资源简介

15.3等腰三角形
【知识点1】等腰三角形的性质 2
【知识点2】等腰三角形的判定 3
【知识点3】等腰三角形的判定与性质 4
【知识点4】等边三角形的性质 5
【知识点5】等边三角形的判定 7
【知识点6】等边三角形的判定与性质 8
【知识点7】直角三角形的性质 9
【知识点8】含30度角的直角三角形 11
【知识点9】直角三角形斜边上的中线 12
【题型1】等腰三角形的概念 14
【题型2】等腰三角形性质与判定 16
【题型3】等边三角形的性质 19
【题型4】等边三角形的判定 21
【题型5】等边三角形的性质和判定 24
【题型6】含30°角的直角三角形的性质 27
【题型7】等腰直角三角形的性质与判定 30
【题型8】两腰相等 34
【题型9】等边对等角 37
【题型10】三线合一 40
【题型11】等腰三角形性质与折叠 43
【题型12】等腰三角形的性质与尺规作图 47
【题型13】等腰三角形性质的实际应用 50
【题型14】用定义判定等腰三角形 53
【题型15】用定义判定格点中的等腰三角形 56
【题型16】等角对等边 58
【题型17】用等角对等边求边长、周长或面积 61
【题型18】尺规作图中的等角对等边 63
【题型19】坐标轴上的点与已知点组成等腰三角形的个数 68
【知识点1】等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 1.（2025春 江岸区校级月考）如图，在△ABC中，AC=BC，点D和点E分别在AB和AC上，且DE=AE．连接DE，过点A作DE的平行线MN，若∠C=40°，则∠BAN的度数为（　　） A．40°B．45°C．55°D．70°
【答案】D 【分析】根据等腰三角形和平行线的性质即可得到结论． 【解答】解：∵AC=CB，∠C=40°，
∴∠BAC=∠B=×（180°-40°）=70°，
∵DE=AE，
∴∠ADE=∠BAC=70°，
∵MN∥DE，
∴∠BAN=∠ADE=70°．
故选：D． 2.（2025 城关区校级模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD=（　　） A．60°B．45°C．40°D．30°
【答案】B 【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC=∠ACB，再求出∠CBD，然后根据∠ABD=∠ABC-∠CBD计算即可得解． 【解答】解：∵AB=AC，∠A=30°，
∴∠ABC=∠ACB=（180°-∠A）=（180°-30°）=75°，
∵以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，
∴BC=BD，
∴∠CBD=180°-2∠ACB=180°-2×75°=30°，
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=75°-30°=45°．
故选：B． 【知识点2】等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用． 1.（2024 湖北一模）如图，坐标平面内一点A（3，-2），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（　　）
A．2B．3C．4D．1
【答案】C 【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①OA为等腰三角形底边；②OA为等腰三角形一条腰． 【解答】解：如图：①OA为等腰三角形底边，符合条件的动点P有一个；
②OA为等腰三角形一条腰，符合条件的动点P有三个．
综上所述，符合条件的点P的个数共4个．
故选：C． 【知识点3】等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 1.（2023秋 沧州月考）如图，上午8时，一条船从海岛A出发，以20海里/时的速度向北航行，10时到达海岛B处，分别从A、B两海岛望灯塔C，测得∠NAC=35°，∠NBC=70°，则从海岛B到灯塔C的距离为（　　） A．25海里B．30海里C．35海里D．40海里
【答案】D 【分析】先根据题意求出AB=40海里，由∠NAC=35°，∠NBC=70°，可得∠C=∠NAC，即可证得BC=AB，则可得从海岛B到灯塔C的距离． 【解答】解：由题意得：AB=20×（10-8）=40（海里），
∵∠NAC=35°，∠NBC=70°，
∴∠C=∠NBC-∠NAC=35°，
∴∠C=∠NAC，
∴BC=AB=40海里．
故选：D． 【知识点4】等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 1.（2024秋 南岸区校级月考）如图，直线a∥b,等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠1=50°，则∠2的度数为（　　） A．90°B．80°C．70°D．60°
【答案】C 【分析】根据直线a∥b,可得∠3=∠1=40°，根据等边三角形的性质可得∠A=60°，根据∠2=180°-∠A-∠3求解即可． 【解答】解：如图，
∵直线a∥b,
∴∠3=∠1=50°，
在等边△ABC中，∠A=60°，
∴∠2=180°-∠A-∠3=180°-60°-50°=70°，
故选：C． 2.（2024春 陆丰市校级月考）已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s,当点P到达点B时，P，Q两点停止，当t为（　　）时，△PBQ是直角三角形． A．1sB．2sC．3sD．1s或2s
【答案】D 【分析】根据题意，△PBQ是直角三角形分两种情况，一是∠BQP=90°，二是∠BPQ=90°，分别求解即可． 【解答】解：依题得AP=t cm,BQ=t cm,
∵△ABC是边长3cm的等边三角形，
∴AB=BC=3cm,∠B=60°，
∴BP=（3-t）cm,
当∠BQP=90°时，
BP=2BQ，即3-t=2t得t=1，
当∠BPQ=90°时，
BQ=2BP，即t=2（3-t）得t=2，
故当t=1或t=2时，△PBQ是直角三角形．
故选：D． 【知识点5】等边三角形的判定 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 1.（2024秋 淮安期末）三角形的三边长a,b,c满足（a-b）4+（b-c）2+|c-a|=0，那么这个三角形一定是（　　） A．直角三角形B．等边三角形C．等腰非等边三角形D．钝角三角形
【答案】B 【分析】利用偶次方及绝对值的非负性可得出a-b=0，b-c=0，c-a=0，进而可得出a=b=c,再结合a,b,c是三角形的三边长，即可得出这个三角形是等边三角形． 【解答】解：∵（a-b）4+（b-c）2+|c-a|=0，
∴a-b=0，b-c=0，c-a=0，
∴a=b=c.
又∵a,b,c是三角形的三边长，
∴这个三角形是等边三角形．
故选：B． 2.（2024秋 尚志市期末）若△ABC的三条边长分别是a、b、c,且（a-b）2+|b-c|=0，则这个三角形是（　　） A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】B 【分析】利用非负数的性质得到a-b=0且b-c=0，即a=b=c,然后根据等边三角形的判定方法进行判断． 【解答】解：∵（a-b）2+|b-c|=0，
∴a-b=0且b-c=0，
∴a=b=c,
∴△ABC为等边三角形．
故选：B． 【知识点6】等边三角形的判定与性质 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 1.（2024 广州）将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B=90°时，如图1，测得AC=2，当∠B=60°时，如图2，AC=（　　） A．B．2C．D．2
【答案】A 【分析】图1中根据勾股定理即可求得正方形的边长，图2根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可求得． 【解答】解：如图1，
∵AB=BC=CD=DA，∠B=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
连接AC，则AB2+BC2=AC2，
∴AB=BC===，
如图2，∠B=60°，连接AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=BC=，
故选：A． 【知识点7】直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 1.（2024秋 龙港区期中）下列条件中：①∠A-∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=2：3：5，③∠A=90°-∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理，直角三角形的定义解答． 【解答】解：①∵∠A-∠B=∠C，
∴∠A=∠C+∠B
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形，①选项正确；
②∵∠A：∠B：∠C=2：3：5，∠A+∠B+∠C=180°，
∴，
∴△ABC是直角三角形，②选项正确；
③∠A=90°-∠B，∠A+∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形，③选项正确；
④∠A=∠B=∠C，∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ABC不是直角三角形．
故选：C． 2.（2024春 中山区期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=34°，则∠C的度数为（　　） A．44°B．46°C．56°D．146°
【答案】C 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，即可得出∠C的度数． 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=34°，
∴∠C=90°-∠A=90°-34°=56°；
故选：C． 【知识点8】含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 1.（2023秋 潮南区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB+BC=12cm,则AB等于（　　） A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm
【答案】C 【分析】根据直角三角形的性质，易知：AB=2BC；联立AB+BC=12cm,即可求得AB、BC的长． 【解答】解：Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°；
∴AB=2BC；
∴AB+BC=3BC=12cm,即BC=4cm,AB=2BC=8cm.
故选：C． 【知识点9】直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形． 1.（2025春 荔湾区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，AB=20，则CD的长是（　　） A．4B．6C．8D．10
【答案】D 【分析】直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，由此即可计算． 【解答】解：∵∠ACB=90°，点D是AB的中点，
∴CD=AB，
∵AB=20，
∴CD=10．
故选：D． 2.（2024秋 嘉定区校级期中）如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，联结PM、PN、MN、以下是甲、乙两位同学得到的研究结果：
（甲）当M为AC中点时，△ABC为等边三角形；
（乙）△PMN为等边三角形．
对于甲、乙两位同学的结论，下列判断正确的是（　　） A．甲正确乙错误B．甲错误乙正确C．甲、乙皆正确D．甲、乙皆错误
【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质求出AB=BC，再根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可判断甲；
先根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABM=∠ACN=30°，再根据三角形的内角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BPN+∠CPM=120°，从而得到∠MPN=60°，又由①得PM=PN，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判断乙． 【解答】解：当M为AC中点时，
∵BM⊥AC于点M，
∴BM垂直平分AC，
∴AB=BC，
∵∠A=60°，
∴△ABC为等边三角形，
故甲正确，符合题意；
∵∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，
∴∠ABM=∠ACN=90°-60°=30°，
在△ABC中，∠BCN+∠CBM=180°-60°-30°×2=60°，
∵点P是BC的中点，BM⊥AC，CN⊥AB，
∴PM=PN=BC=PB=PC，
∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，
∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°，
∴∠MPN=60°，
∴△PMN是等边三角形，
故乙正确，符合题意；
故选：C．
【题型1】等腰三角形的概念
【典型例题】如图，△CDF中，FC=FD，则图中等腰△CDF的顶角外角是（ ）
A.∠C B.∠D C.∠DFN D.∠CFD
【答案】C
【解析】解：在等腰三角形，两腰的夹角叫等腰三角形的顶角，所以在等腰△ABC中，它的顶角是∠CFD，这个角的外角是∠DFN.
