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18.5分式方程
【题型1】分式方程的辨别 3
【题型2】分式方程的一般解法 5
【题型3】用换元法解分式方程 6
【题型4】分式方程与新定义型及规律型问题 7
【题型5】判断分式方程的解 8
【题型6】分式方程有解求参数值或参数取值范围 8
【题型7】分式方程无解求参数值 9
【题型8】列分式方程（只列不解） 9
【题型9】行程问题 10
【题型10】工程问题（总工作量为单位1） 11
【题型11】工作效率问题（求单位时间内完成的具体工作量） 12
【题型12】消费问题 14
【题型13】和差倍分及其它问题 15
【知识点1】分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 1.（2023春 苏家屯区期中）在①x2-x+，②-3=a+4，③+5x=6，④=1中，其中关于x的分式方程的个数为（　　） A．1B．2C．3D．4
【知识点2】分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 1.（2023秋 潼关县期末）若关于x的分式方程无解，则k的值是（　　） A．-2B．C．D．2
2.（2024秋 凉州区期末）若关于x的方程无解，则m=（　　） A．B．-或-2C．5D．
【知识点3】解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验． 1.（2025 鹿城区校级三模）解分式方程时，去分母正确的是（　　） A．1-2=-1+xB．1-2（x-2）=1-xC．1-2（x-2）=-1+xD．1-2（x-2）=-1-x
【知识点4】由实际问题抽象出分式方程 由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．
（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．
（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路． 1.（2025 拱墅区校级二模）随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（　　） A．B．C．D．
【知识点5】分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 1.（2024春 涞水县校级期中）2024年3月12日，某青年志愿团加入了某村“为了改善生态环境，防止水土流失”的植树活动中，该村计划植树480棵，由于青年志愿者的加入，每日植树的棵数比原计划多，结果提前4天完成任务，那么该村原计划每天植树的棵数是（　　） A．20B．30C．40D．50
【题型1】分式方程的辨别
【典型例题】下列式子中，是分式方程的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】下列方程不是分式方程的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】下列方程中是分式方程的是（　　）
A. B.2x﹣5＝3x C.x2﹣1＝0 D.
【举一反三3】下列方程：（填写“整式”或“分式”）
①，属于 方程；
②=2，属于 方程；
③y=x，属于 方程；
④=，属于 方程；
⑤y+1=，属于 方程；
⑥1+3（x﹣2）=7﹣x，属于 方程；
⑦y2﹣3=，属于 方程．
【举一反三4】判断下列方程是不是分式方程，并说明理由．
（1）＝8；
（2）＝；
（3）＝1；
（4）＝；
（5）﹣2＝x（a为非零常数）．
【举一反三5】判断：下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）2x＝1；
（7）．
【题型2】分式方程的一般解法
【典型例题】解分式方程＝时，将方程两边都乘同一个整式，得到一个一元一次方程，这个整式是（　　）
A.x B.5﹣x C.x（5﹣x） D.x+（5﹣x）
【举一反三1】解分式方程，分以下四步，其中，错误的一步是（　　）
A.方程两边分式的最简公分母是（x﹣1）（x+1）
B.方程两边都乘以（x﹣1）（x+1），得整式方程2（x﹣1）+3（x+1）＝6
C.解这个整式方程，得x＝1
D.原方程的解为x＝1
【举一反三2】解分式方程，下列四步解题中，错误的是　(　　)
A.方程的最简公分母是x2-1
B.方程两边乘以(x2-1)，得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6
C.解B项中整式方程得x=1
D.原方程的解为x=1
【举一反三3】在解分式方程时，去分母可得 　 　．
【举一反三4】对于式子和,你能找到一个合适的x值,使它们的值相等吗 写出你的解题过程.
【举一反三5】设A=，B=,当x为何值时，A与B的值相等
【题型3】用换元法解分式方程
【典型例题】已知方程，若设x2+3x=y，则原方程可化为（　　）
A.y2﹣20y=8 B.y2﹣20=8 C.y﹣20=8y D.y2﹣20=8y
【举一反三1】用换元法解方程时若设，则可得到整式方程是（　　）
A.3y2﹣11y+8=0 B.3y2+8y=11 C.8y2﹣11y+3=0 D.8y2+3y=11
【举一反三2】用换元法解方程时，可以设 　　 ＝y，那么原方程可化为关于y的整式方程是 　 　 ．
【举一反三3】已知x为实数，若x25（x）+8＝0，那么x的值为 　 　 ．
【举一反三4】先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
解方程（）2﹣6（）+5=0
解：令=y，代入原方程后，得：
y2﹣6y+5=0
（y﹣5）（y﹣1）=0
解得：y1=5 y2=1
∵=y
∴=5或=1
①当=1时，方程可变为：
x=5（x﹣1）
解得x=
②当=1时，方程可变为：
x=x﹣1
此时，方程无解
检验：将x=代入原方程，
最简公分母不为0，且方程左边=右面
∴x=是原方程的根
综上所述：原方程的根为：x=
根据以上材料，解关于x的方程x2++x+=0．
【题型4】分式方程与新定义型及规律型问题
【典型例题】在正数范围内定义一种运算“*”，其规则是a*b=，如果x*（2x）=1，则x的值为（　　）
A.2 B. C.﹣2 D.﹣
【举一反三1】对于非零的两个实数a,b,规定a b=,若2 (2x-1)=1,则x的值为(　　)
A. B. C. D.
【举一反三2】在正数范围内定义一种运算“※”，其规定则为a※b＝，如2※4＝，根据这个规则，则方程3※（x﹣1）＝1的解为（　　）
A. B. C. D.
【举一反三3】符号“”称为二阶行列式,规定它的运算法则为:=ad-bc,则根据上述规定得等式=1中的x的值为　　　　　.
【举一反三4】定义两种新运算“△”和“※”，其运算规则为a△b＝，a※b＝，若x△1＝x※2，则x＝　 　．
【举一反三5】阅读：对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则x＝a或x＝b．
又因为，
所以关于x的方程有两个解，分别为x1＝a，x2＝b．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）方程的两个解分别为x1＝﹣2，x2＝3，则p＝　 　，q＝　 　；
（2）方程的两个解分别为x1＝a，x2＝b，求a2+b2的值；
（3）关于x的方程的两个解分别为x1、x2（x1＜x2），求（用含n的代数式表示）．
【题型5】判断分式方程的解
【典型例题】分式方程的解是（　　）
A.x=﹣9 B.x=9 C.x=3 D.
【举一反三1】分式方程的解是（　　）
A.x＝0 B. C. D.
