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13.3三角形的内角与外角
【知识点1】三角形内角和定理 1
【知识点2】三角形的外角性质 2
【知识点3】直角三角形的性质 3
【题型1】三角形内角和定理的证明 3
【题型2】利用三角形内角和定理求角度 5
【题型3】与平行线有关的三角形内角和问题 6
【题型4】折叠中的三角形内角和问题 7
【题型5】三角形内角和定理的应用 8
【题型6】直角三角形定义 10
【题型7】直角三角形的两个锐角互余 12
【题型8】三角形外角的概念 13
【题型9】利用三角形外角的性质、内角和定理进行计算 15
【题型10】三角形外角性质、内角和定理与三角板的综合 15
【题型11】三角形外角性质、内角和定理的实际应用与跨学科应用 17
【题型12】与角平分线、高有关的三角形内角和问题 19
【知识点1】三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 1.（2025春 绥棱县期末）一个三角形，3个内角度数之比是2：5：2，这个三角形是（　　）三角形． A．锐角B．钝角C．直角D．等边
【知识点2】三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 1.（2024秋 庄浪县期末）如图是某支架的侧面示意图，经测量，∠BAC=48°，∠BCE=117°，则图中∠CBD的度数为（　　） A．69°B．89°C．111°D．165°
2.（2025春 新华区校级期中）如图，平面上直线a,b分别过线段OK两端点（数据如图），则a,b相交所成的锐角是（　　） A．60°B．50°C．40°D．30°
【知识点3】直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 1.（2024秋 东丽区期中）在Rt△ABC中，已知∠ACB是直角，∠B=55°，则∠A的度数是（　　） A．55°B．45°C．35°D．25°
【题型1】三角形内角和定理的证明
【典型例题】下面是一道习题，需要填写符号处的内容，下列填写正确的是（ ）
A.★处填2 B.■处填1 C.①内错角相等，两直线平行 D.②平角定义
【举一反三1】 “三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称： ．

【举一反三3】在研究三角形内角和等于180°的证明方法时，小虎给出了下列证法．
证明：在中，作（如图），
∵（已知）
∴（直角定义）
∴，（直角三角形两锐角互余）
∴（等式的性质）
∴．
请你判断上述小虎同学的证法是否正确，如果不正确，写出一种你认为较简单的证明三角形内角和定理的方法．
【题型2】利用三角形内角和定理求角度
【典型例题】适合条件∠A＝∠B＝2∠C的三角形是（　　）
A.锐角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形
【举一反三1】一个三角形三个内角的度数之比为2：2：5，这个三角形是（　　）
A.直角三角形 B.全等三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形
【举一反三2】一个三角形的三个内角度数之比为4：5：9，则这个三角形是（　　）
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形
【举一反三3】三角形三个角的度数比是2：4：3，最大的角是　 　°，最小的角是　 　°
【举一反三4】如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠A＝∠ABE，∠CDB＝∠CBD，BE与CD交于点F．
若∠A＝40°，∠ACB＝70°，求∠BFD的度数.
【题型3】与平行线有关的三角形内角和问题
【典型例题】如图，直线，，，则等于（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在中，，直线经过点A且，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，平分，平分，于点C，，则下列说法：①；②；③；④.其中正确的是 ．（填序号）
【举一反三3】如图，已知，，，则 ．
【举一反三4】已知：如图，，直线分别交于点，的平分线与的平分线相交于点，求的度数．
【举一反三5】如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC边上，EF⊥AB，垂足为F，∠1＝∠2．
（1）试说明DG∥BC；
（2）若∠B＝34°，∠ACD＝46°，求∠3的度数．
【题型4】折叠中的三角形内角和问题
【典型例题】如图，将一个直角三角形纸片，沿线段折叠，使点落在处，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【举一反三1】如图，将长方形纸片沿对角线折叠，点C的对应点为点E，交于点O．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】一次数学活动中，小明对纸带沿AB折叠，量得，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【举一反三3】如图，有一张三角形纸片，已知，将沿折叠，得到，，与相交于点F，当时，则的度数 ．
【举一反三4】如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，点D是BC边上的一点，将△ABD沿AD折叠，点B恰好落在BC边上的点E处．
（1）填空：∠ADE＝　 　度；
（2）求∠EAC的大小．
【举一反三5】如图，等边三角形纸片中，点在边（不包含端点，）上运动，连接，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点落在直线上的点处，得到折痕．

(1)若，求的度数；
(2)试问：的大小是否会随着点的运动而变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．
【题型5】三角形内角和定理的应用
【典型例题】潍坊红木嵌银漆器是山东潍坊特有的传统手工艺品，最早可追溯到战国时代在一些铜器上镶嵌金银丝花纹；如图为某嵌银厂制作的传统工艺红木嵌银靠背马扎，其侧面图如图所示，，与地面平行，，则（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，C岛在A岛的北偏东50°方向上，在B岛的北偏西60°方向上，A岛在B岛北偏西80°方向上，则从C岛看A、B两岛的视角∠ACB为（　　）
A.80° B.95° C.110° D.140°
【举一反三2】中国古代在公元前2世纪就制成了世界上最早的潜望镜，西汉初年成书的《淮南万毕术》中有这样的记载：“取大镜高悬，恳水盆于其下，则见四邻矣”，如图①，其工作方法主要利用了光的反射原理．如图②，呈水平状态，为法线，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，已知小岛B在基地A的南偏东方向上，货轮C在基地A的南偏西方向，货轮C在小岛B的北偏西方向上， °．
【举一反三4】如图，一艘船停靠在码头处，测得海中灯塔在北偏东方向上，它从处出发向正东航行，到达处停止，且．
(1)在处测得灯塔应在什么方向；
(2)求从灯塔观测两处的视角的度数．
【题型6】直角三角形定义
【典型例题】在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②＝，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝2∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【举一反三1】如图，在△ABC中，∠A＝30°，点D是AC上一点，将△ABD沿线段BD翻折，使得点A落在A'处，若∠A'BC＝28°，∠CBD＝16°，则△ABC是（　　）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
【举一反三2】如图，在△ABC中，∠B＝∠ADE=56°，AD⊥BC，DE∥AC．则∠BAC的度数为（　　）
A.90° B.46° C.44° D.34°
【举一反三3】在△ABC中，，∠C＝3∠B+10°，∠B＝20°，则△ABC为 三角形．
【举一反三4】下列四个条件：
①在△ABC 中，∠A，∠B都是锐角；
②△ABC 的三个内角的度数之比是1:2:3；
③在△ABC 中，∠A-∠B=∠C；
④△ABC的三个内角的度数之比是3:4:5.
