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21.1一元二次方程
【题型1】一元二次方程的辨别 4
【题型2】利用一元二次方程的一般形式确定各项系数 5
【题型3】利用一元二次方程解决代数问题 7
【题型4】利用一元二次方程解决几何问题 9
【题型5】直接利用一元二次方程的解 11
【题型6】求未知字母或代数式的值 13
【知识点1】一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 1.（2025春 南山区校级期末）下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c=0B．x2+1-x2=0C．x2+=2D．x2-x-2=0
【答案】D 【分析】一元二次方程必须满足下面几个条件：（1）整式方程；（2）只有一个未知数，且未知数的最高次是2；（3）二次项系数不为0． 【解答】解：A、当a=0时，该方程不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意．
B、由已知方程得到1=0，该等式不成立，且不含有未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
C、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意．
D、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
故选：D． 2.（2025春 芝罘区期末）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2+1=0B．C．x2+y=3D．
【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【解答】解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意；
B、不是整式方程，故此选项不符合题意；
C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D、是一元一次方程，故此选项不符合题意；
故选：A． 【知识点2】一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 1.（2025春 南岗区校级月考）对于一元二次方程x=-2x2+1，化为一般式后二次项系数为2，则一次项系数为（　　） A．1B．2C．-1D．-2
【答案】A 【分析】先把方程化成一元二次方程的一般形式，并变形后二次项系数为2，再找出一次项系数即可． 【解答】解：x=-2x2+1，
2x2+x-1=0，
即对于一元二次方程x=-2x2+1，化为一般式后二次项系数为2，则一次项系数为1．
故选：A． 【知识点3】一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）． 1.（2025春 张店区期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2012-a-b的值是（　　） A．2020B．2018C．2017D．2016
【答案】C 【分析】根据方程解的定义，求出a+b的值，即可解决问题． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，
∴a+b+5=0，
∴a+b=-5，
∴2012-a-b=2012-（a+b）=2017．
故选：C． 2.（2024 凉山州）若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2-4=0的一个根是x=0，则a的值为（　　） A．2B．-2C．2或-2D．
【答案】A 【分析】利用一元二次方程解的定义及一元二次方程的定义可得a2-4=0且a+2≠0，解得a的值即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2-4=0的一个根是x=0，
∴a2-4=0且a+2≠0，
解得：a=2，
故选：A．
【题型1】一元二次方程的辨别
【典型例题】下列方程中，一元二次方程是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】选项A是分式方程，错误；选项B是多项式，不是方程，错误；
选项C是一元二次方程，正确；选项D是为二元二次方程，错误.
【举一反三1】已知关于x的方程（a-3）x|a-1|+x-1=0是一元二次方程，则a的值是（　　）
A.-1 B.2 C.-1或3 D.3
【答案】A
【解析】解：∵关于x的方程（a-3）x|a-1|+x-1=0是一元二次方程，
∴a-3≠0且|a-1|=2，
解得：a=-1，
故选：A．
【举一反三2】下列方程中，是一元二次方程的是_______(填序号)
①x2＋2x＋y=1；②x2＋－2=0；③x2=0；④(x＋2)(x＋3)=x2－1.
【答案】③
【举一反三3】已知关于x的方程：3x＋＝2x，2x2＋y=3，2x－x2=3，＋x2＝3，x=27x2.
(1)其中为一元二次方程的有哪些；
(2)对比各方程的特征请说明：判断一个方程为一元二次方程应从哪几方面考虑.
【答案】解：(1)是一元二次方程的是：2x－x2=3和x=27x2；
(2)一元二次方程必须满足四个条件：①未知数的最高次数是2；②二次项系数不为0；③是整式方程；④含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案.
【题型2】利用一元二次方程的一般形式确定各项系数
【典型例题】若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋3x＋m2－4=0的常数项为0，则m的值等于(　　)
A.－2 B.2 C.－2或2 D.0
【答案】A
【解析】由题意得m2－4=0，解得m=±2，∵m－2≠0，∴m≠2，∴m=－2.
