资源简介

16.3乘法公式
【知识点1】完全平方公式 1
【知识点2】完全平方公式的几何背景 2
【知识点3】平方差公式 3
【知识点4】平方差公式的几何背景 4
【题型1】平方差公式的结构特征 5
【题型2】用平方差公式计算 6
【题型3】平方差公式与几何图形面积 6
【题型4】平方差公式与其它运算的综合 8
【题型5】整式的混合运算 9
【题型6】整式混合运算的化简求值 10
【题型7】整式混合运算与几何图形面积及实际问题 10
【题型8】整式混合运算与新定义型及规律性问题 12
【题型9】用完全平方公式计算 13
【题型10】求完全平方式中字母系数的值 13
【题型11】利用完全平方公式变形求字母系数或代数式的值 14
【题型12】完全平方公式与几何图形面积 15
【题型13】添括号 16
【题型14】添括号与整体代入思想 17
【知识点1】完全平方公式 （1）完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 1.（2025 硚口区模拟）下列计算正确的是（　　） A．a3 b4=a12B．（a2）3=a5C．（ab）2=a2b2D．（a+b）2=a2+b2
2.（2025春 阳山县期末）下列计算正确的是（　　） A．a3 a2=a6B．（-2a3）2=4a6C．a3+a=a4D．（a-2）2=a2-4
【知识点2】完全平方公式的几何背景 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
（2）常见验证完全平方公式的几何图形
（a+b）2=a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 1.（2024秋 龙岗区校级期中）如图，一个大正方形被两条线段分成两个小正方形和两个小长方形，若两个小正方形的面积分别是4和8，则小长方形的对角线AB=（　　） A．2B．3C．2D．3
2.（2025春 西安月考）现有甲、乙两张正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知H为AE的中点，连接DH，FH．将乙纸片放到甲纸片的内部得到图2，已知甲、乙两张正方形纸片的面积之和为35，图2阴影部分的面积为6，则图1阴影部分的面积为（　　） A．3B．19C．21D．28
【知识点3】平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a-b）=a2-b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 1.（2025春 肥城市校级期末）下列选项中不能运用平方差公式的有（　　） A．（a+b+c）（a-b+c）B．（a-b+c）（-a+b-c）C．（a-b+c）（a+b-c）D．（-a+b+c）（-a-b-c）
2.（2025春 蒲江县校级月考）下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（　　） A．（m-n）（m-n）B．（m-n）（-m+n）C．（m-n）（-m-n）D．（m+2）（m-1）
【知识点4】平方差公式的几何背景 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．
（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 1.（2025春 海州区校级期中）如图，大正方形与小正方形的面积之差是6，则阴影部分的面积是（　　） A．8B．4C．3D．1
2.（2024秋 洪山区期末）从图1到图2的变化过程中可以发现的结论是（　　） A．（a-b）2=a2-2ab+b2B．（a+b） （a-b）=a2-b2C．（a+b）2=a2+2ab+b2D．a2+2ab+b2=（a+b）2
【题型1】平方差公式的结构特征
【典型例题】下列各式中，不能用平方差公式计算的是(　　)
A.(m＋n)(m－n) B.(x3－y3)(y3＋x3) C.(－m＋n)(m－n) D.(－a－3b)(a－3b)
【举一反三1】在进行多项式的乘法运算时，下列式子不能用平方差公式运算的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】下列能利用平方差公式计算的是( )
A.(2m-n)(2m-n) B.(x+3)(x-2) C.(2m-n)(-n+2m) D.(-2m-n)(2m-n)
【举一反三3】如果用平方差公式计算(x-y+5)(x+y+5)，则可将原式变形为(　　)
A.[(x-y)+5][(x+y)+5 B.[(x-y)+5][(x-y)-5] C.[(x+5)-y][(x+5)+y] D.[x-(y+5)][x+(y+5)]
【举一反三4】下列各式：①（a﹣4）（a+4），②（﹣x﹣3）（﹣x+3），③（m﹣5）（﹣5﹣m），④（﹣x+y）（﹣y+x），其中在进行乘法运算时，能够利用平方差公式进行运算的个数为（　　）
A.4 B.3 C.2 D.1
【举一反三5】在下列（　　）里填上适当的项，使其符合的形式．
(1)；
(2)．
【举一反三6】(a+2b+3c)(a-2b-3c)=(　　)2-(　　　　)2.
【举一反三7】在下列（　　）里填上适当的项，使其符合的形式．
(1)；
(2)．
【举一反三8】(a+2b+3c)(a-2b-3c)=(　　)2-(　　　　)2.
【题型2】用平方差公式计算
【典型例题】如果，则的值为（ ）
A.4 B.16 C.24 D.32
【举一反三1】化简(m2+1)(m+1)(m-1)-(m4+1)的值是(　　)
A.-2m2 B.0 C.-2 D.-1
【举一反三2】若N＝（3a+4b）（3a﹣4b），则N表示的式子是（　　）
A.9a2+16b2 B.16b2+9a2 C.9a2-16b2 D.16b2-9a2
【举一反三3】的个位数字是 ．
【举一反三4】若三角形的一边长为，该边上的高为，则此三角形的面积是 ．
【举一反三5】计算：
（1）（9x﹣2y）（9x+2y）．
（2）（a2+b2）·（a+b）·（b﹣a）．
【举一反三6】利用平方差公式计算：
(1)(a－2)(a＋2)(a2＋4)；
(2)(x－y)(x＋y)(x2＋y2)(x4＋y4)．
【题型3】平方差公式与几何图形面积
【典型例题】如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能够验证平方差公式的是（ ）
A.①② B.①③ C.①②③ D.①②④
【举一反三1】如图①，边长为a的大正方形中有四个边长均为b的小正方形，小华将阴影部分拼成了一个长方形(如图②)，则这个长方形的面积为(　　)
A.a2-4b2 B.(a+b)(a-b) C.(a+2b)(a-b) D.(a+b)(a-2b)
【举一反三2】如图，边长为的正方形是由边长为的正方形和四个全等的四边形组成的，沿正方形内的虚线将四个全等的四边形剪下，通过计算四边形的面积，可以验证的乘法公式是 ．