其中能确定△ABC是直角三角形的是 (只填序号).
【举一反三5】如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B．
求证：CD是△ABC的高．
【举一反三6】如图，AB∥CD，∠BAE=∠DCE=45°.求证：△AEC为直角三角形.
填空：
∵AB∥CD，
∴∠1+45°+∠2+45°= .
∴∠1+∠2= .
∴∠E= .
∴△ACE为直角三角形.
【题型7】直角三角形的两个锐角互余
【典型例题】若直角三角形一个锐角为65°，则该直角三角形的另一个锐角是（　　）
A.25° B.35° C.45° D.65°
【举一反三1】如图是一副三角板，用它们可以画出一些角．在15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°的角中，能画出的角有（　　）
A.11个 B.10个 C.9个 D.8个
【举一反三2】Cobb角是指脊柱弯曲的最大角度，是脊柱侧弯严重程度的参考标准之一，小华在一次体检中测得∠O＝45°，则图中与∠O（∠O除外）相等的角的个数为（　　）
A.2个 B.4个 C.5个 D.6个
【举一反三3】在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝∠B，则∠B＝　 　°．
【举一反三4】如图1，直线PQ⊥直线MN，垂足为O，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，斜边AB与直线PQ交于点C．
（1）如图1，若∠A=∠AOC=30°，求∠B的度数；
（2）如图2，延长AB交直线MN于点E，过O作OD⊥AB，若∠DOB=∠EOB，∠AEO=α，求∠AOE的度数（用含α的代数式表示）．
【题型8】三角形外角的概念
【典型例题】如图，在中，平分于点P，交的延长线于点M．则下列各角中，是三角形外角的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，边的延长线上一点，则外角的度数是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，点D，B，C在同一条直线上，图中的外角是（ ）
A. B.和∠AED C. D.
【举一反三3】一副三角尺叠在一起如图所示放置，最小锐角的顶点恰好放在等腰直角三角尺的斜边上，与交于点，则的外角是 ．
【举一反三4】如图，的外角是 ．
【举一反三5】如图，AD是△ABC的角平分线，B、C、E共线，则∠β、∠γ分别是哪个三角形的外角？
【举一反三6】认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角探究片段，完成所提出的问题．
（1）探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，试分析∠A与∠BOC有什么数量关系？并说明理由；
（2）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？并说明理由．
（3）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）
【题型9】利用三角形外角的性质、内角和定理进行计算
【典型例题】如图，与的大小关系是（ ）
A. B. C. D.不能确定
【举一反三1】如图，已知，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在中，点D在边上，平分，，若，，则 ．
【举一反三3】如图，在中，，，过点作边上的高，交的延长线于点．
(1)求的度数；
(2)若平分，交于点，求的度数．
【举一反三4】如图，AB∥CD，∠A=40°，∠D=45°.求∠1和∠2的度数.
