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14.1全等三角形及其性质
【知识点1】全等图形 1
【知识点2】全等三角形的性质 2
【题型1】全等形 3
【题型2】全等三角形的概念 6
【题型3】全等三角形的性质 8
【题型4】全等三角形的性质与运动变化问题 11
【知识点1】全等图形 （1）全等形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形．
（2）全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
（3）三角形全等的符号
“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．
（4）对应顶点、对应边、对应角
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． 1.（2024春 贵州期末）如图所示各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A．B．C．D．
【答案】B 【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形解答． 【解答】解：全等图形形状相同，大小相等，
A、两个图形形状不同，故选项不符合题意；
B、两个图形形状相同，大小相等，故选项符合题意；
C、两个图形形状不同，故选项不符合题意；
D、两个图形大小不等，故选项不符合题意．
故选：B． 【知识点2】全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 1.（2025春 大渡口区校级期中）如图，这是佳佳制造的风筝模型．已知△AEB≌△AFC，且BF=3，AE=2，则AB是（　　） A．5B．6C．7D．8
【答案】A 【分析】由全等三角形的对应边相等推出AF=AE=2，即可求出AB的长． 【解答】解：∵△AEB≌△AFC，
∴AF=AE=2，
∵BF=3，
∴AB=BF+AF=5．
故选：A． 2.（2024秋 鄞州区期末）如图，点E在AC上，△ABC≌△DAE，若BC=3，DE=4，则CE的长度为（　　） A．1B．2C．3D．4
【答案】A 【分析】由题意可得CE=AC-AE，根据全等三角形的性质可得AC和AE 的值，从而可得答案． 【解答】解：∵△ABC≌△DAE，BC=3，DE=4，
∴AE=BC=3，AC=DE=4，
∴CE=AC-AE=1，
故选：A．
【题型1】全等形
【典型例题】如图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：如图所示：图形分割成两个全等的图形，
．
故选：B．
【举一反三1】下列命题①两个图形全等，它们的形状相同；②两个图形全等，它们的大小相同；③面积相等的两个图形全等；④周长相等的两个图形全等．其中正确的个数为（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【解析】解：①两个图形全等，它们的形状相同，故正确；
②两个图形全等，它们的大小相同，故正确；
③面积相等的两个图形全等，错误；
④周长相等的两个图形全等，错误．
所以只有2个正确，故选B．
【举一反三2】如图，四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'，则∠A的度数是 　°．
【答案】95．
【解析】解：∵四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，
∴∠D＝∠D′＝130°，
∴∠A＝360°﹣130°﹣60°﹣75°＝95°，
故答案为：95．
【举一反三3】如图（1）~（12）中全等的图形是 和 ； 和 ； 和 ； 和 ； 和 ； 和 ；(填图形的序号)
【答案】（1），（11），（2），（10），（3），（6），（4），（7），（5），（8），（9），（12）.
【解析】解：如图（1）~（12）中全等的图形是（1）和（11），（2）和（10），（3）和（6），（4）和（7），（5）和（8），（9）和（12）.
【举一反三4】在下列3个6×6的网格中，画有正方形ABCD，沿网格线把正方形分ABCD分割成两个全等图形，请用三种不同的方法分割，画出分割线．
【答案】解：如图所示：
【举一反三5】请在下图中把正方形分成2个、4个、8个全等的图形：
【答案】解：所作图形如下所示：
【题型2】全等三角形的概念
【典型例题】如图，两个三角形与全等，观察图形，判断在这两个三角形中边的对应边为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：观察图形可知：，，
∴和是对应边，
而显然和是两个三角形中最短的边，是对应边，
∴边的对应边为．
【举一反三1】已知，且与是对应角，和是对应角，则下列说法中正确的是（ ）
A.与是对应边 B.与是对应边 C.与是对应边 D.不能确定 的对应边
【答案】A
【解析】解：与是对应角，和是对应角，
和是对应角，
与是对应边．
【举一反三2】如图所示，△AOC≌△BOD，C，D是对应点，下列结论错误的是（　　）
A.∠A与∠B是对应角 B.∠AOC与∠BOD是对应角 C.OC与OB是对应边 D.OC与OD是对应边
【答案】C
【解析】∵△AOC≌△BOD，
∴点A和点B，点C和点D，点O是公共点，
所以选项A，B，D都是正确的.
