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18.1分式及其基本性质
【题型1】分式中规律型问题 8
【题型2】用分式表示实际问题中的量 11
【题型3】分式的辨别 13
【题型4】分式有意义的条件 14
【题型5】分式无意义的条件 16
【题型6】分式值为0的条件 17
【题型7】求分式的值 19
【题型8】由分式值的正负确定字母的取值范围 21
【题型9】判断分式变形是否正确 23
【题型10】分式的分子、分母及分式本身正负号变化规律 25
【题型11】不改变分式值将分式分子与分母各项系数化为整数 28
【题型12】将分式分子与分母中字母扩大或缩小后判断分式值的变化 30
【题型13】分式的约分 32
【题型14】最简分式 33
【题型15】约分与整体思想综合求分式的值 34
【题型16】最简公分母 37
【题型17】分式的通分 38
【知识点1】分式的定义 （1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．
（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．
（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．
（5）分式是一种表达形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）-2，y-1，则为分式，因为y-1=仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式． 1.（2025春 成安县期末）在代数式3a-2b,，，中，分式有（　　） A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B 【分析】根据分式的定义逐个判断即可． 【解答】解：分式有，，共2个．
故选：B． 【知识点2】分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 1.（2025春 安溪县期末）若使分式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠3B．x＞-3C．x≠0D．x≠-3
【答案】D 【分析】由分母不为零可得x+3≠0，从而可得答案． 【解答】解：∵分式有意义，
∴x+3≠0，
解得x≠-3．
故选：D． 【知识点3】分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少． 1.（2024秋 东莞市期末）若分式的值为0，则x的值为（　　） A．x=-1B．x=1C．x≠1D．x=±1
【答案】A 【分析】根据分式的值为0即分子为0，分母不为0，据此解答即可． 【解答】解：由题可知，
x2-1=0，且x-1≠0，
解得：x=-1．
故选：A． 2.（2025春 乐清市期末）分式的值为0，则x的值为（　　） A．1B．-3C．3D．-1
【答案】A 【分析】分式的值为零：分子为零，且分母不为零． 【解答】解：由题意知x-1=0且x-3≠0，
解得x=1，
故选：A． 【知识点4】分式的值 分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径． 1.（2024春 开化县月考）若x取整数，令P=，则要使P为整数的x的值共有（　　） A．3个B．4个C．6个D．8个
【答案】B 【分析】将原式化为3+，即可确定答案． 【解答】解：原式==3+，
∵P为整数，
∴2x-1=±1，±2，±3，±6，
∵x取整数，
∴x=1或0或2或-1．
故选：B． 【知识点5】分式的基本性质 （1）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题
1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．
3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的． 1.（2025春 椒江区期末）若把分式（x,y为正数）中的x,y分别扩大为原来的3倍，则分式的值是（　　） A．扩大为原来的3倍B．缩小为原来的3倍C．扩大为原来的9倍D．不变
【答案】A 【分析】将x、y均扩大3倍，然后再化简，最后再与原式进行比较即可． 【解答】解：将x,y分别扩大为原来的3倍得：===3×．
故选：A． 2.（2025春 江阴市期中）分式中的x,y同时扩大为原来的3倍，则分式的值（　　） A．扩大为原来的3倍B．扩大为原来的9倍C．缩小为原来的D．不变
【答案】A 【分析】运用分数的基本性质进行计算即可． 【解答】解：把x和y都扩大3倍后，
=
=3×，
∴x,y同时扩大为原来的3倍，分式的值扩大为原来的3倍．
故选：A． 【知识点6】约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．
①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．
②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．
③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．
（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 1.（2023秋 合川区期末）分式约分结果正确的是（　　） A．B．C．D．
【答案】C 【分析】依据分式的性质约分即可． 【解答】解：==．
故选：C． 2.（2023春 海口期末）约分的结果是（　　） A．B．C．-D．
【答案】C 【分析】利用分式的性质化简得出答案． 【解答】解：=-=-，
故选：C． 【知识点7】通分 （1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．
（2）通分的关键是确定最简公分母．
①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．
②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积．
（3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式． 【知识点8】最简分式 最简分式的定义：
一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
和分数不能化简一样，叫最简分数． 1.（2024秋 鼓楼区校级期末）下列分式为最简分式的是（　　） A．B．C．D．