【题型10】三角形外角性质、内角和定理与三角板的综合
【典型例题】将一副三角板按如图方式摆放，使三角板的一个顶点重合，∠ACB＝45°，∠DCE＝60°，CP和CQ分别是∠ACB 和∠DCE 的平分线．若∠ACE＝75°，下列结论错误的是（　　）
A.∠ACQ＝105° B.∠BCE＝120° C.∠BCD＝180° D.∠PCQ＝135°
【举一反三1】如图，一副三角板拼成如图所示图形，则∠BAC的度数为（　　）
A.75° B.60° C.105° D.120°
【举一反三2】一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，一直角三角形的斜边与另一直角三角形的直角边在同一直线上，则的大小为 ．
【举一反三3】已知，小明将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中△ABC是一个角（∠B）等于45°的直角三角板，△CDE是一个角（∠E）等于30°的直角三角板，小明摆放时确保点A在线段DE上，AB与CE相交于点F，且∠AFE＝105°．
（1）判断BC，ED的位置关系，并说明理由；
（2）直接写出图中等于75°的角．
【举一反三4】在综合与实践课上，老师让同学们以“一个等腰直角三角形直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线，，且，等腰直角三角尺中，为直角．
(1)[操作发现]
如图（1），当三角尺的顶点在直线上时，若，则______°；
(2)[探索证明]
如图（2），当三角尺的顶点在直线上时，请写出与间的数量关系，并说明理由；
(3)[拓展应用]
如图（3），把三角尺的顶点放在直线上且保持不动，旋转三角尺，点始终在直线（为直线上一点）的上方，若存在，求射线与直线所夹锐角的度数．
【题型11】三角形外角性质、内角和定理的实际应用与跨学科应用
【典型例题】如图①是路边一路灯的实物图，图②为其平面示意图，已知，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】一台起重机的工作简图如图所示，前后两次吊杆位置和与吊绳的夹角分别是和，则吊杆前后两次的夹角（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交 于点P，点F为焦点．若，则 .（用含x，y的代数式表示）
【举一反三3】如图，是一条透明纸带的两边，，P是纸带上一点，连接．
(1)如图1，若，请判断和的位置关系： __________；
(2)如图2，求证：.
【举一反三4】实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．

(1)如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且则______， ______；
(2)在（1）中，若，则______；若，则______；
(3)由（1）、（2），请你猜想：当两平面镜a，b的夹角______时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a，b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，请说明理由．
【题型12】与角平分线、高有关的三角形内角和问题
【典型例题】如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点，，，则和的度数是（ ）
A.和 B.和 C.和 D.和
【举一反三1】如图，在中，，，是的角平分线，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在中，是角平分线，是中线，是高，如果，，那么（ ）
A.10° B.15° C.20° D.25°
【举一反三3】如图所示，O为的三条角平分线的交点，，则 度．
【举一反三4】如图，在中，是角平分线，则的度数是 ．
【举一反三5】（1）如图①，已知，在中，，分别是的高和角平分线．若，，求的度数；
（2）如图②，已知平分，交边于点，过点作，若，．请解答下列问题：
①_____（用含的代数式表示）；
②求的度数．
【举一反三6】如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是边AC上的高.求∠DBC的度数.13.3三角形的内角与外角
【知识点1】三角形内角和定理 1
【知识点2】三角形的外角性质 2
【知识点3】直角三角形的性质 4
【题型1】三角形内角和定理的证明 5
【题型2】利用三角形内角和定理求角度 7
【题型3】与平行线有关的三角形内角和问题 9
【题型4】折叠中的三角形内角和问题 13
【题型5】三角形内角和定理的应用 16
【题型6】直角三角形定义 20
【题型7】直角三角形的两个锐角互余 24
【题型8】三角形外角的概念 26
【题型9】利用三角形外角的性质、内角和定理进行计算 31
【题型10】三角形外角性质、内角和定理与三角板的综合 33
【题型11】三角形外角性质、内角和定理的实际应用与跨学科应用 37
【题型12】与角平分线、高有关的三角形内角和问题 41
【知识点1】三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 1.（2025春 绥棱县期末）一个三角形，3个内角度数之比是2：5：2，这个三角形是（　　）三角形． A．锐角B．钝角C．直角D．等边
【答案】B 【分析】已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为k,根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数，从而确定三角形的形状． 【解答】解：三个内角的度数分别为2k,5k,2k.
则2k+5k+2k=180°，
解得k=20°，
∴2k=40°，5k=100°，2k=40°，
∴这个三角形是钝角三角形．
故选：B． 【知识点2】三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 1.（2024秋 庄浪县期末）如图是某支架的侧面示意图，经测量，∠BAC=48°，∠BCE=117°，则图中∠CBD的度数为（　　） A．69°B．89°C．111°D．165°
【答案】C 【分析】由三角形外角的性质得出∠BCE=∠BAC+∠ABC，即可求出∠ABC的度数，再根据邻补角互补即可求出
∠CBD的度数． 【解答】解：∵∠BCE是△ABC的外角，
∴∠BCE=∠BAC+∠ABC，
∵∠BAC=48°，∠BCE=117°，
∴∠ABC=117°-48°=69°，
∴∠CBD=180°-∠ABC=180°-69°=111°，
故选：C． 2.（2025春 新华区校级期中）如图，平面上直线a,b分别过线段OK两端点（数据如图），则a,b相交所成的锐角是（　　） A．60°B．50°C．40°D．30°
【答案】D 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可． 【解答】解：如图，设直线a、b相交于点A，
由三角形外角的性质可得∠OAK=100°-70°=30°，
即a,b相交所成的锐角是30°，
故选：D． 【知识点3】直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 1.（2024秋 东丽区期中）在Rt△ABC中，已知∠ACB是直角，∠B=55°，则∠A的度数是（　　） A．55°B．45°C．35°D．25°