【举一反三3】如图，小刚家有一块“L”形的菜地，要把这块菜地按图示那样分成面积相等的梯形，种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是x米，下底都是y米，高都是米，请你帮小刚家算一算菜地的面积是 平方米．
【举一反三4】【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形
(1)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：________________（用字母表示）；
(2)【应用】请应用这个公式完成下列各题
①已知，，则的值为_____；
②结果的个位数字为______；
③计算：．
【举一反三5】从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)根据图2长方形的面积与图1中阴影部分的面积相等可以验证的等式是______；
(2)小明根据以上操作去计算时发现只需要在前面乘一个即可得到，请根据以上规律计算：_______（直接写出结果即可）．
(3)运用以上规律计算．
【题型4】平方差公式与其它运算的综合
【典型例题】小周学习完“平方差公式和完全平方公式”后，发现这两个公式能使计算变得简便，例如计算“21×19”，运用公式，可得21×19＝（20+1）×（20﹣1）＝202﹣1＝399，请运用所学知识求得“2025×2023﹣20242”的值为（　　）
A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1
【举一反三1】计算：（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】化简的结果为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】若m2＝9，n2＝3，则（m+n）（m﹣n）＝　 　．
【举一反三4】化简的结果为 ．
【举一反三5】对于任意有理数a，b，c，d，我们规定符号．例如：．
(1)求的值；
(2)求的值，其中．
【题型5】整式的混合运算
【典型例题】下列计算正确的是（　　）
A.3m+2m＝5m2
B.（9m3﹣3m）÷3m＝3m2
C.（m﹣n）（n+m）＝m2﹣n2
D.（﹣m2n3）2＝﹣m4n6
【举一反三1】下列运算中，正确的是（ ）
A.a2+a3=a5 B.(-2a2)3=-8a6 C. (a-1)2=a2-1 D.a8÷a4=a2
【举一反三2】下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】计算：
（1）（﹣xy）2 x5＝　 　；
（2）（a6﹣2a3）÷a3＝　 　．
【举一反三4】化简：
(1)；
(2)；
(3)．
【题型6】整式混合运算的化简求值
【典型例题】如果a2﹣2a＝﹣1，那么式子a（a﹣2）+（a﹣1）2的值为（　　）
A.﹣1 B.1 C.﹣3 D.2
【举一反三1】已知a2+2ab+b2＝0，那么式子a（a+4b）﹣（a+2b）（a﹣2b）的值为（　　）
A.0 B.2 C.4 D.6
【举一反三2】已知5m2+4m﹣1＝0，则式子（2m+1）2+（m+3）（m﹣3）的值为 　 　．
【举一反三3】已知，则代数式 ．
【举一反三4】先化简，再求值：
(1)，其中；
(2)，其中
【题型7】整式混合运算与几何图形面积及实际问题
【典型例题】a，b，c是三个连续的正整数，以b为边长作正方形，面积记作S1，分别以a，c为长和宽作长方形，面积记作S2，下列说法正确的是（　　）
A.S1＝S2 B.S1＞S2 C.S1＜S2 D.无法比较S1、S2的大小
【举一反三1】如图，长方形内的阴影部分是由四个半圆围成的图形，则阴影部分的面积为（ ）

A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在长方形ABCD中放置两个边长都为3的正方形BEFG与正方形DHIJ，设长方形ABCD的面积为S1，阴影部分的面积之和为S2．若3S1﹣S2＝66，则长方形ABCD的周长是（　　）
A.16 B.18 C.20 D.22
【举一反三3】如图，大正方形与小正方形的面积之差是60，则阴影部分的面积是 　 　．
【举一反三4】如图，正方形ABCD和正方形ECFG的边长分别为5cm和4cm，EF、CG相交于点O，则△BEO的面积为 　 　cm2．
【举一反三5】如图①，一个宽为a，长为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图②）．

(1)观察图②，请你用等式表示，，之间的数量关系：__________；
(2)根据（1）中的结论，如果，求代数式的值；
(3)观察图③，解决下面的问题：若，求的值．
【举一反三6】如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成相等的四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．

(1)图②中阴影部分的正方形的边长等于__________；
(2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积：
方法一：__________；
方法二：__________；
(3)根据（2）写出，这三个代数式之间的等量关系，通过计算说明该等量关系的正确性．
【题型8】整式混合运算与新定义型及规律性问题
【典型例题】观察下列几个算式： ③； ④，…结合你观察到的规律判断 的计算结果为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】现定义一种运算，例如．若，则x的值（　　）
A.2或﹣3 B.﹣2或3 C.1或﹣6 D.﹣1或6
【举一反三2】若表示一种新的运算，其运算法则为，则的结果为 ．
【举一反三3】对于任意有理数，我们规定ad﹣bc，例如：1×4﹣2×3＝﹣2．当a2﹣3a+1＝0时，求的值．
【举一反三4】对于两个有理数m，n，定义一种新的运算“◎”如下：．根据以上规定解答下列各题：
(1)计算：的值；
(2)若，求的值．
【题型9】用完全平方公式计算
【典型例题】下列算式中，可用完全平方公式计算的是（　　）
A.（1+x）（1﹣x） B.（﹣x﹣1）（﹣1+x） C.（x﹣1）（1+x） D.（﹣x+1）（1﹣x）
【举一反三1】的运算结果是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】计算：（a+2b）2＝　 　；（3x﹣1）2＝　 　．
【举一反三3】计算： ．
【举一反三4】（教材改编）运算乘法公式计算：
（1）；（2）.
【举一反三5】运用完全平方公式计算：
(1)2 0192；
(2)1012＋992.
