资源简介

13.2与三角形有关的线段
【知识点1】三角形的角平分线、中线和高 1
【知识点2】三角形的稳定性 2
【知识点3】三角形的重心 3
【知识点4】三角形三边关系 3
【题型1】构成三角形的条件 4
【题型2】确定第三边的取值范围 4
【题型3】三角形三边关系的应用 5
【题型4】三角形三边关系与非负性的综合 6
【题型5】三角形的稳定性 7
【题型6】三角形的角平分线 8
【题型7】三角形的中线、角平分线、高的综合 9
【题型8】利用网格求三角形的面积 11
【题型9】三角形中线的定义 12
【题型10】利用三角形的中线求长度 13
【题型11】利用三角形的中线求面积 14
【题型12】三角形的重心 16
【题型13】三角形高的定义 17
【题型14】三角形的垂心 18
【知识点1】三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 1.（2024秋 醴陵市期末）如图，在△ABC中，线段BE表示△ABC的边AC上的高的图是（　　） A．B．C．D．
2.（2025春 昌黎县期末）如图，在△ABC中，BC边上的高是（　　）
A．BEB．AFC．CDD．DF
【知识点2】三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． 1.（2024秋 乌鲁木齐期末）如图，学校门口设置的移动拒马护栏是由多个钢管焊接的三角形组成的，这里面蕴含的数学原理是（　　） A．两点之间，线段最短B．三角形的稳定性C．三角形的任意两边之和大于第三边D．三角形的内角和等于180°
【知识点3】三角形的重心 （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．
（2）重心的性质：
①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．
③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形） 1.（2024秋 玉环市期中）如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路AB，AC，BC两两相交围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应选择的位置是（　　） A．△ABC三边垂直平分线的交点B．△ABC三条中线的交点C．△ABC三条高的交点D．△ABC三条角平分线的交点
【知识点4】三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 1.（2025春 蓝田县期末）王师傅想做一个三角形的框架，他有两根长度分别为6cm和8cm的细木条，需要将其中一根木条分为两段，如果不考虑损耗和接头部分，那么他可以把（　　）分为两截． A．6cm的木条B．8cm的木条C．两根都可以D．两根都不行
【题型1】构成三角形的条件
【典型例题】下列长度的三根木条（单位：分米）首尾顺次相接能组成三角形的是（ ）
A.1，2，3 B.1，3，5 C.4，4，5 D.2，5，8
【举一反三1】下列长度的三条线段，不能首尾相接构成三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】下列长度的三条线段不能组成三角形的是（ ）
A.2，3，4 B.3，4，6 C.5，6，11 D.5，12，13
【举一反三3】若一个两边相等的三角形的两边分别是和，则其周长是 cm．
【举一反三4】如图， （填“”，“”或“”）．
【举一反三5】用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形.
（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少
（2）能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形吗 为什么
【举一反三6】长为10，7，5，3的四根木条．选其中三根组成三角形．有几种选法？为什么？
【题型2】确定第三边的取值范围
【典型例题】已知三条线段的长分别是3，7，，若它们能构成三角形，则以下值可以取的是（ ）
A.9 B.10 C.11 D.12
【举一反三1】平面内，将长分别为1，1，3，x的线段，首尾顺次相接组成凸四边形（如图），x可能是（　　）
A.1 B.3 C.5 D.7
【举一反三2】等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰△ABC的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为(　　)
A. B. C.或2 D.或
【举一反三3】已知三角形两边的长分别为1，5，则第三边x的范围为 ．
【举一反三4】已知的三边长分别是，，．
(1)求的取值范围；
(2)若三角形的周长是大于的正整数，求的值；
【题型3】三角形三边关系的应用
【典型例题】如图，将三角形沿虚线剪去一个角得到四边形，设三角形与四边形的周长分别为和，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】一款可折叠晾衣架的示意图如图所示，支架（连接处的长度忽略计），则点，之间的距离可以是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，为估计池塘岸边A，B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A，B间的距离可能是 ．（写出一个即可）
【举一反三3】在平坦的草地上有甲，乙，丙三个小球．若已知甲球与乙球相距6米，乙球与丙球相距4米，设甲球与丙球相距x米，则x的取值范围是 ．（球的半径忽略不计）
【举一反三4】一个等腰三角形的一边长为6，周长为20，求其他两边的长.
【题型4】三角形三边关系与非负性的综合
【典型例题】已知，，是一个三角形的三边，且，满足．则的取值范围是　　
A. B. C. D.
【举一反三1】若一个三角形的三边长分别为2，x，7，化简的结果是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】已知三角形的三条边长分别为，，，化简的结果为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c+a|+|c﹣a﹣b|＝　 　．
【举一反三4】已知三角形的三边长分别是3、、9，则化简|x﹣5|+|x﹣13|= 　．
【举一反三5】已知实数a，b，c满足．
（1）求a，b，c的值；
（2）试问以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请判断三角形的形状并写出推理过程．若不能，请说明理由．
【题型5】三角形的稳定性
【典型例题】下列图中不具有稳定性是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】下列图形中有稳定性的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，从数学的角度看房屋顶部支撑架，它运用了三角形的　 　性．
【举一反三3】如图（1）扭动三角形木架，它的形状会改变吗？
如图（2）扭动四边形木架，它的形状会改变吗？
如图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状会改变吗？为什么？
归纳：①三角形木架的形状　 　，说明三角形具有　 　.