【举一反三1】将一元二次方程x（x-9）=-3化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为-1，一次项系数和常数项分别是（　　）
A.9，3 B.9，-3 C.-9，-3 D.-9，3
【答案】B
【解析】解：x（x-9）=-3，
x2-9x+3=0，
所以-x2+9x-3=0，
所以一次项系数、常数项分别为9、-3，
故选：B．
【举一反三2】关于x的方程(m＋n)x2＋－(m－n)x=0(m＋n≠0)的二次项系数与一次项系数的和为，差为2，则常数项为(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为(m＋n)、－(m－n)和.根据题意得，解得，所以常数项为==.
【举一反三3】把方程（x-1）（x+7）=16-x2化为一般形式后，它的二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 .
【答案】6．
【解析】解：（x-1）（x+7）=16-x2化为一般形式是2x2+6x-23=0，其中二次项系数，一次项系数，常数项分别为2，6，-23
故答案为：2，6，-23.
【举一反三4】把方程3x(x－1)＝(x＋2)(x－2)＋9化成ax2＋bx＋c＝0的形式为________________
【答案】2x2－3x－5＝0
【解析】3x2－3x=x2－4＋9,3x2－x2－3x＋4－9,2x2－3x－5＝0.
【举一反三5】把方程x2－x=2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答.
(1)下列方程中，有哪几个与方程x2－x=2所化的一元二次方程的一般形式相同？(答案只写序号)
①x2－x－2=0；②－x2＋x＋2=0；③x2－2x=4；
④－x2＋2x＋4=0；⑤x2－2x－4=0.
(2)方程x2－x=2化为一元二次方程的一般形式，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系？
【答案】解：(1)一元二次方程的一般形式是：ax2＋bx＋c=0(a，b，c是常数且a≠0)，
因此①，②，③，④，⑤与方程x2－x=2所化的一元二次方程的一般形式相同.
(2)一元二次方程的一般形式是：ax2＋bx＋c=0(a，b，c是常数且a≠0)，在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项.其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.若设方程x2－x=2的二次项系数为a(a≠0)，则一次项系数为－2a，常数项为－4a，因此二次项系数：一次项系数：常数项=1：(－2)：(－4).
综述, 这个方程的二次项系数：一次项系数：常数项=1：(－2)：(－4).
【题型3】利用一元二次方程解决代数问题
【典型例题】学校要组织足球比赛.赛制为单循环形式(每两队之间赛一场).计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛.根据题意，下面所列方程正确的是(　　)
A.x2=21 B.x(x－1)=21 C.x2=21 D.x(x－1)=21
【答案】B
【解析】设有x个队，每个队都要赛(x－1)场，但两队之间只有一场比赛，由题意得x(x－1)=21.
【举一反三1】电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x,则方程可以列为（　　）
A.3（1+x）=10
B.3（1+x）2=10
C.3+3（1+x）2=10
D.3+3（1+x）+3（1+x）2=10
【答案】D
【解析】解：
若把增长率记作x,则第二天票房约为3（1+x）亿元，第三天票房约为3（1+x）2亿元，
依题意得：3+3（1+x）+3（1+x）2=10．
故选：D．
【举一反三2】某班科技兴趣小组的学生，将自己的作品向本组其他成员各赠送一件，全组共相互赠送作品56件，若全组有x名同学，则根据题意列出的方程是(　　)
A.x(x－1)=56×2
B.2x(x＋1)=56
C.x(x＋1)=56
D.x(x－1)=56
【答案】D
【解析】设全组有x名同学，每位同学将送出(x－1)件，由题意得x(x－1)=56.
【举一反三3】某商场销售一款毛衣，平均每天可售出30件，每件获利28元．受气温影响，商场决定适当降价出售．据调查，毛衣单价每降低1元，则每天可多售出3件．如果每天获利1080元，每件降价多少元？设每件降价x元，根据题意，可列方程为 ．
【答案】（28-x）（30+3x）=1080．
【解析】解：根据题意得：
（28-x）（30+3x）=1080，
故答案为：（28-x）（30+3x）=1080．
【举一反三4】要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？
【答案】解：
由题意可得，7×4=28（场），即共有28场比赛，
设比赛组织者应邀请x个队参赛，每个队要与其他（x-1）个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛
x（x-1）=28.
【题型4】利用一元二次方程解决几何问题
【典型例题】如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道.若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是(　　)
A.x2＋9x－8=0
B.x2－9x－8=0
C.x2－9x＋8=0
D.2x2－9x＋8=0
【答案】C
【解析】设人行道的宽度为x米，根据题意得(18－3x)(6－2x)=60，化简整理得x2－9x＋8=0.