故选：C．
【举一反三3】若，则的对应边是 ．
【答案】.
【解析】解：∵，
∴的对应边是．
【举一反三4】如图，，请指出两个全等三角形的对应边和对应角．

【答案】解：∵，
∴对应边：与，与，与；对应角：与，与，与．
【举一反三5】在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上，且点A（1，3），B（3，2），O（0,0）.将△AOB向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A1O1B1，此△A1O1B1≌△ABC.
（1）写出两个全等三角形的三组对应边和对应角；
（2）在（2）的条件下，A1的坐标为 　 　，△A1O1B1的面积为 　 　．
【答案】解：
（1）∵△A1B1C1≌△ABC，且A1、B1、C1对应点分别为点A、B、C．
∴三组对应边分别是AB和A1B1，AC和A1C1，BC和B1C1.
三组对应角分别是∠A和∠A1，∠B和∠B1，∠C和∠C1.
（2）由图可得，A1的坐标为（﹣3，0）．
△A1O1B1的面积为＝＝．
故答案为：（﹣3，0）；．
【题型3】全等三角形的性质
【典型例题】如图，已知，则下列说法错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：A、因为，所以，所以，故此选项符合题意；
B、因为，所以，所以，故此选项不符合题意；
C、因为，所以，故此选项不符合题意；
D、因为，所以，故此选项不符合题意．
【举一反三1】如图，两个三角形是全等三角形，x的值是（　　）
A.30 B.45 C.50 D.85
【答案】A
【解析】解：∠A＝180°﹣105°﹣45°＝30°，
∵两个三角形是全等三角形，
∴∠D＝∠A＝30°，即x＝30，
故选：A．
【举一反三2】已知，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：∵在中，，，
∴
∵，
∴.
【举一反三3】如图△ABC≌△EFD，请写出一组图中平行的线段　 　．
【答案】AB∥FE，答案不唯一．
【解析】解：∵△ABC≌△EFD，
∴∠B＝∠F，∠ACB＝∠EDF，
∴AB∥EF，AC∥DE，
故答案为：AB∥FE，答案不唯一．
【举一反三4】如图，，，，，则 ．
【答案】．
【解析】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【举一反三5】如图，△ABC≌△ADE，∠B＝10°，∠E＝20°，AB＝4 cm，C为AD的中点．
(1)求AE的长；
(2)求∠BAE的度数．
【答案】解： (1)∵△ABC≌△ADE，AB＝4 cm，
∴AD＝AB＝4 cm，
∵点C为AD的中点，
∴AC＝AD＝×4＝2(cm)，
∴AE＝AC＝2 cm.
(2)∵△ABC≌△ADE，∠B＝10°，∴∠D＝∠B＝10°.
∵∠E＝20°，
∴∠EAD＝180°－∠D－∠E＝180°－10°－20°＝150°，
∴∠CAB＝∠EAD＝150°，
∴∠BAE＝360°－150°－150°＝60°.