②四边形木架的形状　 　说明四边形没有　 　．
【举一反三4】(1)如图1，爱护花草树木是我们每个同学应具备的优秀品质，但总有少数同学不走边上的路而横穿草坪．如图所示，请你用所学的数学知识来说明他们选择走路线AB的原因；
(2)如图2，要从河流L引水到村庄A，需要修筑一水渠，最短的水渠路线如图，请说明这样画所利用的数学原理；
(3)如图3，张叔叔家里的椅子坏了，于是他给椅子加了两根木条，他所应用的数学原理是什么？
【题型6】三角形的角平分线
【典型例题】如图，AD是△ABC的角平分线，若∠B=40°，∠BAC=82°，则∠CAD的度数为（　　）
A.20°　　　 B.41°　　　 C.80°　　　 D.82°
【举一反三1】如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，则下列说法中，错误的是（　　）
A.AD是△ABE的角平分线 B.AE是△ABC的角平分线 C.AF是△ACE的的角平分线 D.AE是△DAC的角平分线
【举一反三2】关于三角形的角平分线，下列说法正确的是（　　）
A.线段 B.射线 C.直线 D.射线或线段
【举一反三3】如图，是的角平分线，则平分 ， ，且点在边上．
【举一反三4】如图，是的边上的一点，//交，//交，且，是的角平分线吗？说明理由.
【举一反三5】如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，DE∥AC，DE交AB于点E，DF∥AB，DF交AC于点F.图中∠1与∠2有什么关系 为什么
【题型7】三角形的中线、角平分线、高的综合
【典型例题】下列说法正确的是（　　）
A.三角形的角平分线是射线
B.连接三角形任意两边中点的线段是三角形的中线
C.三角形的高都在三角形的内部
D.直角三角形的三条高线交于直角顶点处
【举一反三1】如图，BD，BE，BF分别是△ABC的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（　　）
A.AE＝EC B. C.AC＝2CF D.BD⊥CD
【举一反三2】如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（　　）
A.BF＝CF B.∠C+∠CAD＝90° C.∠BAF＝∠CAF D.S△ABC＝2S△ABF
【举一反三3】如图，AD是△ABC的中线，E为线段AD的中点，过点E作EF⊥BC于点F．则BC=2 =2 ；AE= = ; S△ABD＝ ＝S△ABC.
【举一反三4】如图．
(1)在中，，垂足为，则是___________边上的高，______________________；
(2)若平分，交，则叫___________，_________________________________，叫___________；
(3)若，则的中线是___________；
(4)若，则是___________的中线，是___________的中线．
【举一反三5】如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，AE=2，.求 BC和DC的长.
【题型8】利用网格求三角形的面积
【典型例题】如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则的面积与的面积的大小关系为（ ）

A. B. C. D.无法判断
【举一反三1】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在格点上．在格点上确定点C，使为直角三角形，且面积为4，则这样的点C的共有（　　）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三2】如图，正方形中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】图中每个小正方形的边长为1，把从格点到与它相邻的格点，的直线运动形成的线段分别记为1，2，3，4，5，6，7，8，如以点为出发点，2表示线段，5表示线段，从点出发，按1753运动可得到正方形．从点出发，按1112445668运动的轨迹形成的图形面积为 ．
【举一反三4】每个小方格的边长是1厘米，图中阴影部分的多边形顶点均是格点，则阴影部分的面积是______________平方厘米.
【举一反三5】如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中画图，按步骤完成下列问题：
(1)在图中找一格点D，连接，使；
(2)在图中找一格点E，连接，，使与互补，并计算四边形的面积．
【题型9】三角形中线的定义
【典型例题】如图，在中，是的中线，是的中线，若，则的长度为（ ）
A.3 B.6 C.9 D.12
【举一反三1】如图，AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（　　）
A.∠BAD＝∠CAD　　 B.BD＝CD C.AB＝AC D.AC＝AD
【举一反三2】如图，若是的中线，，则等于（ ）
A.4 B.5 C.6 D.8
【举一反三3】如图，是的中线，，，，则 ．
【举一反三4】如图，在中，，，，是边上的中线，点是上一点．若，求的长．

【题型10】利用三角形的中线求长度
【典型例题】如图，在△ABC中，点D是BC边上的中点，若△ABD和△ACD的周长分别为16和11，则AB﹣AC的值为（　　）
A.5 B.11 C.16 D.27
【举一反三1】在中，为边的中线，若与的周长差为5，，则的长为（ ）
A.2 B.13 C.3或13 D.2或12
【举一反三2】如图，CM是△ABC的中线，BC＝8cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大2 cm，则AC的长为（　　）
A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm
【举一反三3】在△ABC中，D是BC的中点，AB＝12，AC＝8．用剪刀从点D入手进行裁剪，若沿DA剪成两个三角形，它们周长的差为 　 　；若点E在AB上，沿DE剪开得到两部分周长差为2，则AE＝　 　．
【举一反三4】如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成55和45两部分，求AC和AB的长．
【举一反三5】在△ABC中，AB＝AC，BD为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12 cm与15 cm两部分，求△ABC各边长．
【题型11】利用三角形的中线求面积
【典型例题】如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，连结BE，CE．若△ABC的面积是8，则图中阴影部分的面积为（　　）
A.4 B.5 C.5.5 D.6
【举一反三1】如图，在中，是边上的中线，E是的中点，连接，且的面积为，则阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，是的中线，是的中线，是的中线，且，则 ．
【举一反三3】如图，在中，延长至点，使得，延长至点，使得，延长至点，使得，连接，若，则为 ．
【举一反三4】 [问题呈现]三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．
已知：如图1，在中，点D是边上的中点，连接．求证： ．
证明：过点A作于E，
∵点D是边上的中点，
∴，
∵，
∴．
[拓展探究]
（1）如图2，在中，点D是边上的中点，若，则_____；
（2）如图3，在中，点D是边上的点，且，求的值；
[问题解决]
（3）现在有一块四边形土地，如图4，甲，乙两人要均分这块土地，请通过作图均分四边形的面积．
（要求：用不超过三条的线段画出平分方法，并对作法进行说明，可利用带刻度的直尺．）
【举一反三5】如图，在中，为中线，，分别为，的中点，且，．
(1) ；
(2)若，求的长；
(3)若交的延长线于点，求证：．
【题型12】三角形的重心
【典型例题】如图，和是的中线，则以下结论：①；②是的重心；③与面积相等；④过的直线平分线段；⑤；⑥，其中正确的结论有（ ）

A.①②③⑤ B.①②③④ C.②③⑥ D.①②⑤⑥
【举一反三1】已知点F是的重心，连接并延长交于点G，过点F作直线分别交于点D，E，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，G是的重心，若，则图中阴影部分面积是 ．

【举一反三3】（2023·江苏南京·三模）如图，已知△ABC，AD为边BC上的中线，求作△ABC的重心M．
【题型13】三角形高的定义
【典型例题】如图，中边上的高画法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】四位同学画出如下的线段，其中能表示高的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在中，边上的高是 ，边上的高是 ；在中，边上的高是 ．
【举一反三3】如图，在中，，G为的中点，的延长线交于点E，F为上的一点，于点H，
的高线是 .