所以选C.
【举一反三1】如图，AB=AD，AC=BC=CD，则BD图中等腰三角形（ ）的底边.
A.△ABC B.△ADC C.△ABD D.△ABD和△CBD
【答案】D
【解析】解：在等腰三角形，相等的两边叫做它的腰，第三边叫它的底边，所以在等腰△ABD中，AB=AD，所以线段AB和AD是腰，则第三边BD是底边；在等腰△CBD中，BC=DC，所以线段BC和DC是腰，则第三边BD是底边.
所以选D.
【举一反三2】如图，△CDF中，FC=FD，则图中等腰△CDF的顶角外角是（ ）
A.∠C B.∠D C.∠DFN D.∠CFD
【答案】C
【解析】解：在等腰三角形，两腰的夹角叫等腰三角形的顶角，所以在等腰△ABC中，它的顶角是∠CFD，这个角的外角是∠DFN.
所以选C.
【举一反三3】如图，△ABC中，AB=AC，AC⊥BD于E，则图中等腰△ABC腰上的高是线段（ ）
A.BE B.BD C.AE D.CE
【答案】A
【解析】解：在等腰三角形，由底边的端点向腰所作的垂线段叫等腰三角形腰上的高，所以在等腰△ABC中，腰上的高是线段BE.
所以选A.
【举一反三4】如图，AB=BC=CD=DE=EF，则四个等腰中最大的顶角是 ，最小的顶角是 .
【答案】∠ABC；∠DEF
【解析】解：从图中可以看出，从左到右的四个等腰三角形中，最左边等腰△ABC的顶角∠ABC最大，最右边的等腰△DEB的顶角∠DEF最小.
故答案为∠ABC；∠DEF.
【举一反三5】如图，在同一直线上有五个点，分别是点C，点，点，点，点，并且BC=，，，，图中四个等腰中，最大的底角最小的底角分别 和 （分别写一个）；最大的顶角和最小的顶角分别是 和 .
【答案】∠（或∠C）和∠（或∠），∠和∠B
【解析】解：在等腰三角形中，腰与底边的夹角叫底角，两腰的夹角叫顶角.
从图中可以看出，随着等腰三角形的顶角的变大，它的底角越来越小.
∴四个等腰三角形中，最大的底角是原等腰△BC中的两个底角，
而最小的底角是等腰△中的两个底角
而最大的顶角就是等腰△中的顶角∠，最小的顶角是等腰△BC中∠B.
故答案为：∠（或∠C）和∠（或∠），∠和∠B.
【举一反三6】如图，AB=BC=CD=DE=EF，则四个等腰中最大的顶角是 ，最小的顶角是 .
【答案】∠ABC；∠DEF
【解析】解：从图中可以看出，从左到右的四个等腰三角形中，最左边等腰△ABC的顶角∠ABC最大，最右边的等腰△DEB的顶角∠DEF最小.
故答案为∠ABC；∠DEF.
【题型2】等腰三角形性质与判定
【典型例题】如图，把两个全等的含30°角的直角三角板，按如图所示的方式拼在一起，其中等腰三角形有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】D
【解析】解：根据题意△ABE，△ACD都是等腰三角形，又由已知∠ACE=∠ADB=60°，∴∠DAE=∠CAB=30°，已知∠B=∠E=30°，∴得等腰三角形：△ACB，△ADE，所以等腰三角形4个．故选D．
【举一反三1】如图，△ABC中，∠B＝∠C，AD是∠BAC的角平分线，下列结论中不正确的是（　　）
A.AB＝AC B.AD⊥BC C.BD＝CD D.AD＝BC
【答案】D
【解析】解：∵∠B＝∠C，AD是∠BAC的角平分线，
∴AB＝AC，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，
故A、B、C正确，不符合题意；
∵AD与BC不一定相等，
∴D不正确，符合题意；
故选：D．
【举一反三2】如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出一种情形）：______．
【答案】①③（②③写一组即可）
【解析】解：由①③条件可判定△ABC是等腰三角形．证明：∵∠EBO=∠DCO，∠EOB=∠DOC，（对顶角相等）BE=CD，∴△EBO≌△DCO，∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴△ABC是等腰三角形．
【举一反三3】如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D在AB上，连接CD．作∠CDE＝30°，DE交AC于点E．当DE∥BC时，求证：△ACD为直角三角形．
【答案】证明：∵△ABC中，AC＝BC，
∴，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝30°，
又∵∠CDE＝30°，
∴∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝30°+30°＝60°，
∴∠ACD＝180°﹣∠A﹣∠ADC＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴△ACD是直角三角形．
【举一反三4】如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，点M、N分别在BC所在的直线上，且AB=AC，BM=CN，试判断△AMN的形状，并说明理由．
【答案】解：△AMN是等腰三角形，理由如下，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.
∵∠ABC+∠ABM=180°，∠ACB+∠ACN=180°，∴∠ABM=∠ACN．在△AMB和△ANC中，AB=AC，∠ABM=∠CAN，BM=CN∴△AMB≌△ANC（SAS），∴AM=AN，∴△AMN是等腰三角形．
【题型3】等边三角形的性质
【典型例题】如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，E为AB上一点，连接DE，有AD＝AE，则∠ADE等于（　　）
A.55° B.60° C.75° D.80°
【答案】C
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°．
∵AD是等边三角形ABC的中线，
∴．
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴．
故选：C．
【举一反三1】如图，已知等边△AEB和等边△BDC在线段AC同侧，则下面错误的是（　　）
A.△ABD≌△EBC B.△NBC≌△MBD C.DM=DC D.∠ABD=∠EBC
【答案】C
【解析】解：A.可以利用SAS验证，正确；
B.可以利用AAS验证，正确；
C.可证∠MBN=60°，若DM=DC=DB，则△DMB为等边三角形，即∠BDM=60°，∵∠EAB=∠DBC，∴AE∥BD．∴∠BDM=∠EAD=60°．与已知不符，错误；
D.可由∠ABE，∠DBC同加一个∠DBE得到，正确．所以错误的是第三个．故选C．
【举一反三2】如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为（　　）
A.25° B.60° C.85° D.95°
【答案】D
【解析】解：∠ADB=∠DBC+∠C=35°+60°=95°．故选D．
【举一反三3】如图，等边△ABC周长是12，AD是∠BAC的平分线，则BD=　 　．
【答案】2
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，AD是∠BAC的平分线，∴AB=BC=CA，BD=CD，∵等边△ABC周长是12，∴BC=4，∴BD=2．故答案为2．
【举一反三4】下列图案是由同样的等边三角形按一定规律拼接而成，依此规律，第5个图案中的三角形与第1个图案中的三角形能够全等的共有　 　个．
【答案】25
【解析】解：第2个中有4个全等的小等边三角形，即有22个全等的小等边三角形，第3个中有9个全等的小等边三角形，即有32个全等的小等边三角形，则第4个中应有42个全等的小等边三角形，第5个中应有52个全等的小等边三角形，所以第5个图案中的全等的小等边三角形的个数为25个．故答案为25．
【举一反三5】如图，在等边△ABC中，点D，E分別在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF丄DE，交BC的延长线于点F．求∠F的度数．
【答案】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°.
