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北师大版（2024）九年级下册 3.4 圆周角和圆心角的关系 讲义
【题型1】圆周角定理的推论3
【典型例题】如图，四边形ABCD是圆内接四边形，对角线BD经过圆心O，AC与BD相交于点E，下列说法正确的是（　　）
A.∠ABD＝∠ACD B.∠ABC＝∠ADC C.∠BAD≠∠BCD D.∠AEB＝2∠ACB
【举一反三1】如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，且BD经过圆心O，连接AB，AE，CE，若∠B+∠E=150°，则弧CD所对的圆心角的度数为（　　）
A.30° B.40° C.50° D.60°
【举一反三2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，∠AOD的大小为（　　）
A.130° B.100° C.120° D.110°
【举一反三3】如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，AC＝AE，∠D＝128°，则∠B＝　 　°．
【举一反三4】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，BC＝CD，过点C作CE，使得CD＝CE，交AD的延长线于点E．
（1）求证：AB＝AE．
（2）若AD＝DE＝2，求CD的长．
【举一反三5】如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长CD到点E，连接AC，BD交于点F，且AB＝AC．
（1）求证：AD平分∠BDE；
（2）若AC⊥BD，BF＝6，DF＝2.5，求AB的长．
【题型2】圆周角定理的推论2
【典型例题】如图，AB是⊙O的直径且，点C在圆上且∠ABC＝60°，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD并过点A作AE⊥CD，垂足为E，则弦AD的长度为（　　）
A. B. C.4 D.
【举一反三1】如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，BC．若∠A＝70°，则∠B的度数是（　　）
A.50° B.40° C.35° D.20°
【举一反三2】如图，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 　 　．
【举一反三3】如图，AB是半圆的直径，BC是半圆的弦，，弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，此时BD＝6，则AD的长为 　 　．
【举一反三4】如图，在以AB为直径的⊙O中，点D，E在⊙O上，连接AD，DE，BE，过点A作AC∥BE交BD的延长线于点C，∠C＝∠ADE．
（1）求证：AB＝BC；
（2）若tanC＝3，BD＝6，求DE的长．
【题型3】圆周角定理的推论1
【典型例题】如图，以AB为直径的半圆O上有C，D的两点，，则∠BDC的度数为（　　）
A.30° B.35° C.45° D.60°
【举一反三1】如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为上一点，若∠CEA＝28°，则∠ABD的度数为（　　）
A.14° B.28° C.56° D.无法确定
【举一反三2】如图，⊙O的直径AB过弦CD的中点E，若∠C＝30°，则∠D＝　 　．
【举一反三3】如图，在⊙O中，=，∠B＝70°，则∠BAC＝　 　．
【举一反三4】如图，AD为⊙O的直径，∠BAD＝∠CAD，连接BC．点E在⊙O上，AB＝BE，求证：
（1）CB平分∠ACE；
（2）AB∥CE．
【举一反三5】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCO＝∠D；
（2）若CD＝4，OE＝1，求⊙O的半径．
【题型4】圆周角定理
【典型例题】已知⊙O中半径OC＝3，∠BAC＝30°，则弦BC的长度为（　　）
A.3 B. C. D.