【答案】C 【分析】分式的分子、分母没有公因式即为最简分式，由此判断即可． 【解答】解：A、，不是最简分式，故此选项不符合题意；
B、=-a-b,不是最简分式，故此选项不符合题意；
C、是最简分式，故此选项符合题意；
D、，不是最简分式，故此选项不符合题意；
故选：C． 2.（2025春 祁东县校级期中）下列分式中是最简分式的是（　　） A．B．C．D．
【答案】B 【分析】在化简结果中，分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式； 【解答】解：A，2还可约分，故不是最简分式；
B，是最简分式，符合题意；
C，x+1还可约去，故不是最简分式；
D，公因式a还可约分，故不是最简分式；
故答案选：B． 【知识点9】最简公分母 （1）最简公分母的定义：
通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．（2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 1.（2021春 奉化区校级期末）分式与的最简公分母是（　　） A．abB．2a2b2C．a2b2D．2a3b3
【答案】B 【分析】常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 【解答】解：分式与的最简公分母是2a2b2，
故选：B．
【题型1】分式中规律型问题
【典型例题】给定下面一列分式：，，，……，（其中）根据你发现的规律，其中第7个分式应是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：第奇数个式子是正数，偶数个是负数，
分母是第几个式子就是y的几次方；
分子是第几个式子就是x的（第几×2+1）次方．
所以第七个分式是．
故选：D．
【举一反三1】按一定规律排列的代数式：，，，，……，第9个代数式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：∵，，，，……
∴第个代数式为：，
当是，第9个代数式为：，
故选B
【举一反三2】有一个计算程序，每次运算都是把一个数除以它与1的和，即，，……多次重复进行这种运算，若输入的值是2，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：根据题意得：，
，
，
……，
由此发现，，
∴．
故选：D．
【举一反三3】观察分析下列方程：①；②；③．请利用它们所蕴含的规律，求关于的方程（n为正整数）的根，你的答案是 ．
【答案】x=n+4或x=n+5
【解析】解：，解得：或；
，解得：或；
，解得：或；
得到规律，的解为：或；
所求方程整理得：，
根据规律得：或，
解得：x=n+4或x=n+5
故答案为：x=n+4或x=n+5
【举一反三4】已知：， ．
【答案】
【解析】解：∵，，，
∴，，
∴，，
∴原式
，
故答案为：．
【举一反三5】观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
按照以上规律，解出下列问题：
①第6个等式为：_______________．
②写出第个等式（用含的等式表示）并证明．
【答案】解：①由题意可得，第6个式子是：，
故答案为：；
②，
证明：右边
左边，
原等式成立，
【举一反三6】观察下列等式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；……
请根据上述规律，解答下列问题：
(1)请直接写出第5个等式；
(2)猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【答案】解：（1）第5个等式为；
（2）第n个等式是；
证明：等式左边等式右边，所以猜想成立．
【题型2】用分式表示实际问题中的量
【典型例题】“行人守法，安全过街”体现了对生命的尊重，也体现了公民的文明素质，更反映了城市的文明程度．在某路口的斑马线路段A﹣B﹣C横穿双向车道，其中，AB＝2BC＝10米，在人行绿灯亮时，小刚共用时10秒通过AC，其中通过BC的速度是通过AB的1.3倍，求小刚通过AB的速度．设小刚通过AB的速度为x米/秒，则根据题意通过BC所用的时间为（　　）秒.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：∵AB＝2BC＝10米，
∴BC＝5米．
∵小刚通过AB的速度为x米/秒，通过BC的速度是通过AB的1.3倍，
∴小刚通过BC的速度为1.3x米/秒．
∴过AB所用时间秒；过BC所用时间秒．
故选：D．
【举一反三1】某农场开挖一条长360米的水渠，开工后每天效率是原计划每天效率的1.5倍，结果少花了几天时间完成了任务，若设原计划每天挖x米，那么实际完成任务所用的天数可表示为（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：设原计划每天挖x米，则原计划用时为：天，实际用时为：天，
故选：A．
【举一反三2】x克盐溶解在a克水中，取这种盐水m克，盐水的浓度为（　　）
A.克 B.克 C.克 D.克
【答案】B
【解析】解：该盐水的浓度为，
故选B．
【举一反三3】小王每小时做x个零件，则做40个零件需 小时．
【答案】
【解析】解：做40个零件需要小时．
【举一反三4】学校用一笔钱买奖品，买一支钢笔用x元，买一本笔记本y元.若以1支钢笔和2本日记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以1支钢笔和3本日记本为一份奖品，则可买多少份奖品？
【答案】解 根据题意得：这笔钱为60（x+2y）元，
第二种情况一份奖品的钱为（x+3y）元，
所以可买奖品的份数为.
【解析】解：
【举一反三5】地推经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用600元购进A型玩具的数量比用180元购进B型玩具的数量多64个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.2倍．求A、B两种型号玩具的单价各是多少元？
请根据题意，填空：
（1）甲同学的解法：设B型玩具的单价为x元，则A型玩具的单价为 元；用600元购进A型玩具的数量可表示为 个，用180元购进B型玩具的数量可表示
为 个.
（2）乙同学的解法：设购进A型玩具x个，则购进B型玩具 个；则A型玩具的单价为 元/个，B型玩具的单价为 元/个.
【答案】（1）甲同学的解法：设B型玩具的单价为x元，则A型玩具的单价为1.2x元；用600元购进A型玩具的数量可表示为个，用180元购进B型玩具的数量可表示
为个.
（2）乙同学的解法：设购进A型玩具x个，则购进B型玩具(x+64)个；则A型玩具的单价为元/个，B型玩具的单价为元/个.