【题型4】等边三角形的判定
【典型例题】下列推理错误的是（　　）
A.在△ABC中，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC为等边三角形
B.在△ABC中，∵AB=AC，且∠B=∠C，∴△ABC为等边三角形
C.在△ABC中，∵∠A=60°，∠B=60°，∴△ABC为等边三角形
D.在△ABC中，∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC为等边三角形
【答案】B
【解析】解：A.三角形的三个内角都相等，根据三角形内角和定理，那么三个内角的度数都是60°，因此三角形ABC是等边三角形；
B.AB=AC，那么∠B=∠C，但是无法证明AB=AC=BC，因此三角形ABC是等腰三角形，而不一定是等边三角形；
C.三角形中有两个角是60°，那么另外的一个一定是60°，三内角相等那么此三角形一定是等边三角形；
D.AB=AC，那么∠B=∠C=60°，那么三角形的另一个内角也一定是60°，因此此三角形一定是等边三角形．故选B．
【举一反三1】下列条件中，不能得到等边三角形的是（　　）
A.有两个内角是60°的三角形
B.三边都相等的三角形
C.有一个角是60°的等腰三角形
D.有两个外角相等的等腰三角形
【答案】D
【解析】解：根据等边三角形的定义可知：满足三边相等、有一内角为60°且两边相等或有两个内角为60°中任意一个条件的三角形都是等边三角形．故选D．
【举一反三2】△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC是等边三角形；②属于轴对称图形，且有一个角为60°的三角形是等边三角形；③有三条对称轴的三角形是等边三角形；④有两个角是60°的三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】D
【解析】解：①三边相等的三角形是等边三角形，正确；②属于轴对称图形，且有一个角为60°的三角形是等边三角形，正确；③有三条对称轴的三角形是等边三角形，正确；④有两个角是60°的三角形是等边三角形，正确；则正确的有4个．故选D．
【举一反三3】如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，B两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则△AOC的形状为　 　．
【答案】等边三角形．
【解析】解：∵以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，B两点，
∴OA＝OC，
∵以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，
∴AC＝AO，
∴OC＝AC＝OA，
∴△AOC的形状是等边三角形，
故答案为：等边三角形．
【举一反三4】已知：如图，CD平分∠ACB，AE∥DC，AE交BC的延长线于点E，且∠ACE＝60°．求证：△ACE是等边三角形．
【答案】证明：∵∠ACE＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ACE＝120°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝60°，
∵AE∥DC，
∴∠CAE＝∠ACD＝60°，∠E＝∠BCD＝60°，
∴∠CAE＝∠E＝∠ACE＝60°，
∴△ACE是等边三角形．
【举一反三5】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB，交CD于E，交BC于F，若AF＝BF，求证：△CEF是等边三角形．
【答案】证明：如图，
∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠CAB＝2∠1＝2∠2，
∵AF＝BF，
∴∠2＝∠B，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠CAB＝90°，即∠B+2∠1＝∠B+2∠2＝90°，
∴∠B＝∠1＝∠2＝30°，
∵∠4是△ABF的外角，
∴∠4＝∠2+∠B＝60°，
∵CD是AB边上的高，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠3＝60°，
∵∠5＝∠3，
∴∠4＝∠5＝60°，
∴△CEF是等边三角形．
【题型5】等边三角形的性质和判定
【典型例题】如图，D，E，F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形状是（　　）
A.等边三角形
B.腰和底边不相等的等腰三角形
C.直角三角形
D.不等边三角形
【答案】A
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF，∴AF=BD=CE，又∵∠A=∠B=∠C=60°，∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），∴DF=ED=EF，∴△DEF是一个等边三角形故选A．
【举一反三1】如图，点D是BC的中点，点E是AC的中点，点F是AB的中点．如果AB=BC=AC，那么与BD（BD除外）相等的线段共有（　　）
A.6条 B.5条 C.4条 D.3条
【答案】B
【解析】解：∵AB=BC=AC，且点D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，∴AF=BF=AE=EC=CD=BD，∴与BD（BD除外）相等的线段共有5条，故选B．
【举一反三2】如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动的时间为t s，当t＝　 　时，△BPQ为等边三角形．
【答案】2s．
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，且边长为6cm，
∴AB＝6cm，∠B＝60°，
依题意得：AP＝t cm，BQ＝2t cm，
∴PB＝AB﹣AP＝（6﹣t）cm，
∵∠B＝60°，
∴当PB＝BQ时，△BPQ为等边三角形，
即6﹣t＝2t，
解得：t＝2，
∴当t＝2s时，△BPQ为等边三角形．
故答案为：2s．
【举一反三3】已知：如图所示，△ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1.5cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t s．
（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？
（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？
【答案】解：（1）由题意可知AP＝2t，BQ＝1.5t，则BP＝AB﹣AP＝6﹣2t，
当△PBQ为等边三角形时，
则有BP＝BQ，即6﹣2t＝1.5t，
解得，
即当时，△PBQ为等边三角形；
（2）当∠BQP＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BPQ＝30°，
∴在Rt△PBQ中，BP＝2BQ，
即6﹣2t＝3t，
解得；
当∠BPQ＝90°时，
同理可得BQ＝2BP，
即1.5t＝2（6﹣2t），
解得，
综上可知当t为或时，△PBQ为直角三角形．
【题型6】含30°角的直角三角形的性质
【典型例题】如图，在△ABC中，，∠B＝45°，∠ACB＝60°，AD⊥BC于D，∠ACD的平分线交AD于E，则BD的长为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：∵AD⊥BC，∠B＝45°，∠ACB＝60°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝45°，∠CAD＝90°﹣∠ACB＝30°，
∴AD＝BD，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠DCE＝∠ACE＝∠ACB＝30°，
∴∠CAD＝∠ACE＝30°，
∴AE＝CE，
在Rt△CDE中，DE＝，∠DCE＝30°，
∴CE＝2DE＝，
∴AE＝CE＝，
∴AD＝AE+DE＝，
在Rt△ABD中，BD＝AD＝，
故选：B．
【举一反三1】如图，在等边△ABC中，AD是它的角平分线，DE⊥AB于E，若AC=8，则BE=（　　）
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】C
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，AD是它的角平分线，∴BD=BC=8=4，∠B=60°．∵DE⊥AB于E，∴∠BDE=30°，∴BE=BD=2．故选C．
【举一反三2】如图，△ABC是边长为6的等边三角形，DE⊥BC于E，EF⊥AC于F，FD⊥AB于D，则AD=　 　．
【答案】2
【解析】解：由△ABC是等边三角形得，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°又∵DE⊥BC于E，EF⊥AC于F，FD⊥AB于D，∴∠EDF=∠EFD=∠DEF=60°，∴△DEF为等边三角形，∴△ADF≌△DEB≌△EFC，∴AD=BE=CF，∵FD⊥AB，∠AFD=30°，∴AD==AC-，∴AD=6-，解得：AD=2．故答案为：2．
【举一反三3】如图，CD是等边△ABC的中线，DE⊥AC于点E．若CD的长度为6cm，则点D到BC的距离为 　 　cm．
【答案】3．
【解析】解：过点D作DF⊥BC，垂足为F，
∵CD是等边△ABC的中线，
∴CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝30°，
∵CD＝6cm，
∴DF＝3cm，
∴点D到BC的距离为3cm，
故答案为：3．
【举一反三4】如图所示，在△ABC中，AB=AC,D为BC边上的点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F，∠BAC=120°.求证：DE+DF=BC.
【答案】证明：∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=12 (180°-120°)=30°.
又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°.在Rt△BDE中，∵∠B=30°,∴DE=BD.
同理，在Rt△CDF中，DF=CD.∴DE+DF=BD+CD= (BD+CD)=BC.
【举一反三5】如图，已知港口A东偏南10°方向有一处小岛B，一艘货轮从港口A沿南偏东40°航线出发，行驶70海里到达C处，此时观测小岛B在北偏东60°方向．
（1）求此时货轮到小岛B的距离．
（2）在小岛周围36海里范围内是暗礁区，此时轮船向正东方向航行有没有触礁危险？请作出判断并说明理由．
【答案】解：（1）由题意知∠BAC＝90°﹣10°﹣40°＝40°，∠ACB＝40°+60°＝100°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝40°，
∴∠ABC＝∠BAC，
∴BC＝AC＝70海里，即此时货轮到小岛B的距离为70海里；
（2）如图，作BD⊥CD于点D，
在Rt△BCD中，∵∠BCD＝30°、BC＝70海里，
∴BD＝BC＝35（海里），
∵35＜36，
∴轮船向正东方向航行有触礁危险．
【题型7】等腰直角三角形的性质与判定
【典型例题】如图，将等腰直角三角板放在两条平行线上，若∠1＝25°，则∠2等于（　　）
A.20° B.22.5° C.25° D.45°
【答案】A
【解析】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠2，
∵∠1+∠ABC＝45°，
∴∠1+∠2＝45°，
∵∠1＝25°，
∴∠2＝20°，
故选：A．
【举一反三1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点A在直线l1上．若∠1＝10°，l1∥l2，则∠2的度数为（　　）
A.25° B.35° C.45° D.55°
【答案】B
【解析】解：∵l1∥l2，
∴∠2＝∠CAD，
∵Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝45°，
∵∠1＝10°，
∴∠2＝45°﹣10°＝35°．
故选：B．
【举一反三2】如图，四个等腰直角三角形拼成一个正方形，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【解析】阴影部分的面积为：
故答案为：
【举一反三3】如图，△ABC中，∠ABC＝45°，D是BC上一点，BD＝3，以AD为边作等腰直角△ADE，当E恰好落在边AC上时，连接BE，则S△BDE＝　　．
【答案】．
【解析】解：如图，作AF⊥AB交BC 于F，连接EF，
∴∠BAD+∠DAF＝∠FAE+∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠FAE，
∵∠ABC＝45°，AF⊥AB，
∴AB＝AF，∠ABC＝AFB＝45°，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AD＝AE，
∴△ABD≌△AFE（SAS），
∴EF＝BD＝3，∠AFE＝∠ABC＝45°，
∴∠BFE＝90°，
∴．
故答案为：．
【举一反三4】在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若三角形的各顶点都在方格的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的三角形称为格点三角形．
(1)请在图甲中画一个格点三角形，使是一个等腰直角三角形．
(2)请在图乙中仅用无刻度的直尺，画出的平分线（保留作图痕迹）．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，射线即为所求．
【举一反三5】如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，点D是BC边上的一点D，连接AD，AD＝BD，求∠CAD的度数．
【答案】解：∵∠B＝45°，∠C＝30°
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝105°，
∵AD＝BD，
∴∠BAD＝∠B＝45°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝105°﹣45°＝60°．
【题型8】两腰相等
【典型例题】若等腰三角形有两条边的长度为2和5，则此等腰三角形的周长为（　　）
A.9 B.12 C.9或12 D.10
【答案】B
【解析】解：①当5为底时，其它两边都为2，∵2+2＜5，∴不能构成三角形，故舍去，当5为腰时，其它两边为2和5，5、5、2可以构成三角形，周长为12．故选B．
【举一反三1】已知a，b是等腰三角形的两边长，且满足，则此三角形的周长为（　　）
A.9 B.12 C.15 D.12或15
【答案】C
【解析】解：∵，，
∴a﹣3＝0，6﹣b＝0，
解得：a＝3，b＝6，
分两种情况：
当腰为3，底边长为6时，
∵3+3＝6，
∴不能组成三角形；
当腰为6，底边长为3时，
∴这个三角形的周长＝6+6+3＝15；
综上所述：此三角形的周长为15，
故选：C．
【举一反三2】如图，在△ABC中，AB=AC=6，三角形面积为27，点O是边BC上任意一点，则点O分别到AB，AC边的距离之和等于（　　）
A.5 B.7.5 C.9 D.10
【答案】C
【解析】解：如图：过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，连接AO，
∵在△ABC中，AB=AC=6，该三角形的面积为27，
∴S△ABC=S△AOB+S△AOC
=AB×OE+AC×OF
=×AB×(OE+OF)
=27，
解得：OE+OF=9，
即点O分别到AB，AC边的距离之和等于9．
故选：C．
【举一反三3】如下图，△ABC中，AB=AC，D是AC上一点，AD=BD=BC，则图中有________个等腰三角形.
【答案】3
【解析】解：根据定义“有两边相等的三角形叫做等腰三角形”进行判断，图中的等腰三角形有：△ABC，△DAB，△BCD，所以共有3个等腰三角形.