【举一反三4】如图，在直角三角形中，．
(1)点B到的距离是 cm；点A到的距离是 cm；
(2)画出表示点C到的垂线段，并求出的长；
(3) （填“＞”“＜”或“=”)，理由是 ．
【题型14】三角形的垂心
【典型例题】下列说法中正确的是（ ）
A.三角形的垂心不一定只有一个
B.三角形的外心一定在三角形的内部
C.三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等
D.三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等
【举一反三1】下列说法不正确的是（ ）
A.同角的余角相等
B.对顶角相等
C.三角形三条高所在的直线一定交于一点，并且该点位于三角形内部
D.平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【举一反三2】如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（　　）
A.锐角三角形　　　 B.钝角三角形　　　 C.直角三角形　　　 D.不能确定
【举一反三3】如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，CD与BE相交于O点，连接AO并延长交BC于点F．则∠AFC的度数为 ．
【举一反三4】若一个三角形三条高的交点在这个三角形的外部，则这个三角形是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）
【举一反三5】(1)用三角尺分别作出锐角三角形，直角三角形和钝角三角形的各边上的高线．
(2)观察你所作的图形，比较三个三角形中三条高线的位置，与三角形的类型有什么关系？13.2与三角形有关的线段
【知识点1】三角形的角平分线、中线和高 1
【知识点2】三角形的稳定性 3
【知识点3】三角形的重心 3
【知识点4】三角形三边关系 4
【题型1】构成三角形的条件 5
【题型2】确定第三边的取值范围 7
【题型3】三角形三边关系的应用 9
【题型4】三角形三边关系与非负性的综合 11
【题型5】三角形的稳定性 13
【题型6】三角形的角平分线 15
【题型7】三角形的中线、角平分线、高的综合 18
【题型8】利用网格求三角形的面积 21
【题型9】三角形中线的定义 24
【题型10】利用三角形的中线求长度 26
【题型11】利用三角形的中线求面积 30
【题型12】三角形的重心 34
【题型13】三角形高的定义 36
【题型14】三角形的垂心 38
【知识点1】三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 1.（2024秋 醴陵市期末）如图，在△ABC中，线段BE表示△ABC的边AC上的高的图是（　　） A．B．C．D．
【答案】D 【分析】根据三角形高的定义判断即可． 【解答】解：过点B作AC的垂线，且垂足在直线AC上，
所以正确画出AC边上的高的是D选项，
故选：D． 2.（2025春 昌黎县期末）如图，在△ABC中，BC边上的高是（　　）
A．BEB．AFC．CDD．DF
【答案】B 【分析】从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，由此即可判断． 【解答】解：A、BE是AC边上的高，不是BC边上的高，故A不符合题意；
B、BC边上的高是AF，故B符合题意；
C、CD是AB边上的高，不是BC边上的高，故C不符合题意；
D、BC边上的高不是DF，故D不符合题意．
故选：B． 【知识点2】三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． 1.（2024秋 乌鲁木齐期末）如图，学校门口设置的移动拒马护栏是由多个钢管焊接的三角形组成的，这里面蕴含的数学原理是（　　） A．两点之间，线段最短B．三角形的稳定性C．三角形的任意两边之和大于第三边D．三角形的内角和等于180°
【答案】B 【分析】学校门口设置的移动拒马护栏做成三角形的形状，利用三角形不变形即三角形的稳定性，从而可得答案． 【解答】解：因为学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，
所以这样做的数学原理是利用了三角形的稳定性，
故选：B． 【知识点3】三角形的重心 （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．
（2）重心的性质：
①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．
③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形） 1.（2024秋 玉环市期中）如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路AB，AC，BC两两相交围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应选择的位置是（　　） A．△ABC三边垂直平分线的交点B．△ABC三条中线的交点C．△ABC三条高的交点D．△ABC三条角平分线的交点
【答案】D 【分析】角平分线上的点到角的两边的距离相等，由此即可得到答案． 【解答】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴度假村应建在△ABC三条角平分线的交点处．
故选：D． 【知识点4】三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 1.（2025春 蓝田县期末）王师傅想做一个三角形的框架，他有两根长度分别为6cm和8cm的细木条，需要将其中一根木条分为两段，如果不考虑损耗和接头部分，那么他可以把（　　）分为两截． A．6cm的木条B．8cm的木条C．两根都可以D．两根都不行
【答案】见试题解答内容 【分析】利用三角形的三边关系可得答案． 【解答】解：利用三角形的三边关系可得应把8cm的木条截成两段，
如将8cm的线段分成3cm和5cm或4cm和4cm,所截成的两段线段之和大于6，所以，可以，
而6cm的线段无论如何分，分成的两段线段之和都小于8，所以，不可以．