【题型3】分式的辨别
【典型例题】在式子，，，中，整式的个数为（　　）
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】C
【解析】解：式子，中的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式；
式子，中，中的分母中含有字母，因此是分式；
故选：C．
【举一反三1】式子，，，，，整式有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【解析】解：式子 ，，，，，中整式有 ，，，共3个，
故选：C．
【举一反三2】下列各式中中分式
有　 　个．
【答案】3
【解析】解：中分式为：、+1，﹣共3个．
故答案为：3．
【举一反三3】按一定规律排列的式子：﹣，，﹣，，……第n个式子是 　 　．
【答案】（﹣1）n ．
【解析】解：3b，8b，15b，24b…，分子可表示为：n（n+2）b．
1，3，5，7，…分母可表示为a2n﹣1，
则第n个式子为：（﹣1）n ．
故答案为：（﹣1）n ．
【举一反三4】下列各式哪些是分式，哪些是整式？
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦2x+；⑧，⑨
【答案】解：②；⑤；⑥；⑧，⑨的分母中含有字母，是分式．
；③；④；⑦2x+的分母中不含有字母，是整式．
【题型4】分式有意义的条件
【典型例题】当x的值为（　　）时，分式有意义．
A.x≠1 B.x＝1 C.x＝0 D.x为任意实数
【答案】A
【解析】解：当分式有意义时，
分式的分母不为零，即x﹣1≠0，
解得x≠1．
故选：A．
【举一反三1】下列各式中，不论字母取何值时分式都有意义的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：∵2x2+1＞1，∴不论字母取何值都有意义，
故选：D．
【举一反三2】如果分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A.全体实数 B.x≠1 C.x=1 D.x＞1
【答案】B
【解析】解：∵分式有意义，∴x-1≠0，解得：x≠1．故选：B．
【举一反三3】若分式有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】x≠0且x≠5．
【解析】解：由题意得：x≠0且x-5≠0，
解得：x≠0且x≠5．
故答案为：x≠0且x≠5．
【举一反三4】若分式有意义，则a的取值范围是 a≠1
．
【答案】a≠1
【解析】解：分式有意义，则a-1≠0，则a的取值范围是：a≠1．故答案为：a≠1．
【举一反三5】当x为何值时，下列分式有意义？
（1）；（2）；（3）．
【答案】解：（1）∵2x+5≠0，
∴x≠﹣；
（2）∵x﹣1≠0，
∴x≠1；
（3）∵x﹣2≠0，
∴x≠2．
【题型5】分式无意义的条件
【典型例题】当x＝2时，下列分式没有意义的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：A．分式没有意义时，x＝0，故A不符合题意；
B．分式没有意义时，x＝2，故B符合题意；
C．分式没有意义时，x＝1，故C不符合题意；
D．分式没有意义时，x＝﹣2，故D不符合题意；
故选：B．
【举一反三1】下面选项的值使分式无意义的是（　　）
A.x＝2024 B.x＝0 C.x＝2023 D.x＝2025
【答案】A
【解析】解：若分式无意义，则有x﹣2024＝0，
解得x＝2024，
∴能使分式无意义的是x＝2024．
故选：A．
【举一反三2】若分式无意义，则x的值为（　　）
A.x=-1 B.x=1 C.x=1 D.x=2
【答案】D
【解析】解：根据分式无意义的条件，说明分母x-2=0，解得x的值即可．
【举一反三3】当x＝　 　时，分式无意义．
【答案】2．
【解析】解：∵分式无意义，
∴3x﹣6＝0，
解得x＝2．
故答案为：2．
【举一反三4】当x取什么值时，下列分式无意义？
（1）；
（2）．
【答案】解：（1）依题意得2x﹣3＝0，解得x＝1.5；
（2）依题意得5x﹣10＝0，解得x＝2．
【题型6】分式值为0的条件
【典型例题】当a=2时，其值为零的分式是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：A.a=2分式无意义，故A错误；
B.a=2，分式的值为零，故B正确；
C.a=2分式无意义，故C错误；
D.a=2分式的值不为零，故D错误；
故选：B．
【举一反三1】如果分式的值为0，那么m的值为（　　）
A.1 B.﹣1 C.﹣1或1 D.1或0
【答案】A
【解析】解：由题可知，
m2﹣1＝0且m+1≠0，
解得m＝1．
故选：A．
【举一反三2】当x＝　 　时，分式的值为0．
【答案】1
【解析】解：∵分式的值为0，
∴，由①得，x＝1或x＝﹣2；
由②得，x≠﹣2，x≠3，
∴此不等式组的解集为：x＝1．
故答案为：1．
【举一反三3】当x＝　 　时，分式的值是零．
【答案】3．
【解析】解：由题可知，
x﹣3＝0且x+4≠0，
解得x＝3．
故答案为：3．
【举一反三4】当x取什么数时，分式的值为零？
【答案】解：由题意得1－|x|＝0，解得x＝±1，
当x＝1时，分母(x－1)(x＋2)＝0，分式无意义；
当x＝－1时，分母(x－1)(x＋2)≠0，分式有意义．
综上，当x＝－1时，分式的值为零．
【举一反三5】当x为何值时，下列分式的值为0？
（1）；（2）；（3）．
【答案】解：（1）由题意得：
，
解得，
解得x＝﹣6；
（2）由题意得：
，
解得，
解得x＝0；
（3）由题意得：
，
解得，
∴x＝﹣2．
【题型7】求分式的值
【典型例题】当a=﹣1时，分式（　　）
A.等于零 B.等于1 C.等于﹣1 D.没有意义
【答案】A
【解析】解：原式==，
当a=﹣1时，原式==0．故选：A．
【举一反三1】已知x=-2，y=3，则分式的值是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵x=-2，y=3，
∴．故选：C．
【举一反三2】题目当x=6，y=﹣2时，式子的值为（　　）
A.2 B. C.1 D.