【题型10】求完全平方式中字母系数的值
【典型例题】若（x﹣3）2＝x2+ax+9，则a的值为（　　）
A.a＝﹣6 B.a＝﹣3 C.a＝3 D.a＝6
【举一反三1】小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把中间一项的系数染黑了，得到正确的结果为4a2■ab+9b2，则中间一项的系数是(　　)
A.12 B.-12 C.12或-12 D.36
【举一反三2】若mx2+kx+9=(2x-3)2，则m，k的值分别是(　　)
A.m=-2，k=6 B.m=2，k=12 C.m=-4，k=-12 D.m=4，k=-12
【举一反三3】若（7x-2）2＝49x2+ax+4，则a的值是 　 　．
【举一反三4】若(7x-a)2=49x2-bx+9，则|a+b|=_________．
【举一反三5】已知4x2-100x+m是完全平方式，求m的值并说明理由．
【题型11】利用完全平方公式变形求字母系数或代数式的值
【典型例题】已知，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】若，则的值为（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
【举一反三2】已知x与y互为相反数，且（x+1）2﹣（y﹣2）2＝3，则x的值为 　　．
【举一反三3】【例题呈现】
已知，，求的值．
同学们探究出解这道题的两种方法：
（1）请将方法一、方法二补充完整，方法一中的______，方法二中的______；
【题型12】完全平方公式与几何图形面积
【典型例题】边长分别为和（其中）的两个正方形按如图摆放，如果，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】两个边长为a的大正方形与两个边长为b的小正方形按如图所示放置，如果，那么阴影部分的面积是（ ）
A.30 B.34 C.40 D.44
【举一反三2】用4张长为、宽为的长方形纸片按如图所示的方式拼成一个边长为的正方形，图中阴影部分的面积为，大正方形的面积为．若，则，满足（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】用4个相同的小长方形与1个小正方形密铺而成的大正方形图案如图所示．已知大正方形的面积为81，小正方形的面积为9．设小长方形的两边分别为，则的值为 ．
【举一反三4】(1)求(如图1)这一块长为acm、宽为bcm矩形材料的面积；(用含a，b的代数式表示)(2)用四块(如图1)的矩形材料拼成一个大矩形(如图2)或大正方形(如图3)，中间分别空出一个阴影小矩形A和一个阴影小正方形B．通过计算说明阴影A、B的面积哪一个比较大； (3)根据(如图4)，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式．
【举一反三5】【知识生成】通过学习：我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，请结合图形解答下列问题：
(1)写出图1中所表示的数学等式______;
(2)如图2所示，是用4块完全相同的长方形拼成的正方形，用两种不同的方法求图中阴影部分的面积，得到的数学等式是______；
(3)【知识应用】若，，求的值；
(4)【灵活应用】图3中有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为2和11，则两正方形A，B的面积之和的平方＝______．
【题型13】添括号
【典型例题】下列等式一定成立的是(　　)
A.b-2a=-(2a-b) B.-a-b=-(a-b) C.2-3x=2(1-3x) D.-2-4x=-2(1-2x)
【举一反三1】对多项式进行添括号正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】把下面多项式添括号后得到a-3(b2-2c)的是(　　)
A.a-3b2-6c B.a-3b+6c C.a-3b2+6c D.a-3b2+2c
【举一反三3】在横线上填入“+”或“-”号，使等式成立．
(1)a-b=______(b-a)；
(2)a+b=______(b+a)；
(3)(a-b)2=______(b-a)2；
(4)(a+b)2=______(b+a)2；
(5)(a-b)3=_______(b-a)3；
(6)(-a-b)3=_______(b+a)3．
【举一反三4】2a﹣b+c＝c﹣（　 　）．
【举一反三5】把多项式x4y-4xy3+2x2-xy-1按下列要求添括号：
(1)把四次项相结合，放在带“+”号的括号里；
(2)把二次项相结合，放在带“-”号的括号里．
【题型14】添括号与整体代入思想
【典型例题】如果多项式的值为18，则多项式的值等于（ ）
A.28 B. C.32 D.
【举一反三1】已知，，的值是（ ）
A.-1 B.1 C.5 D.15
【举一反三2】已知，则代数式的值为( )
A. B. C. D.
【举一反三3】若，则 ．
【举一反三4】已知，则代数式的值为 ．
【举一反三5】问题情境：整体代换是数学的一种思想方法．例如：若，求的值．
我们将作为一个整体代入，则原式．
仿照上面的解题方法解决问题：若，求的值．
【举一反三6】我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则．整体思想是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简和求值中有着广泛的应用．请根据上面的提示和范例，解决下面的问题：
(1)把看成一个整体，则将合并的结果为_____；
(2)已知，求的值；
(3)已知，，，求的值．16.3乘法公式
【知识点1】完全平方公式 1
【知识点2】完全平方公式的几何背景 3
【知识点3】平方差公式 5
【知识点4】平方差公式的几何背景 6
【题型1】平方差公式的结构特征 7
【题型2】用平方差公式计算 10
【题型3】平方差公式与几何图形面积 11
【题型4】平方差公式与其它运算的综合 16
【题型5】整式的混合运算 18
【题型6】整式混合运算的化简求值 19
【题型7】整式混合运算与几何图形面积及实际问题 22
【题型8】整式混合运算与新定义型及规律性问题 26
【题型9】用完全平方公式计算 27
【题型10】求完全平方式中字母系数的值 29
【题型11】利用完全平方公式变形求字母系数或代数式的值 31
【题型12】完全平方公式与几何图形面积 32
【题型13】添括号 36
【题型14】添括号与整体代入思想 38
【知识点1】完全平方公式 （1）完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 1.（2025 硚口区模拟）下列计算正确的是（　　） A．a3 b4=a12B．（a2）3=a5C．（ab）2=a2b2D．（a+b）2=a2+b2
【答案】C 【分析】分别根据幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方及完全平方公式计算可得． 【解答】解：A、a3 b4=a7，此选项错误，不符合题意；
B、（a2）3=a6，此选项错误，不符合题意；
C、（ab）2=a2b2，此选项正确，符合题意；
D、（a+b）2=a2+2ab+b2，此选项错误，不符合题意；
故选：C． 2.（2025春 阳山县期末）下列计算正确的是（　　） A．a3 a2=a6B．（-2a3）2=4a6C．a3+a=a4D．（a-2）2=a2-4
【答案】B 【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项，完全平方公式的运算法则计算即可． 【解答】解：根据同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项，完全平方公式的运算法则逐项分析判断如下：
A、a3 a2=a5≠a6，故本选项不符合题意；
B、（-2a3）2=4a6，故本选项符合题意；
C、a3 和a不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
D、（a-2）2=a2-4a+4≠a2-4，故本选项不符合题意；