故选：B．
【题型1】构成三角形的条件
【典型例题】下列长度的三根木条（单位：分米）首尾顺次相接能组成三角形的是（ ）
A.1，2，3 B.1，3，5 C.4，4，5 D.2，5，8
【答案】C
【解析】A选项，，不能构成三角形，不符合题意；
B选项，，不能构成三角形，不符合题意；
C选项，，能构成三角形，符合题意；
D选项，，不能构成三角形，不符合题意．
【举一反三1】下列长度的三条线段，不能首尾相接构成三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵,
∴首尾相接能构成三角形，该选项不合题意；
∵，
∴首尾相接能构成三角形，该选项不合题意；
∵，
∴首尾相接能构成三角形，该选项不合题意；
∵，
∴首尾相接不能构成三角形，该选项符合题意．
【举一反三2】下列长度的三条线段不能组成三角形的是（ ）
A.2，3，4 B.3，4，6 C.5，6，11 D.5，12，13
【答案】C
【解析】A选项，由可知该三条边能构成三角形，故不符合题意；
B选项，由可知该三条边能构成三角形，故不符合题意；
C选项，由可知该三条边不能构成三角形，故符合题意；
D选项，由可知该三条边能构成三角形，故不符合题意．
【举一反三3】若一个两边相等的三角形的两边分别是和，则其周长是 cm．
【答案】
【解析】①当腰是，底边是时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是，腰长是时，能构成三角形，则其周长．
【举一反三4】如图， （填“”，“”或“”）．
【答案】
【解析】∵两边之和大于第三边，
∴.
【举一反三5】用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形.
（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少
（2）能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形吗 为什么
【答案】（1）设底边长为x cm，则腰长为2x cm，
则x十2x十2x=18.
解得 x=3.6.
所以，三角形三边的长分别为3.6 cm，7.2 cm，7.2 cm.
（2）因为长为4 cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论,①如果4 cm长的边为底边，设腰长为x cm，则4+2x=18.
解得 x=7.
②如果4 cm长的边为腰，设底边长为y cm，则
2×4+y=18.
解得y=10.
因为4+4<10，不符合“三角形两边的和大于第三边”，所以不能围成腰长是4 cm的等腰三角形,
由以上讨论可知，可以围成底边长是4 cm的等腰三角形.
【举一反三6】长为10，7，5，3的四根木条．选其中三根组成三角形．有几种选法？为什么？
【答案】解：有2种选法．
选其中3根组成一个三角形，不同的选法有10、7、5；10、7、3；10、5、3；7、5、3．
能够组成三角形的只有：10、7、5；7、5、3．
∴有2种．
【题型2】确定第三边的取值范围
【典型例题】已知三条线段的长分别是3，7，，若它们能构成三角形，则以下值可以取的是（ ）
A.9 B.10 C.11 D.12
【答案】A
【解析】三条线段的长分别是3，7，，若它们能构成三角形，
,，
．
【举一反三1】平面内，将长分别为1，1，3，x的线段，首尾顺次相接组成凸四边形（如图），x可能是（　　）
A.1 B.3 C.5 D.7
【答案】B
【解析】解：连接AC，
在△ACD中，3﹣1＜AC＜3+1，
∴2＜AC＜4，
在△ABC中，AC﹣1＜x＜AC+1，
∴1＜x＜5，
∴x可能是3．
故选：B．
【举一反三2】等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰△ABC的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为(　　)
A. B. C.或2 D.或
【答案】D
【解析】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为8时，
等腰△ABC的周长为20，
它的底边长，
它的“优美比” ；
当等腰三角形的底边长为8时，
等腰△ABC的周长为20，
它的腰长，
它的“优美比” ；
综上所述：它的“优美比”为或，
故选：D．
【举一反三3】已知三角形两边的长分别为1，5，则第三边x的范围为 ．
【答案】
【解析】设第三边的长为，
则，即．
【举一反三4】已知的三边长分别是，，．
(1)求的取值范围；
(2)若三角形的周长是大于的正整数，求的值；
【答案】（1）根据题意得
的取值范围为.
（2）
∵三角形的周长是大于的正整数，
∴当时，三角形的周长为；
的值是.
【题型3】三角形三边关系的应用
【典型例题】如图，将三角形沿虚线剪去一个角得到四边形，设三角形与四边形的周长分别为和，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，
根据题意，，
，
∵在中，，
∴ ，
∴．
【举一反三1】一款可折叠晾衣架的示意图如图所示，支架（连接处的长度忽略计），则点，之间的距离可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴，即，
∴A选项符合题意．
【举一反三2】如图，为估计池塘岸边A，B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A，B间的距离可能是 ．（写出一个即可）
【答案】10（答案不唯一）
【解析】∵，
∴，
∴A，B间的距离可能是10米．
【举一反三3】在平坦的草地上有甲，乙，丙三个小球．若已知甲球与乙球相距6米，乙球与丙球相距4米，设甲球与丙球相距x米，则x的取值范围是 ．（球的半径忽略不计）
【答案】大于等于2米而小于等于10米
【解析】当三个球在一条直线上时，如图①，
则甲丙两球的距离（米）；
如图②，
则甲丙两球的距离（米）；
当三个球不共线时，如图③，
则两球的距离满足，即，
综上，甲丙两球的距离大于等于2米而小于等于10米．
【举一反三4】一个等腰三角形的一边长为6，周长为20，求其他两边的长.