【答案】D
【解析】解：解：∵x=6，y=﹣2，
∴===．故选：D．
【举一反三3】若分式的值为整数，x的值也为整数，则x的最小值为 　 　．
【答案】-3
【解析】解：分式的值为整数，x的值也为整数，
∴x﹣1＝±4或±2或±1，
∴x＝5或﹣3或3或﹣1或2或0，
∴x的最小值为﹣3，
故答案为：﹣3．
【举一反三4】已知x，y互为相反数，m，n互为倒数，|a|＝3，求的值．
【答案】解：∵x，y互为相反数，m，n互为倒数，
∴x+y＝0，mn＝1，
又∵|a|＝3，
∴a＝3或a＝﹣3，
当x+y＝0，mn＝1，a＝3时，原式＝；
当x+y＝0，mn＝1，a＝﹣3时，原式＝；
∴值为或．
【举一反三5】已知当x＝﹣2时，分式无意义；当x＝1时，此分式的值为0．
（1）求a，b的值．
（2）再（1）的条件下，当分式的值为正整数时，求整数x的值．
【答案】解：（1）当x+a＝0时，分式无意义，
∵x＝﹣2，
∴﹣2+a＝0，
解得：a＝2；
当x﹣b＝0时，分式无意义，
∵x＝1，
∴1﹣b＝0，
解得：b＝1；
∴a的值为2；b的值为1；
（2）当a＝2，b＝1时，分式即为：，
∵分式的值为正整数，
∴x+1＝1或x+1＝2或x+1＝4，
解得：x＝0或x＝1或x＝3，
∴整数x的值为0或1或3．
【题型8】由分式值的正负确定字母的取值范围
【典型例题】如果分式的值为负数，则x的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：∵分式的值为负数，
∴1﹣2x＜0，
∴x＞．
故选：D．
【举一反三1】若分式的值是负数，则x的取值范围是(　　)
A.x> B.x> C.x＜ D.x＜
【答案】B
【解析】解：
【举一反三2】若分式的值为正，则x的取值范围为(　　)
A.x≥－ B.x≤－ C.x>－且x≠0 D.x＜－
【答案】C
【解析】解：
【举一反三3】当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为 　 　．
【答案】0（答案不唯一）．
【解析】解：∵＞0，1＞0，
∴x+1＞0，即x＞﹣1，
则满足条件x的值可以为0（答案不唯一）．
故答案为：0（答案不唯一）．
【举一反三4】已知y＝，x取哪些值时：
（1）y的值是正数；
（2）y的值是负数；
（3）y的值是零；
（4）分式无意义．
【答案】解：（1）由y为正数得：＞0，
∴①或②
解不等式组①知，无解；解不等式组②知＜x＜1．
∴当＜x＜1时，y的值是正数.
（2）由y为负数得：＜0，
∴①或②
解不解不等式组①得，x>1；解不等式组②得x＜．
∴当x＜或x＞1时，y的值是负数.
（3）由y为零得：
＝0，得x-1=0，解得x＝1，
代入分母2﹣3x＝2≠0，
∴当x＝1，y的值是零.
（4）由分式无意义得：
2﹣3x＝0，
∴x＝．
∴当x＝时，原分式无意义.
【题型9】判断分式变形是否正确
【典型例题】根据分式的基本性质可知，＝（　　）
A.a2 B.b2 C.ab D.ab2
【答案】C
【解析】解：根据分式的基本性质可知：＝，
故选：C．
【举一反三1】下列等式从左到右的变形中，正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：A、≠，故本选项错误，不符合题意；
B、＝a+1，故本选项错误，不符合题意；
C、＝，故本选项正确，符合题意；
D、≠，故本选项错误，不符合题意．
故选：C．
【举一反三2】填出下面各式中未知分母或分子：＝，
【答案】3y x
【解析】解：第一个式子中，等式左边的分母是等式右边分母的3y倍，因此，等式左边的分子就应该是1×3y=3y，因此括号内填3y．
第二个式子中，等式左边的分子（3x+5y）乘以2y后得等式右边的分子6xy+10y2，也就是等式右边的分子是等式左边分子的2y倍，因此，等式右边的分母就应该是等式左边分母的2y倍，因此等式左边括号内填x．
【举一反三3】（1）＝；　 　
（2）＝．　 　．
【答案】3x，5xy2．
【解析】解：（1）；
（2）；
故答案为：3x，5xy2．
【举一反三4】在下列各题括号内，填上使等式成立的分子或分母．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
【答案】解：（1）观察该等式的分母的变化是：分母扩大了2xy倍，则分子也扩大2xy倍．故填：2x2y；
（2）观察该等式的分母的变化是：分母缩小了xy倍，则分子也缩小xy倍．故填：2x；
（3）∵2x2﹣x＝x（2x﹣1）＝﹣x（1﹣2x），
∴观察该等式的分母的变化是：分母扩大了﹣x倍，则分子也扩大﹣x倍．故填：2x2；
（4）观察该等式的分子的变化是：分子扩大了（x﹣y）倍，则分子也扩大（x﹣y）倍．故填：5xy﹣5y2；
（5）＝＝＝．故填：3x﹣y；x（3x+y）．
【举一反三5】根据分式的基本性质，完成下列各等式．
（1）＝；
（2）＝；
（3）（b≠0）；
（4）；
（5）3x﹣2＝；
（6）．
【答案】解：（1）＝（b≠0）；
（2）＝；
（3）＝（b≠0；
（4）＝，（x≠0且y≠0）；
（5）3x﹣2＝，；
（6）＝；
故答案为：b，y，2ab+2b2，x，9x2﹣4，2m2﹣2mn；
【题型10】分式的分子、分母及分式本身正负号变化规律
【典型例题】根据分式的基本性质，分式可变形为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵＝﹣，
故选：C．
【举一反三1】下列分式中，与的值相等的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：＝＝．
故选：D．
【举一反三2】下列各式从左到右的变形正确的是（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：A.错误，应为 .