【答案】C 【分析】根据直角三角形的两锐角互余求出即可． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠B+∠A=90°，
∵∠B=55°，
∴∠A=35°，
故选：C．
【题型1】三角形内角和定理的证明
【典型例题】下面是一道习题，需要填写符号处的内容，下列填写正确的是（ ）
A.★处填2 B.■处填1 C.①内错角相等，两直线平行 D.②平角定义
【答案】D
【解析】证明：如图，过点C作．
∵（已知），
∴1，2（两直线平行，内错角相等）．
∵（平角定义），
∴（等量代换）．
【举一反三1】 “三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：A项，由，则，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，该选项不符合题意；
B项，由于点D，则，无法证得“三角形内角和是”，该选项符合题意；
C项，由，得，．由，得，，所以．由，得，故能证明“三角形内角和是”，该选项不符合题意；
D项，由，得，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，该选项不符合题意．
【举一反三2】如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称： ．

【答案】三角形内角和定理
【解析】根据折叠的性质，，

∵，
∴，
∴定理为三角形内角和定理．
【举一反三3】在研究三角形内角和等于180°的证明方法时，小虎给出了下列证法．
证明：在中，作（如图），
∵（已知）
∴（直角定义）
∴，（直角三角形两锐角互余）
∴（等式的性质）
∴．
请你判断上述小虎同学的证法是否正确，如果不正确，写出一种你认为较简单的证明三角形内角和定理的方法．
【答案】解：小虎的做法不正确，
过点作直线，使，
∵，
∴，（两直线平行，内错角相等）
∵（平角定义）
∴（等量代换）
【题型2】利用三角形内角和定理求角度
【典型例题】适合条件∠A＝∠B＝2∠C的三角形是（　　）
A.锐角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形
【答案】A
【解析】解：∵∠A＝∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C+2∠C+∠C＝180°，
∴∠C＝36°，
∴∠A＝∠B＝72°
∴△ABC锐角三角形，
故选：A．
【举一反三1】一个三角形三个内角的度数之比为2：2：5，这个三角形是（　　）
A.直角三角形 B.全等三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形
【答案】D
【解析】解：三角形的三个角依次为，，，
所以这个三角形是钝角三角形．
故选：D．
【举一反三2】一个三角形的三个内角度数之比为4：5：9，则这个三角形是（　　）
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形
【答案】C
【解析】解：∵三角形的三个内角度数之比为4：5：9，
∴可设这个三角形的三个内角分别为：4k，5k，9k，
由三角形的内角和等于180°得：4k+5k+9k＝180°，
解得：k＝10°，
∴这个三角形的三个内角分别为：40°，50°，90°．
∴这个三角形是直角三角形．
故选：C．
【举一反三3】三角形三个角的度数比是2：4：3，最大的角是　 　°，最小的角是　 　°
【答案】80，40．
【解析】解：最大的角是180°80°；
最小的角是180°40°．
故答案为：80，40．
【举一反三4】如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠A＝∠ABE，∠CDB＝∠CBD，BE与CD交于点F．
若∠A＝40°，∠ACB＝70°，求∠BFD的度数.
【答案】解：∵∠A＝40°，∠ACB＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣（40°+70°）＝70°，
∵∠A＝∠ABE，∠CDB＝∠CBD，
∴∠ABE＝∠A＝40°，∠CDB＝∠CBD＝70°，
∴∠BFD＝180°﹣∠ABE﹣∠CDB＝180°﹣40°﹣70°＝70°.
【题型3】与平行线有关的三角形内角和问题
【典型例题】如图，直线，，，则等于（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：如图：
∵，，
∴，
∵，
∴，
则．
【举一反三1】如图，在中，，直线经过点A且，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：，
，
，
．
【举一反三2】如图，平分，平分，于点C，，则下列说法：①；②；③；④.其中正确的是 ．（填序号）
【答案】①②③
【解析】解：∵，
∴，故①正确；
∵平分平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，平分，
∴，
∵，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，故④错误，
综上所述，正确的说法有①②③．
【举一反三3】如图，已知，，，则 ．
【答案】
【解析】解：如图， ，，
，
，
，
，
．
【举一反三4】已知：如图，，直线分别交于点，的平分线与的平分线相交于点，求的度数．
【答案】解：∵，
∴，
又∵的平分线与的平分线相交于点，
∴，，
∴，
∵，
∴．
【举一反三5】如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC边上，EF⊥AB，垂足为F，∠1＝∠2．
（1）试说明DG∥BC；
（2）若∠B＝34°，∠ACD＝46°，求∠3的度数．
【答案】解：（1）DG∥BC．
理由是：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴∠CDF＝∠EFB＝90°，
∴CD∥EF．
∴∠2＝∠BCD，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BCD，
∴DG∥BC.
（2）∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°．
∵∠B＝34°，
∴∠BCD＝90°﹣34°＝56°．
∵∠ACD＝46°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝46°+56°＝102°．
∵由（1）知DG∥BC，
∴∠3＝∠ACB＝102°．
【题型4】折叠中的三角形内角和问题
【典型例题】如图，将一个直角三角形纸片，沿线段折叠，使点落在处，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，，
，
由翻折的性质可知，
.
【举一反三1】如图，将长方形纸片沿对角线折叠，点C的对应点为点E，交于点O．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由折叠的性质得到，，
∵，
∴，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
∴
．
【举一反三2】一次数学活动中，小明对纸带沿AB折叠，量得，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，
，
∵纸带沿折叠，
，
.
