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人教版（2024）九年级下册 27.2.1 相似三角形的判定 讲义
【题型1】两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
【典型例题】如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA：OC-=OB：OD，则下列结论中一定正确的是 ( )

A.①与②相似 B.①与③相似 C.①与④相似 D.②与④相似
【举一反三1】如图，每个小正方形边长均为1，则图中的三角形中与相似的是（ ）

A. B. C. D.
【举一反三2】如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与相似的是（ ）

A. B. C. D.
【举一反三3】如图，在矩形ABCD中，，，点E在边AD上，，点F在边DC上，则当 时，与相似．
【举一反三4】如图，若 ，则.
【举一反三5】如图：已知AB⊥DB于B点，CD⊥DB于D点，AB＝6，CD＝4，BD＝14，在DB上取一点P，使以CDP为顶点的三角形与以PBA为顶点的三角形相似，则DP的长．
【题型2】两角分别相等的两个三角形相似
【典型例题】已知图（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB、CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（　　）
A.只有（1）相似 B.只有（2）相似 C.都相似 D.都不相似
【举一反三1】如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC＝BC．图中相似三角形共有（　　）
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
【举一反三2】如图，△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E．AB交EF于D．给出下列结论：
①△ABC≌△AEF； ②∠AFC＝∠C；③DF＝CF； ④△ADE∽△FDB
其中正确的结论是　 　（填写所有正确结论的序号）．
【举一反三3】△ADE中，AD＝AE，C为DE延长线上一点，B为ED延长线上一点，∠DAE＝40°，当∠BAC＝　 　°时，△BDA∽△AEC．
【举一反三4】如图，点M是AB上一点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．
（1）求证：△AMF∽△BGM；
（2）请你再写出两对相似三角形．
【题型3】平行线分线段成比例定理
【典型例题】如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝3，BC＝1．点D在AB边上，点E在CB的延长线上，已知AD＝1，BE＝1，连接ED并延长交AC于点F，则线段AF的长为（　　）
A. B. C. D.1
【举一反三1】如图，在中，点，分别在，边上，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，AD∥BE∥CF，直线m，n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，已知AB＝5，BC＝10，DE＝4，则EF的长为(　　)
A.12.5 B.12 C.8 D.4
【举一反三3】如图，点D、E分别在△ABC边BC、AC上，连接线段AD、BE交于点F，若AE：EC＝1：3，BD：DC＝2：3，则EF：FB＝　 　．
【举一反三4】如图，点D、E分别在的边、上，．如果，．求．
【举一反三5】如图，DC∥EF∥GH∥AB，AB＝12，CD＝6，DE：EG：GA＝3：4：5．求EF和GH的长．
【题型4】三边成比例的两个三角形相似
【典型例题】如图，在正方形网格上，与△ABC相似的三角形是（　　）
A.△AFD B.△FED C.△AED D.不能确定
【举一反三1】如图，在的正方形网格中，画2个相似三角形，正确的画法有（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三2】的边长分别为的边长分别，则与 （选填“一定”“不一定” “一定不”）相似
【举一反三3】一个三角形的三边之比为3：4：5，另一个三角形的最短边长为8，另外两边长为　时，这两个三角形相似．
【举一反三4】如图，在中，，，，求证：．

人教版（2024）九年级下册 27.2.1 相似三角形的判定 讲义（参考答案）
【题型1】两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
【典型例题】如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA：OC-=OB：OD，则下列结论中一定正确的是 ( )