【举一反三1】今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60m，若将短边增大到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1600m2.设扩大后的正方形绿地边长为x m，下面所列方程正确的是(　　)
A.x(x－60)=1600
B.x(x＋60)=1600
C.60(x＋60)=1600
D.60(x－60)=1600
【答案】A
【解析】设扩大后的正方形绿地边长为xm，根据题意得x2－60x=1600，即x(x－60)=1600.
【举一反三2】用13m的铁丝网围成一个长边靠墙面积为20m2的长方形，求这个长方形的长和宽，设平行于墙的一边为xm，可得方程(　　)
A.x(13－x)=20
B.
C.x
D.
【答案】B
【解析】平行于墙的一边为xm，那么垂直于墙的有2个边，等于(铁丝长－x)÷2，
∴．
故选B．
【举一反三3】如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余一块面积为20 m2的矩形空地，若原正方形空地边长是x m，则可列方程为______________.
【答案】(x－1)(x－3)=20
【解析】设原正方形的边长为x m，依题意有(x－3)(x－2)=20.
【举一反三4】如图，有一块矩形铁皮，长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？（只列方程不解）
【答案】解：设铁皮各角应切的正方形边长为xcm,由题意得：
（100-2x）（50-2x）=3600，
【举一反三5】根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；
（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x；
（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.
【答案】解：（1）依题意得，4x2=25，
化为一元二次方程的一般形式得，4x2-25=0．
（2）依题意得，x（x-2）=100，
化为一元二次方程的一般形式得，x2-2x-100=0．
（3）设较短一段的长x,则较长一段为1-x,由题意得
x×1=（1-x）2，
整理，得：x2-3x+1=0
【题型5】直接利用一元二次方程的解
【典型例题】一元二次方程x2＋2x=0的解是(　　)
A.0 B.0或－2 C.－2 D.没有实数根
【答案】B
【解析】将选项中的数值代入验证即可.
【举一反三1】下列关于x的方程中一定有实数根－1的是(　　)
A.x2－x＋2=0
B.x2＋x－2=0
C.x2－x－2=0
D.x2＋1=0
【答案】C
【解析】把x=－1代入各个方程成立的只有x2－x－2=0，因而关于x的方程中一定有实数根－1的是x2－x－2=0.故本题选C.
【举一反三2】下列方程中，有一个根为－1的方程是(　　)
A.x2－x=0
B.x2－7x＋6=0
C.2x2－3x－5=0
D.3x2＋2x－5=0
【答案】C
【解析】将x=－1依次代入验证可的选项C是正确的.
【举一反三3】已知方程ax2＋bx＋c=0的一个根是－1，则a－b＋c=_______.
【答案】0
【解析】把x=－1代入方程，可得a－b＋c=0.
【举一反三4】如果一元二次方程有一个解是3，那么这个一元二次方程可能是
（只写一个）．
【答案】x2-9=0（答案不唯一）．
【解析】解：一元二次方程有一个解是3，那么这个一元二次方程可能是x2-9=0；
故答案为：x2-9=0（答案不唯一）．
【举一反三5】下列哪些数是方程x2＋2x－8=0的根？
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.
【答案】解：将x=－4代入方程x2＋2x－8=0，左边=(－4)2＋(－4)×2－8=0，即左边=右边，故x=－4是方程x2＋2x－8=0的根.
同理可得，x=－3，－2，－1，0，1，3，4.时，都不是方程x2＋2x－8=0的根，
当x=2时，左边=右边，故x=－4，2都是方程x2＋2x－8=0的根.
【题型6】求未知字母或代数式的值
【典型例题】若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0（a≠0）有一根为x=2024，则一元二次方程a（x-1）2+bx-b+2=0必有一根为（　　）
A.2022 B.2023 C.2024 D.2025
【答案】D
【解析】解：对于一元二次方程a（x-1）2+bx-b+2=0，
设t=x-1，
所以at2+bt+2=0，
而关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0（a≠0）有一根为x=2024，
所以at2+bt+2=0有一个根为t=2024，
则x-1=2024，
解得x=2025，
所以一元二次方程a（x-1）2+bx-b+2=0必有一根为x=2025．
故选：D．
【举一反三1】已知关于x的方程x2＋m2x－2＝0的一个根是1，则m的值是( )
A.1 B.2 C.±1 D.±2
【答案】C
【解析】将x=1代入方程可得：m2－1=0，解得：m=1或m=－1.