【答案】①底边长为6 cm，则腰长为（20-6）÷2=7，所以另两边的长为7 cm，7 cm，能构成三角形；
②腰长为6 cm,则底边长为20-6×2=8，底边长为8 cm，另一个腰长为6 cm，能构成三角形．
因此另两边长为8 cm，6 cm或7 cm，7 cm.
故这个等腰三角形的其它两边的长为8 cm，6 cm或7 cm，7 cm.
【题型4】三角形三边关系与非负性的综合
【典型例题】已知，，是一个三角形的三边，且，满足．则的取值范围是　　
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：由题意得，，，
解得，，
，，
．
【举一反三1】若一个三角形的三边长分别为2，x，7，化简的结果是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】一个三角形的三边长分别为2，x，7，
，
．
【举一反三2】已知三角形的三条边长分别为，，，化简的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵三角形的三边长分别为，，，
∴，
即，
∴
．
【举一反三3】已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c+a|+|c﹣a﹣b|＝　 　．
【答案】a+3b﹣c．
【解析】解：∵a、b、c是三角形的三边长，
∴a+b＞c，b+c＞a，a+b＞c，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c+a＞0，c﹣a﹣b＜0，
∴|a﹣b﹣c|+|b﹣c+a|+|c﹣a﹣b|＝﹣a+b+c+b﹣c+a﹣（c﹣a﹣b）＝a+3b﹣c．
故答案为：a+3b﹣c．
【举一反三4】已知三角形的三边长分别是3、、9，则化简|x﹣5|+|x﹣13|= 　．
【答案】8
【解析】解：三角形的三边长分别是3、、9，
，
，，
，
故答案为：8．
【举一反三5】已知实数a，b，c满足．
（1）求a，b，c的值；
（2）试问以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请判断三角形的形状并写出推理过程．若不能，请说明理由．
【答案】解：（1）∵，
∴a﹣，b﹣5＝0，c﹣2＝0，
∴a＝，b＝5，c＝2；
（2）∵+2＞5，
∴以a、b、c为边能构成三角形，
∵a＝，b＝5，c＝2，
∴a2+c2＝b2，
∴三角形的形状是直角三角形．
【题型5】三角形的稳定性
【典型例题】下列图中不具有稳定性是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由三角形的稳定性，四边形的不稳定性可知，
含有四边形，不具有稳定性．
【举一反三1】下列图形中有稳定性的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：根据三角形具有稳定性，可得四个选项中只有选项D中的三角形具有稳定性．
故选：D．
【举一反三2】如图，从数学的角度看房屋顶部支撑架，它运用了三角形的　 　性．
【答案】稳定．
【解析】解：从数学的角度看房屋顶部支撑架，它运用了三角形的稳定性，
故答案为：稳定．
【举一反三3】如图（1）扭动三角形木架，它的形状会改变吗？
如图（2）扭动四边形木架，它的形状会改变吗？
如图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状会改变吗？为什么？
归纳：①三角形木架的形状　 　，说明三角形具有　 　.
②四边形木架的形状　 　说明四边形没有　 　．
【答案】解：①由三角形具有稳定性知，三角形木架的形状不会改变，这说明三角形具有稳定性．
故答案为：不会改变，稳定性；
②四边形木架的形状是四边形，四边形具有不稳定性．
故答案为：会改变，稳定性．
【举一反三4】(1)如图1，爱护花草树木是我们每个同学应具备的优秀品质，但总有少数同学不走边上的路而横穿草坪．如图所示，请你用所学的数学知识来说明他们选择走路线AB的原因；
(2)如图2，要从河流L引水到村庄A，需要修筑一水渠，最短的水渠路线如图，请说明这样画所利用的数学原理；
(3)如图3，张叔叔家里的椅子坏了，于是他给椅子加了两根木条，他所应用的数学原理是什么？
【答案】解：(1)两点之间线段最短．路线AB是一条线段，所以走路线AB的原因是两点之间线段最短．
(2)垂线段最短．由题意可知，图示是点到直线的最短距离，所利用的数学原理是垂线段最短．
(3)三角形的稳定性．由图知，椅子加了两根木条后构成三角形，所应用的数学原理是三角形的稳定性．
【题型6】三角形的角平分线
【典型例题】如图，AD是△ABC的角平分线，若∠B=40°，∠BAC=82°，则∠CAD的度数为（　　）
A.20°　　　 B.41°　　　 C.80°　　　 D.82°
【答案】B
【解析】解：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD=∠BAC=41°故选：B．
【举一反三1】如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，则下列说法中，错误的是（　　）
A.AD是△ABE的角平分线 B.AE是△ABC的角平分线 C.AF是△ACE的的角平分线 D.AE是△DAC的角平分线
【答案】D
【解析】解：∵∠1＝∠2，
∴AD是△ABE的角平分线，故A不符合题意.
∴∠1+∠2＝∠3+∠4，
即∠BAE＝∠CAE，
∴AE是△ABC的角平分线，故B不符合题意.
∵∠3＝∠4，
∴AF是△ACE的角平分线，故C不符合题意.
所以错误选项是D.