B.错误，应为
C.错误，应为
D.正确，分子分母都乘以15，分式的值不变，故D符合题意；
故选：D．
【举一反三3】在下列横线上填上“＝”或“≠”号：
（1）　 　；
（2）　 　；
（3）　 　；
（4）　 　．
【答案】解：（1）＝；
（2）≠；
（3）＝；
（4）≠．
故答案为＝、≠、＝、≠．
【举一反三4】不改变分式的值，使分式的分子，分母的最高次项系数都是正数，则＝　 　．
【答案】﹣．
【解析】解：原式＝﹣，
故答案为：﹣．
【举一反三5】不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)－.
【答案】解：(1)＝－.
(2)＝－＝－.
(3)＝＝.
(4)－＝－
＝－.
【举一反三6】不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“﹣”号：
（1）；（2）；（3）；（4）﹣．
【答案】解：（1）原式＝
（2）原式＝
（3）原式＝
（4）原式＝
【题型11】不改变分式值将分式分子与分母各项系数化为整数
【典型例题】下列变形正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：A、此分式不能约分，∴不符合题意；
B、原式＝1，∴不符合题意；
C、原式＝，∴不符合题意；
D、原式＝＝﹣1，∴符合题意；
故选：D．
【举一反三1】不改变分式的值，把它的分子，分母的系数化为整数，其结果正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：＝．故选：B．
【举一反三2】不改变分式的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：分式的分子和分母乘以6，原式=．故选D．
【举一反三3】不改变分式的值，把分子分母的系数化为整数：＝　 　．
【答案】.
【解析】解：不改变分式的值，把分子分母的系数化为整数：＝，
故答案为：．
【举一反三4】不改变分式的值，将分式的分子、分母的各项系数都化为整数，则＝　 　．
【答案】．
【解析】解：
＝
＝，
故答案为：．
【举一反三5】不改变分式的值，下列分式的分子.分母中的系数都化为整数．
（1） ； （2）
【答案】解：（1）原式= ；
（2）原式==.
【答案】解：（1）原式= ；
（2）原式==.
【题型12】将分式分子与分母中字母扩大或缩小后判断分式值的变化
【典型例题】小德不小心将墨汁滴到了作业纸上，导致分式中有部分代数式被墨汁污染，小清告诉小德，当x和y都扩大为原来的2倍时，分式的值也扩大为原来的2倍，则■的内容可能是（　　）
A.2 B.x C.x2 D.4
【答案】B
【解析】解：若■的内容为2，分式为，
根据题意得：＝，选项A不符合题意；
若■的内容为x，分式为，
根据题意得：＝，选项B符合题意；
若■的内容为x2，分式为，
根据题意得：＝，选项C不符合题意；
若■的内容为4，分式为，
根据题意得：＝，选项D不符合题意．
故选：B．
【举一反三1】把分式的a、b、c的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（　　）
A.不变 B.变为原来的3倍 C.变为原来的 D.变为原来的
【答案】A
【解析】解：根据分式的基本性质，分式的分子扩大3倍，分母也扩大3倍，分式的值不变，故选A．
【举一反三2】将下列各式中x，y（x≠0，y≠0）的值均扩大2倍后，分式值一定不变的有（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵分式中x，y（x≠0，y≠0）的值都扩大为原来的2倍，
A、＝，分式值变为原来的，故本选项不符合题意；
B、＝，分式值改变了，故本选项不符合题意；
C、，分式值没有改变，本选项符合题意；
D、＝，分式值改变了，故本选项不符合题意；
故选：C．
【举一反三3】如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值(　　)
A.扩大3倍 B.缩小3倍 C.不变 D.扩大9倍
【答案】C
【解析】解：根据题意，得＝，
所以分式的值不变．
【举一反三4】若x，y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的2倍，
A.==；
B.≠；
C.；
D..
故A正确．
故选A．
【题型13】分式的约分
【典型例题】化简正确的是（　　）
A.= B.= C.= D.=
【答案】C
【解析】解：原式=，
故选C.
【举一反三1】化简的结果是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：＝，
故选：C．
【举一反三2】化简：＝　 　．
【答案】．
【解析】解：＝＝，
故答案为：．
【举一反三3】约分：＝　 　．
【答案】﹣．
【解析】解：原式＝﹣＝﹣．
故答案为：﹣．
【举一反三4】约分：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】解：（1）原式＝；
（2）原式＝；
（3）＝；
（4）原式＝＝．
【题型14】最简分式
【典型例题】下列分式是最简分式的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：A、是最简分式，符合题意；
B、＝，不是最简分式，不符合题意；
C、＝x+1，不是最简分式，不符合题意；
D、＝﹣1，不是最简分式，不符合题意．
故选：A．
【举一反三1】在分式，， ， 中，最简分式有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【解析】解：能化简的分式不是最简分式，分式和还能继续化简，所以不是最简分式；而，不能继续化简，是最简分式．
故选B．
【举一反三2】分式的最简分式是 .
【答案】
【解析】解：原式==
【举一反三3】化简：＝________.
【答案】x
【解析】解：原式＝＝x.