【举一反三2】方程＝1的解是（　　）
A.x＝﹣3 B.x＝﹣2 C.x＝2 D.x＝3
【举一反三3】分式方程的解是（　　）
A.x＝5 B.x＝﹣5 C.x＝4 D.x＝﹣4
【举一反三4】分式方程的解为（　　）
A.y＝1 B.y＝2 C.y＝3 D.y＝4
【题型6】分式方程有解求参数值或参数取值范围
【典型例题】已知关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围为（　　）
A.且a≠3 B.且a≠3 C.且a≠3 D.且a≠3
【举一反三1】若关于x的分式方程的解为负数，则m的值可能是（　　）
A.﹣2 B.﹣3 C.﹣4 D.﹣5
【举一反三2】若关于x的方程的解不大于8，则m的取值范围是　 　．
【举一反三3】已知关于x的方程的解是x＝2，求关于y的不等式（a﹣5）y＜﹣6的解集．
【举一反三4】若方程的解不大于13，求k的取值范围．
【题型7】分式方程无解求参数值
【典型例题】如果解关于x的分式方程时出现增根，那么m的值为（　　）
A.﹣2 B.2 C.4 D.﹣4
【举一反三1】若关于x的方程无解，则a的值为（　　）
A.2 B.﹣1 C.2或 D.2或﹣1或
【举一反三2】已知关于x的分式方程﹣2＝无解，则k的值为（　　）
A.k＝2或k＝﹣1 B.k＝﹣2 C.k＝2或k＝1 D.k＝﹣1
【举一反三3】若关于x的方程﹣1=0无实根，则a的值为　 　．
【举一反三4】已知关于x的方程+1=无解，求a的值．
【题型8】列分式方程（只列不解）
【典型例题】近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程10千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程7千米，走路线b比路线a平均速度提高40%，时间节省10分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/小时，依题意，可列方程为（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】某运输公司，运送一批货物，甲车每天运送货物总量的．在甲车运送1天货物后，公司增派乙车运送货物，两车又共同运送货物天，运完全部货物．求乙车单独运送这批货物需多少天？设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列方程，正确的是（　　）
A.1 B.（）＝1 C.（1）1 D.（）1
【举一反三2】6月进入了毕业季，某校九年级班主任准备给自己的学生买一些相册，并把初中三年来学生的照片放进去，这些照片记录了他们初中三年的点点滴滴．目前有A，B两款相册比较合适，其中A款相册的单价比B款相册的单价贵3元，用1000元购买A款相册的数量是用425元购买B款相册数量的2倍，求B款相册的单价．若设B款相册的单价为x元，则根据题意可列方程为（　　）
A. B. C. D.
【举一反三3】为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程．课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（　　）
A.0.4 B.0.4 C.0.4 D.0.4
【举一反三4】某校八年级学生去距离学校120km的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发1h后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度．设慢车的速度是x km/h，所列方程正确的是（　　）
A.1 B.1 C. D.
【题型9】行程问题
【典型例题】为大力发展交通事业，广元市建成多条快速通道．李某开车从家到单位有两条路线可选择，甲路线为全程24千米的普通道路，乙路线包含快速通道，全程15千米，走乙路线比走甲路线的平均速度提高35%，时间节省15分钟，求走乙路线和走甲路线的平均速度分别是多少．设走甲路线的平均速度为x千米/时，依题意，可列方程为（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】甲、乙两港口相距60千米，一艘轮船从甲港口顺流航行至乙港口，又立即从乙港口逆流返回甲港口，共用去4小时，已知水流速度为2千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】2023年12月8日，济郑高铁山东段开通运营，标志着聊城进入高铁时代．寒假期间，小明和爸爸从聊城出发去某地旅游，已知两地相距约500km，乘高铁比开小轿车少用3.8h（假设两种出行方式的总路程相同），高铁的平均速度是小轿车的3倍，设小轿车的平均速度是x km/h，则下列方程中正确的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三3】A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程为 .
【举一反三4】2024年扬州鉴真半程马拉松比赛于4月1日举行，本届赛事设置半程马拉松、健康跑、欢乐跑项目．小明参与了“半程马拉松”（约21km）项目，小明前10km按计划的速度跑，之后为了提高成绩，平均速度提高到之前的1.2倍，最终比原计划提前11min到达目的地．求小明前10km的平均速度．
【题型10】工程问题（总工作量为单位1）
【典型例题】甲、乙两位打字员承担一项打字任务，已知有如下信息：
信息一：甲单独完成这项任务所需要的时间比乙单独完成这项任务所需要的时间多4小时；
信息二：甲5小时完成这项任务的工作量与乙4小时完成这项任务的工作量相等．
根据以上信息可知，乙单独完成这项任务需要（　　）
A.10小时 B.12小时 C.14小时 D.16小时
【举一反三1】2024年5月18日，“万人农耕”大地艺术创作活动在成都世园会新津分会场——天府农博园开启，市民游客在这里呈现了一场与4500年农耕文明的互动，共绘农商文旅体融合的生动画卷．某班学生与家长分别组成学生组和家长组参加了插秧活动，先由学生组独立进行，3小时完成了总任务的一半；而后家长组加入，再共同进行1小时完成了剩下任务．如果设家长组独立进行x小时可以完成总任务，则可列方程为（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】甲计划用若干个工作日完成某项工作，从第三个工作日起，乙加入此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前4天完成任务，则甲计划完成此项工作的天数是 　 　．
【举一反三3】两个工程队开凿一条隧道，甲队先独立施工1周完成总工程的，这时乙队加入施工，两队又共同施工了5天，隧道被挖通．记总工程量为1．
（1）甲队单独施工1天完成总工程的 　 　；
（2）设乙队单独施工挖通隧道需要x天，根据题意，列出方程为 　 　．
【举一反三4】在夏季来临前，某社区进行了雨水、污水管道改造工程招标，有甲、乙两个工程队投标，经测算，甲工程队单独完成该项工程需40天．若由乙先单独做20天，余下的工程由甲、乙合做16天可完成．求乙单独完成该项工程需要多少天？
【举一反三5】某段高铁工程计划由甲、乙两个工程队共同承担完成，其中甲工程队单独完成这项工作需120天．若甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合作，两队又共同工作了36天才完成任务．
（1）求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？
（2）由于某种原因，甲工程队先单独用60天完成了工程的一部分，剩下的部分由乙工程队完成，那么乙工程队又干了多少天？
【题型11】工作效率问题（求单位时间内完成的具体工作量）
【典型例题】北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”引爆购买潮，导致“一墩难求”．某工厂承接了60万只冰墩墩的生产任务，实际每天的生产效率比原计划提高了25%，提前10天完成任务．设原计划每天生产x万只冰墩墩，则下面所列方程正确的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】某农场开挖一条长360米的水渠，开工后每天效率是原计划每天效率的1.5倍，结果少花3天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么下列方程中正确的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】数学活动课上，甲、乙两位同学制作长方体盒子．已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟，甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍．设乙每小时做x个盒子，根据题意可列方程（　　）