故选：D．
【举一反三2】关于三角形的角平分线，下列说法正确的是（　　）
A.线段 B.射线 C.直线 D.射线或线段
【答案】A
【举一反三3】如图，是的角平分线，则平分 ， ，且点在边上．
【答案】
【举一反三4】如图，是的边上的一点，//交，//交，且，是的角平分线吗？说明理由.
【答案】是的角平分线.
理由：∵//，//，
∴，，
又∵，
∴，
∴是△ABC的角平分线.
【举一反三5】如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，DE∥AC，DE交AB于点E，DF∥AB，DF交AC于点F.图中∠1与∠2有什么关系 为什么
【答案】（1）∠1=∠2，理由如下：
∵DE∥AC，
∴∠1=∠4，
∵DF∥AB，
∴∠2=∠3，
又∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠3=∠4，
∴∠1=∠2.
【题型7】三角形的中线、角平分线、高的综合
【典型例题】下列说法正确的是（　　）
A.三角形的角平分线是射线
B.连接三角形任意两边中点的线段是三角形的中线
C.三角形的高都在三角形的内部
D.直角三角形的三条高线交于直角顶点处
【答案】D
【解析】解：A、三角形的角平分线是线段，不符合题意；
B、三角形一边的中点与此边所对顶点的连线是三角形的中线，不符合题意；
C、三角形的高不一定在其内部，不符合题意；
D、直角三角形的三条高线交于直角顶点处，符合题意；
故选：D．
【举一反三1】如图，BD，BE，BF分别是△ABC的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（　　）
A.AE＝EC B. C.AC＝2CF D.BD⊥CD
【答案】A
【解析】解：A、∵BF是△ABC的中线，
∴AF＝FC，
AE≠EC，故选项A错误，符合题意；
B、∵BE是△ABC的角平分线，
∴，故选项B正确，不符合题意；
C、∵BF是△ABC的中线，
∴AC＝2CF，故选项C正确，不符合题意；
D、∵BD是△ABC的高，
∴BD⊥CD，故选项D正确，不符合题意；
故选：A．
【举一反三2】如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（　　）
A.BF＝CF B.∠C+∠CAD＝90° C.∠BAF＝∠CAF D.S△ABC＝2S△ABF
【答案】C
【解析】解：∵AF是△ABC的中线，
∴BF＝CF，A说法正确，不符合题意；
∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠C+∠CAD＝90°，B说法正确，不符合题意；
∵AE是角平分线，
∴∠BAE＝∠CAE，而∠BAF与∠CAF不一定相等，C说法错误，符合题意；
∵BF＝CF，
∴S△ABC＝2S△ABF，D说法正确，不符合题意；
故选：C．
【举一反三3】如图，AD是△ABC的中线，E为线段AD的中点，过点E作EF⊥BC于点F．则BC=2 =2 ；AE= = ; S△ABD＝ ＝S△ABC.
【答案】BD，DC；DE，AD；S△ACD，S△ABC.
【解析】解：∵线段AD是△ABC的中线，
∴BC=2BD=2DC.
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，
∵E为线段AD的中点，
∴线段BE是△ABD的中线，
∴AE=DE=AD
故答案为：BD，DC；DE，AD；S△ACD，S△ABC.
【举一反三4】如图．
(1)在中，，垂足为，则是___________边上的高，______________________；
(2)若平分，交，则叫___________，_________________________________，叫___________；
(3)若，则的中线是___________；
(4)若，则是___________的中线，是___________的中线．
【答案】（1）
（2）的角平分线 的角平分线
（3）
（4）
【举一反三5】如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，AE=2，.求 BC和DC的长.
【答案】∵AD，AE分别是边BC上的中线和高，AE=2,S△ABD =1.5，
∴，
∴AECD=1.5，
∴×2×CD=1.5，
解得CD=1.5，
∴BC=2×1.5=3．
综上所述，BC和DC的长分别是3，1.5.
【题型8】利用网格求三角形的面积
【典型例题】如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则的面积与的面积的大小关系为（ ）

A. B. C. D.无法判断
【答案】C
【解析】解：，
，
．
故选：C．
【举一反三1】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在格点上．在格点上确定点C，使为直角三角形，且面积为4，则这样的点C的共有（　　）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】∵的面积为4，
∴边上的高为，
∴点C的位置如图所示，共有3个．
【举一反三2】如图，正方形中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得
正方形中阴影部分的面积为
．
【举一反三3】图中每个小正方形的边长为1，把从格点到与它相邻的格点，的直线运动形成的线段分别记为1，2，3，4，5，6，7，8，如以点为出发点，2表示线段，5表示线段，从点出发，按1753运动可得到正方形．从点出发，按1112445668运动的轨迹形成的图形面积为 ．
【答案】10
【解析】轨迹图形如图所示，
图形面积为．
【举一反三4】每个小方格的边长是1厘米，图中阴影部分的多边形顶点均是格点，则阴影部分的面积是______________平方厘米.
【答案】
【解析】如图所示，
阴影部分的面积 (平方厘米)．
【举一反三5】如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中画图，按步骤完成下列问题：
(1)在图中找一格点D，连接，使；
(2)在图中找一格点E，连接，，使与互补，并计算四边形的面积．
【答案】（1）如图所示，点即为所求.