【举一反三2】已知关于x的一元二次方程x2-2x+a=0的一个根是3，则a= ．
【答案】-3．
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2-2x+a=0的一个根是3，
∴32-2×3+a=0，
解得：a=-3；
故答案为：-3．
【举一反三3】将关于x的一元二次方程x2＋bx＋c=0变形为x2=－bx－c，就可得x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”.已知x2－x－1=0，可用“降次法”求得x4－3x＋2023的值是___________.
【答案】2024
【解析】∵x2－x－1=0，∴x2=x＋1，
∴x4－3x＋2023=(x＋1)2－3x＋2023=x2＋2x＋1－3x＋2023=x2－x＋2023=1＋2023=2024.
【举一反三4】先化简，再求值：，其中a是方程x2+x-4=0的解．
【答案】解：原式=÷=×=；
∵a是方程x2+x-4=0的解，
∴a2+a-4=0．
∴a2+a=4．
∴原式=．
【举一反三5】先化简，再求值：÷(m＋2－).其中m是方程x2＋3x－1=0的根.
【答案】解：原式=÷= ==；
∵m是方程x2＋3x－1=0的根.∴m2＋3m－1=0，即m2＋3m=1，∴原式=.21.1一元二次方程
【题型1】一元二次方程的辨别 3
【题型2】利用一元二次方程的一般形式确定各项系数 3
【题型3】利用一元二次方程解决代数问题 4
【题型4】利用一元二次方程解决几何问题 5
【题型5】直接利用一元二次方程的解 7
【题型6】求未知字母或代数式的值 8
【知识点1】一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 1.（2025春 南山区校级期末）下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c=0B．x2+1-x2=0C．x2+=2D．x2-x-2=0
2.（2025春 芝罘区期末）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2+1=0B．C．x2+y=3D．
【知识点2】一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 1.（2025春 南岗区校级月考）对于一元二次方程x=-2x2+1，化为一般式后二次项系数为2，则一次项系数为（　　） A．1B．2C．-1D．-2
【知识点3】一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）． 1.（2025春 张店区期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2012-a-b的值是（　　） A．2020B．2018C．2017D．2016
2.（2024 凉山州）若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2-4=0的一个根是x=0，则a的值为（　　） A．2B．-2C．2或-2D．
【题型1】一元二次方程的辨别
【典型例题】下列方程中，一元二次方程是( )
A.
B.
C.
D.
【举一反三1】已知关于x的方程（a-3）x|a-1|+x-1=0是一元二次方程，则a的值是（　　）
A.-1 B.2 C.-1或3 D.3
【举一反三2】下列方程中，是一元二次方程的是_______(填序号)
①x2＋2x＋y=1；②x2＋－2=0；③x2=0；④(x＋2)(x＋3)=x2－1.
【举一反三3】已知关于x的方程：3x＋＝2x，2x2＋y=3，2x－x2=3，＋x2＝3，x=27x2.
(1)其中为一元二次方程的有哪些；
(2)对比各方程的特征请说明：判断一个方程为一元二次方程应从哪几方面考虑.
【题型2】利用一元二次方程的一般形式确定各项系数
【典型例题】若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋3x＋m2－4=0的常数项为0，则m的值等于(　　)
A.－2 B.2 C.－2或2 D.0
【举一反三1】将一元二次方程x（x-9）=-3化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为-1，一次项系数和常数项分别是（　　）
A.9，3 B.9，-3 C.-9，-3 D.-9，3
【举一反三2】关于x的方程(m＋n)x2＋－(m－n)x=0(m＋n≠0)的二次项系数与一次项系数的和为，差为2，则常数项为(　　)
A. B. C. D.
【举一反三3】把方程（x-1）（x+7）=16-x2化为一般形式后，它的二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 .
【举一反三4】把方程3x(x－1)＝(x＋2)(x－2)＋9化成ax2＋bx＋c＝0的形式为________________
【举一反三5】把方程x2－x=2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答.