【举一反三1】如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，若∠A＝40°，∠APD＝70°，则∠B的度数是（　　）
A.25° B.30° C.35° D.40°
【举一反三2】如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A，B两点，连结AO，BO，则∠AOB的度数 　 　°．
【举一反三3】如图，点A，B在⊙O上，∠AOB＝140°．若C为⊙O上任一点（不与点A，B重合），则∠ACB的大小为 　 　．
【举一反三4】在圆周角定理的证明过程中，某小组归纳了三种不同的情况，并完成了情况一的证明．请你选择情况二或者情况三，并补全该情况的证明过程．
【举一反三5】如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C为上的一点，连接AB，AC，OC，∠BAO＝25°．
（1）若C为的中点，求∠BOC的度数；
（2）若AC∥OB，求∠BAC和∠BOC的度数．
北师大版（2024）九年级下册 第三章 圆4 圆周角和圆心角的关系 讲义（参考答案）
【题型1】圆周角定理的推论3
【典型例题】如图，四边形ABCD是圆内接四边形，对角线BD经过圆心O，AC与BD相交于点E，下列说法正确的是（　　）
A.∠ABD＝∠ACD B.∠ABC＝∠ADC C.∠BAD≠∠BCD D.∠AEB＝2∠ACB
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是圆内接四边形，对角线BD经过圆心O，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，故C不符合题意，
∵∠ABC＝，∠ADC＝，
∴∠ABC≠∠ADC，故B不符合题意，
∵∠ABD＝，∠ACD＝，
∴∠ABD＝∠ACD，故A符合题意，
∵E不在圆心，
∴∠AEB≠2∠ACB，
故选：A．
【举一反三1】如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，且BD经过圆心O，连接AB，AE，CE，若∠B+∠E=150°，则弧CD所对的圆心角的度数为（　　）
A.30° B.40° C.50° D.60°
【答案】D
【解析】连接BC、OC，
∵四边形ABCE为⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠E＝180°，
∵∠ABD+∠E＝150°，
∴∠CBD＝30°，
∴∠COD＝60°，即弧CD所对的圆心角的度数为60°，
故选：D．
【举一反三2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，∠AOD的大小为（　　）
A.130° B.100° C.120° D.110°
【答案】A
【解析】∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，
∴∠ADC＝∠CBE＝50°，
∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣50°）＝65°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝130°，
故选：A．
【举一反三3】如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，AC＝AE，∠D＝128°，则∠B＝　 　°．
【答案】116
【解析】连接AC、CE，
∵点A、C、D、E都是⊙O上的点，
∴∠CAE+∠D＝180°，
∴∠CAE＝180°﹣128°＝52°，
∵AC＝AE，
∴，
∴，
∵点A、B、C、E都是⊙O上的点，
∴∠AEC+∠B＝180°，
∴∠B＝180°﹣64°＝116°，
故答案为：116．
【举一反三4】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，BC＝CD，过点C作CE，使得CD＝CE，交AD的延长线于点E．
（1）求证：AB＝AE．
（2）若AD＝DE＝2，求CD的长．
【答案】（1）证明：如图，连接AC．
∵BC＝CD，
∴，
∴∠BAC＝∠EAC，
∵CD＝CE，
∴∠E＝∠CDE，BC＝CE，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠CDE+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠CDE，
∴∠B＝∠E，
在△ABC与△AEC中，
，
∴△ABC≌△AEC（AAS），
∴AB＝AE；
（2）解：如图，连接BD．
∵∠BAD＝90°，
∴BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
由（1）可得AB＝AE．
∵AD＝DE＝2，
∴AE＝AB＝4．
在 Rt△ABD 中，，
在Rt△BCD中，.
【举一反三5】如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长CD到点E，连接AC，BD交于点F，且AB＝AC．
（1）求证：AD平分∠BDE；
（2）若AC⊥BD，BF＝6，DF＝2.5，求AB的长．
【答案】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADE＝∠ABC，
∴∠ADE＝∠ACB，
∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠ADB＝∠ADE，
∴AD平分∠BDE；
（2）解：过点A作AH⊥CE于点H，
由（1）知，AD平分∠BDE，
∵AC⊥BD，
∴AH＝AF，
在Rt△AHD与Rt△AFD中，
，
∴Rt△AHD≌Rt△AFD（HL），
∴DH＝DF＝2.5，
∵AB＝AC，
在Rt△AHC与Rt△AFB中，
，
∴Rt△AHC≌Rt△AFB，
∴BF＝CH＝6，
∴CD＝CH﹣DH＝6﹣2.5＝3.5，
在Rt△CDF中，
CF＝＝＝，
∵AF CF＝BF DF，
∴AF＝＝＝＝，
∴AC＝AF+CF＝+＝，
∴AB＝AC＝．
【题型2】圆周角定理的推论2
【典型例题】如图，AB是⊙O的直径且，点C在圆上且∠ABC＝60°，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD并过点A作AE⊥CD，垂足为E，则弦AD的长度为（　　）