故选：B． 【知识点2】完全平方公式的几何背景 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
（2）常见验证完全平方公式的几何图形
（a+b）2=a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 1.（2024秋 龙岗区校级期中）如图，一个大正方形被两条线段分成两个小正方形和两个小长方形，若两个小正方形的面积分别是4和8，则小长方形的对角线AB=（　　） A．2B．3C．2D．3
【答案】A 【分析】根据两个正方形面积，得到两个正方形边长的平方，从而求出AB的值． 【解答】解：设小正方形的边长为a,大正方形的边长为b,
则AB=，
由题意可知，
a2=4，b2=8，
∴AB===．
故选：A． 2.（2025春 西安月考）现有甲、乙两张正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知H为AE的中点，连接DH，FH．将乙纸片放到甲纸片的内部得到图2，已知甲、乙两张正方形纸片的面积之和为35，图2阴影部分的面积为6，则图1阴影部分的面积为（　　） A．3B．19C．21D．28
【答案】B 【分析】设甲正方形边长为x,乙正方形边长为y,则AD=x,EF=y,x2+y2=35，结合已知条件可得出（x-y）2=6，进而可得出2xy=29，进一步求出x+y=8，最后根据图1阴影部分的面积为两个正方形的面积之和减去两个三角形的面积代入计算即可． 【解答】解：设甲正方形边长为x,乙正方形边长为y,
则AD=x,EF=y,x2+y2=35，
由题意可得：
（x-y）2=x2+y2-2xy=6，
即35-2xy=6，
∴2xy=29，
∴（x+y）2=x2+y2+2xy=35+29=64，
∴x+y=8，
∴AE=8，
∵AH=HE=4，
∴则图1阴影的面积为：．
故选：B． 【知识点3】平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a-b）=a2-b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 1.（2025春 肥城市校级期末）下列选项中不能运用平方差公式的有（　　） A．（a+b+c）（a-b+c）B．（a-b+c）（-a+b-c）C．（a-b+c）（a+b-c）D．（-a+b+c）（-a-b-c）
【答案】B 【分析】利用平方差公式的结果特征判断即可得到结果． 【解答】解：下列选项中不能运用平方差公式的有（-a+b+c）（-a+b-c）．
故选：B． 2.（2025春 蒲江县校级月考）下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（　　） A．（m-n）（m-n）B．（m-n）（-m+n）C．（m-n）（-m-n）D．（m+2）（m-1）
【答案】C 【分析】根据平方差公式特点，逐一判断各选项，即可得到结果． 【解答】解：A．（m-n）（m-n）=（m-n）2，可以用完全平方公式，不符合题意；
B．（m-n）（-m+n）=-（m-n）（m-n）=-（m-n）2，可以用完全平方公式，不符合题意；
C．（m-n）（-m-n）=-（m-n）（m+n）=-（m2-n2），可以用平方差公式，符合题意；
D．（m+2）（m-1），不可以用平方差公式，不符合题意．
故选：C． 【知识点4】平方差公式的几何背景 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．
（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 1.（2025春 海州区校级期中）如图，大正方形与小正方形的面积之差是6，则阴影部分的面积是（　　） A．8B．4C．3D．1
【答案】C 【分析】设大正方形的边长为a,小正方形的边长为b,根据题意可知a2-b2=6，根据阴影部分的面积为a（a-b）+b（a-b），即（a2-b2）进行计算即可． 【解答】解：设大正方形的边长为a,小正方形的边长为b,则a2-b2=6，由于阴影部分是两个三角形的面积和，
即阴影部分的面积为a（a-b）+b（a-b）
=（a+b）（a-b）
=（a2-b2）
=×6
=3．
故选：C． 2.（2024秋 洪山区期末）从图1到图2的变化过程中可以发现的结论是（　　） A．（a-b）2=a2-2ab+b2B．（a+b） （a-b）=a2-b2C．（a+b）2=a2+2ab+b2D．a2+2ab+b2=（a+b）2
【答案】B 【分析】用代数式分别表示图1、图2的面积即可． 【解答】解：图1是长为a+b,宽为a-b,因此面积为（a+b）（a-b）；图2的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2-b2，
因此有（a+b）（a-b）=a2-b2，
故选：B．
【题型1】平方差公式的结构特征
【典型例题】下列各式中，不能用平方差公式计算的是(　　)
A.(m＋n)(m－n) B.(x3－y3)(y3＋x3) C.(－m＋n)(m－n) D.(－a－3b)(a－3b)
【答案】C
【解析】解：选项C中含m，n的项符号都相反，不能用平方差公式计算．
【举一反三1】在进行多项式的乘法运算时，下列式子不能用平方差公式运算的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：A．有一项相同（），另一项互为相反数（和），能用平方差公式运算，故此选项不符合题意；
B．两项均互为相反数，不能用平方差公式运算，故此选项符合题意；
C．有一项相同（），另一项互为相反数（和），能用平方差公式运算，故此选项不符合题意；
D．有一项相同（），另一项互为相反数（和），能用平方差公式运算，故此选项不符合题意．
【举一反三2】下列能利用平方差公式计算的是( )
A.(2m-n)(2m-n) B.(x+3)(x-2) C.(2m-n)(-n+2m) D.(-2m-n)(2m-n)
【答案】D
【解析】解：平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2，关键是观察选项中“a”、“b”的符号.
【举一反三3】如果用平方差公式计算(x-y+5)(x+y+5)，则可将原式变形为(　　)
A.[(x-y)+5][(x+y)+5 B.[(x-y)+5][(x-y)-5] C.[(x+5)-y][(x+5)+y] D.[x-(y+5)][x+(y+5)]
【答案】C
【解析】解：能用平方差公式计算式子的特点是：(1)两个二项式相乘，(2)有一项相同，另一项互为相反数．把x+5看作公式中的a，y看作公式中的b，应用公式求解即可．(x-y+5)(x+y+5)=[(x+5)-y][(x+5)+y]，故选C．
【举一反三4】下列各式：①（a﹣4）（a+4），②（﹣x﹣3）（﹣x+3），③（m﹣5）（﹣5﹣m），④（﹣x+y）（﹣y+x），其中在进行乘法运算时，能够利用平方差公式进行运算的个数为（　　）
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】B
【解析】解：（a﹣4）（a+4），（﹣x﹣3）（﹣x+3），（m﹣5）（﹣5﹣m）均符合平方差公式的结构特点，能够利用平方差公式进行运算；而（﹣x+y）（﹣y+x）中，前一多项式的两项与后一多项式中的两项分别互为相反数，故不能用平方差公式进行运算；
故选：B．
【举一反三5】在下列（　　）里填上适当的项，使其符合的形式．
(1)；
(2)．
【答案】(1)，；(2)，，，
【解析】解：（1），
（2）．
【举一反三6】(a+2b+3c)(a-2b-3c)=(　　)2-(　　　　)2.
【答案】a；2b+3c
【解析】解：(a+2b+3c)(a-2b-3c)=[a+(2b+3c)][a-(2b+3c)]=a2-(2b+3c)2.
【举一反三7】在下列（　　）里填上适当的项，使其符合的形式．
(1)；
(2)．
【答案】(1)，；(2)，，，
【解析】解：（1），
（2）．
【举一反三8】(a+2b+3c)(a-2b-3c)=(　　)2-(　　　　)2.
【答案】a；2b+3c
【解析】解：(a+2b+3c)(a-2b-3c)=[a+(2b+3c)][a-(2b+3c)]=a2-(2b+3c)2.