A. B. C. D.
【举一反三3】接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径．针对疫苗应急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工厂不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂．设该厂当前参加生产的工人有x人，根据题意可列方程为：　 　．
【举一反三4】小李与小王是社区图书馆整理图书的志愿者，他们在清点图书时，小王平均每分钟比小李多清点5本，小李清点200本图书所用的时间与小王清点300本图书所用的时间相同．
（1）求小王平均每分钟清点图书的本数；
（2）周末，该图书馆要求他们两人同时清点完3600本图书，用时不超过3小时．但小王有事需提前离开，在两人清点图书的速度不变的情况下，小王至少清点多少本图书才能离开？
【举一反三5】A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？
【题型12】消费问题
【典型例题】新能源车的技术越来越成熟，而且更加环保节能．小松同学的爸爸准备换一台车，通过对比两台续航里程相同的燃油车和新能源车，发现燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，已知燃油车的油箱容积为40升，燃油价格为9元/升，新能源车电池容量为60千瓦时，电价为0.6元/千瓦时，则小松爸爸选择的两台汽车的续航里程是（　　）
A.600km B.500km C.450km D.400km
【举一反三1】2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，三名航天员平安归来，神舟十三号任务取得圆满成功．某航模店购进了“神舟”和“天宫”两款航空模型．已知每个“神舟”模型比“天宫”模型的进价多10元，且同样花费100元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多5个．设“天宫”模型进价为每个x元，则下列方程正确的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的，小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是24.5元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3米3．设该市去年居民用水价格为x元/米3，则可列分式方程为 　 　．
【举一反三3】一商场先用3200元购进一批防紫外线太阳伞，很快就销售一空．商场又用8000元购进了第二批这种太阳伞，所购数量是第一批的2倍，但每把太阳伞贵了4元．则第一次购进这种太阳伞 　 　把．
【举一反三4】每年的3月14日是“国际数学日”，旨在体现数学的重要性．六盘水市某中学在今年“国际数学日”举行了初中学生数学素养比赛，需购买一批乒乓球拍和羽毛球拍作为奖品．询价时了解到：文具店乒乓球拍单价是羽毛球拍单价的1.5倍，且花200元购买羽毛球拍的数量比花240元购买乒乓球拍的数量多2副．
（1）求询价时乒乓球拍和羽毛球拍的单价分别为多少元？
（2）前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：羽毛球拍比之前询价时的单价上涨了2元，乒乓球拍则按之前询价时单价的8折出售．若学校最终购买了乒乓球拍和羽毛球拍共60副，且购买奖品的总费用不超过1361元，则学校至少需购买多少副羽毛球拍？
【举一反三5】某商场购进甲、乙两种型号的小型家用电器，每个乙种型号电器的进价比每个甲种型号电器的进价的3倍少50元，用300元购进甲种电器的数量与用400元购进乙种型号电器的数量相同，请解答下列问题．
（1）求甲、乙两种型号电器的进价；
（2）若商场欲从厂家一次性购进甲、乙两种型号的电器共40个，且总费用不能超过1400元，则最多可以购进乙种型号电器多少个？
【题型13】和差倍分及其它问题
【典型例题】据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．若设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，下列方程中正确的是（　　）
A. B. C.100（2x﹣4）＝550x D.
【举一反三1】2022年5月12日是我国第14个全国防灾减灾日，某校组织防灾减灾教育活动，八年级同学进行了两次地震应急演练，在改进撤离方案后，第二次平均每秒撤离的人数比第一次的多20%，结果360名同学全部撤离的时间比第一次节省了30秒，那么第一次平均每秒撤离的人数为（　　）
A.1 B.1.5 C.2 D.3
【举一反三2】2021年是中国共产党建党100周年，某校为了纪念党的生日，计划组织540名学生去外地参观学习．现有A，B两种不同型号的客车可供选择，在每辆车刚好满座的前提下，每辆B型客车比每辆A型客车多坐15人，单独选择B型客车比单独选择A型客车少租6辆，设A型客车每辆坐x人，则根据题意可列方程为（　　）
A.﹣＝6 B.﹣＝6 C.﹣＝6 D.﹣＝6
【举一反三3】2021年是中国共产党建党100周年，某校为了纪念党的生日，计划组织540名学生去外地参观学习．现有A，B两种不同型号的客车可供选择，在每辆车刚好满座的前提下，每辆B型客车比每辆A型客车多坐15人，单独选择B型客车比单独选择A型客车少租6辆，设A型客车每辆坐x人，则根据题意可列方程为（　　）
A.﹣＝6 B.﹣＝6 C.﹣＝6 D.﹣＝6
【举一反三4】据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．若设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，下列方程中正确的是（　　）
A. B. C.100（2x﹣4）＝550x D.
【举一反三5】某校组织八年级师生共400名去春游，为安全起见，每名师生均有座位且每一辆客车均不得超载．现学校决定向客运公司租用大小客车若干辆前往，若每辆客车均坐满，结果全部租用大客车所用车辆数比全部租用小客车所用车辆数少2辆，已知每辆大客车比每辆小客车乘客座位数多25%，求大、小客车的乘客座位数．
【举一反三6】改良玉米品种后，迎春村玉米平均每公顷增加产量a吨，原来产m吨玉米的一块地，现在的总产量增加了20吨，原来和现在玉米平均每公顷产量各是多少？18.5分式方程
【题型1】分式方程的辨别 5
【题型2】分式方程的一般解法 8
【题型3】用换元法解分式方程 10
【题型4】分式方程与新定义型及规律型问题 12
【题型5】判断分式方程的解 15
【题型6】分式方程有解求参数值或参数取值范围 17
【题型7】分式方程无解求参数值 19
【题型8】列分式方程（只列不解） 21
【题型9】行程问题 23
【题型10】工程问题（总工作量为单位1） 25
【题型11】工作效率问题（求单位时间内完成的具体工作量） 27
【题型12】消费问题 30
【题型13】和差倍分及其它问题 33
【知识点1】分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 1.（2023春 苏家屯区期中）在①x2-x+，②-3=a+4，③+5x=6，④=1中，其中关于x的分式方程的个数为（　　） A．1B．2C．3D．4
【答案】A 【分析】分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 【解答】解：①x2-x+是分式，不是分式方程；
②-3=a+4是关于a的分式方程；
③+5x=6是一元一次方程；
④=1是关于x的分式方程，
故关于x的分式方程只有一个．
故选：A． 【知识点2】分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 1.（2023秋 潼关县期末）若关于x的分式方程无解，则k的值是（　　） A．-2B．C．D．2
【答案】B 【分析】先令分母=0求增根，在把分式方程化为整式方程，最后把增根代入整式方程求出k. 【解答】解：∵分式方程无解，
∴x-6=0，
解得x=6，
原方程化为：，
-2k-x+6=x-5，
将x=6代入得：-2k-6+6=6-5，
解得．
故选：B． 2.（2024秋 凉州区期末）若关于x的方程无解，则m=（　　） A．B．-或-2C．5D．
【答案】B 【分析】先把分式方程化为整式方程，再考虑整式方程无解的情况以及分式方程无解的情况即可得出答案． 【解答】解：方程可化为，
方程两边同乘2（x-5），得2（x-1）=-mx,
整理得（2+m）x=2，
当2+m≠0时，x=，
∵关于x的方程无解，
∴2+m=0或，
∴m=-2或m=，
故选：B． 【知识点3】解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验． 1.（2025 鹿城区校级三模）解分式方程时，去分母正确的是（　　） A．1-2=-1+xB．1-2（x-2）=1-xC．1-2（x-2）=-1+xD．1-2（x-2）=-1-x
【答案】C 【分析】方程两边同乘最简公分母（x-2）即可． 【解答】解：原方程去分母得：1-2（x-2）=-1+x,
故选：C． 【知识点4】由实际问题抽象出分式方程 由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．
（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．
（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路． 1.（2025 拱墅区校级二模）随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（　　） A．B．C．D．
【答案】D 【分析】根据乘电动汽车与乘公交车速度间的关系，可得出乘电动汽车平均每小时走2.5x千米，利用时间=路程÷速度，结合乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【解答】解：∵电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，乘公交车平均每小时走x千米，
∴乘电动汽车平均每小时走2.5x千米．
依题意得：=+，
即=+．
故选：D． 【知识点5】分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 1.（2024春 涞水县校级期中）2024年3月12日，某青年志愿团加入了某村“为了改善生态环境，防止水土流失”的植树活动中，该村计划植树480棵，由于青年志愿者的加入，每日植树的棵数比原计划多，结果提前4天完成任务，那么该村原计划每天植树的棵数是（　　） A．20B．30C．40D．50
【答案】B 【分析】设原计划每天种x棵树，则实际每天种x棵，根据题意可得等量关系：原计划完成任务的天数-实际完成任务的天数=4，列方程即可． 【解答】解：设原计划每天种x棵树，据题意得，
-=4，
解得x=30，
经检验得出：x=30是原方程的解．
答：原计划每天种30棵树．
故选：B．
【题型1】分式方程的辨别
【典型例题】下列式子中，是分式方程的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：A、方程中各式的分母不含未知数，故不是分式方程，故本选项错误；