（2）如图所示，点即为所求，
由图可知，四边形的面积为．
【题型9】三角形中线的定义
【典型例题】如图，在中，是的中线，是的中线，若，则的长度为（ ）
A.3 B.6 C.9 D.12
【答案】A
【解析】是的中线，
，
是的中线，
．
【举一反三1】如图，AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（　　）
A.∠BAD＝∠CAD　　 B.BD＝CD C.AB＝AC D.AC＝AD
【答案】B
【解析】解：根据三角形的中线的定义即可判断．
【举一反三2】如图，若是的中线，，则等于（ ）
A.4 B.5 C.6 D.8
【答案】B
【解析】∵是的中线，，
∴．
【举一反三3】如图，是的中线，，，，则 ．
【答案】
【解析】是的中线，
，
，
．
【举一反三4】如图，在中，，，，是边上的中线，点是上一点．若，求的长．

【答案】是边上的中线，
，
，
，
又，
．
【题型10】利用三角形的中线求长度
【典型例题】如图，在△ABC中，点D是BC边上的中点，若△ABD和△ACD的周长分别为16和11，则AB﹣AC的值为（　　）
A.5 B.11 C.16 D.27
【答案】A
【解析】解：∵点D是BC边上的中点，
∴BD＝DC，
∵△ABD和△ACD的周长分别为16和11，
∴AB+BD+AD＝16，AC+CD+AD＝11，
∴（AB+BD+AD）﹣（AC+CD+AD）＝16﹣11＝5，
∴AB﹣AC＝5，
故选：A．
【举一反三1】在中，为边的中线，若与的周长差为5，，则的长为（ ）
A.2 B.13 C.3或13 D.2或12
【答案】C
【解析】①当的周长大于的周长时，
为边的中线，
，
与的周长差，
与的周长差为5，，
，
.
②当的周长比的周长大时，
为边的中线，
，
与的周长差，
与的周长差为5，，
，
，
综上所述，或13．
【举一反三2】如图，CM是△ABC的中线，BC＝8cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大2 cm，则AC的长为（　　）
A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm
【答案】D
【解析】解：∵CM是△ABC的中线，BC＝8cm，
∴AM＝BM，
∴△BCM的周长＝BC+BM+CM，△ACM的周长＝AC+AM+CM，
∵△BCM的周长比△ACM的周长大2cm，
∴BC+BM+CM﹣（AC+AM+CM）＝2，即BC﹣AC＝2，
∴8﹣AC＝2，
解得AC＝6（cm）．
故选：D．
【举一反三3】在△ABC中，D是BC的中点，AB＝12，AC＝8．用剪刀从点D入手进行裁剪，若沿DA剪成两个三角形，它们周长的差为 　 　；若点E在AB上，沿DE剪开得到两部分周长差为2，则AE＝　 　．
【答案】4；1或3．
【解析】解：如图，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∴△ABD的周长﹣△ACD的周长＝AB+BD+AD﹣（AC+CD+AD）＝AB﹣AC＝4，
如图，设AE＝x，则BE＝12﹣x，
当四边形ACDE的周长﹣△BDE的周长＝2时，
即AE+ED+CD+AC﹣（BE+BD+DE）＝2，
整理得，AE+AC﹣BE＝2，
∴x+8﹣（12﹣x）＝2，
解得x＝3；
当△BDE的周长﹣四边形ACDE的周长＝2时，
即BE+BD+DE﹣（AE+ED+CD+AC）＝2，
整理得，BE﹣AE﹣AC＝2，
∴12﹣x﹣x﹣8＝2，
解得x＝1；
∴AE＝1或3，
故答案为：4；1或3．
【举一反三4】如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成55和45两部分，求AC和AB的长．
【答案】解：设BC＝2x，则AC＝4x，
∵AD是BC边上的中线，
∴CD＝BD＝x，
由题意得：x+4x＝55，AB+x＝45，
解得：x＝11，AB＝34，
∴AC＝4x＝44，
∵AB+BC＞AC，
∴AC的长为44，AB的长为34，
答：AC的长为44，AB的长为34．
【举一反三5】在△ABC中，AB＝AC，BD为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12 cm与15 cm两部分，求△ABC各边长．
【答案】解：如图，∵BD为△ABC的中线，∴AD＝CD，
设AD＝CD＝x，则AB＝2x，
当x＋2x＝12时，解得x＝4，
BC＋x＝15，解得BC＝11 cm，
此时△ABC的各边长为AB＝AC＝8 cm，BC＝11 cm；
当x＋2x＝15时，解得x＝5，BC＋x＝12，解得BC＝7 cm，
此时△ABC的各边长为AB＝AC＝10 cm，BC＝7 cm.
【题型11】利用三角形的中线求面积
【典型例题】如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，连结BE，CE．若△ABC的面积是8，则图中阴影部分的面积为（　　）
A.4 B.5 C.5.5 D.6
【答案】A
【解析】解：∵AD是△ABC的中线，
∴，
∵E是AD的中点，
∴，，
∴，
∴，
故选：A．
【举一反三1】如图，在中，是边上的中线，E是的中点，连接，且的面积为，则阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵是边上的中线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵是的中点，
，
，
．
【举一反三2】如图，是的中线，是的中线，是的中线，且，则 ．
【答案】
【解析】是的中线，
，
是的中线，
，
是的中线，
．
【举一反三3】如图，在中，延长至点，使得，延长至点，使得，延长至点，使得，连接，若，则为 ．
【答案】
【解析】如图，连接，
，，
，，
，
，，
，
，，
，
.
【举一反三4】 [问题呈现]三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．
已知：如图1，在中，点D是边上的中点，连接．求证： ．
证明：过点A作于E，
∵点D是边上的中点，
∴，
∵，
∴．
[拓展探究]
（1）如图2，在中，点D是边上的中点，若，则_____；
（2）如图3，在中，点D是边上的点，且，求的值；
[问题解决]
（3）现在有一块四边形土地，如图4，甲，乙两人要均分这块土地，请通过作图均分四边形的面积．
（要求：用不超过三条的线段画出平分方法，并对作法进行说明，可利用带刻度的直尺．）
【答案】（1）∵点D是边上的中点，
∴，
∴.