【题型2】用平方差公式计算
【典型例题】如果，则的值为（ ）
A.4 B.16 C.24 D.32
【答案】B
【解析】解：∵，
∴，
∴．
【举一反三1】化简(m2+1)(m+1)(m-1)-(m4+1)的值是(　　)
A.-2m2 B.0 C.-2 D.-1
【答案】C
【解析】解：(m2+1)(m+1)(m-1)-(m4+1)=(m2+1)(m2-1)-(m4+1)=m4-1-m4-1 =-2，
故选C．
【举一反三2】若N＝（3a+4b）（3a﹣4b），则N表示的式子是（　　）
A.9a2+16b2 B.16b2+9a2 C.9a2-16b2 D.16b2-9a2
【答案】C
【解析】解：N＝（3a+4b）（3a﹣4b）
＝9a2-16b2
故选：C．
【举一反三3】的个位数字是 ．
【答案】
【解析】解：原式
，
∵，
的个位数为，，
四次一循环，的个位数为，
则的个位数为．
【举一反三4】若三角形的一边长为，该边上的高为，则此三角形的面积是 ．
【答案】
【解析】此三角形的面积为．
【举一反三5】计算：
（1）（9x﹣2y）（9x+2y）．
（2）（a2+b2）·（a+b）·（b﹣a）．
【答案】解：（1）原式＝81x2﹣4y2；
（2）原式＝（b+a）·（b﹣a）·（a2+b2）
=（b2-a2）·（a2+b2）
=（b4-a4）.
=b4-a4.
【举一反三6】利用平方差公式计算：
(1)(a－2)(a＋2)(a2＋4)；
(2)(x－y)(x＋y)(x2＋y2)(x4＋y4)．
【答案】解：(1)原式＝(a2－4)(a2＋4)＝a4－16.
(2)原式＝(x2－y2)(x2＋y2)(x4＋y4)＝(x4－y4)(x4＋y4)＝x8－y8.
【题型3】平方差公式与几何图形面积
【典型例题】如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能够验证平方差公式的是（ ）
A.①② B.①③ C.①②③ D.①②④
【答案】C
【解析】解：图①的如图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的如图阴影部分是底为，高为的平行四边形，因此面积为，所以有，所以图①可以验证平方差公式；
图②的如图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的如图阴影部分是长为，宽为的矩形，因此面积为，所以有，所以图②可以验证平方差公式；
图③的如图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的如图阴影部分是底为，高为的平行四边形，因此面积为，所以有
，所以图③可以验证平方差公式；
图④的如图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即’，拼成的如图阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为，所以有，所以图④不能验证平方差公式；
综上所述，能验证平方差公式的有①②③．
【举一反三1】如图①，边长为a的大正方形中有四个边长均为b的小正方形，小华将阴影部分拼成了一个长方形(如图②)，则这个长方形的面积为(　　)
A.a2-4b2 B.(a+b)(a-b) C.(a+2b)(a-b) D.(a+b)(a-2b)
【答案】A
【解析】解：根据图形表示出拼成长方形的长与宽，进而表示出面积．根据题意得(a+2b)(a-2b)=a2-4b2，故选A．
【举一反三2】如图，边长为的正方形是由边长为的正方形和四个全等的四边形组成的，沿正方形内的虚线将四个全等的四边形剪下，通过计算四边形的面积，可以验证的乘法公式是 ．
【答案】
【解析】解：图：四个全等的四边形的面积为，
图：四个全等的四边形的面积为，
则可以验证的乘法公式是．
【举一反三3】如图，小刚家有一块“L”形的菜地，要把这块菜地按图示那样分成面积相等的梯形，种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是x米，下底都是y米，高都是米，请你帮小刚家算一算菜地的面积是 平方米．
【答案】
【解析】解：由题意得菜地的面积为．
【举一反三4】【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形
(1)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：________________（用字母表示）；
(2)【应用】请应用这个公式完成下列各题
①已知，，则的值为_____；
②结果的个位数字为______；
③计算：．
【答案】解：（1）由图可知，阴影部分的面积可以用和，两种方法进行表示，
∴可以得到平方差公式：．
（2）①∵，，，
∴，
∴．
②
，
∵，
∴的个位数字是以四个为一组，进行循环，
∵，
∴的个位数字为6．
③
．
【举一反三5】从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)根据图2长方形的面积与图1中阴影部分的面积相等可以验证的等式是______；
(2)小明根据以上操作去计算时发现只需要在前面乘一个即可得到，请根据以上规律计算：_______（直接写出结果即可）．
(3)运用以上规律计算．
【答案】解：（1）图1中阴影部分的面积为，图2阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为，
可以验证的等式是.