B、不是方程，故不是分式方程，故本选项错误；
C、方程中各式的分母含有未知数，故是分式方程，故本选项正确；
D、方程中各式的分母不含未知数，故不是分式方程，故本选项错误．
故选：C．
【举一反三1】下列方程不是分式方程的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：在，，，中，
只有分母中不含字母，
故选：B．
【举一反三2】下列方程中是分式方程的是（　　）
A. B.2x﹣5＝3x C.x2﹣1＝0 D.
【答案】D
【解析】解：A．是一元一次方程，故此选项不符合题意；
B．是一元一次方程，故此选项不符合题意；
C．是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D．是分式方程，故此选项符合题意．
故选：D．
【举一反三3】下列方程：（填写“整式”或“分式”）
①，属于 方程；
②=2，属于 方程；
③y=x，属于 方程；
④=，属于 方程；
⑤y+1=，属于 方程；
⑥1+3（x﹣2）=7﹣x，属于 方程；
⑦y2﹣3=，属于 方程．
【答案】①整式　②分式　③整式　④分式　⑤分式　⑥整式　⑦整式
【解析】解：下列方程：①，③y=x，⑥1+3（x﹣2）=7﹣x，⑦y2﹣3=是整式方程；
②=2，④=，⑤y+1=是分式方程.
【举一反三4】判断下列方程是不是分式方程，并说明理由．
（1）＝8；
（2）＝；
（3）＝1；
（4）＝；
（5）﹣2＝x（a为非零常数）．
【答案】解：（1）＝8不是分式方程，因为分母中不含有未知数；
（2）＝是分式方程，因为分母中含有未知数；
（3）＝1是分式方程，因为分母中含有未知数；
（4）＝是分式方程，因为分母中含有未知数；
（5）﹣2＝x（a为非零常数）不是分式方程，因为分母中虽然有未知数a，当a为非零常数，不是未知数．
【举一反三5】判断：下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）2x＝1；
（7）．
【答案】解：∵分母中含有未知数的方程是分式方程，
∴（1）（3）（4）（5）（7）是分式方程，（2）（6）是整式方程．
【题型2】分式方程的一般解法
【典型例题】解分式方程＝时，将方程两边都乘同一个整式，得到一个一元一次方程，这个整式是（　　）
A.x B.5﹣x C.x（5﹣x） D.x+（5﹣x）
【答案】C
【解析】解：由题意得，
该方程的最简公分母为：x（5﹣x），
故选：C．
【举一反三1】解分式方程，分以下四步，其中，错误的一步是（　　）
A.方程两边分式的最简公分母是（x﹣1）（x+1）
B.方程两边都乘以（x﹣1）（x+1），得整式方程2（x﹣1）+3（x+1）＝6
C.解这个整式方程，得x＝1
D.原方程的解为x＝1
【答案】D
【解析】解：分式方程的最简公分母为（x﹣1）（x+1），
方程两边乘以（x﹣1）（x+1），得整式方程2（x﹣1）+3（x+1）＝6，
解得：x＝1，
经检验x＝1是增根，分式方程无解．
故选：D．
【举一反三2】解分式方程，下列四步解题中，错误的是　(　　)
A.方程的最简公分母是x2-1
B.方程两边乘以(x2-1)，得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6
C.解B项中整式方程得x=1
D.原方程的解为x=1
【答案】D
【解析】解：忘记了验根，经检验x=1时，x2-1=0，所以原分式方程无解.
【举一反三3】在解分式方程时，去分母可得 　 　．
【答案】9x﹣3（x+3）＝x2﹣9．
【解析】解：分式方程两边乘以最简公分母（x+3）（x﹣3），
得：9x﹣3（x+3）＝x2﹣9．
故答案为：9x﹣3（x+3）＝x2﹣9．
【举一反三4】对于式子和,你能找到一个合适的x值,使它们的值相等吗 写出你的解题过程.
【答案】解：能.根据题意,设=,
则有2x+1=3(x-2),解得x=7,
经检验x=7是=的解.
所以,当x=7时,式子和的值相等.
【举一反三5】设A=，B=,当x为何值时，A与B的值相等
【答案】解：当A=B时,=.
方程两边同时乘以(x+1)(x-1),得
x(x+1)=3+(x+1)(x-1).
x2+x=3+x2-1.
x=2.
检验:当x=2时,(x+1)(x-1)=3≠0.
∴x=2是分式方程的根.
因此,当x=2时,A=B.
