴上，点E在x轴上，A（﹣6，4），则sin∠OBC的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：如图，连接EC，过A点作于点M，于点N．

∵∠COE=90 ， ∴EC是⊙A的直径，∴EC过A点，
∵A点的坐标为(-6,4)，，，
，，
由垂径定理得：M点为OC的中点，N点为OE的中点，
，，
由勾股定理得：，
，
∵∠OBC=∠OEC，
，
故选C．
【举一反三1】如图，点D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD的值是(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图所示，连接CD，∵D(0，3)，C(4，0)，∴OD＝3，OC＝4，∵∠COD＝90°，∴CD＝＝5，∵同弧所对的圆周角相等∴∠OBD＝∠OCD，∴sin∠OBD＝sin∠OCD＝＝.故选D.
【举一反三2】如图，已知∠α的一边在x轴上，另一边经过点A(2，4)，顶点为(－1，0)，则sinα的值是(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】作AC⊥x轴于点C，由题意得，BC＝3，AC＝4，由勾股定理得AB＝5，则sinα＝＝，故选D.
【举一反三3】如图所示，直径为的经过点和点、是轴右侧优弧上一点，则 ．

【答案】
【解析】解：连接并延长到圆上一点D，

∵为直径， ∴，即x轴交于点D，
∵点，点，
∴， ∴．
故答案为：．
【举一反三4】如图，四边形的边与y轴的正半轴重合，垂直于x轴，反比例函数的图象经过四边形的对角线，的交点．

（1）若，则 ；
（2）若的面积为2，则k的值为 ．
【答案】 /
【解析】解：（1）作于点E，如图所示：

∵， ∴，， ∴，
∴；
故答案为：；
（2）∵轴， ∴， ∴，
∴， ∴，．
∵的面积为2， ∴， ∴，
∴，
∵，轴， ∴， ∴，
∴， ∴， ∴，
∴．
故答案为：．
【举一反三5】如图，点C是线段上一点，直线，垂足为点C．

(1)在直线l上作一点P，使（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，连接，若，求的值．
【答案】解：（1）如图所示，点P即为所求．

（2）解法一：设，，
由（1）可知，，
，，
， ，
，即，
整理得，， 解得，，
，
解法二：设，，
由（1）可知，，
，即，
整理得，， 解得，，
．
【题型20】在正方形网格中求正弦值
【典型例题】如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，则的值是（　　）

A.1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
解：由图可知，且，
∴，
∴．
故选：D．
【举一反三1】如图，在单位长度为1的网格中，的三个顶点均在格点上，则的值等于（　　）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
解：由图可得，

，
∴，
∴，
故选：A．
【举一反三2】在正方形网格中，的位置如图所示，则sin∠BAC的值为 ．

【答案】
/0.6
【解析】
解：连接格点DC、BD．

在Rt△ABD中， ∵CD=3，AD=4，
∴AC==5． ∴sin∠BAC=．
故答案为：．
【举一反三3】如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为 ．

【答案】
/0.8
【解析】
解：如图，过点A作AH⊥BC于H．

在Rt△ACH中，∵AH=4，CH=3，
∴AC==5，
∴sin∠ACH=，
故答案为：．
【举一反三4】多边形面积的求解有多种方法，通过不同方法的应用，可以求解某些边和角．
[基础掌握]在中，，，．求的面积；
[灵活运用]在中，，，．求的面积；
[迁移提升]如图，的顶点都在边长为的小正方形的顶点上，请直接写出的值．

【答案】
解：（1）如图所示，

过点作于点，
∵，，
∴,
∵． ∴的面积为；
（2）如图所示，过点作于点，

∴，
∴，，
∴,
∴的面积为；
（3）∵，
, ,
又∵,
∴．
【举一反三5】图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点均在格点上．