（2）原式，
，
，
，
，
（3）原式，
，
，
，
，
．
【题型4】平方差公式与其它运算的综合
【典型例题】小周学习完“平方差公式和完全平方公式”后，发现这两个公式能使计算变得简便，例如计算“21×19”，运用公式，可得21×19＝（20+1）×（20﹣1）＝202﹣1＝399，请运用所学知识求得“2025×2023﹣20242”的值为（　　）
A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1
【答案】B
【解析】解：2025×2023﹣20242
＝（2024+1）（2024﹣1）
＝20242﹣1﹣20242
＝﹣1．
故选：B．
【举一反三1】计算：（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解；
．
【举一反三2】化简的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：
．
【举一反三3】若m2＝9，n2＝3，则（m+n）（m﹣n）＝　 　．
【答案】6．
【解析】解：∵m2＝9，n2＝3，
∴（m+n）（m﹣n）＝m2﹣n2＝6．
故答案为：6．
【举一反三4】化简的结果为 ．
【答案】
【解析】解：）
．
【举一反三5】对于任意有理数a，b，c，d，我们规定符号．例如：．
(1)求的值；
(2)求的值，其中．
【答案】解：（1）由题意得

．
（2）由题意得

，
∵，
∴，
∴原式．
【题型5】整式的混合运算
【典型例题】下列计算正确的是（　　）
A.3m+2m＝5m2
B.（9m3﹣3m）÷3m＝3m2
C.（m﹣n）（n+m）＝m2﹣n2
D.（﹣m2n3）2＝﹣m4n6
【答案】C
【解析】解：A、3m+2m＝5m，故A不符合题意；
B、（9m3﹣3m）÷3m＝3m2﹣1，故B不符合题意；
C、（m﹣n）（n+m）＝m2﹣n2，故C符合题意；
D、（﹣m2n3）2＝m4n6，故D不符合题意；
故选：C．
【举一反三1】下列运算中，正确的是（ ）
A.a2+a3=a5 B.(-2a2)3=-8a6 C. (a-1)2=a2-1 D.a8÷a4=a2
【答案】B
【解析】解：A、a2和a3不是同类项，不能加减，故原计算错误，不符合题意；
B.(-2a2)3=-8a6，计算正确，符合题意；
C. (a-1)2=a2-2a+1，故原计算错误，不符合题意；
D.a8÷a4=a4，故原计算错误，不符合题意；
故选：B．
【举一反三2】下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：A选项，，故A选项正确；
B选项，，故B选项错误；
C选项，，故C选项错误；
D选项，，故D选项错误．
【举一反三3】计算：
（1）（﹣xy）2 x5＝　 　；
（2）（a6﹣2a3）÷a3＝　 　．
【答案】（1）x7y2；（2）a3﹣2．
【解析】解：（1）原式＝x2y2 x5＝x7y2，
故答案为：x7y2；
（2）原式＝a6÷a3﹣2a3÷a3＝a3﹣2，
故答案为：a3﹣2．
【举一反三4】化简：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】解：（1）原式
．
（2）原式．
（3）原式
．
【题型6】整式混合运算的化简求值
【典型例题】如果a2﹣2a＝﹣1，那么式子a（a﹣2）+（a﹣1）2的值为（　　）
A.﹣1 B.1 C.﹣3 D.2
【答案】A
【解析】解：a（a﹣2）+（a﹣1）2
＝a2﹣2a+a2﹣2a+1
＝2（a2﹣2a）+1，
∵a2﹣2a＝﹣1，
∴原式＝2×（﹣1）+1＝﹣1，
故选：A．
【举一反三1】已知a2+2ab+b2＝0，那么式子a（a+4b）﹣（a+2b）（a﹣2b）的值为（　　）
A.0 B.2 C.4 D.6
【答案】A
【解析】解：a（a+4b）﹣（a+2b）（a﹣2b）
＝a2+4ab﹣（a2﹣4b2）
＝a2+4ab﹣a2+4b2
＝4ab+4b2，
∵a2+2ab+b2＝0，
∴（a+b）2＝0，
则a+b＝0，
故原式＝4b（a+b）＝0．
故选：A．
【举一反三2】已知5m2+4m﹣1＝0，则式子（2m+1）2+（m+3）（m﹣3）的值为 　 　．
【答案】-7
【解析】解：原式＝4m2+4m+1+m2﹣9
＝5m2+4m﹣8，
∵5m2+4m﹣1＝0，
∴5m2+4m＝1，
∴原式＝1﹣8
＝﹣7．
故答案为：﹣7．
【举一反三3】已知，则代数式 ．
【答案】4047
【解析】解：，
．
【举一反三4】先化简，再求值：
(1)，其中；
(2)，其中
【答案】解：（1）
，
当时，
∴原式．
（2）
，
当时，
∴原式．
【题型7】整式混合运算与几何图形面积及实际问题
【典型例题】a，b，c是三个连续的正整数，以b为边长作正方形，面积记作S1，分别以a，c为长和宽作长方形，面积记作S2，下列说法正确的是（　　）
A.S1＝S2 B.S1＞S2 C.S1＜S2 D.无法比较S1、S2的大小
【答案】B
【解析】解：∵a，b，c是三个连续的正整数，
∴a＝b﹣1，c＝b+1，
∴S1﹣S2＝b2﹣ac
＝b2﹣（b﹣1）（b+1）
＝b2﹣b2+1
＝1＞0，
∴S1＞S2．
故选：B．
【举一反三1】如图，长方形内的阴影部分是由四个半圆围成的图形，则阴影部分的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：根据题意得阴影部分的面积大圆的面积小圆的面积，
∵大圆的直径为，小圆的直径为，
∴阴影部分的面积为．
【举一反三2】如图，在长方形ABCD中放置两个边长都为3的正方形BEFG与正方形DHIJ，设长方形ABCD的面积为S1，阴影部分的面积之和为S2．若3S1﹣S2＝66，则长方形ABCD的周长是（　　）
A.16 B.18 C.20 D.22
【答案】C
【解析】解：设AB＝CD＝x，AD＝BC＝y，
则AH＝CE＝y﹣3，AG＝CJ＝x﹣3，FK＝3﹣（y﹣3）＝6﹣y，FL＝3﹣（x﹣3）＝6﹣x，
∵3S1﹣S2＝66，
∴3xy﹣[2（x﹣3）（y﹣3）+（6﹣y）（6﹣x）]＝66，
整理得12（x+y）＝66+54，
∴2（x+y）＝20，
则长方形 ABCD的周长是20，
故选：C．
【举一反三3】如图，大正方形与小正方形的面积之差是60，则阴影部分的面积是 　 　．
【答案】30．
【解析】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
故阴影部分的面积是：AE BC+AE BD＝AE（BC+BD）
＝（AB﹣BE）（BC+BD）
＝（a﹣b）（a+b）
＝（a2﹣b2）
＝×60
＝30．
故答案为：30．
【举一反三4】如图，正方形ABCD和正方形ECFG的边长分别为5cm和4cm，EF、CG相交于点O，则△BEO的面积为 　 　cm2．
【答案】9．
【解析】解：∵正方形ABCD和正方形ECFG的边长分别为5cm和4cm，
∴BC＝5，CF＝CE＝4，
∴BF＝9，
由图可知，△BEO的面积＝△BEF的面积﹣△BOF的面积，
∴△BEO的面积＝×9×4﹣×9×2
＝18﹣9
＝9（cm2），
故答案为：9．
【举一反三5】如图①，一个宽为a，长为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图②）．

(1)观察图②，请你用等式表示，，之间的数量关系：__________；
(2)根据（1）中的结论，如果，求代数式的值；
(3)观察图③，解决下面的问题：若，求的值．
【答案】解：（1）∵图2的面积可由大正方形的面积求出：，
还可由四个长方形的面积+中间小正方形的面积求出：，
∴可得出等式．
（2）由（1）可知，
∴.
