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人教版（2024）九年级下册 27.1 图形的相似 讲义
【题型1】相似图形的判断
【典型例题】下列命题中，是真命题的是（????）
A.直角三角形都相似
B.等腰三角形都相似
C.矩形都相似
D.正方形都相似
【举一反三1】如图，赵师傅透过平举的放大镜从正上方看到水平桌面上的菱形图案的一角，那么∠A与放大镜中的∠C的大小关系是(　　)
A.∠A＝∠C
B.∠A＞∠C
C.∠A＜∠C
D.无法比较
【举一反三2】形状相同的图形叫做?????????．两个图形相似是指它们的?????????相同，与它们的位置无关；??????????是一种特殊的相似图形，不仅形状相同，大小也相同．
【举一反三3】将下列图形分别分成四小块，使它们得的形状大小完全相同，并且与原图形相似，应怎样分？（画出大致图形即可）
(1) (2)
【举一反三4】观察下面图形，指出(1)～(9)中的图形有没有与给出的图形(a)、(b)、(c)形状相同的？
【题型2】相似多边形
【典型例题】顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，如图，五边形的条边相等，个内角相等，则图中共有黄金三角形的个数是（ ）
A.25
B.10
C.15
D.20
【举一反三1】下列四组图形中，一定相似的是（????）
A.正方形与矩形
B.正方形与菱形
C.矩形与菱形
D.正七边形与正七边形
【举一反三2】在如图所示的各组图形中，相似的是(　　)
A.①②
B.①③
C.②③
D.②④
【举一反三3】如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，BE=BC，过点E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为点F，G，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为?????．
【举一反三4】一个矩形的长为a，宽为b（a＞b），如果把这个矩形截去一个正方形后所余下的矩形与原矩形相似，那么=????????
【举一反三5】图中每组两个矩形相似吗？说说你的理由．
【举一反三6】某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，
说明理由．
【题型3】相似多边形的性质
【典型例题】两个相似多边形一组对应边分别为，，那么它们的相似比为（???）
A.3∶2
B.2∶3
C.4：9
D.9∶4
【举一反三1】如图，正方形的四个顶点分别在正方形的四条边上，且，则正方形与正方形的面积之比为（????）
??
A.
B.
C.
D.
【举一反三2】如图，矩形被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形与原矩形相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是??????．
???????
【举一反三3】四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'．若∠D=90°，∠B'=108°，∠C'=92°，则∠A=????????°．
【举一反三4】如图：矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20.
(1)如图(1)若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似吗？请说明理由；
(2)如图(2)，x为多少时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似？
【题型4】比例线段
【典型例题】下列线段能构成比例线段的是(　　)
A.1 cm，2 cm，3 cm，4 cm
B.1 cm，2 cm，22 cm，2 cm
C.2 cm，3 cm，5 cm，1 cm
D.2 cm，5 cm，3 cm，4 cm
【举一反三1】如图，画线段AB的垂直平分线交AB于点O，在这条垂直平分线上截取OC＝OA，以A为圆心，AC为半径画弧于AB与点P，则线段AP与AB的比是(　　)
A.3∶2
B.1∶3
C.2∶3
D.2∶2
【举一反三2】若线段c满足a：c＝c：b，且线段a＝4 cm，b＝9 cm，则线段c等于(　　)
A.6 cm
B.7 cm
C.8 cm
D.9 cm
【举一反三3】在比例尺为1∶40000的地图上，某条道路的长为7 cm，则该道路的实际长度是__________ km.
【举一反三4】在比例尺为1∶200 000的地图上，小明家到单位的图上距离为20 cm，则小明家到单位的实际距离为____________千米．
【举一反三5】如图，在等腰△ABC和等腰△A1B1C1中，底边的长BC＝4 cm，B1C1＝6 cm，它们的周长分别为16 cm和24 cm，那么这两个等腰三角形的腰与底边是否成比例线段，说明理由．
【题型5】比例的性质
【典型例题】已知线段a，b，c，其中c是a和b的比例中项，a＝4，b＝9，则c=（??）
A.4
B.6
C.9
D.36
【举一反三1】如果，且是和的比例中项，那么等于（ ）
A.
B.
C.
D.
【举一反三2】已知，则（????）
A.
B.
C.
D.
【举一反三3】已知满足，试求的最大值??????????．
【举一反三4】已知，则的值为???????????．
【举一反三5】已知，求的值．
人教版（2024）九年级下册 27.1 图形的相似 讲义（参考答案）
【题型1】相似图形的判断
【典型例题】下列命题中，是真命题的是（????）
A.直角三角形都相似
B.等腰三角形都相似
C.矩形都相似
D.正方形都相似
【答案】D
【解析】
解：A. 直角三角形的直角对应相等，但两组锐角不一定对应相等，故A错误；
B. 等腰三角形的顶角和底角不一定对应相等，故B错误；
C. 矩形的各个角都相等，但边不一定成比例，所以不一定相似，故C错误；
D. 正方形各角相等，各边对应成比例，相似，故D正确；
故选：D.