【举一反三4】已知等腰三角形的周长为24，其中两边之差为6，则这个等腰三角形的腰长为 　 　．
【答案】10．
【解析】解：设等腰三角形的腰长为x，
①当腰长比底边长长6时，底边长为（x﹣6），则：
x﹣6+2x＝24，
解得x＝10，
此时三角形的三边长为10，10，4，满足三角形的三边关系．
②当底边长比腰长长6时，底边长为（x+6），
则x+6+2x＝24，
解得x＝6，
此时三角形的三边长为6，6，12，
∵6+6＝12，
∴6，6，12不能组成数形，故不成立；
综上分析可知，这个等腰三角形的腰长为10．
故答案为：10．
【举一反三5】如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AB=BC，且AD把△ABC的周长分成3和4的两部分，求AC边的长．
【答案】解：设AB=BC=2x，
∵AD是△ABC的边BC上的中线，
∴BD=CD=x，
∵AD把△ABC的周长分成3和4的两部分，
∴AB+BD=3或4.
若AB+BD=3，则2x+x=3，解得x=1，
所以，AC=4﹣1=3，
若AB+BD=4，则2x+x=4，解得x=43，
所以，AC=3﹣43=，
综上所述，AC边的长是3或．
【举一反三6】已知，△ABC的三边长为4，7，x．
（1）求x的取值范围；
（2）当△ABC为等腰三角形时，求x的值．
【答案】解：（1）∵△ABC的三边长为4，7，x，
∴7﹣4＜x＜7+4，
∴3＜x＜11；
（2）当腰长为4时，则x＝4，此时符合3＜x＜11；
当腰长为7时，则x＝7，此时符合3＜x＜11；
综上所述，x的值为4或7．
【题型9】等边对等角
【典型例题】如图在等腰△ABC中，其中AB=AC，∠A=40°，P是△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC等于（　　）
A.110° B.120° C.130° D.140°
【答案】A
【解析】解：∵∠A=40°，∴∠ACB+∠ABC=180°﹣40°=140°，又∵∠ABC=∠ACB，∠1=∠2，∴∠PBA=∠PCB，∴∠1+∠ABP=∠PCB+∠2=140°×12=70°，∴∠BPC=180°﹣70°=110°．故选A．
【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则
∠ADB＝（　　）
A.100° B.115° C.130° D.145°
【答案】B
【解析】解：在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠BAC＝130°，
∴∠B＝∠C＝＝25°，
∵DA⊥AC，
∴∠DAC＝90°，
∴∠ADC＝90°﹣25°＝65°，
∴∠ADB＝180°﹣∠ADC＝180°﹣65°＝115°，
故选：B．
【举一反三2】如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点D，若∠BDC＝140°，则∠BAC的大小是 　 　．
【答案】110°．
【解析】解：连接AD，如图所示：
∵直线l1，l2是AB，AC的垂直平分线，
∴DB＝DA，DC＝DA，
∴DB＝DA＝DC，
∴∠DBA＝∠DAB，∠DCA＝∠DAC，∠DBC＝∠DCB，
∵∠BDC+∠DBC+∠DCB＝180°，∠BDC＝140°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC＝180°﹣140°＝40°，
∴∠DBC＝∠DCB＝20°，
∴∠DBA＝∠DBC+∠ABC＝20°+∠ABC，∠DCA＝∠ACB+∠DCB＝∠ACB+20°，
∴∠DAB＝20°+∠ABC，∠DAC＝∠ACB+20°，
∴∠BAC＝∠DAB+∠DAC＝20°+∠ABC+∠ACB+20°＝∠ABC+∠ACB+40°
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，
∴∠BAC＝180°﹣∠BAC+40°，
即2∠BAC＝220°，
∴∠BAC＝110°．
故答案为：110°．
【举一反三3】如图，在△ABC中，∠A＝76°，D为AC边上一点．若BD将△ABC分成了两个等腰三角形，则∠C的度数为 　 　．
【答案】38°或26°或14°．
【解析】解：由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形，
对于△ABD可能有①AB＝BD，此时∠ADB＝∠A＝76°，
∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣76°＝104°，
∴∠C＝（180°﹣104°）＝38°，
②AB＝AD，此时∠ADB＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣76°）＝52°，
∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣52°＝128°，
∴∠C＝×（180°﹣128°）＝26°，
③AD＝BD，此时，∠ADB＝180°﹣2×76°＝28°，
∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣28°＝152°，
∴∠C＝×（180°﹣152°）＝14°，
综上所述，∠C度数可以为38°或26°或14°．
故答案为：38°或26°或14°．
【举一反三4】如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点D，∠B=75°，∠C=25°，求∠FAE的度数．
【答案】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠C=25°，
∵∠B=75°，∠C=25°
∴∠BAC=180°-75°-25°=80°
∵AF平分∠BAC，
∴∠FAC=∠BAC=40°，
∴∠FAE=∠FAC-∠EAC=40°-25°=15°.
【题型10】三线合一
【典型例题】如图，已知等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，下列不正确的是（　　）
A.BD=CD B.∠DAB=∠DAC C.当∠B=60°时，AB=2BD D.高AD是△ABC的对称轴
【答案】D
【解析】解：A.∵等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，故此选项正确；
B.∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠DAB=∠DAC，故此选项正确；
C.∵∠B=60°，∴∠BAD=90°﹣60°=30°，∴AB=2BD，故此选项正确；
D.∵AD⊥BC，∴直线AD是△ABC的对称轴，故D错误．故选D．
【举一反三1】如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（　　）
A.35° B.45° C.55° D.60°
【答案】C
【解析】解：由等腰三角形的三线合一性质可知∠BAC=70°，再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论．
【举一反三2】如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12cm2，
则图中阴影部分的面积为（　　）
A.2cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.8cm2
【答案】C
【解析】解：∵S△ABC=12cm2，∴阴影部分面积=12÷2=6cm2．故选：C．
【举一反三3】如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=36°，则∠BAC的度数为____________．
【答案】72°
【解析】解：∵在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∴∠BAC=2∠BAD=2×36°=72°，故答案为：72°．
【举一反三4】如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为__________．
【答案】55°
【解析】解：AB=AC，D为BC中点，∴AD是∠BAC的平分线，∠B=∠C，
∵∠BAD=35°，∴∠BAC=2∠BAD=70°，∴∠C=（180°﹣70°）=55°．
故答案为：55°．
【举一反三5】数学知识 等腰三角形的“三线合一”性质非常重要．如图①，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，若∠C＝58°，则∠BAD的度数为 　 　；
数学应用 如图②，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，AD、AG分别为△ABC和△AEF的中线，若∠BAF＝110°，∠CAE＝24°，求∠DAG的度数；
拓展 如图③，在△ABC和△ABE中，AB＝AC，AB＝AE，AD、AF分别为△ABC和△ABE的中线，AD与BE交于点O，若∠AOF＝69°，则∠CAE的度数为 　 　．
【答案】解：数学知识 ∵AB＝AC，AD是中线，∠C＝58°，
∴∠B＝∠C＝58°，AD⊥BC，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝32°，
故答案为：32°；
数学应用 ∵AB＝AC，AE＝AF，AD、AG分别为△ABC和△AEF的中线，
∴∠DAC=∠BAC，∠EAG＝∠EAF，
∴∠DAG＝∠DAC+∠CAE+∠EAG＝∠BAC+∠CAE+∠EAF＝∠BAF+∠CAE，
∵∠BAF＝110°，∠CAE＝24°，
∴∠DAG＝55°+12°＝67°；
拓展 ∵AB＝AC，AB＝AE，AD、AF分别为△ABC和△ABE的中线，
∴AF⊥BE，∠BAF＝∠BAE，∠BAD＝∠BAC，
∴∠AOF+∠OAF＝90°，
∵∠AOF＝69°，
∴∠OAF＝21°，
∴∠BAF﹣∠BAD＝∠BAE﹣∠BAC＝21°，
∴∠BAE﹣∠BAC＝42°，
∵∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝42°，
故答案为：42°．
【举一反三6】如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE.求证BD=CE.
【答案】证明：过A作AF⊥BC于F，
∵AB=AC，AF⊥BC于F
∴AF=CF(三线合一)
同理可得DF=EF，
∴BF-DF=CF-EF，即BD=CE.
【题型11】等腰三角形性质与折叠
【典型例题】已知△ABC中，AC=BC，点D，E分别在边AB, BC 上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点Ｂ＇处，DB＇，EB＇分别交AC于点F，G，若∠ADF=80°，则∠EGC的大小为（ 　 ）．

A.60° B.70° C.80° D.90°
【答案】C
【解析】解：由翻折变换的性质得：∠B′＝∠B，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B′，
∵∠A＋∠ADF＋∠AFD＝180°，∠B′＋∠B′GF＋∠B′FG＝180°，∠AFD＝∠B′FG，
∴∠B′GF＝∠ADF＝80°，
∴∠EGC＝∠B′GF＝80°．
故选：C．
【举一反三1】如图，中，，，，,将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段EF的长为（ ）

A. B. C.4 D.
【答案】B
【解析】解：根据折叠性质可知：CD=AC=3，BC==4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠CF，CE⊥AB，
∴∠DCE+∠CF=∠ACE+∠BCF，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECF=45°，
又∵CE⊥AB，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF=CE，
又∵S△ABC=AC BC=AB CE，
∴AC BC=AB CE，
∵，，,
∴，
∴EF.
所以答案为B选项.
【举一反三2】如图，中，，，，,将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段EF的长为（ ）

A. B. C.4 D.
【答案】B
【解析】解：根据折叠性质可知：CD=AC=3，BC==4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠CF，CE⊥AB，
∴∠DCE+∠CF=∠ACE+∠BCF，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECF=45°，
又∵CE⊥AB，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF=CE，
又∵S△ABC=AC BC=AB CE，
∴AC BC=AB CE，
∵，，,
∴，
∴EF.
所以答案为B选项.