只用无刻度的直尺，在图①、图②中分别画一个△PBC，使点P在格点上，
且∠BPC=∠BAC，所画的两个三角形不全等，不要求写出画法．
(2) sin∠BPC=______．
【答案】
解：（1）解：以点A为圆心，AB的长为半径画⊙A，⊙A经过格点P1、P2、P3、P4、P5、P6，取其中一个点P与点B、C相连；
图①△BP1C即为所求、图②△BP5C即为所求；
；
（2）取BC的中点D，连接AD，
∵AB=AC， ∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=∠BAC，
∴∠BPC=∠BAD， AB=，
∴sin∠BPC= sin∠BAD =．
【题型21】已知锐角三角函数值用计算器求角的度数
【典型例题】已知，求a，若用计算器计算且结果为“30”，最后按键( )
A.AC10N B.SHIET C.MODE D.SHIFT
【答案】D
【解析】解：“SHIFT”表示使用该键上方的对应的功能．
故选D．
【举一反三1】已知sinA=0.1782，则锐角A的度数大约为（　　）
A.8° B.9° C.10° D.11°
【答案】C
【解析】解：使用2nd键，然后按sin-1 0.1782即可求出∠A的度数．
∴sinA=0.1782，∴∠A≈10°．
故选C．
【举一反三2】已知，则锐角的度数大约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：用计算器计算可得，．
故选：B．
【举一反三3】（1）若sinα=0.5138，则锐角α= ；
（2）若2cosβ=0.7568，则锐角β= ；
（3）若tan A=37.50，则∠A= （结果精确到1〞）.
【答案】 30.92° 67.77° 88°28′21″
【解析】解：(1)若sinα=0.5138，则锐角
(2)若2cosβ=0.7568，则锐角
(3)若tanA=37.50，则
故答案为
【举一反三4】已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：
(1)sinA＝0.7325，sinB＝0.0547；
(2)cosA＝0.6054，cosB＝0.1659；
(3)tanA＝4.8425，tanB＝0.8816.
【答案】解　(1)∵sinA＝0.732 5，∴∠A≈47.1°，∵sinB＝0.054 7，∴∠B≈3.1°；
(2)∵cosA＝0.605 4，∴∠A≈52.7°，∵cosB＝0.1659，∴∠B≈80.5°；
(3)∵tanA＝4.842 5，∴∠A≈78.3°，∵tanB＝0.8816，∴∠B≈41.4°.
【举一反三5】利用计算器求下列各锐角的度数．（精确到）
（1），求；
（2），求；
（3），求；
（4），求．
【答案】解：（1），∴；
（2）∵，∴；
（3）∵，∴；
（4）∵，∴．
【题型22】直接由定义求正弦值
【典型例题】已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA的值是(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】sinA＝＝，故选A.
【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sinB的值是(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴sinB＝，故选C.
【举一反三2】在直角三角形ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，AC＝4，则sinB＝________.
【答案】
【解析】∵∠C＝90°，∴sinB＝，∵AB＝5，AC＝4，∴sinB＝＝.
【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，BC＝1，AC＝.
(1)求sinA的值．
(2)你能通过sinA的值求sin∠CBD的值吗？若能，请求出sin∠CBD的值，若不能，请说明理由．
【答案】解　(1)在Rt△ABC中，sinA＝＝＝；
(2)能．∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∵∠CBD＋∠C＝90°，∠A＋∠C＝90°，
∴∠A＝∠CBD，
∴sin∠CBD＝sinA＝.
【题型23】特殊角的三角函数值的运算
【典型例题】的值等于（ ）
A.1 B. C. D.2
【答案】B
【解析】解： ．
故选：B．
【举一反三1】sin45°－cos60°等于(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．原式＝－＝，故选C.
【举一反三2】计算： ．
【答案】
【解析】解：，
故答案为：
【举一反三3】 ．
【答案】1
【解析】解：，
故答案为：．
【举一反三4】计算：4cos30°-tan45°tan60°+2sin45°.
【答案】解　原式＝4×-+2×＝+.
【题型24】平面直角坐标系中求正切值
【典型例题】如图，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为(12,5)，则tanα等于(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】过P作PE⊥x轴于点E，∵P(12,5)，∴PE＝5，OE＝12，∴tanα＝＝，故选C.
【举一反三1】在直角坐标系xOy中，点P(4，y)在第四象限内，且OP与x轴正半轴的夹角的正切值是2，则y的值是(　　)
A.2 B.8 C.－2 D.－8
【答案】D
【解析】如图，∵点P(4，y)在第四象限内，∴OA＝4，PA＝－y又OP与x轴正半轴的夹角的正切值是2，∴tan∠AOP＝2，∴＝2，∴－y＝2×4，∴y＝－8.故选D.
【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，与y轴相交于B点，直线与圆相切，，若，则的值是 ．