A.①与②相似 B.①与③相似 C.①与④相似 D.②与④相似
【答案】C
【解析】解：∵OA：OC=OB：OD，∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD，C正确；
故选C．
【举一反三1】如图，每个小正方形边长均为1，则图中的三角形中与相似的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：由题意可得：，，
，，，，
，，
，
又，
．
故选：B．
【举一反三2】如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与相似的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：根据题意可得：，；
A．三角形中没有角，图中的三角形（阴影部分）与不相似．
B．夹的两边之比为：，图中的三角形（阴影部分）与相似．
C．三角形中没有角，图中的三角形（阴影部分）与不相似．
D．三角形中没有角，图中的三角形（阴影部分）与不相似．
故答案为：B．
【举一反三3】如图，在矩形ABCD中，，，点E在边AD上，，点F在边DC上，则当 时，与相似．
【答案】5或
【解析】解：由题意,知与都是直角三角形,
所以当或时,与相似,
由, , ,得, ,
∴或, ∴5或．
故答案为: 5或．
【举一反三4】如图，若 ，则.
【答案】
【解析】解：∵∠AOC=∠BOD，
∴当时，
故填：.
【举一反三5】如图：已知AB⊥DB于B点，CD⊥DB于D点，AB＝6，CD＝4，BD＝14，在DB上取一点P，使以CDP为顶点的三角形与以PBA为顶点的三角形相似，则DP的长．
【答案】解：∵AB⊥DB，CD⊥DB，
∴∠D＝∠B＝90°，
设DP＝x，
当PD：AB＝CD：PB时，△PDC∽△ABP，
∴＝，
解得DP＝2或12，
当PD：PB＝CD：AB时，△PCD∽△PAB，
∴＝，
解得DP＝5.6
∴DP＝5.6或2或12．
【题型2】两角分别相等的两个三角形相似
【典型例题】已知图（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB、CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（　　）
A.只有（1）相似 B.只有（2）相似 C.都相似 D.都不相似
【答案】C
【解析】对于图（1）：180°﹣75°﹣35°＝70°，则两个三角形中有两组角对应相等，所以（1）图中的两个三角形相似；
对于（2）图：由于＝，∠AOC＝∠DOB，所以△AOC∽△DOB．
故选：C．
【举一反三1】如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC＝BC．图中相似三角形共有（　　）
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
【答案】C
【解析】图中相似三角形共有3对．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠C＝90°，AD＝DC＝CB，
∵DE＝CE，FC＝BC，
∴DE：CF＝AD：EC＝2：1，
∴△ADE∽△ECF，
∴AE：EF＝AD：EC，∠DAE＝∠CEF，
∴AE：EF＝AD：DE，
即AD：AE＝DE：EF，
∵∠DAE+∠AED＝90°，
∴∠CEF+∠AED＝90°，
∴∠AEF＝90°，
∴∠D＝∠AEF，
∴△ADE∽△AEF，
∴△AEF∽△ADE∽△ECF，
即△ADE∽△ECF，△ADE∽△AEF，△AEF∽△ECF．
故选：C．
【举一反三2】如图，△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E．AB交EF于D．给出下列结论：
①△ABC≌△AEF； ②∠AFC＝∠C；③DF＝CF； ④△ADE∽△FDB
其中正确的结论是　 　（填写所有正确结论的序号）．
【答案】①②④
【解析】在△ABC和△AEF中，，
∴△ABC≌△AEF，故①正确，
∴AC＝AF，
∴∠C＝∠AFC，故②正确，
∵∠E＝∠B，∠EDA＝∠BDF，
∴△ADE∽△FDB，故④正确，
无法证明DF＝CF，故③错误．
故答案为①②④．
【举一反三3】△ADE中，AD＝AE，C为DE延长线上一点，B为ED延长线上一点，∠DAE＝40°，当∠BAC＝　 　°时，△BDA∽△AEC．
【答案】110
【解析】∵AD＝AE，∠DAE＝40°，∴∠ADE＝∠AED＝70°，
∴∠ADB＝∠AEC＝180°﹣70°＝110°．
在△ABD中，
∵∠ADB＝110°，
∴∠B+∠BAD＝180°﹣110°＝70°，同理可得∠C+∠EAC＝70°．
∵△BDA∽△AEC，
∴∠B＝∠EAC，∠C＝∠BAD，
∴∠B+∠C＝∠EAC+∠BAD＝∠B+∠BAD＝70°，
∴∠BAC＝（∠EAC+∠BAD）+∠DAE＝70°+40°＝110°．
