资源简介

14.3角的平分线
【知识点1】角平分线的性质 1
【知识点2】作图—基本作图 2
【题型1】角平分线的性质 3
【题型2】角平分线的判定 6
【题型3】角平分线性质与判定的综合 8
【题型4】三角形内角平分线与外角平分线的综合 11
【题型5】与尺规作图相关的角平分线性质与判定 17
【题型6】角平分线性质与判定的实际应用 21
【知识点1】角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD=CE
1.（2024秋 安庆期末）如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，若∠BAC=70°，则∠BOC的度数为（　　） A．70°B．120°C．125°D．130°
【答案】C 【分析】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出点O是三角形三条角平分线的交点，再根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，然后求出∠OBC+∠OCB，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【解答】解：∵O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，
∴点O是三角形三条角平分线的交点，
∵∠BAC=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×110°=55°，
在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-55°=125°．
故选：C． 【知识点2】作图—基本作图 基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线． 1.（2025春 香坊区期末）画出△ABC的BC边上的高，下列画法正确的是（　　） A．B．C．D．
【答案】C 【分析】根据BC边上的高的定义和基本作图对各选项进行判断． 【解答】解：过A点作BC边的垂线，垂线段为BC边上的高，
所以C选项的画法正确．
故选：C．
【题型1】角平分线的性质
【典型例题】如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，下列结论中错误的是（　　）
A.PC=PD B.OC=OD C.∠CPO=∠DPO D.OC=PC
【答案】D
【解析】解：利用角平分线上的一点到两边的距离相等可得△OPC≌△OPD，所以A、B、C都对，D不对．
【举一反三1】如图，已知 的周长是，分别平分和，于点，且，的面积是（ ）
A.42 B.21 C.84 D.28
【答案】A
【解析】解：如图所示，连接，过点作于点，
∵分别平分和，于点，且，
∴，
∴，
∵，
∴
．
【举一反三2】如图，在△ABC中，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AD为∠BAC的平分线，△ABC的面积是28cm，AB＝20cm，AC＝8cm，DF＝　 　cm．
【答案】2．
【解析】解：∵△ABC中，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AD为∠BAC的平分线
∴DE＝DF
∵△ABC的面积是28cm，
∴AB ED+12AC×DF＝28cm，
则（AC+AB） FD＝28cm，
∴×（8+20）FD＝28cm，
解得FD＝2cm，
故答案为：2．
【举一反三3】如图1，在△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上一点，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F.
(1)求证：点D到PE和PF的距离相等；
(2)如图2，若点P在AD的延长线上，其他条件不变，试猜想(1)中的结论还成立吗？请证明你的猜想．
【答案】(1)证明：∵PE∥AB，PF∥AC，
∴∠EPD＝∠BAD，∠DPF＝∠CAD.
∵在△ABC中，AD是它的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD.
∴∠EPD＝∠DPF，即PD平分∠EPF.
∴点D到PE和PF的距离相等．
(2)解：若点P在AD的延长线上，其他条件不变，(1)中的结论还成立．证明如下：
∵PE∥AB，PF∥AC，
∴∠EPD＝∠BAD，∠DPF＝∠CAD.
∵在△ABC中，AD是它的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD.
∴∠EPD＝∠DPF，
即PD平分∠EPF.
∴点D到PE和PF的距离相等．
【举一反三4】如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E，若PE=3，求两平行线AD与BC间的距离.
【答案】解：如图，过点P作PF⊥AD于F，作PG⊥BC于G，
∵AP是∠BAD的平分线，PE⊥AB，
∴PF=PE，同理可得PG=PE，
∵AD∥BC，∴点F、P、G三点共线，
∴FG的长即为AD、BC间的距离，
∴平行线AD与BC间的距离为3+3=6.