【答案】
【解析】
解：设直线与相切于点D，交y轴于点E，连接，则，如图所示：
∴， ∴，
∵，， ∴， ∴，
设，则， ∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【举一反三3】如图是直线的图像，求锐角的三个三角函数值．

【答案】
解：如图，
直线的图象与x轴的交点A为（，0），即OA=；
与y轴的交点B为（0，5），即OB=5； 则AB==；
===， ， ．
【题型25】在正方形网格中求正切值
【典型例题】如图，在的正方形网格中，A，B，C是正方形网格的格点，连接，则的值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
解：如图，取格点E，连接交于点D，则，
设小正方形边长为1，则，
∵正方形的对角线相等且相互平分， ；
由勾股定理得，，
，
故选：C．
【举一反三1】如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tanA的值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
解：如图，过B作BD垂直于AC的延长线，垂足为D，
, 则在RT△ABD中，AD=5，BD=6， ∴，
故选A．
【举一反三2】如图，已知A、B、C三点均在格点上，则tanA的值为____________．
【答案】
【解析】连接BC，设每个小正方形边长为1，则BC＝＝，AC＝＝2，AB＝＝5，∵BC2＋AC2＝AB2，∴∠BCA＝90°，∴tanA＝＝＝，故答案为.
【举一反三3】如图，由边长为1的正方形构成的9×5网格，小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上

(1) _______；
(2)仅用无刻度的直尺在上找一点E，使平分；
（画图过程中起辅助作用的用虚线表示，画图结果用实线表示）
(3)求的值．
【答案】
解：（1）由勾股定理可得，
故答案为：5
（2）如图所示，即为所求，

∵ ∴
∴四边形是菱形， ∴平分， 即即为所求；
（3）∵平分， ∴，
在中，，
∴，
即的值为．
【举一反三4】如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，四边形的四个顶点都 在格点上，O为边的中点，若把四边形绕着点O顺时针旋转180°，
试解决下列问题：