【举一反三3】已知△ABC中，AC=BC，点D，E分别在边AB, BC 上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点Ｂ＇处，DB＇，EB＇分别交AC于点F，G，若∠ADF=80°，则∠EGC的大小为（ 　 ）．

A.60° B.70° C.80° D.90°
【答案】C
【解析】解：由翻折变换的性质得：∠B′＝∠B，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B′，
∵∠A＋∠ADF＋∠AFD＝180°，∠B′＋∠B′GF＋∠B′FG＝180°，∠AFD＝∠B′FG，
∴∠B′GF＝∠ADF＝80°，
∴∠EGC＝∠B′GF＝80°．
故选：C．
【题型12】等腰三角形的性质与尺规作图
【典型例题】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=52°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ADC的度数为（　　）
A.142° B.132° C.119° D.109°
【答案】D
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=52°，
∴∠B=38°，
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC=（180°-38°）=71°，
∴∠ACD=90°-71°=19°，
∴∠ADC=180°-∠A-∠ACD=180°-52°-19°=109°，
故选：D．
【举一反三1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=32°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD的度数是（　　）
A.42° B.45° C.40° D.35°
【答案】A
【解析】解：∵AB=AC，∠A=32°，
∴∠ABC=∠ACB=74°，
又∵BC=BD，
∴∠BDC=∠BCD=74°，
∴∠DBC=32°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=74°-32°=42°，
故选：A．
【举一反三2】如图，在△ABC中，∠C=78°，分别以点A、B为圆心，以大于AB
的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线MN交AC于点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，此时射线BP恰好经过点D，则∠A= 度．
【答案】34
【解析】解：在△ABC中，∠C=78°，
∴∠A+∠ABC=180°-78°=102°，
根据作图过程可知：DM是AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，
∵DM是AB的垂直平分线，
∴DB=DA，
∴∠DBA=∠A，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠DBA=∠DBC，
∴∠A=∠DBA=∠DBC，
∴3∠A=102°，
∴∠A=34°．
故答案为：34．
【举一反三3】如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是通过如图的作图痕迹作图而得，DE∥BC，交AC于点E．
（1）求证：DE＝CE．
（2）若∠CDE＝32°，求∠A的度数．
【答案】（1）证明：由作图可知，CD平分∠ACB，
∴∠ECD＝∠DCB，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB，
∴∠ECD＝∠EDC，
∴DE＝CE；
（2）解：∵∠ECD＝∠EDC，
∴∠ECD＝32°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝64°，
∵AB＝AC，
∴∠A＝180°﹣64°﹣64°＝52°．
【举一反三4】尺规作图：经过已知直线上的一点作这条直线的垂线.
【答案】已知：直线AB和AB上一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．
作法：如图，（1）在直线AB上取一点D，使点D与点C不重合，以点C为圆心，CD长为半径作弧，交AB于D，E两点；
（2）分别以点D和点E为圆心，大于DE长为半径作弧，两弧相交于点F；
（3）作直线CF．
则直线CF就是所求作的垂线．
这样作图的依据是：等腰三角形的“三线合一”，两点确定一条直线．
【题型13】等腰三角形性质的实际应用
【典型例题】如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，这就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是（　　）
A.等边对等角 B.等角对等边 C.垂线段最短 D.等腰三角形“三线合一”
【答案】D
【解析】解：∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故选：D．
【举一反三1】在中国古代建筑中，有一种常见的装饰元素叫做“斗拱”．斗拱由多个小木块组成，它们之间通过榫卯结构相互连接，形成了一种独特的美感．如图1，从正面观察斗拱可发现其外轮廓形状类似于一个等腰三角形．如图2，若底角∠B＝50°，则顶角∠A的度数为（　　）
A.50° B.60° C.70° D.80°
【答案】D
【解析】解：∵△ABC是等腰三角形，且底角∠B＝50°，
∴∠C＝∠B＝50°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°×2＝80°，
故选：D．
【举一反三2】玉树地震后，青海省某乡镇中学的同学用下面的方法检测教室的房梁是否水平：如下图，在等腰直角三角尺斜边中点栓一条细绳，细绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果绳子经过三角尺的直角顶点，于是同学们确信放量是水平的，其理由是（　　）
A.等腰三角形两腰等分
B.等腰三角形两底角相等
C.三角形具有稳定性
D.等腰三角形的底边中线和底边上的高重合
【答案】D
【解析】解：∵△ABC是个等腰三角形，∴AC=BC，∵点O是AB的中点，∴AO=BO，∴OC⊥AB．等腰三角形的底边上的中线、底边上的高重合，故选D．
【举一反三3】随着钓鱼成为一种潮流，如图1所示的便携式折叠凳成为热销产品，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图，已知OC＝OD，∠BOD＝100°，则凳腿与地面所成的角∠ODC为（　　）
A.36° B.50° C.54° D.72°
【答案】B
【解析】解：∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵∠BOD＝100°，
∴∠BOD＝∠OCD+∠ODC＝2∠ODC＝100°，
∴∠ODC＝50°，
故选：B．
【举一反三4】如图，五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，为了画出五角星，还需要知道∠AMB的度数，算一算∠AMB等于多少度．
【答案】解：如图，连接MN，则点C、N、M、B在同一直线上，
∵AM=AN，∠A=36°，
∴∠AMN==72°，
∴∠AMB=180°-72°=108°，
答：∠AMB=108°．
【举一反三5】如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC，立柱AD⊥BC，且顶角∠BAC=120°，∠B，∠C，∠BAD，∠CAD各是多少度？
【答案】解：
∵AB=AC且∠BAC=120°，
∴∠B=∠C==30°
∵AD⊥BC，AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=60°．
【题型14】用定义判定等腰三角形
【典型例题】如图所示，在正五边形的对称轴直线l上找点P，使得△PCD、△PDE均为等腰三角形，则满足条件的点P有（　　）
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
【答案】B
【解析】解：∵P点在直线L上，∴此时PC=PD，即△PCD是等腰三角形，分为三种情况：①作DE的垂直平分线，交直线l于一点P，此时PE=PD；②以D为圆心，以DE为半径，交直线l于两点，此时DP=DE；③以E为圆心，以DE为半径，交直线l于两点，此时EP=DE；共1+2+2=5点．故选B．
【举一反三1】如图，在△ABC，BC=BA，点D在AB上，且AC=CD=DB，则图中共（　　）个等腰三角形．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】解：∵BC=BA，∴△BCA是等腰三角形，∵AC=CD，∴△ACD是等腰三角形，∵BD=CD，∴△BDC是等腰三角形．故选C．
【举一反三2】以下列长度的三条线段为边，能组成一个等腰三角形的是（　　）
A.2，4，7 B.5，6，6 C.1，1，2 D.3，4，5
【答案】B
【解析】解：对于选项A，
∵2+4＜7，
∴长度为2，4，7三条线段为边，不能组成三角形，
故选项A不符合题意；
对于选项B，
∴5+6＞6，
∴长度为5，6，6三条线段为边，能组成等腰三角形，
故选B符合题意；
对于选项C，
∵1+1＝2，
∴长度为1，1，2三条线段为边，不能组成三角形，
故选项C不符合题意；
对于选项D，
∵3+4＞5，
∴长度为3，4，5三条线段为边，能组成三角形，但不是等腰三角形，
故选项D不符合题意．
故选：B．
【举一反三3】如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是　 　秒．
【答案】4
【解析】解：设运动的时间为x，
在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，
AP＝20﹣3x，AQ＝2x
即20﹣3x＝2x，
解得x＝4．
故答案为：4．
【举一反三4】如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，点E在边AC上，且BD＝CE，∠BAD＝∠CDE，∠ADE＝∠C．
（1）如图1，求证：△ADE是等腰三角形；
（2）如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠CDE相等的角（∠CDE除外）．
【答案】解：（1）∵∠ADE＝∠C，∠ADB＝180°﹣∠ADE﹣∠CDE，∠DEC＝180°﹣∠CDE﹣∠C，
∴∠ADB＝∠DEC，
在△ADB与△DEC中，
∴△ADB≌△DEC（AAS），
∴AD＝DE，
∴△ADE是等腰三角形；
（2）∵△ADB≌△DEC，
∴∠C＝∠B，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵∠BAD＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠B＝∠C＝∠ADE＝∠CDE，
故图中所有与∠CDE相等的角有∠B，∠C，∠ADE，∠BAD．
【举一反三5】已知：如图所示，AD是△ABC的高，E为AD上一点，且BE=EC，求证：△ABC是等腰三角形．
【答案】解：∵BE=EC，∴△BEC是等腰三角形，
∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC，
∴ED⊥BC，
∴BD=CD，∴线段AD是线段BC的垂直平分线，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
【题型15】用定义判定格点中的等腰三角形
【典型例题】如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，
若△ABC为等腰三角形，且S△ABC=1.5，则满足条件的格点C有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【解析】解：如图：分情况讨论．
①AB为等腰△ABC底边时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个．因为S△ABC=1.5，所以满足条件的格点C只有两个，如图中蓝色的点．故选B．
【举一反三1】如图，在3×3正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】解：以AB为腰的等腰三角形有两个，以AB为底的等腰三角形有一个，如图：
所以符合条件的点C的个数为3个，
故选：C．
【举一反三2】如图所示，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点，已知图中A、B为两格点，请在图中再寻找另一格点C，使△ABC成为等腰三角形．则满足条件的C点的个数为（　　）
A.10个 B.8个 C.6个 D.4个
【答案】B
【解析】解：如图，AB是腰长时，红色的4个点可以作为点C，AB是底边时，黑色的4个点都可以作为点C，所以，满足条件的点C的个数是4+4=8．故选B．
【举一反三3】如图，A，B为4×4方格纸中格点上的两点，若以AB为边，在方格中取一点C（C在格点上），使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数为（　　）
A.9 B.8 C.7 D.6
【答案】B
【解析】解：如图所示，
故选：B．
【题型16】等角对等边
【典型例题】如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：
①△BDF和△CEF都是等腰三角形；
②DE=BD+CE；
③△ADE的周长等于AB与AC的和；
④BF=CF．
其中正确的有（　　）
A.①②③ B.①②③④ C.①② D.①
【答案】A
【解析】解：∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，∴∠FBC=∠DFB，∠FCE=∠FCB，∵∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．∴DF=DB，FE=EC，即有DE=DF+FE=DB+EC，∴△ADE的周长AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC．故选A．
【举一反三1】在△ABC中，已知，∠B=∠C，则（　　）
A.AB=BC B.AB=AC C.BC=AC D.∠A=60°
【答案】B
【解析】解：如图，∵∠B=∠C，∴AB=AC．故选B．
【举一反三2】将两个全等的一个角是30°的直角三角形拼成如图所示的图形，其中两条长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是（　　）
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】B
【解析】解：∵将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上．∴EF∥DG，∠E=∠D=60°，∴∠ENM=∠D=60°，∠MGD=∠E=60°，∴△MEN，△MDG是等腰三角形．∵∠A=∠B=30°，∴MA=MB，∴△ABM是等腰三角形．∴图中等腰三角形有3个．故选：B．
【举一反三3】在△ABC中，∠A=50°，当∠B=　 　时，△ABC是等腰三角形．
【答案】50°或65°或80°
【解析】解：①∠A是顶角，∠B=（180°﹣∠A）÷2=65°；②∠A是底角，∠B=∠A=50°．③∠A是底角，∠A=∠C=50°，则∠B=180°﹣50°×2=80°，∴当∠B的度数为50°或65°或80°时，△ABC是等腰三角形．故答案为：50°或65°或80°．
【举一反三4】如图，直线AB∥CD，若∠1＝60°，∠2＝30°，求证：△FCE是等腰三角形．
【答案】证明：∵AB∥CD，
∴∠DFE＝∠1＝60°，
∵∠DFE＝∠2+∠E，∠DFE＝60°，∠2＝30°，
∴∠2＝∠E，
∴CF＝EF，
∴△FCE是等腰三角形．
【举一反三5】如图，已知OC是∠AOB的平分线，将直尺DEMN如图摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上，DN边与OC交于点P．
（1）猜想△DOP是 　 　三角形．
（2）证明你的猜想，写出解答过程．
【答案】解：（1）△DOP是等腰三角形，
故答案为：等腰；
（2）证明：∵OC平分∠AOB，
∴∠DOP＝∠BOP，
∵DN∥EM，
∴∠DPO＝∠BOP，
∴∠DOP＝∠DPO，
∴OD＝PD，
∴△DOP是等腰三角形．
【题型17】用等角对等边求边长、周长或面积
【典型例题】如图所示，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝4 cm，则CD等于(　　)
A.3 cm B.4 cm C.1.5 cm D.2 cm
【答案】B
【解析】解：∵OC平分∠A0B，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵CD∥OB
∴∠BOC＝∠C，
∴∠AOC＝∠C
∴CD＝OD=4(cm)
故选B.