【题型3】用换元法解分式方程
【典型例题】已知方程，若设x2+3x=y，则原方程可化为（　　）
A.y2﹣20y=8 B.y2﹣20=8 C.y﹣20=8y D.y2﹣20=8y
【答案】D
【解析】解：∵设x2+3x=y，
∴原方程可化为y﹣=8，
整理得 y2﹣20=8y．
故选：D．
【举一反三1】用换元法解方程时若设，则可得到整式方程是（　　）
A.3y2﹣11y+8=0 B.3y2+8y=11 C.8y2﹣11y+3=0 D.8y2+3y=11
【答案】A
【解析】解：把代入原方程，得：+3y=11．
方程两边同乘以y得：3y2﹣11y+8=0．
故选A．
【举一反三2】用换元法解方程时，可以设 　　 ＝y，那么原方程可化为关于y的整式方程是 　 　 ．
【答案】，5y2+15y﹣2＝0．
【解析】解：，
设，则原方程变为，即5y2+15y﹣2＝0，
故答案为：，5y2+15y﹣2＝0．
【举一反三3】已知x为实数，若x25（x）+8＝0，那么x的值为 　 　 ．
【答案】2或3．
【解析】解：设xa，则x2a2﹣2，
∵x25（x）+8＝0，
∴a2﹣2﹣5a+8＝0，
解得：a＝2或3，
∴x的值为2或3．
故答案为：2或3．
【举一反三4】先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
解方程（）2﹣6（）+5=0
解：令=y，代入原方程后，得：
y2﹣6y+5=0
（y﹣5）（y﹣1）=0
解得：y1=5 y2=1
∵=y
∴=5或=1
①当=1时，方程可变为：
x=5（x﹣1）
解得x=
②当=1时，方程可变为：
x=x﹣1
此时，方程无解
检验：将x=代入原方程，
最简公分母不为0，且方程左边=右面
∴x=是原方程的根
综上所述：原方程的根为：x=
根据以上材料，解关于x的方程x2++x+=0．
【答案】解：x2++x+=0，
（x+）2+x+﹣2=0，
设x+=a，则原方程化为：a2+a﹣2=0，
解得：a=﹣2或1，
当a=﹣2时，x+=﹣2，
x2+2x+1=0，
解得：x=﹣1，
当a=1时，x+=1，
x2﹣x+1=0，
此方程无解；
经检验x=﹣1是原方程的解，
所以原方程的解为x=﹣1．
【题型4】分式方程与新定义型及规律型问题
【典型例题】在正数范围内定义一种运算“*”，其规则是a*b=，如果x*（2x）=1，则x的值为（　　）
A.2 B. C.﹣2 D.﹣
【答案】B
【解析】解：根据题中的新定义得：=1，
去分母得：2﹣1=2x，
合并得：2x=1，
解得：x=，
经检验是分式方程的解．
【举一反三1】对于非零的两个实数a,b,规定a b=,若2 (2x-1)=1,则x的值为(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：因a b=,
所以2 (2x-1)=，
故有=1,所以,
解得:x=,经检验,x=是原方程的解.
【举一反三2】在正数范围内定义一种运算“※”，其规定则为a※b＝，如2※4＝，根据这个规则，则方程3※（x﹣1）＝1的解为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵3※（x﹣1）＝1，
∴+＝1，
x﹣1+3＝3（x﹣1），
解得：x＝，
检验：当x＝时，3（x﹣1）≠0，
∴x＝是原方程的根，
故选：C．
【举一反三3】符号“”称为二阶行列式,规定它的运算法则为:=ad-bc,则根据上述规定得等式=1中的x的值为　　　　　.
【答案】4
【解析】解：由题意得,解分式方程得x=4,检验知x=4是分式方程的解,所以x的值为4.
【举一反三4】定义两种新运算“△”和“※”，其运算规则为a△b＝，a※b＝，若x△1＝x※2，则x＝　 　．
【答案】．
【解析】解：由题意可得＝，
去分母得：（x﹣1）（x﹣4）＝（x+1）（x+2），
整理得：﹣5x+4＝3x+2，
解得：x＝，
检验：当x＝时，（x+1）（x﹣4）≠0，
故原方程的解为x＝，
故答案为：．
【举一反三5】阅读：对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则x＝a或x＝b．
又因为，
所以关于x的方程有两个解，分别为x1＝a，x2＝b．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）方程的两个解分别为x1＝﹣2，x2＝3，则p＝　 　，q＝　 　；
（2）方程的两个解分别为x1＝a，x2＝b，求a2+b2的值；
（3）关于x的方程的两个解分别为x1、x2（x1＜x2），求（用含n的代数式表示）．
【答案】解：（1）∵关于x的方程有两个解，分别为x1＝a，x2＝b且 方程的两个解分别为x1＝﹣2，x2＝3，
∴p＝x1 x2＝﹣2×3＝﹣6，q＝x1+x2＝﹣2+3＝1；
（2）方程的两个解分别为x1＝a，x2＝b，则a+b＝3，ab＝﹣2，
由 a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，把a+b＝3，ab＝﹣2代入上式得：a2+b2＝13；
（3）∵，
∴，
∴，
∵x1＜x2，
∴2x1+1＝n或2x2+1＝2n+1，
∴2x2﹣2＝2n﹣2，
∴．
【题型5】判断分式方程的解
【典型例题】分式方程的解是（　　）
A.x=﹣9 B.x=9 C.x=3 D.
【答案】B
【解析】解：把四个选项中的值分别代入方程的左右两边，使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解，
将x=9代入x（x﹣3）=54≠0，
∴方程的解为x=9，
故选B．
【举一反三1】分式方程的解是（　　）
A.x＝0 B. C. D.
【答案】B
【解析】解：
A.当x=0时，方程左边无意义，所以x=0不是原方程的解.
B.当x=时，方程左边=7，方程右边=7，因左边=右边，所以x=是原方程的解.
C.当x=时，方程左边=9，方程右边=7，因左边≠右边，所以x=不是原方程的解.
D.当x=-时，方程左边=5，方程右边=7，因左边≠右边，所以x=-不是原方程的解.
故选：B．
【举一反三2】方程＝1的解是（　　）
A.x＝﹣3 B.x＝﹣2 C.x＝2 D.x＝3
【答案】A
【解析】解；
A.当x=-3时，方程左边=1，方程右边=1，因左边=右边，所以x=-3是原方程的解.
B.当x=-2时，方程左边无意义，所以x=-2不是原方程的解.
C.当x=2时，方程左边无意义，所以x=2不是原方程的解.
D.当x=3时，方程左边=，方程右边=1，因左边≠右边，所以x=3不是原方程的解.
故选：A．
【举一反三3】分式方程的解是（　　）
A.x＝5 B.x＝﹣5 C.x＝4 D.x＝﹣4
【答案】A
【解析】解：
A.当x=5时，方程左边=1，方程右边=1，因左边=右边，所以x=1是原方程的解.
B.当x=-5时，方程左边=-，方程右边=1，因左边≠右边，所以x=-5不是原方程的解.
C.当x=4时，方程左边无意义，所以x=4不是原方程的解.
D.当x=-4时，方程左边=-，方程右边=1，因左边≠右边，所以x=-4不是原方程的解.
故选：A．
【举一反三4】分式方程的解为（　　）
A.y＝1 B.y＝2 C.y＝3 D.y＝4
【答案】A
【解析】解：
A.当y=1时，方程左边=，方程右边=，因左边=右边，所以y=1是原方程的解.
B.当y=2时，方程左边=0，方程右边=-1，因左边≠右边，所以y=2不是原方程的解.
C.当y=3时，方程左边无意义，所以y=2不是原方程的解.
B.当y=4时，方程左边=2，方程右边=5，因左边≠右边，所以y=4不是原方程的解.