【举一反三3】如图，有一张三角形纸片，已知，将沿折叠，得到，，与相交于点F，当时，则的度数 ．
【答案】
【解析】∵，，
∴，
∵，
∴，
由折叠性质可得
，
∵，
∴，即，
∴，
∴.
【举一反三4】如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，点D是BC边上的一点，将△ABD沿AD折叠，点B恰好落在BC边上的点E处．
（1）填空：∠ADE＝　 　度；
（2）求∠EAC的大小．
【答案】解：（1）由折叠可知∠ADB＝∠ADE，
∵∠ADB+∠ADE＝180°，
∴∠ADB＝90°；
故答案为：90；
（2）由折叠可知，∠AEB＝∠B＝60°，
在△ABE中，∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠AEB＝60°，
在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝75°，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝15°．
【举一反三5】如图，等边三角形纸片中，点在边（不包含端点，）上运动，连接，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点落在直线上的点处，得到折痕．

(1)若，求的度数；
(2)试问：的大小是否会随着点的运动而变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．
【答案】解：（1）由折叠的性质可知，
，
，
∵，
∴，
∴．
（2）不变．理由如下：
∵，，，
∴，
即．
∴的大小不随点的运动而变化．
【题型5】三角形内角和定理的应用
【典型例题】潍坊红木嵌银漆器是山东潍坊特有的传统手工艺品，最早可追溯到战国时代在一些铜器上镶嵌金银丝花纹；如图为某嵌银厂制作的传统工艺红木嵌银靠背马扎，其侧面图如图所示，，与地面平行，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，
，
，
，
，
.
【举一反三1】如图，C岛在A岛的北偏东50°方向上，在B岛的北偏西60°方向上，A岛在B岛北偏西80°方向上，则从C岛看A、B两岛的视角∠ACB为（　　）
A.80° B.95° C.110° D.140°
【答案】C
【解析】解：∵C岛在A岛的北偏东50°方向上，
∴∠CAD＝50°，
∵C岛在B岛的北偏西60°方向上，
∴∠CBE＝60°，
∵A岛在B岛北偏西80°方向上，
∴∠ABE＝80°，
∴∠ABC＝∠ABE﹣∠CBE＝20°，
∵AD∥BE，
∴∠DAB+∠ABE＝180°，
∴∠DAB＝100°，
∴∠BAC＝∠DAB﹣∠DAC＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣20°＝110°．
故选：C．
【举一反三2】中国古代在公元前2世纪就制成了世界上最早的潜望镜，西汉初年成书的《淮南万毕术》中有这样的记载：“取大镜高悬，恳水盆于其下，则见四邻矣”，如图①，其工作方法主要利用了光的反射原理．如图②，呈水平状态，为法线，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【举一反三3】如图，已知小岛B在基地A的南偏东方向上，货轮C在基地A的南偏西方向，货轮C在小岛B的北偏西方向上， °．
【答案】
【解析】如图，由题意得，，，，
，
，
．
在中，，
.
【举一反三4】如图，一艘船停靠在码头处，测得海中灯塔在北偏东方向上，它从处出发向正东航行，到达处停止，且．
(1)在处测得灯塔应在什么方向；
(2)求从灯塔观测两处的视角的度数．
【答案】解：（1）如图，过点B作，
由题可得，
∴，
∴，
∴在处测得灯塔在北偏东.
（2）．
【题型6】直角三角形定义
【典型例题】在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②＝，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝2∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】B
【解析】①
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
②由条件可设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴x+2x+3x＝6x＝180°，
∴x＝30°，
∴∠C＝3x＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
③∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣90°＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
④∠A＝∠B＝2∠C，
设∠C＝x，则∠A＝∠B＝2x，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2x+2x+x＝5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠A＝∠B＝2x＝72°，∠C＝x＝36°，
∴△ABC不是直角三角形；
⑤由条件可知，，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴，
∴，
∴△ABC不是直角三角形；
综上，能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③，共3个.
【举一反三1】如图，在△ABC中，∠A＝30°，点D是AC上一点，将△ABD沿线段BD翻折，使得点A落在A'处，若∠A'BC＝28°，∠CBD＝16°，则△ABC是（　　）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
【答案】B
【解析】解：∵∠A'BC＝28°，∠CBD＝16°
∴∠A′BD=∠A'BC+∠CBD=28°+16°=44°
根据对折性质：∠ABD=∠A′BD=44°
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=44°+16°=60°
在△ABC中，∠ABC=60°，∠A＝30°，
∠ACB＝180°-60°-30°=90°.
所△ABC是直角三角形.
故选：B．
【举一反三2】如图，在△ABC中，∠B＝∠ADE=56°，AD⊥BC，DE∥AC．则∠BAC的度数为（　　）
A.90° B.46° C.44° D.34°
【答案】A
【解析】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°
∵∠B＝∠ADE=56°
∴∠BAD＝∠BDE=34°
∵DE∥AC（已知）
∴∠C＝∠BDE＝34°（两直线平行，同旁内角互补）．
在△ABC中，∠B=56°，∠C=34°
∴∠BAC＝90°．
故选：A．
【举一反三3】在△ABC中，，∠C＝3∠B+10°，∠B＝20°，则△ABC为 三角形．
【答案】直角．
【解析】解：设∠B=20°，
∵∠C＝3×20°+10°=70°，
∴∠A=180°-20°-70°=90°，
∴△ABC为直角三角形．
故答案为：直角三角形．
【举一反三4】下列四个条件：
①在△ABC 中，∠A，∠B都是锐角；
②△ABC 的三个内角的度数之比是1:2:3；
③在△ABC 中，∠A-∠B=∠C；
④△ABC的三个内角的度数之比是3:4:5.