（3）各部分的面积如图所示，

由图可得，
∴，
∴．
【举一反三6】如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成相等的四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．

(1)图②中阴影部分的正方形的边长等于__________；
(2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积：
方法一：__________；
方法二：__________；
(3)根据（2）写出，这三个代数式之间的等量关系，通过计算说明该等量关系的正确性．
【答案】解：（1）由题意得，小长方形的长为m，宽为n，
∴图②中阴影部分的正方形的边长等于，
故答案为：；
（2）根据正方形的面积等于边长的平方，得阴影的正方形的面积为；
根据大正方形的面积减去四个小长方形的面积可得阴影正方形的面积为；
故答案为：；；
（3）由（2）得，
理由：∵，
，
∴，
∴该等量关系正确．
【题型8】整式混合运算与新定义型及规律性问题
【典型例题】观察下列几个算式： ③； ④，…结合你观察到的规律判断 的计算结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：；
②；
③；
④，…则．
【举一反三1】现定义一种运算，例如．若，则x的值（　　）
A.2或﹣3 B.﹣2或3 C.1或﹣6 D.﹣1或6
【答案】B
【举一反三2】若表示一种新的运算，其运算法则为，则的结果为 ．
【答案】
【解析】解：由题意可得，
．
【举一反三3】对于任意有理数，我们规定ad﹣bc，例如：1×4﹣2×3＝﹣2．当a2﹣3a+1＝0时，求的值．
【答案】解：原式＝（a+1）（a﹣1）﹣3a（a﹣2）
＝a2﹣1﹣3a2+6a
＝﹣2a2+6a﹣1．
因为a2﹣3a+1＝0，所以a2﹣3a＝﹣1，
所以2（a2﹣3a）﹣1＝﹣2×（﹣1）﹣1＝1．
【举一反三4】对于两个有理数m，n，定义一种新的运算“◎”如下：．根据以上规定解答下列各题：
(1)计算：的值；
(2)若，求的值．
【答案】解：（1）；
（2），
当时，
原式．
【题型9】用完全平方公式计算
【典型例题】下列算式中，可用完全平方公式计算的是（　　）
A.（1+x）（1﹣x） B.（﹣x﹣1）（﹣1+x） C.（x﹣1）（1+x） D.（﹣x+1）（1﹣x）
【答案】D
【解析】解：∵（1+x）（1﹣x）符合平方差公式的特征，应用平方差公式计算，
∴A选项不符合题意；
∵（﹣x﹣1）（﹣1+x）＝（﹣1﹣x）（﹣1+x），
∴B选项符合平方差公式的特征，应用平方差公式计算，
∴B选项不符合题意；
∵（x﹣1）（1+x）＝（x﹣1）（x+1），
∴C选项符合平方差公式的特征，应用平方差公式计算，
∴C选项不符合题意；
∵（﹣x+1）（1﹣x）＝（﹣x+1）2，
∴D选项可用完全平方公式计算，符合题意．
故选：D．
【举一反三1】的运算结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：
．
【举一反三2】计算：（a+2b）2＝　 　；（3x﹣1）2＝　 　．
【答案】A2+4ab+4b2；9x2﹣6x+1．
【解析】解：（a+2b）2＝a2+4ab+4b2；
（3x﹣1）2＝9x2﹣6x+1．
故答案为：a2+4ab+4b2；9x2﹣6x+1．
【举一反三3】计算： ．
【答案】
【解析】解：
＝．
【举一反三4】（教材改编）运算乘法公式计算：
（1）；（2）.
【答案】解：
（1）
=
=-
=-(4)
=-4.
（2）
=
【举一反三5】运用完全平方公式计算：
(1)2 0192；
(2)1012＋992.
【答案】解：(1)原式＝(2 020－1)2＝2 0202－4 040＋12＝ 4 080 400－4 040＋1＝4 076 361.
(2)原式＝(100＋1)2＋(100－1)2＝10 000＋200＋1＋10 000－200＋1＝20 002.
【题型10】求完全平方式中字母系数的值
【典型例题】若（x﹣3）2＝x2+ax+9，则a的值为（　　）
A.a＝﹣6 B.a＝﹣3 C.a＝3 D.a＝6
【答案】A
【解析】解：∵（x﹣3）2＝x2﹣6x+9，
又∵（x﹣3）2＝x2+ax+9，
∴a＝﹣6，
故选：A．
【举一反三1】小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把中间一项的系数染黑了，得到正确的结果为4a2■ab+9b2，则中间一项的系数是(　　)
A.12 B.-12 C.12或-12 D.36
【答案】C
【解析】解：由(2a±3b)2=4a2±12ab+9b2，∴染黑的部分为±12．故选C．
【举一反三2】若mx2+kx+9=(2x-3)2，则m，k的值分别是(　　)
A.m=-2，k=6 B.m=2，k=12 C.m=-4，k=-12 D.m=4，k=-12
【答案】D
【解析】解：∵若mx2+kx+9=(2x-3)2，∴m=4，k=-12，故选D.
【举一反三3】若（7x-2）2＝49x2+ax+4，则a的值是 　 　．
【答案】-28．
【解析】解：∵（7x-2）2＝49x2-28x+4＝49x2+ax+4，
∴a＝-28．
故答案为：-28．
【举一反三4】若(7x-a)2=49x2-bx+9，则|a+b|=_________．
【答案】45
【解析】解：∵(7x-a)2=49x2-bx+9， ∴49x2-14ax+a2=49x2-bx+9，∴-14a=-b，a2=9， 解得 a=3，b=42或a=-3，b=-42．当a=3，b=42时，|a+b|=|3+42|=45；当a=-3，b=-42时，|a+b|=|-3-42|=45．故答案为45．
【举一反三5】已知4x2-100x+m是完全平方式，求m的值并说明理由．
【答案】解：m=25．
理由如下：∵4x2-100x+m是完全平方式，
∴100x=2×2x×，
解得 m=625．
【题型11】利用完全平方公式变形求字母系数或代数式的值
【典型例题】已知，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：，
，
，
.