(1)画出四边形旋转后的图形四边形；
(2)设点B旋转后的对应点为，求的值．
【答案】
解：（1）四边形如图所示；

（2）连接，则，，，则，，
∴，则为直角三角形， ∴，
∴．
【题型26】同角三角函数的关系
【典型例题】在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则cosA的值为(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，∵tanA＝＝，∴设BC＝x，则AC＝3x，∴AB＝＝x，∴cos A＝＝＝.故选D.
【举一反三1】 已知A，B是两个锐角，且满足，，则实数t所有可能值的和为（　　）
A. B. C.1 D.
【答案】C
【解析】解： A，B是两个锐角，且满足，，
， 即，
， ， 解得，
故选：C．
【举一反三2】如果∠A是锐角，则下列结论正确个数为(　　)个．
①＝sinA－1；②sinA＋cosA＞1；③tanA＞sin A；④cosA＝sin(90°－∠A)
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】∵在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，如图，sinA＝，cosA＝，tan A＝，∴＝1－sin A，sinA＋cos A＝＋＝＞1，tanA＞sinA，∵cos A＝，sin (90°－∠A)＝sin B＝，∴cos A＝sin(90°－∠A)，即正确的有②③④，共3个，故选C.
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，是第一象限内的点，且，则 ．
【答案】
【解析】解：如图：
作于C点，
∵， ∴，，
∵， ∴，
由勾股定理，得， ∴，
故答案为：．
【举一反三4】已知tan α＝，那么sinα＝__________.(其中α为锐角)
【答案】
【解析】∵∠C＝90°，∠A＝α，∵tanα＝＝，设BC＝4x，AC＝3x，由勾股定理，得AB＝＝5x，∴sinα＝sin∠A＝＝＝.
【举一反三5】化简求值：，其中tanα＝2.
【答案】解　∵tanα＝＝2，
∴sinα＝2cosα，
∴＝＝＝.
【题型27】根据正弦值确定角的大小
【典型例题】α为锐角，且sinα＝0.6，则(　　)
A.0°＜α＜30° B.30°＜α＜45° C.45°＜α＜60° D.60°＜α＜90°
【答案】B
【解析】∵sin30°＝0.5，sin45°＝≈0.71，又sinα＝0.6，∴30°＜α＜45°.故选B.
【举一反三1】已知是锐角，且，那么等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：∵∠A是锐角，且sinA=，∴∠A=45°．
故选B．
【举一反三2】如果∠A是锐角，且sinA＝，那么∠A的范围是(　　)
A.0°＜∠A＜30° B.30°＜∠A＜45° C.45°＜∠A＜60° D.60°＜∠A＜90°
【答案】C
【解析】∵sin30°＝，sin45°＝，sin60°＝，又∵＜＜，∴45°＜∠A＜60°，故选C.
【举一反三3】若∠A是锐角，且sinA＝，则（ ）
A.0°＜∠A＜30° B.30°＜∠A＜45° C.45°＜∠A＜60° D.60°＜∠A＜90°
【答案】A
【解析】解：∵∠A是锐角，且sinA＝＜＝sin30°，
∴0°＜∠A＜30°，
故选：A．
【举一反三4】已知为锐角，，则 ．
【答案】
【解析】解：∵a为锐角，且，
∴， 解得：．
故答案为：．
【举一反三5】已知为锐角，，则= 度．
【答案】75 ,
【解析】解：∵α为锐角，，
∴α-15°=60°， 则α=75°；
故答案为 75°．
【举一反三6】若，则锐角 ．
【答案】
【解析】解：∵，
∴，
∴，即．
故答案为：．
【举一反三7】若，则锐角 °．
【答案】70
【解析】解：，
， 解得：，
故答案为：70．
【题型28】互余两角的三角函数关系
【典型例题】在中，，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：∵在中，，∴，∴；
故选：A
【举一反三1】在中，，若，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵cosB=cos（90°-A）=sinA=，
故选C．
【举一反三2】在中，∠C=90°，如果，那么的值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：∵Rt△ABC中, ∴ ∴
∴
故选A.
【举一反三3】在中， C=90°，tan A =3，tanB=
【答案】
【解析】解：在中， C=90°， ∴， ∴.
故答案为.
【举一反三4】在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，求cosB.
【答案】解　∵tan A＝，∴∠A＝60°，∵∠A＋∠B＝90°，∴∠B＝90°－60°＝30°，∴cos B＝.
【题型29】由特殊角的三角函数值求角的度数
【典型例题】若sin(α－10°)＝，则∠α为(　　)
A.30° B.40° C.60° D.70°
【答案】D
【解析】sin(α－10°)＝，得α－10°＝60°，α＝70°，故选D.
【举一反三1】已知sinα＝，则锐角α的度数是(　　)
A.30° B.37° C.45° D.60°
【答案】D
【解析】∵sin α＝，∴锐角α＝60°.故选D.
【举一反三2】已知tan A＝1，则锐角A的度数是(　　)
A.30° B.45° C.60° D.75°
【答案】B
【解析】∵tanA＝1，A为锐角，tan45°＝1，∴∠A＝45°.故选B.
【举一反三3】如果（为锐角），则 ， ．
【答案】 45° 30°
【解析】解：∵， ∴，，
∴，，
∵α、β为锐角， ∴α=45°，β=30°．
故答案为：45°，30°．
【举一反三4】已知a为锐角，且则 ．
【答案】60°/60度
【解析】解：∵，
∴， ∴．
故答案为：．
【举一反三5】已知，求锐角．
【答案】解：∵， ∴， 即， ∴，
又∵是锐角， ∴．
【举一反三6】 在中， 已知 求的值．
【答案】解：
∴，，
∴
【题型30】利用勾股定理求正切值
【典型例题】矩形中，，，以为直径在矩形内作半圆．切于点（如图），则的值为（　　）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
解：四边形为矩形，
，，，
为直径， 、与半圆相切，
而切于点，如下图：
，，
设，则， ，
在中，， ，解得，
．
故选：B．
【举一反三1】如图，内接于，为的直径，若，，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
解：连接，
为的直径，，
，，
， ，
故选：A．
【举一反三2】在中，是边上的高，是边上的中线，．若，，则的值为（ ）
A.2或 B.2或 C.3或 D.3或
【答案】D
【解析】
如图1，当H在上时，作，垂足为E，
∵，，， ∴，．
∵是边上的中线， ∴，
∵是边上的高， ∴， ∴，
∴． ∴，，
故；
如图2，当H在的延长线上时，同理可得可得
，， 故．
故选D．
【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若c＝4a，则tan A＝__________.
【答案】
【解析】设a＝x，则c＝4x，由勾股定理得b＝x，tanA＝＝，故答案为.
【举一反三4】若中，，，则 ．