其中能确定△ABC是直角三角形的是 (只填序号).
【答案】②③
【解析】①∠A，∠B都是锐角，每个锐角小于90°，两个锐角的和小于180°，不一定直角，不能确定△ABC是直角三角形；
②根据题意，设三角形的三个内角分别是x°，2x°，3x°.
∴x+2x+3x=180.
解得x=30，
∴3x=90，
∴这个三角形是直角三角形；
③∵∠A-∠B=∠C，
∴∠A=∠B+∠C，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠A=180°，
∴∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形；
④根据题意，可设三角形三个内角分别为3x°，4x°，5x°.
∴3x°+4x°+5x°=180°，
解得x°=15°，
∴3x°=45°，4x°=60°，5x°=75°，
∴这个三角形不是直角三角形.
综上所述，符合题意的是②③.
【举一反三5】如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B．
求证：CD是△ABC的高．
【答案】证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠1+∠BCD＝90°，
∵∠1＝∠B，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB，
∴CD是△ABC的高．
【举一反三6】如图，AB∥CD，∠BAE=∠DCE=45°.求证：△AEC为直角三角形.
填空：
∵AB∥CD，
∴∠1+45°+∠2+45°= .
∴∠1+∠2= .
∴∠E= .
∴△ACE为直角三角形.
【答案】解：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
即∠1+45°+∠2+45°=180°．
∴∠1+∠2=90°．
∴∠E=90°．
∴△ACE为直角三角形.
故答案为：180°，90°，90°．
【题型7】直角三角形的两个锐角互余
【典型例题】若直角三角形一个锐角为65°，则该直角三角形的另一个锐角是（　　）
A.25° B.35° C.45° D.65°
【答案】A
【解析】根据直角三角形的两锐角互余可得它的另一个锐角为90°﹣65°＝25°．
【举一反三1】如图是一副三角板，用它们可以画出一些角．在15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°的角中，能画出的角有（　　）
A.11个 B.10个 C.9个 D.8个
【答案】A
【解析】一副三角板中，角的度数有30°，60°，90°，45°，
由这4个角中的两个可以作出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°，
所以用一副三角板可以画出15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°，共11个.
【举一反三2】Cobb角是指脊柱弯曲的最大角度，是脊柱侧弯严重程度的参考标准之一，小华在一次体检中测得∠O＝45°，则图中与∠O（∠O除外）相等的角的个数为（　　）
A.2个 B.4个 C.5个 D.6个
【答案】B
【解析】解：∵BD⊥OA，AC⊥OB，
∴∠ACO＝∠ACB＝∠BDO＝∠BDA＝90°，
∵∠O＝45°，
∴∠CAO＝90°﹣∠O＝45°，∠DBO＝90°﹣∠O＝45°，
∴∠APD＝90°﹣∠CAO＝45°，
∴∠APD＝∠BPC＝45°，
∴图中与∠O相等的角有：∠CAO，∠DBO，∠APD，∠BPC，共有4个，
故选：B．
【举一反三3】在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝∠B，则∠B＝　 　°．
【答案】45
【解析】在△ABC中，∠C＝90°，
则∠A+∠B＝90°，
∵∠A＝∠B，
∴∠B＝45°.
【举一反三4】如图1，直线PQ⊥直线MN，垂足为O，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，斜边AB与直线PQ交于点C．
（1）如图1，若∠A=∠AOC=30°，求∠B的度数；
（2）如图2，延长AB交直线MN于点E，过O作OD⊥AB，若∠DOB=∠EOB，∠AEO=α，求∠AOE的度数（用含α的代数式表示）．
【答案】解：（1）∵△AOB是直角三角形，∠AOB=90°
∴∠A+∠B=90°，
∵∠A=30°，
∴∠B=60°．
（2）∵OD⊥AB，∠AEO=α，
∴∠DOE=90°-α，
∵∠DOB=∠BOE，
∴∠BOE=∠DOE=（90°-α）
=45°-α，
∴∠AOE=∠AOB+∠BOE=90°+45°-α
=135°-α．
【题型8】三角形外角的概念
【典型例题】如图，在中，平分于点P，交的延长线于点M．则下列各角中，是三角形外角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A项，不符合三角形外角定义的角，它是三角形的内角，不符合题意;
B项，∵三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.
又∵∠ADC是中的一边AD与另一边BD的延长线组成的角；
∴∠ADC是三角形的外角，故B符合题意；
C项，不符合三角形外角定义的角，它是三角形的内角，不符合题意；
D项，不符合三角形外角定义的角，它是三角形的内角，不符合题意.
【举一反三1】如图，边的延长线上一点，则外角的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.
又∵∠DAC是中的一边AC与另一边BA的延长线组成的角；
∴DAC是ABC的外角.
∵DAC=60°.
∴外角的度数是60°.
【举一反三2】如图，点D，B，C在同一条直线上，图中的外角是（ ）
A. B.和∠AED C. D.
【答案】B
【解析】∵三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.