【举一反三4】分式是最简分式吗？若不是最简分式请把它化为最简分式，并求出x=2时此分式的值．
【答案】解：分式不是最简分式．
原式==，
当x=2时，原式==．
【题型15】约分与整体思想综合求分式的值
【典型例题】已知：a﹣b≠0且2a﹣3b=0，则式子的值是（　　）
A.8 B.8或12 C.0 D.﹣12
【答案】A
【解析】解：∵2a﹣3b=0，
∴a=b，∴==8．
故选A．
【举一反三1】已知，则＝（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵，
∴设a＝2k，b＝3k，
∴
＝
＝
＝
＝．
故选：C．
【举一反三2】已知a2﹣5a+2=0，则分式的值为（　　）
A.21 B. C.7 D.
【答案】A
【解析】解：∵a2﹣5a+2=0，
∴a﹣5+=0，故a+=5，
∴（a+）2=25，
∴a2++4=25，
∴=a2+=21．故选：A．
【举一反三3】已知＝，则＝　 　．
【答案】．
【解析】解：
＝
＝
＝．
∵，
∴原式＝＝．
故答案为：．
【举一反三4】若=，求的值．
【答案】解：∵=，
∴2y2+3y+7=8，
∴2y2+3y=1，
∴===2．
【举一反三5】已知a﹣b﹣1＝0，求代数式的值．
【答案】解：∵a﹣b﹣1＝0，
∴a﹣b＝1，
＝
＝
＝
＝
＝
＝3．
【题型16】最简公分母
【典型例题】分式，，的最简公分母是（　　）
A.5abx B.15abx5 C.15abx D.15abx3
【答案】D
【解析】解：分式，，的最简公分母是15abx3，
故选D．
【举一反三1】分式的最简公分母是（　　）
A.24a2b2c2 B.24a6b4c3 C.24a3b2c3 D.24a2b3c3
【答案】C
【解析】解：3，2，8的最小公倍数为24，
a2b，ab2，a3bc3的最小公倍数为a3b2c3，
∴分式的最简公分母为24a3b2c3，
故选：C．
【举一反三2】分式，，的最简公分母是 　 　．
【答案】12x2y2z3．
【解析】解：分式、、的最简公分母是12x2y2z3，
故答案为：12x2y2z3．
【举一反三3】分式，的最简公分母是　 　．
【答案】12x2y3．
【解析】解：最简公分母的分母取各分式分母中系数的最小公倍数，则系数为12，取相同字母的最高次幂，则为x2y3，结果为：12x2y3．故答案为：12x2y3．
【举一反三4】求下列各组分式的最简公分母
（1），，
（2），，
（3），，
（4），，．
【答案】解：（1）7﹣7a＝7（1﹣a），1﹣2a+a2＝（1﹣a）2，a2﹣1＝（a+1）（a﹣1），则它们的公分母是：7（1﹣a）2（1+a）．
（2）x2﹣4x﹣5＝（x﹣5）（x+1），x2+3x+2＝（x+1）（x+2），x2﹣3x﹣10＝（x+2）（x﹣5），则它们的公分母是：（x﹣5）（x+1）（x+2）．
（3）a2﹣ab＝a（a﹣b），b2﹣ab＝b（b﹣a），a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），则它们的公分母是：ab（a﹣b）（a+b）．
（4）x2﹣18x+81＝（x﹣9）2，81﹣x2＝（x+9）（x﹣9），x2﹣18x+81＝（x+9）2，则它们的公分母是：（x+9）2（x﹣9）2．
【举一反三5】指出下列各式的最简公分母．
（1）、；（2）、、；（3）、、；（4）与
【答案】解：（1）最简公分母为10x3y2；
（2）最简公分母为12x3z2y；
（3）最简公分母为（1﹣a）3；
（4）最简公分母为x（x﹣3）（x+3）．
【题型17】分式的通分
【典型例题】从分数组{，，，，，}中删去两个分数，使剩下的数之和为1，则删去两个数是（　　）
A.与 B.与 C.与 D.与
【答案】C
【解析】解：由+＝，而，
故删去与后，可使剩下的数之和为1．
故选C．
【举一反三1】若将分式与分式通分后，分式的分母变为2（x﹣y）（x+y），则分式的分子应变为（　　）
A.6x2（x﹣y）2 B.2（x﹣y） C.6x2 D.6x2（x+y）
【答案】C
【解析】解：因为分式与分式的公分母是2（x+y）（x﹣y），
所以分式的分母变为2（x﹣y）（x+y），则分式的分子应变为6x2．
故选：C．
【举一反三2】将分式和进行通分时，分母a2-9可因式分解为 （a+3）（a-3）
，分母9-3a可因式分解为 -3（a-3）
，因此最简公分母是 .