【举一反三1】如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F，若FG＝2，ED＝5，则BE+DC的值为（　　）
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】C
【解析】解：∵ED∥BC，
∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB，
∵∠GBC＝∠GBE，∠FCB＝∠FCD，
∴∠EGB＝∠EBG，∠DCF＝∠DFC，
∴BE＝EG，CD＝DF，
∵FG＝2，ED＝5，
∴EB+CD＝EG+DF＝EF+FG+FG+DG＝ED+FG＝7，
故选：C．
【举一反三2】如图，上午8时，一条船从海岛A出发，以20nmile/h的速度向正北航行，10时到达海岛B处．从海岛A，B望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，则从海岛B到灯塔C的距离 　 　nmile．
【答案】40．
【解析】解：由题意得：AB＝（10﹣8）×20＝40（海里），
∵∠NBC是△ABC的一个外角，∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，
∴∠ACB＝∠NBC﹣∠NAC＝42°，
∴∠ACB＝∠NAC＝42°，
∴AB＝BC＝40海里，
∴从海岛B到灯塔C的距离40海里，
故答案为：40．
【举一反三3】如图，∠BAC=100°，∠B=40°，∠D=20°，AB=3，则CD=_________.
【答案】3
【解析】解：∠ACB=180°-∠BAC-∠B=40°，∠CAD=∠ACB-∠D=20°，所以∠ACB=∠B=40°，∠CAD=∠D=20°，所以CD=AC，AC=AB，故CD=AB=3.
【举一反三4】如图，已知CE平分∠ACB，且CE⊥DB，∠DAB＝∠DBA，若AC＝18，△CDB的周长为28，求BD的长．
【答案】解：∵CE平分∠ACB且CE⊥DB，
∴∠DCE＝∠BCE，∠CED＝∠CEB，
又∵CE＝CE，
∴△CDE≌△CBE(ASA)，
∴CD＝CB，
∵∠DAB＝∠DBA，
∴AD＝BD，
∴AC＝AD＋CD＝BD＋CD＝18，
又△CBD的周长为28，
∴BC＝28－18＝10，
∴CD＝10，
∴BD＝AD＝18－10＝8.
【题型18】尺规作图中的等角对等边
【典型例题】如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（　　）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】解：如图：①OA为等腰三角形底边，符合条件的动点P有一个；②OA为等腰三角形一条腰，符合条件的动点P有三个．综上所述，符合条件的点P的个数共4个．故选C．
【举一反三1】已知△ABC的三条边长分别为3，5，7，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）
A.5条 B.4条 C.3条 D.2条
【答案】B
【解析】解：如图所示，当AB=AF=3，BA=BD=3，AB=AE=3，BG=AG，都能得到符合题意的等腰三角形．故选B．
【举一反三2】如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（　　）
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
【答案】B
【解析】解：如图，第1个点在CA延长线上，取一点P，使BA=AP；第2个点在CB延长线上，取一点P，使AB=PB；第3个点在AC延长线上，取一点P，使AB=PB；第4个点在BC延长线上，取一点P，使AB=PA；第5个点在BC延长线上，取一点P，使AB=PB；第6个点在AC上，取一点P，使∠PBA=∠PAB；∴符合条件的点P有6个点．故选B．
【举一反三3】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，这样的点P共有　 　个．
【答案】6
【解析】解：如图，①AB的垂直平分线交AC一点P1（PA=PB），交直线BC于点P2；②以A为圆心，AB为半径画圆，交AC有二点P3，P4，交BC有一点P2，（此时AB=AP）；③以B为圆心，BA为半径画圆，交BC有二点P5，P2，交AC有一点P6（此时BP=BA）．故符合条件的点有6个．故答案为6．
【举一反三4】证明：等腰三角形的两底角相等．要求：
（1）用无刻度的直尺和圆规作等腰，使底边，腰；
（2）结合图形，写出已知、求证，并完成证明；
（3）证明过程若需添加辅助线，则辅助线也需用无刻度的直尺和圆规作图．
【答案】解：如图，即为所求作的三角形．
已知：如图，中，．
求证：．
证明：法一：作的平分线，交于点
在和中
．
法二：取的中点为，连接．
在和中
法三：过点作于点
在和中
．
【题型19】坐标轴上的点与已知点组成等腰三角形的个数
【典型例题】如图，在y轴上找一点C，使△ABC是等腰三角形，这样的C点共有（　　）个．
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】A
【解析】解：当AB当底时，则作AB的垂直平分线，交y轴有一交点，当让AB当腰时，则以点A为圆心，AB为半径画圆交y轴有两交点，当以点B为圆心，AB为半径画圆，交y轴有一交点，所以在y轴上找一点C，使△ABC是等腰三角形，这样的C点共有4个；故选A．
【举一反三1】在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，3），在y轴上确定点B，使△AOB为等腰三角形，则符合条件的点B共有（　　）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【答案】B
【解析】解：因为△AOP为等腰三角形，所以可分成三类讨论：①AO=AP（有一个） 此时只要以A为圆心AO长为半径画圆，可知圆与y轴交于O点和另一个点，另一个点就是P； ②AO=OP（有两个） 此时只要以O为圆心AO长为半径画圆，可知圆与y轴交于两个点，这两个点就是P的两种选择（AO=OP=R） ③AP=OP（一个） 作AO的中垂线，与y轴有一个交点，该交点就是点P的最后一种选择．（利用中垂线性质） 综上所述，共有4个．故选B.