A. B. C.4 D.
【答案】C
【解析】∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝60°，AB＝4，
∴sinB＝sin60°＝＝，
∴AC＝2，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ACB＝45°，
∵AE⊥CD，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴AE＝AC＝2，
∵∠D＝∠B＝60°，
∴tanD＝tan60°＝＝，
∴DE＝2，
∵∠DAE＝90°﹣∠D＝30°，
∴AD＝2DE＝4，
故选：C．
【举一反三1】如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，BC．若∠A＝70°，则∠B的度数是（　　）
A.50° B.40° C.35° D.20°
【答案】D
【解析】∵AB是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A＝70°，
∴∠B＝20°．
故选：D．
【举一反三2】如图，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 　 　．
【答案】4
【解析】连接OE、OF，作OM⊥EF于M，作AN⊥BC于N，如图，
∵∠EOF＝2∠BAC＝2×60°＝120°，
而OE＝OF，OM⊥EF，
∴∠OEM＝30°，EM＝FM，
在Rt△OEM中，OM＝OE，
EM＝OE，
∴EF＝2EM＝OE，
当OE最小时，EF的长度最小，此时圆的直径的长最小，
即AD的长最小，
∵AD的长度最小值为AN的长，
而AN＝AB＝8，
∴OE的最小值为4，
∴EF长度的最小值为×4＝4．
故答案为：4．
【举一反三3】如图，AB是半圆的直径，BC是半圆的弦，，弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，此时BD＝6，则AD的长为 　 　．
【答案】4
【解析】连接AC，CD，过点C作CE⊥AB于E，如图所示：
由折叠的性质得：＝，
∴∠A＝∠DCB+∠DBC，
∵∠ADC＝∠DCB+∠DBC，
∴∠A＝∠ADC，
∴△ACD为等腰三角形，
∵CE⊥AB，
∴AE＝DE，∠BEC＝90°，
设AE＝a，则DE＝a，AD＝2a，
∵BD＝6，
∴AB＝BD+AD＝6+2a，BE＝BD+DE＝6+a，
∵AB为半圆的直径，
∴∠BCA＝90°，
∴∠BCA＝∠BEC＝90°，
又∵∠B＝∠B，
∴△BAC∽△BCE，
∴BC：BE＝AB：BC，
即BC2＝AB BE，
∵BC＝，AB＝6+2a，BE＝6+a，
∴，
整理得：a2+9a﹣22＝0，
解得：a1＝2，a2＝﹣11（不合题意，舍去），
∴AD＝2a＝4．
故答案为：4．
【举一反三4】如图，在以AB为直径的⊙O中，点D，E在⊙O上，连接AD，DE，BE，过点A作AC∥BE交BD的延长线于点C，∠C＝∠ADE．
（1）求证：AB＝BC；
（2）若tanC＝3，BD＝6，求DE的长．
【答案】（1）证明：∵AC∥BE，
∴∠ABE＝∠BAC，
∵∠C＝∠ADE＝∠ABE，
∴∠BAC＝∠C，
∴AB＝BC；
（2）解：如图，过点E作EF⊥BC，交CB的延长线于点F，
∵AC∥BE，
∴∠C＝∠EBF，
∴tanC＝3＝tan∠EBF，
在Rt△BEF中，设BF＝x，则EF＝3x，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即∠ADE+∠BDE＝90°，
∵∠C+∠CAD＝90°，∠DEF+∠EDF＝90°，
∴∠DEF＝∠C，
∴tanC＝3＝tan∠DEF＝，
即＝3，
解得x＝，
即BF＝，EF＝3BF＝，
在Rt△DEF中，EF＝，DF＝6+＝，
∴DE＝＝．
【题型3】圆周角定理的推论1
【典型例题】如图，以AB为直径的半圆O上有C，D的两点，，则∠BDC的度数为（　　）
A.30° B.35° C.45° D.60°
【答案】C
【解析】∵，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴∠BDC＝∠BOC＝45°，
故选：C．
【举一反三1】如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为上一点，若∠CEA＝28°，则∠ABD的度数为（　　）
A.14° B.28° C.56° D.无法确定
【答案】B
【解析】∵AB为直径，弦CD⊥AB，∴，
∴∠ABD＝∠CEA＝28°，
故选：B．
【举一反三2】如图，⊙O的直径AB过弦CD的中点E，若∠C＝30°，则∠D＝　 　．
【答案】60°
【解析】由圆周角的定理可知：∠D＝∠ABC，
∵AB是直径，∵E点是CD的中点，∴∠CEB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠C＝90°﹣30°＝60°，∴∠D＝60°，
故答案为：60°．
【举一反三3】如图，在⊙O中，=，∠B＝70°，则∠BAC＝　 　．