【答案】（a+3）（a-3） -3（a-3） -3（a+3）（a-3）
【解析】解：∵a2-9=（a+3）（a-3），9-3a=-3（a-3），
∴分式和的最简公分母为-3（a+3）（a-3）．
故答案为（a+3）（a-3），-3（a-3），-3（a+3）（a-3）．
【举一反三3】将分式，，通分，分母所乘的单项式依次为 　 　，　 　，　 　．
【答案】4a2y，6ax2，3xy2．
【解析】解：分式，，的最简公分母为12a2x2y2，
12a2x2y2÷3x2y＝4a2y，12a2x2y2÷2ay2＝6ax2，12a2x2y2÷4a2x＝3xy2，
故答案为4a2y，6ax2，3xy2．
【举一反三4】通分：与．
【答案】解：最简公分母为（x-4）（x-3），=，
=18.1分式及其基本性质
【题型1】分式中规律型问题 5
【题型2】用分式表示实际问题中的量 6
【题型3】分式的辨别 7
【题型4】分式有意义的条件 8
【题型5】分式无意义的条件 8
【题型6】分式值为0的条件 9
【题型7】求分式的值 9
【题型8】由分式值的正负确定字母的取值范围 10
【题型9】判断分式变形是否正确 10
【题型10】分式的分子、分母及分式本身正负号变化规律 12
【题型11】不改变分式值将分式分子与分母各项系数化为整数 13
【题型12】将分式分子与分母中字母扩大或缩小后判断分式值的变化 13
【题型13】分式的约分 14
【题型14】最简分式 15
【题型15】约分与整体思想综合求分式的值 15
【题型16】最简公分母 16
【题型17】分式的通分 16
【知识点1】分式的定义 （1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．
（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．
（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．
（5）分式是一种表达形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）-2，y-1，则为分式，因为y-1=仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式． 1.（2025春 成安县期末）在代数式3a-2b,，，中，分式有（　　） A．1个B．2个C．3个D．4个
【知识点2】分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 1.（2025春 安溪县期末）若使分式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠3B．x＞-3C．x≠0D．x≠-3
【知识点3】分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少． 1.（2024秋 东莞市期末）若分式的值为0，则x的值为（　　） A．x=-1B．x=1C．x≠1D．x=±1
2.（2025春 乐清市期末）分式的值为0，则x的值为（　　） A．1B．-3C．3D．-1
【知识点4】分式的值 分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径． 1.（2024春 开化县月考）若x取整数，令P=，则要使P为整数的x的值共有（　　） A．3个B．4个C．6个D．8个
【知识点5】分式的基本性质 （1）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题
1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．
3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的． 1.（2025春 椒江区期末）若把分式（x,y为正数）中的x,y分别扩大为原来的3倍，则分式的值是（　　） A．扩大为原来的3倍B．缩小为原来的3倍C．扩大为原来的9倍D．不变
2.（2025春 江阴市期中）分式中的x,y同时扩大为原来的3倍，则分式的值（　　） A．扩大为原来的3倍B．扩大为原来的9倍C．缩小为原来的D．不变
【知识点6】约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．
①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．
②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．
③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．
（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 1.（2023秋 合川区期末）分式约分结果正确的是（　　） A．B．C．D．
2.（2023春 海口期末）约分的结果是（　　） A．B．C．-D．
【知识点7】通分 （1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．
（2）通分的关键是确定最简公分母．
①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．
②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积．
（3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式． 【知识点8】最简分式 最简分式的定义：
一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
和分数不能化简一样，叫最简分数． 1.（2024秋 鼓楼区校级期末）下列分式为最简分式的是（　　） A．B．C．D．
2.（2025春 祁东县校级期中）下列分式中是最简分式的是（　　） A．B．C．D．
【知识点9】最简公分母 （1）最简公分母的定义：
通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．（2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 1.（2021春 奉化区校级期末）分式与的最简公分母是（　　） A．abB．2a2b2C．a2b2D．2a3b3
【题型1】分式中规律型问题
【典型例题】给定下面一列分式：，，，……，（其中）根据你发现的规律，其中第7个分式应是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】按一定规律排列的代数式：，，，，……，第9个代数式是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】有一个计算程序，每次运算都是把一个数除以它与1的和，即，，……多次重复进行这种运算，若输入的值是2，则为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】观察分析下列方程：①；②；③．请利用它们所蕴含的规律，求关于的方程（n为正整数）的根，你的答案是 ．
【举一反三4】已知：， ．
【举一反三5】观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
按照以上规律，解出下列问题：
①第6个等式为：_______________．
②写出第个等式（用含的等式表示）并证明．
【举一反三6】观察下列等式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；……
请根据上述规律，解答下列问题：
(1)请直接写出第5个等式；
(2)猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【题型2】用分式表示实际问题中的量
【典型例题】“行人守法，安全过街”体现了对生命的尊重，也体现了公民的文明素质，更反映了城市的文明程度．在某路口的斑马线路段A﹣B﹣C横穿双向车道，其中，AB＝2BC＝10米，在人行绿灯亮时，小刚共用时10秒通过AC，其中通过BC的速度是通过AB的1.3倍，求小刚通过AB的速度．设小刚通过AB的速度为x米/秒，则根据题意通过BC所用的时间为（　　）秒.
A. B. C. D.
【举一反三1】某农场开挖一条长360米的水渠，开工后每天效率是原计划每天效率的1.5倍，结果少花了几天时间完成了任务，若设原计划每天挖x米，那么实际完成任务所用的天数可表示为（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】x克盐溶解在a克水中，取这种盐水m克，盐水的浓度为（　　）
A.克 B.克 C.克 D.克
【举一反三3】小王每小时做x个零件，则做40个零件需 小时．
【举一反三4】学校用一笔钱买奖品，买一支钢笔用x元，买一本笔记本y元.若以1支钢笔和2本日记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以1支钢笔和3本日记本为一份奖品，则可买多少份奖品？
【举一反三5】地推经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用600元购进A型玩具的数量比用180元购进B型玩具的数量多64个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.2倍．求A、B两种型号玩具的单价各是多少元？
请根据题意，填空：
（1）甲同学的解法：设B型玩具的单价为x元，则A型玩具的单价为 元；用600元购进A型玩具的数量可表示为 个，用180元购进B型玩具的数量可表示
为 个.