【题型2】角平分线的判定
【典型例题】如图，DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，并且DE=DC，则下列结论中正确的是（　　）
A.∠1=∠2 B.DE=DF C.BD=FD D.AB=AC
【答案】A
【解析】解：如图，∵DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，且DE=DC，∴点D在∠BAC的角平分线上，∴∠1=∠2，故选A．
【举一反三1】嘉嘉要找到不等边三角形三边距离相等的点，依据选项中的尺规作图的痕迹，可用直尺成功找到此点的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：到三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，选项C满足条件．
【举一反三2】如图，在中，D到和距离相等，，，则度数为 ．

【答案】
【解析】解：∵在中，D到和距离相等，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【举一反三3】如图，点在内，且到三边的距离相等，若，则 ．
【答案】
【解析】解：在中，，
∵点O在内，且到三边的距离相等，
∴平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
解得．
【举一反三4】已知：如图，于点，于点，和交于点，，．求证：点在的平分线上．
【答案】证明：∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
又∵，，
∴点在的平分线上．
【题型3】角平分线性质与判定的综合
【典型例题】如图所示，在△ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，AQ=PQ，PR=PS．下面三个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP．正确的是（　　）
A.①和② B.②和③ C.①和③ D.全对
【答案】A
【解析】解：连接AP，∵PR=PS，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，∴AP是∠BAC的平分线，∠1=∠2， ∴△APR≌△APS， ∴AS=AR，又AQ=PQ，∴∠2=∠3，又∠1=∠2， ∴∠1=∠3， ∴QP∥AR，BC只是过点P，没有办法证明△BRP≌△CSP，③不成立．故选A．
【举一反三1】如图，△ABC中，∠B=90°，两直角边AB=7，BC=24，AC=25，三角形内有一点P到各边的距离相等，分别交AB、BC、AC为E、F、G，则这个距离是（　　）
A.1 B.3 C.4 D.5
【答案】B
【解析】解：连接AP，BP，CP设PE=PF=PG=x，∵AB=7，BC=24，∴AC=25，再根据直角三角形的面积，S△ABC=×AB×CB=84，S△ABC=AB×x+AC×x+BC×x=（AB+BC+AC） x=×56x=28x，∴28x=84，解得x=3，故选B．
【举一反三2】如图所示，在Rt△ABC中，AD是斜边上的高，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点F、E，EG⊥BC于G，下列结论正确的是（　　）
A.∠C=∠ABC B.BA=BG C.AE=CE D.AF=FD
【答案】B
【解析】解：∵∠BAC=90°，AD是斜边上的高，AD是∠ABC的平分线，∴AE=EG，在Rt△ABE和Rt△GBE中，，∴Rt△ABE≌Rt△GBE（HL），∴BA=BG．故选B．
【举一反三3】如图，若BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF=__________．
【答案】150°
【解析】解：∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，∴AD是∠BAC的平分线，∵∠BAC=40°， ∴∠CAD=∠BAC=20°，∴∠DGF=∠CAD+∠ADG=20°+130°=150°.故答案为150°．
【举一反三4】如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P．
（1）判断AP能否平分∠BAC？请说明理由．
（2）由此题你得到的结论是_____________________________．
【答案】解：（1）AP能平分∠BAC；理由如下：
如图，过点P作PQ⊥BC、PK⊥AB、PL⊥AC；
∵△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，
∴PK＝PQ，PL＝PQ，
∴PK＝PL，
∴P在∠BAC的平分线上，
∴AP平分∠BAC；
（2）结论：三角形的三条内角平分线相交于一点．
故答案为：三角形的三条内角平分线相交于一点．
【题型4】三角形内角平分线与外角平分线的综合
【典型例题】如图，在中，，，点是外角平分线上的一点，连接，，若， ，则下列关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：如图，在的延长线上取，连接，
平分，
，
在和中
，
，