【举一反三1】如图，赵师傅透过平举的放大镜从正上方看到水平桌面上的菱形图案的一角，那么∠A与放大镜中的∠C的大小关系是(　　)
A.∠A＝∠C
B.∠A＞∠C
C.∠A＜∠C
D.无法比较
【答案】A
【解析】由于图形放大或缩小后，形状没有发生变化，结合相似三角形的性质，可判定∠A＝∠C.故选A.
【举一反三2】形状相同的图形叫做?????????．两个图形相似是指它们的?????????相同，与它们的位置无关；??????????是一种特殊的相似图形，不仅形状相同，大小也相同．
【答案】
相似图形 形状 全等图形
【解析】
略
【举一反三3】将下列图形分别分成四小块，使它们得的形状大小完全相同，并且与原图形相似，应怎样分？（画出大致图形即可）
(1) (2)
【答案】解：（1）解：作图如下：
???????????
（2）解：作图如下：
??????????
【举一反三4】观察下面图形，指出(1)～(9)中的图形有没有与给出的图形(a)、(b)、(c)形状相同的？
【答案】解：通过观察可以发现：图形(4)、(8)与图形(a)形状相同；图形(6)与图形(b)形状相同；图形(5)与图形(c)形状相同．
【题型2】相似多边形
【典型例题】顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，如图，五边形的条边相等，个内角相等，则图中共有黄金三角形的个数是（ ）
A.25
B.10
C.15
D.20
【答案】D
【解析】解：根据题意，得
图中的黄金三角形有△BMN、△CNF、△DFG、△EHG、△AMH、△ABN、△CBM、△CDG、△EDF、△AGE、△ACD、△BDE、△CEA、△DBA、△EBC，△NCD，△HDE，△AME，△ABH，△BCF，共20个.
故选:D
【举一反三1】下列四组图形中，一定相似的是（????）
A.正方形与矩形
B.正方形与菱形
C.矩形与菱形
D.正七边形与正七边形
【答案】D
【解析】解：A．正方形与矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；
B、正方形与菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；
C、矩形与菱形，对应边不一定成比例，对应角不一定相等，故不符合题意；
D、正七边形与正七边形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意．
故选：D．
【举一反三2】在如图所示的各组图形中，相似的是(　　)
A.①②
B.①③
C.②③
D.②④
【答案】C
【解析】解：①∵正六边形与一般六边形的对应边不成比例，∴两图形不相似；
②∵正方形的各角相等，且对应边的比相等， ∴两正方形相似；
③∵菱形的角相等，对应边的比也相等， ∴两个菱形相似．
④两个矩形的对应角相等，但对应边的比不相等， ∴两个矩形不一定相似．
故选C．
【举一反三3】如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，BE=BC，过点E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为点F，G，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为?????．
【答案】
【解析】解：设BG=x，则BE=x，
∵BE=BC， ∴BC=x，
则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比=BG：BC=x： x=：2.
故答案为．
【举一反三4】一个矩形的长为a，宽为b（a＞b），如果把这个矩形截去一个正方形后所余下的矩形与原矩形相似，那么=????????
【答案】
【解析】解：由题意得：，即，解得.
则.
故答案为.
【举一反三5】图中每组两个矩形相似吗？说说你的理由．
【答案】解：第（1）组的两个矩形相似；
，第（1）组的两个矩形相似；
，第（2）组的两个矩形不相似．
【举一反三6】某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，
说明理由．
【答案】不能，解：设小路宽为x米，则小路的外边缘围成的矩形的长为米，
宽为米，将两个矩形的长与宽分别相比，
得， 解得：，
经检验，是原方程的根，
即宽度为0米的小路不存在，
∴做不到．
【题型3】相似多边形的性质
【典型例题】两个相似多边形一组对应边分别为，，那么它们的相似比为（???）
A.3∶2
B.2∶3
C.4：9
D.9∶4
【答案】B
【解析】解：依题意，它们的相似比为，
故选：B．
【举一反三1】如图，正方形的四个顶点分别在正方形的四条边上，且，则正方形与正方形的面积之比为（????）
??
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：∵正方形与正方形，
∴两个正方形相似，∴正方形与正方形的面积之比为,
根据，设，
∴，
∴正方形与正方形的面积之比为,
故选D．
【举一反三2】如图，矩形被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形与原矩形相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是??????．
???????
【答案】
【解析】解：设，，则，
即， ∴，
∵矩形与原矩形相似，
∴， 即， ∴，
∵，， ∴， ∴，
即原矩形的较长边与较短边的比值是．
故答案为：．
【举一反三3】四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'．若∠D=90°，∠B'=108°，∠C'=92°，则∠A=????????°．
【答案】70
【解析】解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，
∴，
∵∠D=90°，∠B'=108°，∠C'=92°， ∴∠A=360°-90°-108°-92°=70°，
故答案为：70．
【举一反三4】如图：矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20.