（2）取中点E，连接，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
（3）连接，取中点E，连接，
则，
∴，
即，
∴四边形被平均分．
【举一反三5】如图，在中，为中线，，分别为，的中点，且，．
(1) ；
(2)若，求的长；
(3)若交的延长线于点，求证：．
【答案】（1）为中线，且，
.
（2）为中线，，分别为，的中点，，
，
，AE=5，
，
.
（3）证明：为中线，，分别为，的中点，
，
，，
，
．
【题型12】三角形的重心
【典型例题】如图，和是的中线，则以下结论：①；②是的重心；③与面积相等；④过的直线平分线段；⑤；⑥，其中正确的结论有（ ）

A.①②③⑤ B.①②③④ C.②③⑥ D.①②⑤⑥
【答案】B
【解析】解：∵和是的中线，
∴，分别为，的中点，
∴，，故①正确；
∵和是的中线，
∴点是的重心，故②正确；
∵，
∴，故③正确；
∵点是的重心，
∴过的直线平分线段，故④正确；
根据已知条件无法判定，，故⑤，⑥错误．
故选：B．
【举一反三1】已知点F是的重心，连接并延长交于点G，过点F作直线分别交于点D，E，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】点F是的重心，
是的中线，
．
【举一反三2】如图，G是的重心，若，则图中阴影部分面积是 ．

【答案】10
【解析】是的重心，
为三角形的中线，，，
，
，，
图中阴影部分面积．
【举一反三3】（2023·江苏南京·三模）如图，已知△ABC，AD为边BC上的中线，求作△ABC的重心M．
【答案】解：作AB的垂直平分线EF交AB于点N，连接CN交AD于点M，即为所求．
【题型13】三角形高的定义
【典型例题】如图，中边上的高画法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A选项，画的是的边上的高，不符合题意；
B选项，画的是的边上的高，符合题意；
C选项，不是三角形任一边上的高，不符合题意；
D选项，画的是的边上的高，不符合题意．
【举一反三1】四位同学画出如下的线段，其中能表示高的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫作三角形的高，
所给图形中，线段能表示的高的是D选项.
【举一反三2】如图，在中，边上的高是 ，边上的高是 ；在中，边上的高是 ．
【答案】
【举一反三3】如图，在中，，G为的中点，的延长线交于点E，F为上的一点，于点H，
的高线是 .
【答案】
【解析】∵于点H，
∴的高线是.
【举一反三4】如图，在直角三角形中，．
(1)点B到的距离是 cm；点A到的距离是 cm；
(2)画出表示点C到的垂线段，并求出的长；
(3) （填“＞”“＜”或“=”)，理由是 ．
【答案】（1）由题意得点到的距离是；点到的距离是．
（2）如图，为所作.
，
，
，
.
（3）．
理由是垂线段最短.
【题型14】三角形的垂心
【典型例题】下列说法中正确的是（ ）
A.三角形的垂心不一定只有一个
B.三角形的外心一定在三角形的内部
C.三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等
D.三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等
【答案】D
【解析】A．三角形的垂心是指三角形的三边上的高所在直线的交点，则垂心是唯一的，故此说法错误；
B．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，此交点可在三角形的外部，内部，也可以在三角形的边上，故此说法错误；
C．三角形的内心是三角形三内角平分线的交点，则此点到三角形三边的距离相等，故此说法错误；
D．根据三角形重心的性质：重心到顶点的距离等于重心到对边中点距离的2倍，由此可知重心与两个顶点所构成的三角形的面积是，其中S表示原三角形的面积，故此结论正确.
【举一反三1】下列说法不正确的是（ ）
A.同角的余角相等
B.对顶角相等
C.三角形三条高所在的直线一定交于一点，并且该点位于三角形内部
D.平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】C
【解析】A选项，同角的余角相等，说法正确，不符合题意；
B选项，对顶角相等，说法正确，不符合题意；
C选项，钝角三角形三条高所在的直线交于一点，但该点位于三角形外部，故原说法不正确，符合题意；
D选项，平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确，不符合题意．
【举一反三2】如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（　　）
A.锐角三角形　　　 B.钝角三角形　　　 C.直角三角形　　　 D.不能确定
【答案】C
【解析】解：A.锐角三角形，三条高线交点在三角形内，故错误；
B.钝角三角形，三条高线不会交于一个顶点，故错误；
C.直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，可以得出这个三角形是直角三角形，故正确；
D.能确定C正确，故错误．
【举一反三3】如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，CD与BE相交于O点，连接AO并延长交BC于点F．则∠AFC的度数为 ．
【答案】90°
【解析】解：∵CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，CD与BE相交于O点，
∴点O为三角形ABC的垂心，
∵连接AO并延长交BC于点F．
∴AF⊥BC，
∴∠AFC＝90°．
故答案为：90°．
【举一反三4】若一个三角形三条高的交点在这个三角形的外部，则这个三角形是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）
【答案】钝角
【解析】解：若一个三角形三条高的交点在这个三角形的外部，则这个三角形是钝角三角形，
故答案为：钝角．
【举一反三5】(1)用三角尺分别作出锐角三角形，直角三角形和钝角三角形的各边上的高线．
(2)观察你所作的图形，比较三个三角形中三条高线的位置，与三角形的类型有什么关系？
【答案】解：（1）如图所示，即为所求；
（2）由（1）可知，锐角三角形的三条高线的交点在三角形内部；直角三角形的三条高线的交点为直角顶点；钝角三角形的三条高线的交点在三角形外部．

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