在中，，
，
，
，，， ，
．
【举一反三1】如图，，，的平分线和的平分线相交于点D，过D点作于E．若，则（　　）
A.2 B.3 C.3.5 D.4
【答案】B
【解析】解：如图，连接，过点D作于K，于J．
∵的平分线和的平分线相交于点D，
∴，
∵，，，
∴，
解得．
【举一反三2】如图，已知平分的外角，为上一点，，过点作于点，若，，则线段的长为（ ）
A.6 B.5 C.4 D.5.5
【答案】A
【解析】解：过点D作于点G，如图，
∵是的平分线，，，
∴．
在和中，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
【举一反三3】如图，在的外角的平分线上任取一点P，作于E，于F，则 ．
【答案】
【解析】解：∵平分，，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【举一反三4】如图，若的平分线与外角的平分线相交于点P，连接，若，则 ．
【答案】
【解析】解：如图，延长，作，
设，
平分，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
．
【举一反三5】如图，△ABC，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，过点D作DE⊥BC于E．
（1）如图1，若∠BAC＝68°，求∠BDC的度数．
（2）如图2，连AD，求证：AD平分∠CAM．
（3）如图3，若△ABC周长为20，求BE的长．
【答案】（1）解：∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，
∴∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠DCN，
∵∠BAC＝68°，
∴∠ACN﹣∠ABC＝∠BAC＝68°，
∴∠DCN﹣∠CBD＝∠BAC＝×68°＝34°，
∵∠BDC＝∠DCN﹣∠CBD，
∴∠BDC＝34°；
（2）证明：如图2，过点P作DP⊥AB于P，DQ⊥AC于Q，
∵DE⊥BC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴DP＝DE，DQ＝DE，
∴DP＝DQ，
∴AD平分∠CAM；
（3）解：如图2，由（2）知：DP＝DQ，
在Rt△ADQ和Rt△ADP中，
，
∴Rt△ADQ≌Rt△ADP（HL），
∴AP＝AQ，
同理得：BP＝BE，CQ＝CE，
∵△ABC的周长＝AB+BC+AC＝20，
∴AB+BC+AP+CE＝20，
∵AB+AP＝BC+CE，
∴BC+CE＝10，
即BE＝10．
【举一反三6】如图，，分别是△ABC的一个内角及一个外角的平分线，，垂足为点Q，连接．
(1)若，求的度数；
(2)设，，，求线段的长度（用含，，的式子表示）．
【答案】（1）如图，过点作，，垂足分别为，．
平分，平分，，
，，
，
平分．
，
（2）平分，
．
，，
．
，
，
，
同理可得，，
，，
【题型5】与尺规作图相关的角平分线性质与判定
【典型例题】如图，用直尺和圆规作在∠AOB内确定射线OH，点P是射线OH上一点，过点P分别作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F，若PE＝3，则PF的长为（　　）
A.1.5 B.3 C.4 D.5
【答案】B
【解析】解：由作图可知，OH平分∠AOB，
∵PE⊥OB，PF⊥OA，
∴PF＝PE＝3，
故选：B．
【举一反三1】如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，若，，，则的面积是（ ）
A.5 B.8 C.12 D.15
【答案】B
【解析】解：如图，过D作于H，
由作图痕迹知，平分，
∵，，，
∴，
∵，，
∴
．
【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，适当的长为半径画弧，分别交轴，于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线，交轴于点．已知点的坐标是，则的面积为 ．
【答案】24
【解析】解：如图，过点作于点．
点的坐标是，
．
由作图可知是的平分线，
．
．
【举一反三3】如图，以的顶点A为圆心，以长为半径画弧，交边的延长线于点D．分别以点B、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线，交于点F，连接，若，则的度数是 ．
【答案】．
【解析】解：由题可知，是的平分线，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
【举一反三4】下面是小明设计的“作角的平分线”的尺规作图的过程．
已知：如图1，．求作：射线，使它平分．
作法：如图2，
①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；
②分别以点为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧交于点；
③作射线．所以射线就是所求作的射线．