【举一反三6】（1）如图（1），求x的值．
（2）如图（2）所示，已知△ABE≌△ACD．如果BE＝6，DE＝2，求BC的长．
【答案】解：（1）由三角形的外角性质得到：x+70＝x+x+10，
∴x＝60．
（2）∵△ABE≌△ACD，
∴BE＝CD，
∴BD＝CE，
∴BE＝6，DE＝2，
∴BD＝BE﹣DE＝4，
∴CE＝4，
∴BC＝BE+CE＝6+4＝10．
【题型4】全等三角形的性质与运动变化问题
【典型例题】如图，在中，，，，线段，P，Q两点分别在线段和过点A且垂直于的射线上运动，当和全等时，长为（　　）
A.4 B.6 C.6或8 D.4或8
【答案】D
【解析】解：，，
，
，
∴当时，
∴；
当时，
∴．
综上所述，当和全等时，长为4或8．
【举一反三1】如图，，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为．若在某一时刻，以A，C，P三点构成的三角形与以B，P，Q三点构成的三角形全等，则点的运动速度为（ ）
A. B.或 C. D.或
【答案】D
【解析】解：设点Q的运动速度为，
由题意，
∵，
∴当时，，
即：，
解；
当时，，
∴，解，
∴
解．
【举一反三2】题目：“如图，已知，，，动点以的速度从点出发沿边向终点移动，动点以的速度从点出发沿边向终点匀速移动，动点从点出发沿对角线向终点移动，三点同时出发，当其中一点到达终点时，其余两点也停止运动．连接，求动点的速度为多少时，存在某个时刻，使得以为顶点的三角形与全等（点与点是对应点）．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（ ）

A.甲、乙的答案合在一起才完整 B.乙、丙的答案合在一起才完整 C.只有乙的答案正确 D.三人的答案合在一起才完整
【答案】A
【解析】解：由题意得，，，
∴，
∵，
∴，
当时，则，，
∴，，
∴，
∴此时点的速度为；
当时，则，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴此时点的速度为；
综上，动点的速度为或．
【举一反三3】如图，在中，，，，P、Q是边AC、BC上的两个动点，于点D，于点E．设点P、Q运动的时间是t秒（）．若点P从C点出发沿CA以每秒3个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动；点Q从点B出发沿BC以每秒1个单位的速度向点C匀速运动，到达点C后停止运动，当 秒时，和全等．
【答案】3或6．
【解析】解：①时，点P从C到A运动，则，
当时，
则，
即，解得：，
②时，点P从A到C运动，则，
当时，
则，
即，
解得：，
综上所述：当秒或6秒时，．
故答案为：3或6．
【举一反三4】如图，在中，厘米，厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，当点Q的运动速度为多少时，能够在某一时刻使与全等．
【答案】解：设点P的运动时间为t秒，点Q的运动速度为vcm/s，
∵厘米，厘米，点D为AB的中点，
∴BD=4cm，
∴BP=2t厘米，CP=（7-2t）厘米，CQ=vt厘米，
由与全等，则有：
①当BP=PC时，则有BD=CQ=4cm，
∴，
解得：，
∴，
解得：；
②当PB=CQ时，则有BD=CP=4cm，
∴，
解得：，
∴，
解得：；
综上所述：当点Q的速度为cm/s或2cm/s时，使得△BPD与△CQP全等．
【举一反三5】如图，已知中，厘米，，厘米，点为的中点．如果点在线段．上以4厘米秒的速度用点向点运动．同时，点在线段上由点以厘米/秒的速度向点运动．设运动的时间为秒．
(1)直接写出：
①___________厘米；
②__________厘米（可用含的代数式表示）；
(2)若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求、的值．
【答案】解：（1）由题意得①，②.
（2）由题意可，
分两种情况：
①若，
则，
所以，
所以；
②若，
则，
所以．
综上所述，的值为6、t的值为2或的值为4、t的值为1．14.1全等三角形及其性质
【知识点1】全等图形 1
【知识点2】全等三角形的性质 2
【题型1】全等形 3
【题型2】全等三角形的概念 4
【题型3】全等三角形的性质 5
【题型4】全等三角形的性质与运动变化问题 6
【知识点1】全等图形 （1）全等形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形．
（2）全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
（3）三角形全等的符号
“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．
（4）对应顶点、对应边、对应角
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． 1.（2024春 贵州期末）如图所示各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A．B．C．D．
【知识点2】全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 1.（2025春 大渡口区校级期中）如图，这是佳佳制造的风筝模型．已知△AEB≌△AFC，且BF=3，AE=2，则AB是（　　） A．5B．6C．7D．8