又∵∠ABC是中的一边BE与另一边DB的延长线组成的角；
∠AED是中的一边DE与另一边BE的延长线EA组成的角；
∴ABC和∠AED是的外角.
【举一反三3】一副三角尺叠在一起如图所示放置，最小锐角的顶点恰好放在等腰直角三角尺的斜边上，与交于点，则的外角是 ．
【答案】，
【解析】∵三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.
又∵∠CMD是中的一边DM与另一边BM的延长线组成的角；
∠ADM是中的一边DM与另一边BD的延长线组成的角；
∴
，
∴∠CMD，∠ADM，是的外角.
【举一反三4】如图，的外角是 ．
【答案】
【解析】∵三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角，
又∵∠AMN是中的一边MN与另一边QM的延长线组成的角；
∠FNM是中的一边MN与另一边QN的延长线组成的角；
∠ENQ是中的一边QN与另一边MN的延长线组成的角；
∠NQD是中的一边NQ与另一边MQ的延长线组成的角；
∠CQM是中的一边MQ与另一边NQ的延长线组成的角；
∠BMQ是中的一边MQ与另一边NM的延长线组成的角；
∴图中的外角为.
【举一反三5】如图，AD是△ABC的角平分线，B、C、E共线，则∠β、∠γ分别是哪个三角形的外角？
【答案】△ABD；△ABC、△ADC.
【解析】解：根据三角形外角的定义可知，∠β是△ABD的外角；∠γ是△ACD的外角，也是△ABC的外角.
故答案为：△ABD；△ABC、△ADC.．
【举一反三6】认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角探究片段，完成所提出的问题．
（1）探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，试分析∠A与∠BOC有什么数量关系？并说明理由；
（2）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？并说明理由．
（3）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）
【答案】（1）解：∠A＝2∠BOC﹣180°，理由如下：
∵O是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，
在△ABC中，∠A+2∠OBC+2∠OCB＝180°，
∴∠A+2（∠OBC+∠OCB）＝180°，
在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC，
∴∠A+2（180°﹣∠BOC）＝180°，
∴∠A＝2∠BOC﹣180°；
（2）解：∠A＝2∠BOC，理由如下：
∵O是∠ABC和∠ACD的平分线的交点，
∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACD＝2∠OCD，
∵∠ACD＝∠A+∠ABC＝∠A+2∠OBC，∠OCD＝∠BOC+∠OBC，
∴2（∠BOC+∠OCB）＝∠A+2∠OBC．
∴∠A＝2∠BOC．
（3）解：∠A＝180°﹣2∠BOC，理由如下：
∵O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线的交点，
∴∠CBD＝2∠OBC，∠BEC＝2∠OCB，
∴∠ABC＝180°﹣∠CBD＝180°﹣2∠CBO，∠ACB＝180°﹣∠BCE＝180°﹣2∠BCD，
∴∠ABC+∠ACB＝360°﹣2（∠CBO+∠BCO），
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴2（∠CBO+∠BCO）＝∠A+180°，
在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC，
∴2（180°﹣∠BOC）＝∠A+180°，
∴∠A＝180°﹣2∠BOC．
【题型9】利用三角形外角的性质、内角和定理进行计算
【典型例题】如图，与的大小关系是（ ）
A. B. C. D.不能确定
【答案】C
【解析】解：根据三角形外角性质.
【举一反三1】如图，已知，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解： ，，
.
【举一反三2】如图，在中，点D在边上，平分，，若，，则 ．
【答案】
【解析】解：如图，延长交于点，
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴.
【举一反三3】如图，在中，，，过点作边上的高，交的延长线于点．
(1)求的度数；
(2)若平分，交于点，求的度数．
【答案】解：（1） ，，
．
（2）是边上的高，
,
．
又平分，由（1）得，
，
又,
．
【举一反三4】如图，AB∥CD，∠A=40°，∠D=45°.求∠1和∠2的度数.
【答案】解：∵AB∥CD，
∴∠1=∠A，
∵∠A=40°，
∴∠1=40°，
又∵∠2=∠D+∠1，∠D=45°，
∴∠2=85°，
综上可得，∠1的度数是40°，∠2的度数是85°．
【题型10】三角形外角性质、内角和定理与三角板的综合
【典型例题】将一副三角板按如图方式摆放，使三角板的一个顶点重合，∠ACB＝45°，∠DCE＝60°，CP和CQ分别是∠ACB 和∠DCE 的平分线．若∠ACE＝75°，下列结论错误的是（　　）
A.∠ACQ＝105° B.∠BCE＝120° C.∠BCD＝180° D.∠PCQ＝135°
【答案】D
【解析】解：∵∠ACB＝45°，∠DCE＝60°，CP和CQ分别是∠ACB 和∠DCE 的平分线．
∴∠ECQ＝DCE＝30°，∠ACP＝ACB＝22.5°．
∵∠ACE＝75°，
∴∠ACQ＝∠ACE+∠ECQ＝75°+30°＝105°，
∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝45°+75°＝120°，
∠BCD＝∠BCA+∠ACE+∠ECD＝45°+75°+60°＝180°，
∠PCQ＝∠PCA+∠ACE+∠ECQ＝22.5°+75°+30°＝127.5°≠135°．
∴选项A、B、C正确，选项D错误．
故选：D．
【举一反三1】如图，一副三角板拼成如图所示图形，则∠BAC的度数为（　　）
A.75° B.60° C.105° D.120°
【答案】A
【解析】解：∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
故选：A．
【举一反三2】一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，一直角三角形的斜边与另一直角三角形的直角边在同一直线上，则的大小为 ．
【答案】
【解析】解：由题意得，
∴，
∴.