【答案】40°
【解析】∵在⊙O中，=，
∴∠C＝∠B＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝40°，
故答案为：40°．
【举一反三4】如图，AD为⊙O的直径，∠BAD＝∠CAD，连接BC．点E在⊙O上，AB＝BE，求证：
（1）CB平分∠ACE；
（2）AB∥CE．
【答案】证明：（1）∵AB＝BE，∴，
∴∠ACB＝∠BCE，
∴CB平分∠ACE；
（2）连接OC、OB，
∵OA、OB、OC是⊙O半径，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，
∵∠BAD＝∠CAD，
∴∠ABO＝∠ACO，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OBA+∠OBC＝∠OCA+∠OCB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∵AB＝BE，
∴AC＝BE，
∴，
∴∠ABC＝∠ECB，
∴AB∥CE．
【举一反三5】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCO＝∠D；
（2）若CD＝4，OE＝1，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：∵OC＝OB，∴∠BCO＝∠B，
∵，∴∠B＝∠D，
∴∠BCO＝∠D；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，
∴CE＝CD，
∵CD＝4，
∴CE＝，
在Rt△OCE中，OC2＝CE2+OE2，
∵OE＝1，∴OC2，
解得：OC＝3（负数舍去），
∴⊙O的半径为3．
【题型4】圆周角定理
【典型例题】已知⊙O中半径OC＝3，∠BAC＝30°，则弦BC的长度为（　　）
A.3 B. C. D.
【答案】A
【解析】连接OB，
∵OC＝3，∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴BC＝OC＝3．
故选：A．
【举一反三1】如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，若∠A＝40°，∠APD＝70°，则∠B的度数是（　　）
A.25° B.30° C.35° D.40°
【答案】B
【解析】∵∠APD＝∠C+∠A，∠A＝40°，∠APD＝70°，
∴∠C＝∠APD﹣∠A＝70°﹣40°＝30°，
∴∠B＝∠C＝30°．
故选：B．
【举一反三2】如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A，B两点，连结AO，BO，则∠AOB的度数 　 　°．
【答案】60°
【解析】由图可知：∠P＝30°，
∵＝，
∴∠AOB＝2∠P＝60°，
故答案为：60°．
【举一反三3】如图，点A，B在⊙O上，∠AOB＝140°．若C为⊙O上任一点（不与点A，B重合），则∠ACB的大小为 　 　．
【答案】70°或110°
【解析】如图：∵∠C＝∠AOB，∠AOB＝140°，
∴∠C＝70°，
∴∠C′＝×（360°﹣140°）＝110°，
∵C可能在劣弧AB上，也可能在优弧ACB上，
∴∠ACB＝70°或110°．
故答案为：70°或110°．
【举一反三4】在圆周角定理的证明过程中，某小组归纳了三种不同的情况，并完成了情况一的证明．请你选择情况二或者情况三，并补全该情况的证明过程．
【答案】证明：情况二：当点O在∠BAC的内部，
如图2：连接AO并延长交⊙O于点D，
∵OA＝OC，
∴∠C＝∠CAO，
∵∠COD＝∠C+∠CAO，
∴∠COD＝2∠CAO，
同理可得：∠BOD＝2∠BAO，
∴∠COB＝∠COD+∠BOD
＝2∠CAO+2∠BAO
＝2∠BAC，
∴∠BAC＝∠COB；
情况三：当点O在∠BAC的外部，
如图3：连接AO并延长交⊙O于点E，
∵OA＝OC，
∴∠C＝∠CAO，
∵∠COE＝∠C+∠CAO，
∴∠COE＝2∠CAO，
同理可得：∠BOE＝2∠BAO，
∴∠COB＝∠COE﹣∠BOE
＝2∠CAO﹣2∠BAO
＝2∠CAB，
∴∠CAB＝∠COB．
【举一反三5】如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C为上的一点，连接AB，AC，OC，∠BAO＝25°．
（1）若C为的中点，求∠BOC的度数；
（2）若AC∥OB，求∠BAC和∠BOC的度数．
【答案】解：（1）∵OA＝OB，∠BAO＝25°，
∴∠B＝∠BAO＝25°，
∴∠AOB＝180°﹣∠B﹣∠BAO＝180°﹣25°﹣25°＝130°，
∵C为的中点，
∴，
∴．
（2）∵OB∥AC，∠B＝25°，
∴∠BAC＝∠B＝25°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝50°．

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