【举一反三1】若，则的值为（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
【答案】D
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【举一反三2】已知x与y互为相反数，且（x+1）2﹣（y﹣2）2＝3，则x的值为 　　．
【答案】﹣3．
【解析】解：∵x与y互为相反数，
∴y＝﹣x，
∵（x+1）2﹣（y﹣2）2＝3，
∴（x+1）2﹣（﹣x﹣2）2＝3，
整理得：2x+1﹣4x﹣4＝3，
解得：x＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【举一反三3】【例题呈现】
已知，，求的值．
同学们探究出解这道题的两种方法：
（1）请将方法一、方法二补充完整，方法一中的______，方法二中的______；
【答案】解：（1），．
（2）∵，，，
∴．
（3）设，，则，
由题意可，，
∴，
∵，
∴．
【题型12】完全平方公式与几何图形面积
【典型例题】边长分别为和（其中）的两个正方形按如图摆放，如果，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：∵大正方形的边长为，小正方形的边长为，
∴大正方形的面积为，小正方形的面积为，
∴阴影部分的面积，
，
∵，，
∴，
∴阴影部分的面积为．
【举一反三1】两个边长为a的大正方形与两个边长为b的小正方形按如图所示放置，如果，那么阴影部分的面积是（ ）
A.30 B.34 C.40 D.44
【答案】A
【解析】解：如图，

∵，
∴，
∴，
阴影部分的面积
．
【举一反三2】用4张长为、宽为的长方形纸片按如图所示的方式拼成一个边长为的正方形，图中阴影部分的面积为，大正方形的面积为．若，则，满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：大正方形的面积，空白部分的面积，
∴阴影部分的面积，
∵，
∴，，
∴．
【举一反三3】用4个相同的小长方形与1个小正方形密铺而成的大正方形图案如图所示．已知大正方形的面积为81，小正方形的面积为9．设小长方形的两边分别为，则的值为 ．
【答案】
【解析】解：∵大正方形的面积为81，小正方形的面积为9，
∴，，
即，，
∴，
∴．
【举一反三4】(1)求(如图1)这一块长为acm、宽为bcm矩形材料的面积；(用含a，b的代数式表示)(2)用四块(如图1)的矩形材料拼成一个大矩形(如图2)或大正方形(如图3)，中间分别空出一个阴影小矩形A和一个阴影小正方形B．通过计算说明阴影A、B的面积哪一个比较大； (3)根据(如图4)，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式．
【答案】解：(1)S=长×宽=ab；
(2)根据图形可得：矩形A的长=a，宽=a-2b；正方形B的边长=a-b，
矩形A的面积=a2-2ab，正方形B的面积=a2-2ab+b2，
正方形B面积-矩形A的面积=b2＞0，
∴正方形B的面积大；
(3)根据图形可得：(2a)2-b2=(2a-b)(2a+b)．
【举一反三5】【知识生成】通过学习：我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，请结合图形解答下列问题：
(1)写出图1中所表示的数学等式______;
(2)如图2所示，是用4块完全相同的长方形拼成的正方形，用两种不同的方法求图中阴影部分的面积，得到的数学等式是______；
(3)【知识应用】若，，求的值；
(4)【灵活应用】图3中有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为2和11，则两正方形A，B的面积之和的平方＝______．
【答案】解：（1）由图可知，大正方形的边长为，因此面积为，图中4个部分的面积和为，因此有.
（2）图中阴影部分是4个长为a，宽为b的长方形组成，因此阴影部分的面积为，阴影部分也可以看作边长为的正方形，与边长为的正方形的面积差，即，因此有.
（3），
，
，
，
．
（4）设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，所以图甲中的阴影部分的面积为，即，
图乙中阴影部分的面积为，
所以正方形A,B的面积之和的平方为．
【题型13】添括号
【典型例题】下列等式一定成立的是(　　)
A.b-2a=-(2a-b) B.-a-b=-(a-b) C.2-3x=2(1-3x) D.-2-4x=-2(1-2x)
【答案】A
【解析】解：A. -2a=-(2a-b)成立，故本选项正确；
B. -a-b=-(a+b)，故本选项错误；
C. 2-3x=2(1-x)，故本选项错误；
D. -2-4x=-2(1+2x)，故本选项错误．
故选A．
【举一反三1】对多项式进行添括号正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：根据添括号的法则可知，或．
【举一反三2】把下面多项式添括号后得到a-3(b2-2c)的是(　　)
A.a-3b2-6c B.a-3b+6c C.a-3b2+6c D.a-3b2+2c
【答案】C
【解析】解：a-3b2+6c =a-3(b2-2c)．故选C．
【举一反三3】在横线上填入“+”或“-”号，使等式成立．
(1)a-b=______(b-a)；
(2)a+b=______(b+a)；
(3)(a-b)2=______(b-a)2；
(4)(a+b)2=______(b+a)2；
(5)(a-b)3=_______(b-a)3；
(6)(-a-b)3=_______(b+a)3．
【答案】(1)- (2)+ (3)+ (4)+ (5)- (6)-
【解析】解：(1)a-b=-(b-a)；(2)a+b=+(b+a)；(3)(a-b)2=+(b-a)2；(4)(a+b)2=+(b+a)2；(5)(a-b)3=-(b-a)3；(6)(-a-b)3=-(b+a)3.
【举一反三4】2a﹣b+c＝c﹣（　 　）．
【答案】B﹣2a
【解析】解：2a﹣b+c＝c﹣（b﹣2a）．
【举一反三5】把多项式x4y-4xy3+2x2-xy-1按下列要求添括号：
(1)把四次项相结合，放在带“+”号的括号里；
(2)把二次项相结合，放在带“-”号的括号里．
【答案】解：(1)∵把四次项相结合，放在带“+”号的括号里，
∴x4y-4xy3+2x2-xy-1=x4y+(-4xy3)+2x2-xy-1；
(2)∵把二次项相结合，放在带“-”号的括号里，
∴x4y-4xy3+2x2-xy-1=x4y-4xy3-(-2x2+xy)-1．
【题型14】添括号与整体代入思想
【典型例题】如果多项式的值为18，则多项式的值等于（ ）
A.28 B. C.32 D.
【答案】B
【解析】解：∵，
∴，即，
∴．
【举一反三1】已知，，的值是（ ）
A.-1 B.1 C.5 D.15
【答案】A
【解析】解：∵a-b=3，c+d=2，
∴（c+d）-（a-b）=2-3=-1，
∴（b+c）-（a-d）=b+c-a+d=（c+d）-（a-b）=-1．
故选：A．
【举一反三2】已知，则代数式的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：∵
∴ ，
故选：A．
【举一反三3】若，则 ．
【答案】4
【解析】解：当时，．
【举一反三4】已知，则代数式的值为 ．
【答案】
【解析】解：∵，
∴，
∴．
【举一反三5】问题情境：整体代换是数学的一种思想方法．例如：若，求的值．
我们将作为一个整体代入，则原式．
仿照上面的解题方法解决问题：若，求的值．
【答案】解：∵，
∴
．
【举一反三6】我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则．整体思想是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简和求值中有着广泛的应用．请根据上面的提示和范例，解决下面的问题：
(1)把看成一个整体，则将合并的结果为_____；
(2)已知，求的值；
(3)已知，，，求的值．
【答案】解：（1）
．
（2）∵，
∴．
（3）∵，
∴
．

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