【举一反三3】已知，小明将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中△ABC是一个角（∠B）等于45°的直角三角板，△CDE是一个角（∠E）等于30°的直角三角板，小明摆放时确保点A在线段DE上，AB与CE相交于点F，且∠AFE＝105°．
（1）判断BC，ED的位置关系，并说明理由；
（2）直接写出图中等于75°的角．
【答案】解：（1）BC，ED的位置关系是BC∥ED；
理由如下：∵∠AFE＝105°，
∴∠AFC＝75°．
∵∠AFC是△FBC的一个外角，
∴∠AFC＝∠ECB+∠B，
又∵∠B＝45°，
∠E＝30°，
∴∠ECB＝75°﹣45°＝30°＝∠E，
∴BC∥ED．
（2）图中等于75°的角有三个，
∠AFC＝∠EFB＝∠ACD．
【举一反三4】在综合与实践课上，老师让同学们以“一个等腰直角三角形直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线，，且，等腰直角三角尺中，为直角．
(1)[操作发现]
如图（1），当三角尺的顶点在直线上时，若，则______°；
(2)[探索证明]
如图（2），当三角尺的顶点在直线上时，请写出与间的数量关系，并说明理由；
(3)[拓展应用]
如图（3），把三角尺的顶点放在直线上且保持不动，旋转三角尺，点始终在直线（为直线上一点）的上方，若存在，求射线与直线所夹锐角的度数．
【答案】解：（1）如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴.
（2）如图，过作直线，
，，
，
.
（3）如图，
由题意得，
，
，
，，
，
与所夹锐角．
【题型11】三角形外角性质、内角和定理的实际应用与跨学科应用
【典型例题】如图①是路边一路灯的实物图，图②为其平面示意图，已知，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵是的一个外角，，，
∴.
【举一反三1】一台起重机的工作简图如图所示，前后两次吊杆位置和与吊绳的夹角分别是和，则吊杆前后两次的夹角（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：如图，根据题意可知，，，
∴，
∴．
【举一反三2】如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交 于点P，点F为焦点．若，则 .（用含x，y的代数式表示）
【答案】
【解析】解：如图，
由题意可知，，
，，
，
.
【举一反三3】如图，是一条透明纸带的两边，，P是纸带上一点，连接．
(1)如图1，若，请判断和的位置关系： __________；
(2)如图2，求证：.
【答案】解：（1）过点作，如图1，
，，
，，
，，
即，
，
（2）过点作，如图2，设与的补角为，，
，，
，，
，，
，，
即，
，
，
.
【举一反三4】实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．

(1)如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且则______， ______；
(2)在（1）中，若，则______；若，则______；
(3)由（1）、（2），请你猜想：当两平面镜a，b的夹角______时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a，b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，请说明理由．
【答案】解：（1）入射角和反射角相等
即，
根据邻补角的定义
根据
根据三角形内角和为，可知
．
（2）
同理可得当时，
，
，
∴．
（3）由（1）、（2）猜想，当两平面镜的夹角时，总有．
证明：，
，
，
，
，
，
．

【题型12】与角平分线、高有关的三角形内角和问题
【典型例题】如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点，，，则和的度数是（ ）
A.和 B.和 C.和 D.和
【答案】D
【解析】解：∵，，
∴，
∵，是角平分线，
∴，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴.
【举一反三1】如图，在中，，，是的角平分线，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：∵是的角平分线，，
∴，
∵，
∴．
【举一反三2】如图，在中，是角平分线，是中线，是高，如果，，那么（ ）
A.10° B.15° C.20° D.25°
【答案】A
【解析】解：∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵是的高，
∴，
∴，
∴．
【举一反三3】如图所示，O为的三条角平分线的交点，，则 度．
【答案】
【解析】解： O为的三条角平分线的交点，
，
，
.
【举一反三4】如图，在中，是角平分线，则的度数是 ．
【答案】
【解析】解：∵在中，，
∴，
∵是角平分线，
∴，，
∴，
∴.
【举一反三5】（1）如图①，已知，在中，，分别是的高和角平分线．若，，求的度数；
（2）如图②，已知平分，交边于点，过点作，若，．请解答下列问题：
①_____（用含的代数式表示）；
②求的度数．
【答案】解：（1）∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵是的高，
∴，
∴，
∴．
（2）①在中，，，
∴，
∵平分，
∴.
②∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【举一反三6】如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是边AC上的高.求∠DBC的度数.
【答案】解：∵∠A+∠C+∠ABC=180°，∠C=∠ABC=2∠A，
∴2∠A+2∠A+∠A=180°，
解得∠A=36°，
则∠C=72°，
∵BD是边AC上的高，
∴∠BDC=90°，
∴∠DBC=90°-∠C=18°，

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