【举一反三4】如图，点M是AB上一点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．
（1）求证：△AMF∽△BGM；
（2）请你再写出两对相似三角形．
【答案】（1）证明：∵∠DME＝∠A＝∠B＝α，
∴∠AMF+∠BMG＝180°﹣α，
∵∠A+∠AMF+∠AFM＝180°，
∴∠AMF+∠AFM＝180°﹣α，
∴∠AFM＝∠BMG，
∴△AMF∽△BGM；
（2）解：∵∠D＝∠D，∠DMG＝∠DBM．
∴△DMG∽△DBM，
同法可证：△EMF∽△EAM．
【题型3】平行线分线段成比例定理
【典型例题】如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝3，BC＝1．点D在AB边上，点E在CB的延长线上，已知AD＝1，BE＝1，连接ED并延长交AC于点F，则线段AF的长为（　　）
A. B. C. D.1
【答案】B
【解析】取CF的中点G，连接BG，如图所示：
∵BC＝1，BE＝1，
∴点B为EC的中点，
∴BG是△CEF的中位线，
∴BG∥EF，
∴＝，
∴AF＝AG，
∴FG＝CG＝2AF，
∴AC＝AF+FG+CG＝5AF＝3，
∴AF＝；
故选：B．
【举一反三1】如图，在中，点，分别在，边上，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：∵，
， ．
故选：B．
【举一反三2】如图，AD∥BE∥CF，直线m，n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，已知AB＝5，BC＝10，DE＝4，则EF的长为(　　)
A.12.5 B.12 C.8 D.4
【答案】C
【解析】∵AD∥BE∥CF，∴，即，解得EF＝8，故选C.
【举一反三3】如图，点D、E分别在△ABC边BC、AC上，连接线段AD、BE交于点F，若AE：EC＝1：3，BD：DC＝2：3，则EF：FB＝　 　．
【答案】
【解析】作EH∥BC交AD于H，∴＝，
∵＝，∴＝，
∵EH∥BC，∴＝＝．
【举一反三4】如图，点D、E分别在的边、上，．如果，．求．
【答案】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，又，，
∴，
∴，（舍），
∴．
【举一反三5】如图，DC∥EF∥GH∥AB，AB＝12，CD＝6，DE：EG：GA＝3：4：5．求EF和GH的长．
【答案】解：过C作CQ∥AD，交GH于N，交EF于M，交AB于Q，如图，
∵CD∥AB，
∴四边形AQCD为平行四边形，
∴AQ＝CD＝6，
同理可得GN＝EM＝CD＝6，
∴BQ＝AB﹣AQ＝6，
∵DC∥EF∥GH∥AB，
∴DE：EG：GA＝CF：HF：HB＝3：4：5，
∵MF∥NH∥BQ，
∴MF：BQ＝CF：CB＝3：（3+4+5），NH：BQ＝CH：CB＝（3+4）：（3+4+5），
∴MF＝×6＝1.5，NH＝×6＝3.5，
∴EF＝EM+MF＝6+1.5＝7.5，HG＝GN+NH＝6+3.5＝9.5．
【题型4】三边成比例的两个三角形相似
【典型例题】如图，在正方形网格上，与△ABC相似的三角形是（　　）
A.△AFD B.△FED C.△AED D.不能确定
【答案】A
【解析】解：解：∵AF＝4，DF＝4，AD＝4，AB＝2，BC＝2，AC＝2，
∴， ∴△AFD∽△ABC．
故选：A．
【举一反三1】如图，在的正方形网格中，画2个相似三角形，正确的画法有（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】解：第一个网格中的两个三角形对应边的比例：，是相似三角形；
第二个网格中的两个三角形对应边的比例：，这两个三角形是相似三角形；
第三个网格中的两个三角形对应边的比例：，这两个三角形是相似三角形；
第四个网格中的两个三角形对应边的比例：，不是相似三角形；
综上，正确的画法有3个，
故选：C．
【举一反三2】的边长分别为的边长分别，则与 （选填“一定”“不一定” “一定不”）相似
【答案】不一定
【解析】解：∵的边长分别为的边长分别，
∴两个三角形对应边的比分别为：
，
当a=b=c时，，这两个三角形相似，
当a≠b≠c时，，这两个三角形不相似，
∴与不一定相似，
故答案为：不一定．
【举一反三3】一个三角形的三边之比为3：4：5，另一个三角形的最短边长为8，另外两边长为　时，这两个三角形相似．
【答案】解：∵如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似
∴当另一个三角形的三边的比为3：4：5时，这两个三角形相似
∵另一个三角形的最短边长为8
∴另外两边长为，．
【举一反三4】如图，在中，，，，求证：．

【答案】证明：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．

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