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北师大版（2024）九年级下册 3.2 圆的对称性 讲义
【题型1】圆心角定理及推论的应用
【典型例题】如图，在⊙O中，∠A=30°，劣弧的度数是（　　）
A.30° B.60° C.90° D.120°
【举一反三1】如图，AB是⊙O的直径，，∠BOC=30°，则∠COD的度数是（　　）

A.150° B.140° C.130° D.120°
【举一反三2】如图，AB是圆O的直径，BC、CD、DA是圆O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD等于（　　）
A.100° B.110° C.120° D.135°
【举一反三3】如图，AB，CD是⊙O的直径，，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是 　 　．
【举一反三4】如图，在⊙O中，，∠BOC＝120°．求证：△ABC是等边三角形．
【举一反三5】如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点H，AB＝CD，连接AD、BC．求证：AH＝CH．
【题型2】圆心角及其性质
【典型例题】如图，已知A，B，C，D是圆上的点，=，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是（　　）
A.AB＝AD B.BE＝CD C.BE＝AD D.AC＝BD
【举一反三1】如图，已知在⊙O中，BC是直径，AB＝DC，则下列结论不一定成立的是（　　）
A.OA＝OB＝AB
B.∠AOB＝∠COD
C.
D.O到AB、CD的距离相等
【举一反三2】如图，在⊙O中，，连接AC，CD，则AC与CD的关系是（　　）
A.AC＝2CD B.AC＜2CD C.AC＞2CD D.无法比较
【举一反三3】如图，在⊙O中，AB是直径，点C，D，E在圆上，AC＝2，AD＝6，AE＝8，AB＝10．下列结论：①=；②=；③+=；④，其中正确结论的个数是（　　）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
北师大版（2024）九年级下册 第三章 圆2 圆的对称性 讲义（参考答案）
【题型1】圆心角定理及推论的应用
【典型例题】如图，在⊙O中，∠A=30°，劣弧的度数是（　　）
A.30° B.60° C.90° D.120°
【答案】D
【解析】连接OB．
∵OA=OB，
∴∠A=∠B=30°，
∴∠AOB=180°-30°-30°=120°，
∴的度数为120°．
故选：D．
【举一反三1】如图，AB是⊙O的直径，，∠BOC=30°，则∠COD的度数是（　　）

A.150° B.140° C.130° D.120°
【答案】D
【解析】∵，∠BOC=30°，
∴∠AOD=∠BOC=30°，
∴∠COD=180°-30°-30°=120°．
故选：D．
【举一反三2】如图，AB是圆O的直径，BC、CD、DA是圆O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD等于（　　）
A.100° B.110° C.120° D.135°
【答案】C
【解析】连接OC、OD，
∵BC＝CD＝DA，
∴∠COB＝∠COD＝∠DOA，
∵∠COB+∠COD+∠DOA＝180°，
∴∠COB＝∠COD＝∠DOA＝60°，
∴∠BCD＝×2（180°﹣60°）＝120°．
【举一反三3】如图，AB，CD是⊙O的直径，，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是 　 　．
【答案】64°
【解析】∵，∠AOE＝32°，
∴∠BOD＝∠AOE＝32°，
∵∠AOC＝∠BOD＝32°，
∴∠COE＝∠COA+∠AOE＝32°+32°＝64°．
【举一反三4】如图，在⊙O中，，∠BOC＝120°．求证：△ABC是等边三角形．
【答案】证明：∵，∴AB＝AC，
在△AOB和△AOC中，
AB=AC,OB=OC,OA=OA，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠BAO=∠CAO,∠ABO=∠ACO;
又∵OA=OB=OC，
∴∠BAO=∠ABO=∠CAO=∠ACO，
∵OB=OC,∠BOC＝120°，
∴∠CBO=∠BCO=30°，
∴∠BAO=∠ABO=∠CAO=∠ACO=×（180°-60°）=30°，
∴∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
【举一反三5】如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点H，AB＝CD，连接AD、BC．求证：AH＝CH．
【答案】证明：∵AB＝CD，
∴，即，
∴=，
∴AD＝BC，
又∵∠ADH＝∠CBH，∠A＝∠C，
∴△ADH≌△CBH（ASA），
∴AH＝CH．
【题型2】圆心角及其性质
【典型例题】如图，已知A，B，C，D是圆上的点，=，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是（　　）
A.AB＝AD B.BE＝CD C.BE＝AD D.AC＝BD
【答案】D
【解析】∵=，
∴+=+，
∴=，
∴AC＝BD，
故选：D．
【举一反三1】如图，已知在⊙O中，BC是直径，AB＝DC，则下列结论不一定成立的是（　　）
A.OA＝OB＝AB
B.∠AOB＝∠COD
C.
D.O到AB、CD的距离相等
【答案】A
【解析】∵AB＝DC，
∴＝，
∴∠AOB＝∠COD，
∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴O到AB、CD的距离相等，
所以B、C、D选项正确，
故选：A．
【举一反三2】如图，在⊙O中，，连接AC，CD，则AC与CD的关系是（　　）
A.AC＝2CD B.AC＜2CD C.AC＞2CD D.无法比较
【答案】B
【解析】如图，连接AB、BC，
在⊙O中，，∴AB＝BC＝CD，
在△ABC中，AB+BC＞AC．∴AC＜2CD．
【举一反三3】如图，在⊙O中，AB是直径，点C，D，E在圆上，AC＝2，AD＝6，AE＝8，AB＝10．下列结论：①=；②=；③+=；④，其中正确结论的个数是（　　）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【答案】B
【解析】连接CE、DB，如图，
∵AC＝2，AE＝8，
∴CE＞AE﹣AC，即CE＞6，
而AD＝6，∴AD＜CE，∴＜，所以①错误；
∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，
∴BD＝＝＝8，
∵AE＝BD＝8，
∴＝，所以②正确；
+=，所以③正确；
∵＝，∴，所以④正确．
故选：B．

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