(1)下列方程中，有哪几个与方程x2－x=2所化的一元二次方程的一般形式相同？(答案只写序号)
①x2－x－2=0；②－x2＋x＋2=0；③x2－2x=4；
④－x2＋2x＋4=0；⑤x2－2x－4=0.
(2)方程x2－x=2化为一元二次方程的一般形式，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系？
【题型3】利用一元二次方程解决代数问题
【典型例题】学校要组织足球比赛.赛制为单循环形式(每两队之间赛一场).计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛.根据题意，下面所列方程正确的是(　　)
A.x2=21 B.x(x－1)=21 C.x2=21 D.x(x－1)=21
【举一反三1】电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x,则方程可以列为（　　）
A.3（1+x）=10
B.3（1+x）2=10
C.3+3（1+x）2=10
D.3+3（1+x）+3（1+x）2=10
【举一反三2】某班科技兴趣小组的学生，将自己的作品向本组其他成员各赠送一件，全组共相互赠送作品56件，若全组有x名同学，则根据题意列出的方程是(　　)
A.x(x－1)=56×2
B.2x(x＋1)=56
C.x(x＋1)=56
D.x(x－1)=56
【举一反三3】某商场销售一款毛衣，平均每天可售出30件，每件获利28元．受气温影响，商场决定适当降价出售．据调查，毛衣单价每降低1元，则每天可多售出3件．如果每天获利1080元，每件降价多少元？设每件降价x元，根据题意，可列方程为 ．
【举一反三4】要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？
【题型4】利用一元二次方程解决几何问题
【典型例题】如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道.若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是(　　)
A.x2＋9x－8=0
B.x2－9x－8=0
C.x2－9x＋8=0
D.2x2－9x＋8=0
【举一反三1】今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60m，若将短边增大到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1600m2.设扩大后的正方形绿地边长为x m，下面所列方程正确的是(　　)
A.x(x－60)=1600
B.x(x＋60)=1600
C.60(x＋60)=1600
D.60(x－60)=1600
【举一反三2】用13m的铁丝网围成一个长边靠墙面积为20m2的长方形，求这个长方形的长和宽，设平行于墙的一边为xm，可得方程(　　)
A.x(13－x)=20
B.
C.x
D.
【举一反三3】如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余一块面积为20 m2的矩形空地，若原正方形空地边长是x m，则可列方程为______________.
【举一反三4】如图，有一块矩形铁皮，长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？（只列方程不解）
【举一反三5】根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；
（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x；
（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.
【题型5】直接利用一元二次方程的解
【典型例题】一元二次方程x2＋2x=0的解是(　　)
A.0 B.0或－2 C.－2 D.没有实数根
【举一反三1】下列关于x的方程中一定有实数根－1的是(　　)
A.x2－x＋2=0
B.x2＋x－2=0
C.x2－x－2=0
D.x2＋1=0
【举一反三2】下列方程中，有一个根为－1的方程是(　　)
A.x2－x=0
B.x2－7x＋6=0
C.2x2－3x－5=0
D.3x2＋2x－5=0
【举一反三3】已知方程ax2＋bx＋c=0的一个根是－1，则a－b＋c=_______.
【举一反三4】如果一元二次方程有一个解是3，那么这个一元二次方程可能是
（只写一个）．
【举一反三5】下列哪些数是方程x2＋2x－8=0的根？
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.
【题型6】求未知字母或代数式的值
【典型例题】若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0（a≠0）有一根为x=2024，则一元二次方程a（x-1）2+bx-b+2=0必有一根为（　　）
A.2022 B.2023 C.2024 D.2025
【举一反三1】已知关于x的方程x2＋m2x－2＝0的一个根是1，则m的值是( )
A.1 B.2 C.±1 D.±2
【举一反三2】已知关于x的一元二次方程x2-2x+a=0的一个根是3，则a= ．
【举一反三3】将关于x的一元二次方程x2＋bx＋c=0变形为x2=－bx－c，就可得x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”.已知x2－x－1=0，可用“降次法”求得x4－3x＋2023的值是___________.
【举一反三4】先化简，再求值：，其中a是方程x2+x-4=0的解．
【举一反三5】先化简，再求值：÷(m＋2－).其中m是方程x2＋3x－1=0的根.

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