2.（2024秋 鄞州区期末）如图，点E在AC上，△ABC≌△DAE，若BC=3，DE=4，则CE的长度为（　　） A．1B．2C．3D．4
【题型1】全等形
【典型例题】如图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】下列命题①两个图形全等，它们的形状相同；②两个图形全等，它们的大小相同；③面积相等的两个图形全等；④周长相等的两个图形全等．其中正确的个数为（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三2】如图，四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'，则∠A的度数是 　°．
【举一反三3】如图（1）~（12）中全等的图形是 和 ； 和 ； 和 ； 和 ； 和 ； 和 ；(填图形的序号)
【举一反三4】在下列3个6×6的网格中，画有正方形ABCD，沿网格线把正方形分ABCD分割成两个全等图形，请用三种不同的方法分割，画出分割线．
【举一反三5】请在下图中把正方形分成2个、4个、8个全等的图形：
【题型2】全等三角形的概念
【典型例题】如图，两个三角形与全等，观察图形，判断在这两个三角形中边的对应边为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】已知，且与是对应角，和是对应角，则下列说法中正确的是（ ）
A.与是对应边 B.与是对应边 C.与是对应边 D.不能确定 的对应边
【举一反三2】如图所示，△AOC≌△BOD，C，D是对应点，下列结论错误的是（　　）
A.∠A与∠B是对应角 B.∠AOC与∠BOD是对应角 C.OC与OB是对应边 D.OC与OD是对应边
【举一反三3】若，则的对应边是 ．
【举一反三4】如图，，请指出两个全等三角形的对应边和对应角．

【举一反三5】在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上，且点A（1，3），B（3，2），O（0,0）.将△AOB向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A1O1B1，此△A1O1B1≌△ABC.
（1）写出两个全等三角形的三组对应边和对应角；
（2）在（2）的条件下，A1的坐标为 　 　，△A1O1B1的面积为 　 　．
【题型3】全等三角形的性质
【典型例题】如图，已知，则下列说法错误的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，两个三角形是全等三角形，x的值是（　　）
A.30 B.45 C.50 D.85
【举一反三2】已知，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图△ABC≌△EFD，请写出一组图中平行的线段　 　．
【举一反三4】如图，，，，，则 ．
【举一反三5】如图，△ABC≌△ADE，∠B＝10°，∠E＝20°，AB＝4 cm，C为AD的中点．
(1)求AE的长；
(2)求∠BAE的度数．
【举一反三6】（1）如图（1），求x的值．
（2）如图（2）所示，已知△ABE≌△ACD．如果BE＝6，DE＝2，求BC的长．
【题型4】全等三角形的性质与运动变化问题
【典型例题】如图，在中，，，，线段，P，Q两点分别在线段和过点A且垂直于的射线上运动，当和全等时，长为（　　）
A.4 B.6 C.6或8 D.4或8
【举一反三1】如图，，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为．若在某一时刻，以A，C，P三点构成的三角形与以B，P，Q三点构成的三角形全等，则点的运动速度为（ ）
A. B.或 C. D.或
【举一反三2】题目：“如图，已知，，，动点以的速度从点出发沿边向终点移动，动点以的速度从点出发沿边向终点匀速移动，动点从点出发沿对角线向终点移动，三点同时出发，当其中一点到达终点时，其余两点也停止运动．连接，求动点的速度为多少时，存在某个时刻，使得以为顶点的三角形与全等（点与点是对应点）．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（ ）

A.甲、乙的答案合在一起才完整 B.乙、丙的答案合在一起才完整 C.只有乙的答案正确 D.三人的答案合在一起才完整
【举一反三3】如图，在中，，，，P、Q是边AC、BC上的两个动点，于点D，于点E．设点P、Q运动的时间是t秒（）．若点P从C点出发沿CA以每秒3个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动；点Q从点B出发沿BC以每秒1个单位的速度向点C匀速运动，到达点C后停止运动，当 秒时，和全等．
【举一反三4】如图，在中，厘米，厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，当点Q的运动速度为多少时，能够在某一时刻使与全等．
【举一反三5】如图，已知中，厘米，，厘米，点为的中点．如果点在线段．上以4厘米秒的速度用点向点运动．同时，点在线段上由点以厘米/秒的速度向点运动．设运动的时间为秒．
(1)直接写出：
①___________厘米；
②__________厘米（可用含的代数式表示）；
(2)若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求、的值．

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