【答案】
/
【解析】
解：∵，， ∴，∴，
∵， ∴，
∴， ∴，
故答案为：．
【举一反三5】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，求tan A和tan B.
【答案】解　∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，∴BC＝＝＝12，∴tanA＝＝，tanB＝＝.
【举一反三6】如图，在矩形中，，E是边上的一点，将沿着 折叠，点A恰好落在边上的点F 处，连接．

(1)求证：；
(2)求的值．
【答案】
解：（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，
由折叠可知： ，
∴， ∴， ∴．
（2） 由折叠可知：，
在中，， ，
∴，
, 由折叠可知:
∵， ∴， ∴，
∴.
【题型31】由特殊角的三角函数值求三角形内角的度数
【典型例题】如果，那么＝（ ）．
A.30° B.45° C.60° D.90°
【答案】A
【解析】解：原方程可化为：， 解得：或，
∵， ∴，则，
故选：A．
【举一反三1】把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：∵， ∴， ∴，
∵直尺的两边平行， ∴， ∴；
故选B．
【举一反三2】在△ABC中，若|sinA－|＋（cosB-）2＝0，则∠C的度数是(　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
【答案】D
【解析】由题意得sinA＝，cos B＝，则∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝180°－30°－60°＝90°.故选D.
【举一反三3】若，则锐角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：，为锐角， ，
故选：A．
【举一反三4】如果，那么＝（ ）．
A.30° B.45° C.60° D.90°
【答案】A
【解析】解：原方程可化为：， 解得：或，
∵， ∴，则，
故选：A．
【举一反三5】的两个锐角和满足，
则的度数是 ．
【答案】/度
【解析】解：∵， ∴且，，
∴且， ∴且，
∵， ∴．
故答案为：．
【举一反三6】在△ABC中，已知sinA＝，cosB＝，则∠C＝________度．
【答案】120
【解析】∵sinA＝，cosB＝，∴∠A＝30°，∠B＝30°，∴∠C＝180°－30°－30°＝120°.
【举一反三7】已知中，均为锐角，且满足，则 ．
【答案】
【解析】解：∵， ∴，，
解得：，，
∴，
故答案为：．

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