故选：A．
【题型6】分式方程有解求参数值或参数取值范围
【典型例题】已知关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围为（　　）
A.且a≠3 B.且a≠3 C.且a≠3 D.且a≠3
【答案】A
【解析】解：，
去分母得2x+a﹣3a＝x﹣3，
解得x＝2a﹣3，
∵方程的解为正数，
∴2a﹣3＞0，
∴，
∵x≠3，
∴2a﹣3≠3，
∴a≠3，
∴a的取值范围是且a≠3，
故选：A．
【举一反三1】若关于x的分式方程的解为负数，则m的值可能是（　　）
A.﹣2 B.﹣3 C.﹣4 D.﹣5
【答案】C
【解析】解：去分母，得：3x﹣2＝m+x+1，
移向，得：2x＝3+m，
系数化1，得：x＝，
∵该分式方程的解为负数，且分式方程有意义，
∴，
∴m＜﹣3且m≠﹣5，
故选：C．
【举一反三2】若关于x的方程的解不大于8，则m的取值范围是　 　．
【答案】m≥﹣18且m≠0
【解析】解：去分母得：2﹣x﹣m=2x﹣4，
解得：x=，
由分式方程的解不大于8，得到，
解得：m≥﹣18且m≠0，
则m的取值范围是m≥﹣18且m≠0，
故答案为：m≥﹣18且m≠0.
【举一反三3】已知关于x的方程的解是x＝2，求关于y的不等式（a﹣5）y＜﹣6的解集．
【答案】解：根据题意可得：，解得a＝3，
所以（3﹣5）y＜﹣6，
解得y＞3．
所以，不等式的解集y＞3．
【举一反三4】若方程的解不大于13，求k的取值范围．
【答案】解：去分母得：（x﹣5）2﹣（x﹣6）2=2x﹣11=k，
解得：x=，
根据题意得：≤13，且≠5，≠6，
解得：k≤15，且k≠﹣1，k≠1．
【题型7】分式方程无解求参数值
【典型例题】如果解关于x的分式方程时出现增根，那么m的值为（　　）
A.﹣2 B.2 C.4 D.﹣4
【答案】D
【解析】解：，
去分母，方程两边同时乘以x﹣2，得：
m+2x=x﹣2，
由分母可知，分式方程的增根可能是2，
当x=2时，m+4=2﹣2，
m=﹣4，
故选D．
【举一反三1】若关于x的方程无解，则a的值为（　　）
A.2 B.﹣1 C.2或 D.2或﹣1或
【答案】D
【解析】解：，
方程两边同时乘以（x﹣1）（x﹣2），得（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣2）＝ax+2，
整理得：（2﹣a）x＝3，
∵原方程无解，
∴2﹣a＝0或x﹣2＝0或x﹣1＝0，
∴x＝1或x＝2，a＝2，
将x＝1或x＝2代入（2﹣a）x＝3，
得：a＝﹣1或，
综上可知a＝2或﹣1或，
故选：D．
【举一反三2】已知关于x的分式方程﹣2＝无解，则k的值为（　　）
A.k＝2或k＝﹣1 B.k＝﹣2 C.k＝2或k＝1 D.k＝﹣1
【答案】A
【解析】解：，
kx﹣2（x﹣3）＝﹣3，
kx﹣2x+6＝﹣3
（k﹣2）x＝﹣9，
x＝，
∵关于x的分式方程无解，
∴x﹣3＝0，解得：x＝3，＝3，
∴3k﹣6＝﹣9且k﹣2＝0，
解得：k＝﹣1或2，
故选：A．
【举一反三3】若关于x的方程﹣1=0无实根，则a的值为　 　．
【答案】1或﹣1
【解析】解：方程去分母得：ax+1﹣x+1=0，即（a﹣1）x=﹣2，
当a﹣1=0，即a=1时，方程无解；
当a﹣1≠0，即a≠1时，将x=1代入得：a+1﹣1+1=0，
解得：a=﹣1，
综上，方程无实数根时a的值为1或﹣1．
故答案为：1或﹣1．
【举一反三4】已知关于x的方程+1=无解，求a的值．
【答案】解：由原方程，得3﹣2x+x﹣3=ax+12，
整理，得（a+1）x=﹣12．
当整式方程无解时，a+1=0即a=﹣1，
当分式方程无解时：①x=3时，a=﹣5，
所以a=﹣1或﹣5时，原方程无解．
【题型8】列分式方程（只列不解）
【典型例题】近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程10千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程7千米，走路线b比路线a平均速度提高40%，时间节省10分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/小时，依题意，可列方程为（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：∵走路线b的平均车速比走路线a能提高40%，且走路线a的平均速度为x千米/时，
∴走路线b的平均速度为（1+40%）x千米/时．
根据题意得：．
故选：A．
【举一反三1】某运输公司，运送一批货物，甲车每天运送货物总量的．在甲车运送1天货物后，公司增派乙车运送货物，两车又共同运送货物天，运完全部货物．求乙车单独运送这批货物需多少天？设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列方程，正确的是（　　）
A.1 B.（）＝1 C.（1）1 D.（）1
【答案】B
【解析】解：由题意可得，
（）＝1，
故选：B．
【举一反三2】6月进入了毕业季，某校九年级班主任准备给自己的学生买一些相册，并把初中三年来学生的照片放进去，这些照片记录了他们初中三年的点点滴滴．目前有A，B两款相册比较合适，其中A款相册的单价比B款相册的单价贵3元，用1000元购买A款相册的数量是用425元购买B款相册数量的2倍，求B款相册的单价．若设B款相册的单价为x元，则根据题意可列方程为（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：∵A款相册的单价比B款相册的单价贵3元，且设B款相册的单价为x元，
∴A款相册的单价为（x+3）元．
根据题意得：2．
故选：D．
【举一反三3】为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程．课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（　　）
A.0.4 B.0.4 C.0.4 D.0.4
【答案】A
【解析】解：由题意得：0.4．
故选：A．
【举一反三4】某校八年级学生去距离学校120km的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发1h后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度．设慢车的速度是x km/h，所列方程正确的是（　　）
A.1 B.1 C. D.
【答案】B
【解析】解：设慢车的速度为x km/h，
根据题意可列方程为：1．
故选：B．
【题型9】行程问题
【典型例题】为大力发展交通事业，广元市建成多条快速通道．李某开车从家到单位有两条路线可选择，甲路线为全程24千米的普通道路，乙路线包含快速通道，全程15千米，走乙路线比走甲路线的平均速度提高35%，时间节省15分钟，求走乙路线和走甲路线的平均速度分别是多少．设走甲路线的平均速度为x千米/时，依题意，可列方程为（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：设走甲路线的平均速度为x千米/时，列方程为，
故选：A．
【举一反三1】甲、乙两港口相距60千米，一艘轮船从甲港口顺流航行至乙港口，又立即从乙港口逆流返回甲港口，共用去4小时，已知水流速度为2千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：顺流时间为：小时，逆流时间为：小时，
由题意得：+＝4，
故选：A．
【举一反三2】2023年12月8日，济郑高铁山东段开通运营，标志着聊城进入高铁时代．寒假期间，小明和爸爸从聊城出发去某地旅游，已知两地相距约500km，乘高铁比开小轿车少用3.8h（假设两种出行方式的总路程相同），高铁的平均速度是小轿车的3倍，设小轿车的平均速度是x km/h，则下列方程中正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵高铁的平均速度是小轿车的3倍，且小轿车的平均速度是x km/h，
∴高铁的平均速度是3x km/h．
根据题意得：﹣＝3.8．
故选：C．
【举一反三3】A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程为 .
【答案】
【解析】解：由题意可得，.