【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，点A（2，1），点P在坐标轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　）个．
A.5 B.6 C.8 D.9
【答案】C
【解析】解：如图，以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，OA的垂直平分线与坐标轴的交点有2个综上所述，满足条件的点P有8个．故选C．
【举一反三3】如图，直角坐标系中，点A（﹣2，2）、B（0，1）点P在x轴上，且△PAB是等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　）个．
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】解：如图，点A（﹣2，2）、B（0，1），①以A为圆心，AB为半径画圆，交x轴有二点P1（﹣1，0），P2（﹣3，0），此时（AP=AB）；②以B为圆心，BA为半径画圆，交x轴有二点P3（﹣2，0），（2，0）不能组成△ABP，故舍去，此时（BP=AB）；③AB的垂直平分线交x轴一点P4（PA=PB），此时（AP=BP）；∴符合条件的点有4个．故选D．15.3等腰三角形
【知识点1】等腰三角形的性质 2
【知识点2】等腰三角形的判定 3
【知识点3】等腰三角形的判定与性质 3
【知识点4】等边三角形的性质 4
【知识点5】等边三角形的判定 5
【知识点6】等边三角形的判定与性质 5
【知识点7】直角三角形的性质 6
【知识点8】含30度角的直角三角形 7
【知识点9】直角三角形斜边上的中线 7
【题型1】等腰三角形的概念 8
【题型2】等腰三角形性质与判定 10
【题型3】等边三角形的性质 11
【题型4】等边三角形的判定 12
【题型5】等边三角形的性质和判定 14
【题型6】含30°角的直角三角形的性质 15
【题型7】等腰直角三角形的性质与判定 16
【题型8】两腰相等 18
【题型9】等边对等角 19
【题型10】三线合一 20
【题型11】等腰三角形性质与折叠 22
【题型12】等腰三角形的性质与尺规作图 23
【题型13】等腰三角形性质的实际应用 24
【题型14】用定义判定等腰三角形 26
【题型15】用定义判定格点中的等腰三角形 28
【题型16】等角对等边 29
【题型17】用等角对等边求边长、周长或面积 30
【题型18】尺规作图中的等角对等边 31
【题型19】坐标轴上的点与已知点组成等腰三角形的个数 32
【知识点1】等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 1.（2025春 江岸区校级月考）如图，在△ABC中，AC=BC，点D和点E分别在AB和AC上，且DE=AE．连接DE，过点A作DE的平行线MN，若∠C=40°，则∠BAN的度数为（　　） A．40°B．45°C．55°D．70°
2.（2025 城关区校级模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD=（　　） A．60°B．45°C．40°D．30°
【知识点2】等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用． 1.（2024 湖北一模）如图，坐标平面内一点A（3，-2），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（　　）
A．2B．3C．4D．1
【知识点3】等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 1.（2023秋 沧州月考）如图，上午8时，一条船从海岛A出发，以20海里/时的速度向北航行，10时到达海岛B处，分别从A、B两海岛望灯塔C，测得∠NAC=35°，∠NBC=70°，则从海岛B到灯塔C的距离为（　　） A．25海里B．30海里C．35海里D．40海里
【知识点4】等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 1.（2024秋 南岸区校级月考）如图，直线a∥b,等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠1=50°，则∠2的度数为（　　） A．90°B．80°C．70°D．60°
2.（2024春 陆丰市校级月考）已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s,当点P到达点B时，P，Q两点停止，当t为（　　）时，△PBQ是直角三角形． A．1sB．2sC．3sD．1s或2s
【知识点5】等边三角形的判定 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 1.（2024秋 淮安期末）三角形的三边长a,b,c满足（a-b）4+（b-c）2+|c-a|=0，那么这个三角形一定是（　　） A．直角三角形B．等边三角形C．等腰非等边三角形D．钝角三角形
2.（2024秋 尚志市期末）若△ABC的三条边长分别是a、b、c,且（a-b）2+|b-c|=0，则这个三角形是（　　） A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
【知识点6】等边三角形的判定与性质 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 1.（2024 广州）将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B=90°时，如图1，测得AC=2，当∠B=60°时，如图2，AC=（　　） A．B．2C．D．2
【知识点7】直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 1.（2024秋 龙港区期中）下列条件中：①∠A-∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=2：3：5，③∠A=90°-∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个B．2个C．3个D．4个
2.（2024春 中山区期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=34°，则∠C的度数为（　　） A．44°B．46°C．56°D．146°
【知识点8】含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 1.（2023秋 潮南区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB+BC=12cm,则AB等于（　　） A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm
【知识点9】直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形． 1.（2025春 荔湾区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，AB=20，则CD的长是（　　） A．4B．6C．8D．10
2.（2024秋 嘉定区校级期中）如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，联结PM、PN、MN、以下是甲、乙两位同学得到的研究结果：
（甲）当M为AC中点时，△ABC为等边三角形；
（乙）△PMN为等边三角形．
对于甲、乙两位同学的结论，下列判断正确的是（　　） A．甲正确乙错误B．甲错误乙正确C．甲、乙皆正确D．甲、乙皆错误
【题型1】等腰三角形的概念
【典型例题】如图，△CDF中，FC=FD，则图中等腰△CDF的顶角外角是（ ）
A.∠C B.∠D C.∠DFN D.∠CFD
【举一反三1】如图，AB=AD，AC=BC=CD，则BD图中等腰三角形（ ）的底边.
A.△ABC B.△ADC C.△ABD D.△ABD和△CBD
【举一反三2】如图，△CDF中，FC=FD，则图中等腰△CDF的顶角外角是（ ）
A.∠C B.∠D C.∠DFN D.∠CFD
【举一反三3】如图，△ABC中，AB=AC，AC⊥BD于E，则图中等腰△ABC腰上的高是线段（ ）
A.BE B.BD C.AE D.CE
【举一反三4】如图，AB=BC=CD=DE=EF，则四个等腰中最大的顶角是 ，最小的顶角是 .
【举一反三5】如图，在同一直线上有五个点，分别是点C，点，点，点，点，并且BC=，，，，图中四个等腰中，最大的底角最小的底角分别 和 （分别写一个）；最大的顶角和最小的顶角分别是 和 .
【举一反三6】如图，AB=BC=CD=DE=EF，则四个等腰中最大的顶角是 ，最小的顶角是 .
【题型2】等腰三角形性质与判定
【典型例题】如图，把两个全等的含30°角的直角三角板，按如图所示的方式拼在一起，其中等腰三角形有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三1】如图，△ABC中，∠B＝∠C，AD是∠BAC的角平分线，下列结论中不正确的是（　　）
A.AB＝AC B.AD⊥BC C.BD＝CD D.AD＝BC
【举一反三2】如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出一种情形）：______．
【举一反三3】如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D在AB上，连接CD．作∠CDE＝30°，DE交AC于点E．当DE∥BC时，求证：△ACD为直角三角形．
【举一反三4】如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，点M、N分别在BC所在的直线上，且AB=AC，BM=CN，试判断△AMN的形状，并说明理由．
【题型3】等边三角形的性质
【典型例题】如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，E为AB上一点，连接DE，有AD＝AE，则∠ADE等于（　　）
A.55° B.60° C.75° D.80°
【举一反三1】如图，已知等边△AEB和等边△BDC在线段AC同侧，则下面错误的是（　　）
A.△ABD≌△EBC B.△NBC≌△MBD C.DM=DC D.∠ABD=∠EBC
【举一反三2】如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为（　　）
A.25° B.60° C.85° D.95°
【举一反三3】如图，等边△ABC周长是12，AD是∠BAC的平分线，则BD=　 　．
【举一反三4】下列图案是由同样的等边三角形按一定规律拼接而成，依此规律，第5个图案中的三角形与第1个图案中的三角形能够全等的共有　 　个．
【举一反三5】如图，在等边△ABC中，点D，E分別在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF丄DE，交BC的延长线于点F．求∠F的度数．
【题型4】等边三角形的判定
【典型例题】下列推理错误的是（　　）
A.在△ABC中，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC为等边三角形
B.在△ABC中，∵AB=AC，且∠B=∠C，∴△ABC为等边三角形
C.在△ABC中，∵∠A=60°，∠B=60°，∴△ABC为等边三角形
D.在△ABC中，∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC为等边三角形
【举一反三1】下列条件中，不能得到等边三角形的是（　　）
A.有两个内角是60°的三角形
B.三边都相等的三角形
C.有一个角是60°的等腰三角形
D.有两个外角相等的等腰三角形
【举一反三2】△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC是等边三角形；②属于轴对称图形，且有一个角为60°的三角形是等边三角形；③有三条对称轴的三角形是等边三角形；④有两个角是60°的三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三3】如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，B两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则△AOC的形状为　 　．
【举一反三4】已知：如图，CD平分∠ACB，AE∥DC，AE交BC的延长线于点E，且∠ACE＝60°．求证：△ACE是等边三角形．
【举一反三5】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB，交CD于E，交BC于F，若AF＝BF，求证：△CEF是等边三角形．
【题型5】等边三角形的性质和判定
【典型例题】如图，D，E，F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形状是（　　）
A.等边三角形
B.腰和底边不相等的等腰三角形
C.直角三角形
D.不等边三角形
【举一反三1】如图，点D是BC的中点，点E是AC的中点，点F是AB的中点．如果AB=BC=AC，那么与BD（BD除外）相等的线段共有（　　）
A.6条 B.5条 C.4条 D.3条
【举一反三2】如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动的时间为t s，当t＝　 　时，△BPQ为等边三角形．
【举一反三3】已知：如图所示，△ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1.5cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t s．
（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？
（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？
【题型6】含30°角的直角三角形的性质
【典型例题】如图，在△ABC中，，∠B＝45°，∠ACB＝60°，AD⊥BC于D，∠ACD的平分线交AD于E，则BD的长为（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在等边△ABC中，AD是它的角平分线，DE⊥AB于E，若AC=8，则BE=（　　）
A.4 B.3 C.2 D.1
【举一反三2】如图，△ABC是边长为6的等边三角形，DE⊥BC于E，EF⊥AC于F，FD⊥AB于D，则AD=　 　．
【举一反三3】如图，CD是等边△ABC的中线，DE⊥AC于点E．若CD的长度为6cm，则点D到BC的距离为 　 　cm．
【举一反三4】如图所示，在△ABC中，AB=AC,D为BC边上的点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F，∠BAC=120°.求证：DE+DF=BC.
【举一反三5】如图，已知港口A东偏南10°方向有一处小岛B，一艘货轮从港口A沿南偏东40°航线出发，行驶70海里到达C处，此时观测小岛B在北偏东60°方向．
（1）求此时货轮到小岛B的距离．
（2）在小岛周围36海里范围内是暗礁区，此时轮船向正东方向航行有没有触礁危险？请作出判断并说明理由．
【题型7】等腰直角三角形的性质与判定
【典型例题】如图，将等腰直角三角板放在两条平行线上，若∠1＝25°，则∠2等于（　　）
A.20° B.22.5° C.25° D.45°
【举一反三1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点A在直线l1上．若∠1＝10°，l1∥l2，则∠2的度数为（　　）
A.25° B.35° C.45° D.55°
【举一反三2】如图，四个等腰直角三角形拼成一个正方形，则阴影部分的面积为 ．
【举一反三3】如图，△ABC中，∠ABC＝45°，D是BC上一点，BD＝3，以AD为边作等腰直角△ADE，当E恰好落在边AC上时，连接BE，则S△BDE＝　　．
【举一反三4】在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若三角形的各顶点都在方格的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的三角形称为格点三角形．
(1)请在图甲中画一个格点三角形，使是一个等腰直角三角形．
(2)请在图乙中仅用无刻度的直尺，画出的平分线（保留作图痕迹）．
【举一反三5】如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，点D是BC边上的一点D，连接AD，AD＝BD，求∠CAD的度数．
【题型8】两腰相等
【典型例题】若等腰三角形有两条边的长度为2和5，则此等腰三角形的周长为（　　）
A.9 B.12 C.9或12 D.10
【举一反三1】已知a，b是等腰三角形的两边长，且满足，则此三角形的周长为（　　）
A.9 B.12 C.15 D.12或15
【举一反三2】如图，在△ABC中，AB=AC=6，三角形面积为27，点O是边BC上任意一点，则点O分别到AB，AC边的距离之和等于（　　）
A.5 B.7.5 C.9 D.10
【举一反三3】如下图，△ABC中，AB=AC，D是AC上一点，AD=BD=BC，则图中有________个等腰三角形.