根据小明设计的尺规作图的过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（画在图2中，保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：连接．
在和中，
∴（ ），
∴ （全等三角形的 相等），
即射线平分（角平分线定义）．
【答案】（1）解：根据材料作法进行作图如图．
（2）证明：如图，连接
在和中，
∴，
∴（全等三角形的对应角相等），
即射线平分（角平分线定义）．
【题型6】角平分线性质与判定的实际应用
【典型例题】如图，有一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在(　　)
A.△ABC三条边的垂直平分线的交点上
B.△ABC三条角平分线的交点上
C.△ABC三条高所在直线的交点上
D.△ABC三条中线的交点上
【答案】B
【解析】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭的位置应选在△ABC三条角平分线的交点上．
【举一反三1】青山村计划在一块周长为的三角形闲置土地上挖一口水井，使得水井到土地边沿的距离相等，已知这块土地的面积是，那么这口水井到土地边沿的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：三角形闲置土地如图所示，

由题意，设点P到，，的距离为h，
∵，
∴，
又∵的周长为，即，
∴，
∴，
即这口水井到土地边沿的距离是．
【举一反三2】小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　）
A.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D.以上均不正确
【答案】A
【解析】解：如图所示：过两把直尺的交点C作CE⊥AO，CF⊥BO，∵两把完全相同的长方形直尺，∴CE=CF，∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选A．
【举一反三3】如图，l1，l2，l3三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，则可供选择的地方有________处．
【答案】4
【解析】解：如图所示，这个超市可以在△ABC三条角平分线的交点P1处及任意两外角的角平分线的交点P2，P3，P4处，共4个地方．
【举一反三4】如图，两两相交的三条公路中央有一深水湖泊，要在陆地建一个加油站P到三条公路距离相等，这样的位置有 处．

【答案】三
【解析】解：如图所示，，即为所求的点．

【举一反三5】如图，要在区建一个电子商品批发市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处，这个电子商品批发市场应建于何处（请在图上标出它的位置，保留作图痕迹，比例尺为）．
【答案】解：依题意，，
在射线上截取，使得，如图点为所求．14.3角的平分线
【知识点1】角平分线的性质 1
【知识点2】作图—基本作图 2
【题型1】角平分线的性质 2
【题型2】角平分线的判定 4
【题型3】角平分线性质与判定的综合 5
【题型4】三角形内角平分线与外角平分线的综合 6
【题型5】与尺规作图相关的角平分线性质与判定 8
【题型6】角平分线性质与判定的实际应用 10
【知识点1】角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD=CE
1.（2024秋 安庆期末）如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，若∠BAC=70°，则∠BOC的度数为（　　） A．70°B．120°C．125°D．130°
【知识点2】作图—基本作图 基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线． 1.（2025春 香坊区期末）画出△ABC的BC边上的高，下列画法正确的是（　　） A．B．C．D．
【题型1】角平分线的性质
【典型例题】如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，下列结论中错误的是（　　）
A.PC=PD B.OC=OD C.∠CPO=∠DPO D.OC=PC
【举一反三1】如图，已知 的周长是，分别平分和，于点，且，的面积是（ ）
A.42 B.21 C.84 D.28
【举一反三2】如图，在△ABC中，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AD为∠BAC的平分线，△ABC的面积是28cm，AB＝20cm，AC＝8cm，DF＝　 　cm．
【举一反三3】如图1，在△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上一点，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F.
(1)求证：点D到PE和PF的距离相等；
(2)如图2，若点P在AD的延长线上，其他条件不变，试猜想(1)中的结论还成立吗？请证明你的猜想．
【举一反三4】如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E，若PE=3，求两平行线AD与BC间的距离.