【举一反三4】2024年扬州鉴真半程马拉松比赛于4月1日举行，本届赛事设置半程马拉松、健康跑、欢乐跑项目．小明参与了“半程马拉松”（约21km）项目，小明前10km按计划的速度跑，之后为了提高成绩，平均速度提高到之前的1.2倍，最终比原计划提前11min到达目的地．求小明前10km的平均速度．
【答案】解：∵小明前10km的平均速度为v km/h，
∴小明原计划所用的时间为：（h），
依题意得：+＝﹣，
解这个方程得：v＝10，
检验后知道v＝10是原方程的根．
∴小明前10km的平均速度是10km/h．
答：小明前10km的平均速度是10km/h．
【题型10】工程问题（总工作量为单位1）
【典型例题】甲、乙两位打字员承担一项打字任务，已知有如下信息：
信息一：甲单独完成这项任务所需要的时间比乙单独完成这项任务所需要的时间多4小时；
信息二：甲5小时完成这项任务的工作量与乙4小时完成这项任务的工作量相等．
根据以上信息可知，乙单独完成这项任务需要（　　）
A.10小时 B.12小时 C.14小时 D.16小时
【答案】D
【解析】解：设乙单独完成任务需x小时，甲单独完成任务需（x+4）小时，
由题意，得，
解这个方程，得x＝16．
经检验，x＝16是原方程的解．
所以乙单独完成这项任务需要16小时．
故选：D．
【举一反三1】2024年5月18日，“万人农耕”大地艺术创作活动在成都世园会新津分会场——天府农博园开启，市民游客在这里呈现了一场与4500年农耕文明的互动，共绘农商文旅体融合的生动画卷．某班学生与家长分别组成学生组和家长组参加了插秧活动，先由学生组独立进行，3小时完成了总任务的一半；而后家长组加入，再共同进行1小时完成了剩下任务．如果设家长组独立进行x小时可以完成总任务，则可列方程为（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：由题意可得，
＝，
故选：A．
【举一反三2】甲计划用若干个工作日完成某项工作，从第三个工作日起，乙加入此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前4天完成任务，则甲计划完成此项工作的天数是 　 　．
【答案】10天
【解析】解：设甲计划完成此项工作的天数是x天，
依题意，得：+＝1，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意．
故答案为：10天．
【举一反三3】两个工程队开凿一条隧道，甲队先独立施工1周完成总工程的，这时乙队加入施工，两队又共同施工了5天，隧道被挖通．记总工程量为1．
（1）甲队单独施工1天完成总工程的 　 　；
（2）设乙队单独施工挖通隧道需要x天，根据题意，列出方程为 　 　．
【答案】（1）；
（2）×（7+5）+＝1．
【解析】解：（1）∵甲队先独立施工1周完成总工程的，
∴甲队单独施工1天完成总工程的：÷7＝，
故答案为：；
（2）设乙队单独施工挖通隧道需要x天，
根据题意得：×（7+5）+＝1，
故答案为：×（7+5）+＝1．
【举一反三4】在夏季来临前，某社区进行了雨水、污水管道改造工程招标，有甲、乙两个工程队投标，经测算，甲工程队单独完成该项工程需40天．若由乙先单独做20天，余下的工程由甲、乙合做16天可完成．求乙单独完成该项工程需要多少天？
【答案】解：设乙队单独完成该项工程需要x天，
由题意得：+＝1﹣，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原分式方程的解，且符合题意，
答：乙队单独完成该项工程需要60天．
【举一反三5】某段高铁工程计划由甲、乙两个工程队共同承担完成，其中甲工程队单独完成这项工作需120天．若甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合作，两队又共同工作了36天才完成任务．
（1）求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？
（2）由于某种原因，甲工程队先单独用60天完成了工程的一部分，剩下的部分由乙工程队完成，那么乙工程队又干了多少天？
【答案】解：（1）设乙工程队单独完成这项工作需要x天，
由题意得，
解得x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解．
答：乙工程队单独完成这项工作需要80天完成．
（2）设乙工程队又干了y天，
由题意得，
解得y＝40，
答：乙工程队又干了40天．
【题型11】工作效率问题（求单位时间内完成的具体工作量）
【典型例题】北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”引爆购买潮，导致“一墩难求”．某工厂承接了60万只冰墩墩的生产任务，实际每天的生产效率比原计划提高了25%，提前10天完成任务．设原计划每天生产x万只冰墩墩，则下面所列方程正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：∵实际每天的生产效率比原计划提高了25%，且原计划每天生产x万只冰墩墩，
∴实际每天生产（1+25%）x万只冰墩墩．
依题意得：﹣＝10．
故选：D．
【举一反三1】某农场开挖一条长360米的水渠，开工后每天效率是原计划每天效率的1.5倍，结果少花3天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么下列方程中正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：设原计划每天挖x米，则原计划用时为：天，
实际用时为：天，
∴，
故选：A．
【举一反三2】数学活动课上，甲、乙两位同学制作长方体盒子．已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟，甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍．设乙每小时做x个盒子，根据题意可列方程（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：由题意可得，
，
故选：C．
【举一反三3】接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径．针对疫苗应急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工厂不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂．设该厂当前参加生产的工人有x人，根据题意可列方程为：　 　．
【答案】＝．
【解析】解：设当前参加生产的工人有x人，由题意可得：
＝．
故答案为：＝．
【举一反三4】小李与小王是社区图书馆整理图书的志愿者，他们在清点图书时，小王平均每分钟比小李多清点5本，小李清点200本图书所用的时间与小王清点300本图书所用的时间相同．
（1）求小王平均每分钟清点图书的本数；
（2）周末，该图书馆要求他们两人同时清点完3600本图书，用时不超过3小时．但小王有事需提前离开，在两人清点图书的速度不变的情况下，小王至少清点多少本图书才能离开？
【答案】解：（1）设小王平均每分钟清点图书x本，
，
解得，x=15，
经检验x=15是原分式方程的解，
即小王平均每分钟清点图书15本；
（2）小王清点y本图书才能离开，
，
解得，y≥1800，
即小王至少清点1800本图书才能离开．
【举一反三5】A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？
【答案】解：设B型机器人每小时搬运x kg化工原料，则A型机器人每小时搬运（x+30）kg化工原料．
依题意可得：，
解得x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，
则x+30＝90．
答：B型机器人每小时搬运60kg化工原料，则A型机器人每小时搬运90kg化工原料．
【题型12】消费问题
【典型例题】新能源车的技术越来越成熟，而且更加环保节能．小松同学的爸爸准备换一台车，通过对比两台续航里程相同的燃油车和新能源车，发现燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，已知燃油车的油箱容积为40升，燃油价格为9元/升，新能源车电池容量为60千瓦时，电价为0.6元/千瓦时，则小松爸爸选择的两台汽车的续航里程是（　　）