【举一反三4】已知等腰三角形的周长为24，其中两边之差为6，则这个等腰三角形的腰长为 　 　．
【举一反三5】如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AB=BC，且AD把△ABC的周长分成3和4的两部分，求AC边的长．
【举一反三6】已知，△ABC的三边长为4，7，x．
（1）求x的取值范围；
（2）当△ABC为等腰三角形时，求x的值．
【题型9】等边对等角
【典型例题】如图在等腰△ABC中，其中AB=AC，∠A=40°，P是△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC等于（　　）
A.110° B.120° C.130° D.140°
【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则
∠ADB＝（　　）
A.100° B.115° C.130° D.145°
【举一反三2】如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点D，若∠BDC＝140°，则∠BAC的大小是 　 　．
【举一反三3】如图，在△ABC中，∠A＝76°，D为AC边上一点．若BD将△ABC分成了两个等腰三角形，则∠C的度数为 　 　．
【举一反三4】如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点D，∠B=75°，∠C=25°，求∠FAE的度数．
【题型10】三线合一
【典型例题】如图，已知等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，下列不正确的是（　　）
A.BD=CD B.∠DAB=∠DAC C.当∠B=60°时，AB=2BD D.高AD是△ABC的对称轴
【举一反三1】如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（　　）
A.35° B.45° C.55° D.60°
【举一反三2】如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12cm2，
则图中阴影部分的面积为（　　）
A.2cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.8cm2
【举一反三3】如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=36°，则∠BAC的度数为____________．
【举一反三4】如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为__________．
【举一反三5】数学知识 等腰三角形的“三线合一”性质非常重要．如图①，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，若∠C＝58°，则∠BAD的度数为 　 　；
数学应用 如图②，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，AD、AG分别为△ABC和△AEF的中线，若∠BAF＝110°，∠CAE＝24°，求∠DAG的度数；
拓展 如图③，在△ABC和△ABE中，AB＝AC，AB＝AE，AD、AF分别为△ABC和△ABE的中线，AD与BE交于点O，若∠AOF＝69°，则∠CAE的度数为 　 　．
【举一反三6】如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE.求证BD=CE.
【题型11】等腰三角形性质与折叠
【典型例题】已知△ABC中，AC=BC，点D，E分别在边AB, BC 上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点Ｂ＇处，DB＇，EB＇分别交AC于点F，G，若∠ADF=80°，则∠EGC的大小为（ 　 ）．

A.60° B.70° C.80° D.90°
【举一反三1】如图，中，，，，,将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段EF的长为（ ）

A. B. C.4 D.
【举一反三2】如图，中，，，，,将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段EF的长为（ ）

A. B. C.4 D.
【举一反三3】已知△ABC中，AC=BC，点D，E分别在边AB, BC 上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点Ｂ＇处，DB＇，EB＇分别交AC于点F，G，若∠ADF=80°，则∠EGC的大小为（ 　 ）．

A.60° B.70° C.80° D.90°
【题型12】等腰三角形的性质与尺规作图
【典型例题】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=52°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ADC的度数为（　　）
A.142° B.132° C.119° D.109°
【举一反三1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=32°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD的度数是（　　）
A.42° B.45° C.40° D.35°
【举一反三2】如图，在△ABC中，∠C=78°，分别以点A、B为圆心，以大于AB
的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线MN交AC于点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，此时射线BP恰好经过点D，则∠A= 度．
【举一反三3】如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是通过如图的作图痕迹作图而得，DE∥BC，交AC于点E．
（1）求证：DE＝CE．
（2）若∠CDE＝32°，求∠A的度数．
【举一反三4】尺规作图：经过已知直线上的一点作这条直线的垂线.
【题型13】等腰三角形性质的实际应用
【典型例题】如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，这就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是（　　）
A.等边对等角 B.等角对等边 C.垂线段最短 D.等腰三角形“三线合一”
【举一反三1】在中国古代建筑中，有一种常见的装饰元素叫做“斗拱”．斗拱由多个小木块组成，它们之间通过榫卯结构相互连接，形成了一种独特的美感．如图1，从正面观察斗拱可发现其外轮廓形状类似于一个等腰三角形．如图2，若底角∠B＝50°，则顶角∠A的度数为（　　）
A.50° B.60° C.70° D.80°
【举一反三2】玉树地震后，青海省某乡镇中学的同学用下面的方法检测教室的房梁是否水平：如下图，在等腰直角三角尺斜边中点栓一条细绳，细绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果绳子经过三角尺的直角顶点，于是同学们确信放量是水平的，其理由是（　　）
A.等腰三角形两腰等分
B.等腰三角形两底角相等
C.三角形具有稳定性
D.等腰三角形的底边中线和底边上的高重合
【举一反三3】随着钓鱼成为一种潮流，如图1所示的便携式折叠凳成为热销产品，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图，已知OC＝OD，∠BOD＝100°，则凳腿与地面所成的角∠ODC为（　　）
A.36° B.50° C.54° D.72°
【举一反三4】如图，五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，为了画出五角星，还需要知道∠AMB的度数，算一算∠AMB等于多少度．
【举一反三5】如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC，立柱AD⊥BC，且顶角∠BAC=120°，∠B，∠C，∠BAD，∠CAD各是多少度？
【题型14】用定义判定等腰三角形
【典型例题】如图所示，在正五边形的对称轴直线l上找点P，使得△PCD、△PDE均为等腰三角形，则满足条件的点P有（　　）
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
【举一反三1】如图，在△ABC，BC=BA，点D在AB上，且AC=CD=DB，则图中共（　　）个等腰三角形．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三2】以下列长度的三条线段为边，能组成一个等腰三角形的是（　　）
A.2，4，7 B.5，6，6 C.1，1，2 D.3，4，5
【举一反三3】如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是　 　秒．
【举一反三4】如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，点E在边AC上，且BD＝CE，∠BAD＝∠CDE，∠ADE＝∠C．
（1）如图1，求证：△ADE是等腰三角形；
（2）如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠CDE相等的角（∠CDE除外）．
【举一反三5】已知：如图所示，AD是△ABC的高，E为AD上一点，且BE=EC，求证：△ABC是等腰三角形．
【题型15】用定义判定格点中的等腰三角形
【典型例题】如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，
若△ABC为等腰三角形，且S△ABC=1.5，则满足条件的格点C有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三1】如图，在3×3正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三2】如图所示，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点，已知图中A、B为两格点，请在图中再寻找另一格点C，使△ABC成为等腰三角形．则满足条件的C点的个数为（　　）
A.10个 B.8个 C.6个 D.4个
【举一反三3】如图，A，B为4×4方格纸中格点上的两点，若以AB为边，在方格中取一点C（C在格点上），使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数为（　　）
A.9 B.8 C.7 D.6
【题型16】等角对等边
【典型例题】如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：
①△BDF和△CEF都是等腰三角形；
②DE=BD+CE；
③△ADE的周长等于AB与AC的和；
④BF=CF．
其中正确的有（　　）
A.①②③ B.①②③④ C.①② D.①
【举一反三1】在△ABC中，已知，∠B=∠C，则（　　）
A.AB=BC B.AB=AC C.BC=AC D.∠A=60°
【举一反三2】将两个全等的一个角是30°的直角三角形拼成如图所示的图形，其中两条长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是（　　）
A.4 B.3 C.2 D.1
【举一反三3】在△ABC中，∠A=50°，当∠B=　 　时，△ABC是等腰三角形．
【举一反三4】如图，直线AB∥CD，若∠1＝60°，∠2＝30°，求证：△FCE是等腰三角形．
【举一反三5】如图，已知OC是∠AOB的平分线，将直尺DEMN如图摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上，DN边与OC交于点P．
（1）猜想△DOP是 　 　三角形．
（2）证明你的猜想，写出解答过程．
【题型17】用等角对等边求边长、周长或面积
【典型例题】如图所示，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝4 cm，则CD等于(　　)
A.3 cm B.4 cm C.1.5 cm D.2 cm
【举一反三1】如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F，若FG＝2，ED＝5，则BE+DC的值为（　　）
A.5 B.6 C.7 D.8
【举一反三2】如图，上午8时，一条船从海岛A出发，以20nmile/h的速度向正北航行，10时到达海岛B处．从海岛A，B望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，则从海岛B到灯塔C的距离 　 　nmile．
【举一反三3】如图，∠BAC=100°，∠B=40°，∠D=20°，AB=3，则CD=_________.
【举一反三4】如图，已知CE平分∠ACB，且CE⊥DB，∠DAB＝∠DBA，若AC＝18，△CDB的周长为28，求BD的长．
【题型18】尺规作图中的等角对等边
【典型例题】如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（　　）
A.2 B.3 C.4 D.5
【举一反三1】已知△ABC的三条边长分别为3，5，7，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）
A.5条 B.4条 C.3条 D.2条
【举一反三2】如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（　　）
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
【举一反三3】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，这样的点P共有　 　个．
【举一反三4】证明：等腰三角形的两底角相等．要求：
（1）用无刻度的直尺和圆规作等腰，使底边，腰；
（2）结合图形，写出已知、求证，并完成证明；
（3）证明过程若需添加辅助线，则辅助线也需用无刻度的直尺和圆规作图．
【题型19】坐标轴上的点与已知点组成等腰三角形的个数
【典型例题】如图，在y轴上找一点C，使△ABC是等腰三角形，这样的C点共有（　　）个．
A.4 B.3 C.2 D.1
【举一反三1】在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，3），在y轴上确定点B，使△AOB为等腰三角形，则符合条件的点B共有（　　）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，点A（2，1），点P在坐标轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　）个．
A.5 B.6 C.8 D.9
【举一反三3】如图，直角坐标系中，点A（﹣2，2）、B（0，1）点P在x轴上，且△PAB是等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　）个．
A.1 B.2 C.3 D.4

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