【题型2】角平分线的判定
【典型例题】如图，DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，并且DE=DC，则下列结论中正确的是（　　）
A.∠1=∠2 B.DE=DF C.BD=FD D.AB=AC
【举一反三1】嘉嘉要找到不等边三角形三边距离相等的点，依据选项中的尺规作图的痕迹，可用直尺成功找到此点的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在中，D到和距离相等，，，则度数为 ．

【举一反三3】如图，点在内，且到三边的距离相等，若，则 ．
【举一反三4】已知：如图，于点，于点，和交于点，，．求证：点在的平分线上．
【题型3】角平分线性质与判定的综合
【典型例题】如图所示，在△ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，AQ=PQ，PR=PS．下面三个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP．正确的是（　　）
A.①和② B.②和③ C.①和③ D.全对
【举一反三1】如图，△ABC中，∠B=90°，两直角边AB=7，BC=24，AC=25，三角形内有一点P到各边的距离相等，分别交AB、BC、AC为E、F、G，则这个距离是（　　）
A.1 B.3 C.4 D.5
【举一反三2】如图所示，在Rt△ABC中，AD是斜边上的高，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点F、E，EG⊥BC于G，下列结论正确的是（　　）
A.∠C=∠ABC B.BA=BG C.AE=CE D.AF=FD
【举一反三3】如图，若BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF=__________．
【举一反三4】如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P．
（1）判断AP能否平分∠BAC？请说明理由．
（2）由此题你得到的结论是_____________________________．
【题型4】三角形内角平分线与外角平分线的综合
【典型例题】如图，在中，，，点是外角平分线上的一点，连接，，若， ，则下列关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，，，的平分线和的平分线相交于点D，过D点作于E．若，则（　　）
A.2 B.3 C.3.5 D.4
【举一反三2】如图，已知平分的外角，为上一点，，过点作于点，若，，则线段的长为（ ）
A.6 B.5 C.4 D.5.5
【举一反三3】如图，在的外角的平分线上任取一点P，作于E，于F，则 ．
【举一反三4】如图，若的平分线与外角的平分线相交于点P，连接，若，则 ．
【举一反三5】如图，△ABC，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，过点D作DE⊥BC于E．
（1）如图1，若∠BAC＝68°，求∠BDC的度数．
（2）如图2，连AD，求证：AD平分∠CAM．
（3）如图3，若△ABC周长为20，求BE的长．
【举一反三6】如图，，分别是△ABC的一个内角及一个外角的平分线，，垂足为点Q，连接．
(1)若，求的度数；
(2)设，，，求线段的长度（用含，，的式子表示）．
【题型5】与尺规作图相关的角平分线性质与判定
【典型例题】如图，用直尺和圆规作在∠AOB内确定射线OH，点P是射线OH上一点，过点P分别作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F，若PE＝3，则PF的长为（　　）
A.1.5 B.3 C.4 D.5
【举一反三1】如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，若，，，则的面积是（ ）
A.5 B.8 C.12 D.15
【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，适当的长为半径画弧，分别交轴，于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线，交轴于点．已知点的坐标是，则的面积为 ．
【举一反三3】如图，以的顶点A为圆心，以长为半径画弧，交边的延长线于点D．分别以点B、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线，交于点F，连接，若，则的度数是 ．
【举一反三4】下面是小明设计的“作角的平分线”的尺规作图的过程．
已知：如图1，．求作：射线，使它平分．
作法：如图2，
①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；
②分别以点为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧交于点；
③作射线．所以射线就是所求作的射线．
根据小明设计的尺规作图的过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（画在图2中，保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：连接．
在和中，
∴（ ），
∴ （全等三角形的 相等），
即射线平分（角平分线定义）．
【题型6】角平分线性质与判定的实际应用
【典型例题】如图，有一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在(　　)
A.△ABC三条边的垂直平分线的交点上
B.△ABC三条角平分线的交点上
C.△ABC三条高所在直线的交点上
D.△ABC三条中线的交点上
【举一反三1】青山村计划在一块周长为的三角形闲置土地上挖一口水井，使得水井到土地边沿的距离相等，已知这块土地的面积是，那么这口水井到土地边沿的距离是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　）
A.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D.以上均不正确
【举一反三3】如图，l1，l2，l3三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，则可供选择的地方有________处．
【举一反三4】如图，两两相交的三条公路中央有一深水湖泊，要在陆地建一个加油站P到三条公路距离相等，这样的位置有 处．

【举一反三5】如图，要在区建一个电子商品批发市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处，这个电子商品批发市场应建于何处（请在图上标出它的位置，保留作图痕迹，比例尺为）．

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