A.600km B.500km C.450km D.400km
【答案】A
【解析】解：设两台汽车的续航里程是x千米，
由题意可得，，
解得：x＝600，
经检验x＝600是方程的解，
故选：A．
【举一反三1】2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，三名航天员平安归来，神舟十三号任务取得圆满成功．某航模店购进了“神舟”和“天宫”两款航空模型．已知每个“神舟”模型比“天宫”模型的进价多10元，且同样花费100元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多5个．设“天宫”模型进价为每个x元，则下列方程正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：根据题意，设“天宫”模型进价为每个x元，则“神舟”模型的价格为（x+10）元，
∴花费100元购进“天宫”模型的数量是，购进“神舟”模型的数量是，
∵“天宫”模型的数量比“神舟”模型多5个
∴，
故选：D．
【举一反三2】水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的，小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是24.5元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3米3．设该市去年居民用水价格为x元/米3，则可列分式方程为 　 　．
【答案】﹣＝3．
【解析】解：∵该市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的，且该市去年居民用水价格为x元/米3，
∴该市今年居民用水价格为（1+）x元/米3．
根据题意得：﹣＝3．
故答案为：﹣＝3．
【举一反三3】一商场先用3200元购进一批防紫外线太阳伞，很快就销售一空．商场又用8000元购进了第二批这种太阳伞，所购数量是第一批的2倍，但每把太阳伞贵了4元．则第一次购进这种太阳伞 　 　把．
【答案】200．
【解析】解：设商场第一批购进x把这种太阳伞，则第二批购进2x把这种太阳伞，
根据题意得：﹣＝4，
解得：x＝200，
经检验，x＝200是所列方程的解，且符合题意，
故答案为：200．
【举一反三4】每年的3月14日是“国际数学日”，旨在体现数学的重要性．六盘水市某中学在今年“国际数学日”举行了初中学生数学素养比赛，需购买一批乒乓球拍和羽毛球拍作为奖品．询价时了解到：文具店乒乓球拍单价是羽毛球拍单价的1.5倍，且花200元购买羽毛球拍的数量比花240元购买乒乓球拍的数量多2副．
（1）求询价时乒乓球拍和羽毛球拍的单价分别为多少元？
（2）前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：羽毛球拍比之前询价时的单价上涨了2元，乒乓球拍则按之前询价时单价的8折出售．若学校最终购买了乒乓球拍和羽毛球拍共60副，且购买奖品的总费用不超过1361元，则学校至少需购买多少副羽毛球拍？
【答案】解：（1）设询价时羽毛球拍的单价为x元，则乒乓球拍的单价为1.5x元，
根据题意得：﹣＝2，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是所列方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝1.5×20＝30，
答：询价时乒乓球拍的单价为30元，羽毛球拍的单价为20元；
（2）设学校需购买m副羽毛球拍，则需购买（60﹣m）副乒乓球拍，
根据题意得：（20+2）m+30×0.8（60﹣m）≤1361，
解得：m≥40，
答：学校至少需购买40副羽毛球拍．
【举一反三5】某商场购进甲、乙两种型号的小型家用电器，每个乙种型号电器的进价比每个甲种型号电器的进价的3倍少50元，用300元购进甲种电器的数量与用400元购进乙种型号电器的数量相同，请解答下列问题．
（1）求甲、乙两种型号电器的进价；
（2）若商场欲从厂家一次性购进甲、乙两种型号的电器共40个，且总费用不能超过1400元，则最多可以购进乙种型号电器多少个？
【答案】解：（1）设甲种型号的电器进价为x元，则乙种型号的电器进价为（3x﹣50）元．
根据题意得，，
解得x=30．
经检验：x=30是原方程的解．
答：甲种型号的电器进价为30元，乙种型号的电器进价为40元；
（2）设商店可以购买乙种型号电器y个．
根据题意得：30（40﹣y）+40y≤1400，
解得y≤20．
答：商店最多可以购进乙种电器20个．
【题型13】和差倍分及其它问题
【典型例题】据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．若设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，下列方程中正确的是（　　）
A. B. C.100（2x﹣4）＝550x D.
【答案】A
【解析】解：由题意得：＝．
故选：A．
【举一反三1】2022年5月12日是我国第14个全国防灾减灾日，某校组织防灾减灾教育活动，八年级同学进行了两次地震应急演练，在改进撤离方案后，第二次平均每秒撤离的人数比第一次的多20%，结果360名同学全部撤离的时间比第一次节省了30秒，那么第一次平均每秒撤离的人数为（　　）
A.1 B.1.5 C.2 D.3
【答案】C
【解析】解：设第一次平均每秒撤离x人，则第二次平均每秒撤离（1+20%）x人，
由题意得：﹣＝30，
解得：x＝2，
经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意，
即第一次平均每秒撤离2人，
故选：C．
【举一反三2】2021年是中国共产党建党100周年，某校为了纪念党的生日，计划组织540名学生去外地参观学习．现有A，B两种不同型号的客车可供选择，在每辆车刚好满座的前提下，每辆B型客车比每辆A型客车多坐15人，单独选择B型客车比单独选择A型客车少租6辆，设A型客车每辆坐x人，则根据题意可列方程为（　　）
A.﹣＝6 B.﹣＝6 C.﹣＝6 D.﹣＝6
【答案】A
【解析】解：设A型客车每辆坐x人，则B型客车每辆坐（x+15）人，
依题意得：﹣＝6．
故选：A．
【举一反三3】2021年是中国共产党建党100周年，某校为了纪念党的生日，计划组织540名学生去外地参观学习．现有A，B两种不同型号的客车可供选择，在每辆车刚好满座的前提下，每辆B型客车比每辆A型客车多坐15人，单独选择B型客车比单独选择A型客车少租6辆，设A型客车每辆坐x人，则根据题意可列方程为（　　）
A.﹣＝6 B.﹣＝6 C.﹣＝6 D.﹣＝6
【答案】A
【解析】解：设A型客车每辆坐x人，则B型客车每辆坐（x+15）人，
依题意得：﹣＝6．
故选：A．
【举一反三4】据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．若设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，下列方程中正确的是（　　）
A. B. C.100（2x﹣4）＝550x D.
【答案】A
【解析】解：由题意得：＝．
故选：A．
【举一反三5】某校组织八年级师生共400名去春游，为安全起见，每名师生均有座位且每一辆客车均不得超载．现学校决定向客运公司租用大小客车若干辆前往，若每辆客车均坐满，结果全部租用大客车所用车辆数比全部租用小客车所用车辆数少2辆，已知每辆大客车比每辆小客车乘客座位数多25%，求大、小客车的乘客座位数．
【答案】解：设小客车的乘客座位数为x个，则大客车的乘客座位数为（1+25%）x个，即1.25个，
根据题意得：，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
∴1.25x＝1.25×40＝50，
答：大客车的乘客座位数为50个，小客车的乘客座位数为40个．
【举一反三6】改良玉米品种后，迎春村玉米平均每公顷增加产量a吨，原来产m吨玉米的一块地，现在的总产量增加了20吨，原来和现在玉米平均每公顷产量各是多少？
【答案】解：设原来玉米平均每公顷产量是x吨，则现在玉米平均每公顷产量是（x+a）吨．
由题意，有＝，
解得x＝．
把x＝代入x（x+a）＝（+a）≠0，
经检验x＝是原方程的根，
∴x+a＝+a＝．
故原来和现在玉米平均每公顷产量各是吨，吨．

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