(1)如图(1)若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似吗？请说明理由；
(2)如图(2)，x为多少时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似？
【答案】解：(1)不相似，AB＝30，A′B′＝28，BC＝20，B′C′＝18，而；
(2)矩形ABCD与A′B′C′D′相似，则，则，
解得x＝1.5，或.解得x＝9.
【题型4】比例线段
【典型例题】下列线段能构成比例线段的是(　　)
A.1 cm，2 cm，3 cm，4 cm
B.1 cm，2 cm，22 cm，2 cm
C.2 cm，3 cm，5 cm，1 cm
D.2 cm，5 cm，3 cm，4 cm
【答案】B
【解析】成比例线段是指四条线段中的两条线段的比和另外两条线段的比相等，故可利用较短两条线段的比与较长两条线段的比是否相等来判断，在A选项中，1∶2≠3∶4，故A不能构成比例线段；在B选项中，1∶2＝2∶22，故B能构成比例线段；在C选项中，1∶2≠3∶5，故C不能构成比例线段；在D选项中，2∶3≠4∶5，故D不能构成比例线段；故选B.
【举一反三1】如图，画线段AB的垂直平分线交AB于点O，在这条垂直平分线上截取OC＝OA，以A为圆心，AC为半径画弧于AB与点P，则线段AP与AB的比是(　　)
A.3∶2
B.1∶3
C.2∶3
D.2∶2
【答案】D
【解析】连接AC，设AO＝x，则BO＝x，CO＝x，故AC＝AP＝2x，∴线段AP与AB的比是2x∶2x＝2∶2.故选D.
【举一反三2】若线段c满足a：c＝c：b，且线段a＝4 cm，b＝9 cm，则线段c等于(　　)
A.6 cm
B.7 cm
C.8 cm
D.9 cm
【答案】A
【解析】将a＝4 cm，b＝9 cm代入a：c＝c：b，得c2＝ab＝4×9＝36，解得c＝－6(不合题意，舍去)或c＝6.故选A.
【举一反三3】在比例尺为1∶40000的地图上，某条道路的长为7 cm，则该道路的实际长度是__________ km.
【答案】2.8
【解析】设这条道路的实际长度为x，则1：40000＝7：x，解得x＝280000 cm＝2.8 km.∴这条道路的实际长度为2.8 km.
【举一反三4】在比例尺为1∶200 000的地图上，小明家到单位的图上距离为20 cm，则小明家到单位的实际距离为____________千米．
【答案】40
【解析】设这两地的实际距离是x cm，根据题意，得1∶200000＝20∶x，解得x＝4000000，∵4 000 000 cm＝40km，∴这两地的距离是40千米．
【举一反三5】如图，在等腰△ABC和等腰△A1B1C1中，底边的长BC＝4 cm，B1C1＝6 cm，它们的周长分别为16 cm和24 cm，那么这两个等腰三角形的腰与底边是否成比例线段，说明理由．
【答案】解：这两个等腰三角形的腰与底边是成比例线段，理由：
∵在等腰△ABC和等腰△A1B1C1中，底边的长BC＝4 cm，B1C1＝6 cm，
它们的周长分别为16 cm和24 cm，∴AB＝(16－4)＝6，A1B1＝(24－6)＝9，
∵＝＝，＝＝，∴＝，∴这两个等腰三角形的腰与底边是成比例线段．
【题型5】比例的性质
【典型例题】已知线段a，b，c，其中c是a和b的比例中项，a＝4，b＝9，则c=（??）
A.4
B.6
C.9
D.36
【答案】B
【解析】
解：根据比例中项的概念，得，，
又线段不能是负数，应舍去，取，
故选：B．
【举一反三1】如果，且是和的比例中项，那么等于（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
解：∵b是a、c的比例中项， ∴，
∵， ∴，
故选：C．
【举一反三2】已知，则（????）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
解：，
，
，
故选：A．
【举一反三3】已知满足，试求的最大值??????????．
【答案】
25
【解析】
解：设，
∴a-1=2k，b+1=3k，c-2=4k，即a=2k+1，b=3k-1，c=4k+2，
∴a2+b2?c2= (2k+1)2+(3k-1)2?(4k+2)2
=4k2+4k+1+9k2-6k+1-(16k2+16k+4)
=4k2+4k+1+9k2-6k+1-16k2-16k-4
=-3k2-18k-2
=-3(k2+6k+9-9)-2
=-3(k+3) 2+25
∵(k+3) 2≥0，则-3(k+3) 2≤0，
∴a2+b2?c2的最大值为25，
故答案为：25．
【举一反三4】已知，则的值为???????????．
【答案】
2．
【解析】
解：设，则a=2k，b=3k，c=4k，
所以．
【举一反三5】已知，求的值．
【答案】
解：，
，，．
，
．
情况一:如果，那么；
情况二:如果，那么，则

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