（2）乙同学的解法：设购进A型玩具x个，则购进B型玩具 个；则A型玩具的单价为 元/个，B型玩具的单价为 元/个.
【题型3】分式的辨别
【典型例题】在式子，，，中，整式的个数为（　　）
A.4 B.3 C.2 D.1
【举一反三1】式子，，，，，整式有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三2】下列各式中中分式
有　 　个．
【举一反三3】按一定规律排列的式子：﹣，，﹣，，……第n个式子是 　 　．
【举一反三4】下列各式哪些是分式，哪些是整式？
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦2x+；⑧，⑨
【题型4】分式有意义的条件
【典型例题】当x的值为（　　）时，分式有意义．
A.x≠1 B.x＝1 C.x＝0 D.x为任意实数
【举一反三1】下列各式中，不论字母取何值时分式都有意义的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】如果分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A.全体实数 B.x≠1 C.x=1 D.x＞1
【举一反三3】若分式有意义，则实数x的取值范围是 ．
【举一反三4】若分式有意义，则a的取值范围是 a≠1
．
【举一反三5】当x为何值时，下列分式有意义？
（1）；（2）；（3）．
【题型5】分式无意义的条件
【典型例题】当x＝2时，下列分式没有意义的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】下面选项的值使分式无意义的是（　　）
A.x＝2024 B.x＝0 C.x＝2023 D.x＝2025
【举一反三2】若分式无意义，则x的值为（　　）
A.x=-1 B.x=1 C.x=1 D.x=2
【举一反三3】当x＝　 　时，分式无意义．
【举一反三4】当x取什么值时，下列分式无意义？
（1）；
（2）．
【题型6】分式值为0的条件
【典型例题】当a=2时，其值为零的分式是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】如果分式的值为0，那么m的值为（　　）
A.1 B.﹣1 C.﹣1或1 D.1或0
【举一反三2】当x＝　 　时，分式的值为0．
【举一反三3】当x＝　 　时，分式的值是零．
【举一反三4】当x取什么数时，分式的值为零？
【举一反三5】当x为何值时，下列分式的值为0？
（1）；（2）；（3）．
【题型7】求分式的值
【典型例题】当a=﹣1时，分式（　　）
A.等于零 B.等于1 C.等于﹣1 D.没有意义
【举一反三1】已知x=-2，y=3，则分式的值是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】题目当x=6，y=﹣2时，式子的值为（　　）
A.2 B. C.1 D.
【举一反三3】若分式的值为整数，x的值也为整数，则x的最小值为 　 　．
【举一反三4】已知x，y互为相反数，m，n互为倒数，|a|＝3，求的值．
【举一反三5】已知当x＝﹣2时，分式无意义；当x＝1时，此分式的值为0．
（1）求a，b的值．
（2）再（1）的条件下，当分式的值为正整数时，求整数x的值．
【题型8】由分式值的正负确定字母的取值范围
【典型例题】如果分式的值为负数，则x的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】若分式的值是负数，则x的取值范围是(　　)
A.x> B.x> C.x＜ D.x＜
【举一反三2】若分式的值为正，则x的取值范围为(　　)
A.x≥－ B.x≤－ C.x>－且x≠0 D.x＜－
【举一反三3】当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为 　 　．
【举一反三4】已知y＝，x取哪些值时：
（1）y的值是正数；
（2）y的值是负数；
（3）y的值是零；
（4）分式无意义．
【题型9】判断分式变形是否正确
【典型例题】根据分式的基本性质可知，＝（　　）
A.a2 B.b2 C.ab D.ab2
【举一反三1】下列等式从左到右的变形中，正确的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】填出下面各式中未知分母或分子：＝，
【举一反三3】（1）＝；　 　
（2）＝．　 　．
【举一反三4】在下列各题括号内，填上使等式成立的分子或分母．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
【举一反三5】根据分式的基本性质，完成下列各等式．
（1）＝；
（2）＝；
（3）（b≠0）；
（4）；
（5）3x﹣2＝；
（6）．
【题型10】分式的分子、分母及分式本身正负号变化规律
【典型例题】根据分式的基本性质，分式可变形为（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】下列分式中，与的值相等的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】下列各式从左到右的变形正确的是（　　）
A.
B.
C.
D.
【举一反三3】在下列横线上填上“＝”或“≠”号：
（1）　 　；
（2）　 　；
（3）　 　；
（4）　 　．
【举一反三4】不改变分式的值，使分式的分子，分母的最高次项系数都是正数，则＝　 　．
【举一反三5】不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)－.
【举一反三6】不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“﹣”号：
（1）；（2）；（3）；（4）﹣．
【题型11】不改变分式值将分式分子与分母各项系数化为整数
【典型例题】下列变形正确的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】不改变分式的值，把它的分子，分母的系数化为整数，其结果正确的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】不改变分式的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三3】不改变分式的值，把分子分母的系数化为整数：＝　 　．
【举一反三4】不改变分式的值，将分式的分子、分母的各项系数都化为整数，则＝　 　．
【举一反三5】不改变分式的值，下列分式的分子.分母中的系数都化为整数．
（1） ； （2）
【答案】解：（1）原式= ；
（2）原式==.
【题型12】将分式分子与分母中字母扩大或缩小后判断分式值的变化
【典型例题】小德不小心将墨汁滴到了作业纸上，导致分式中有部分代数式被墨汁污染，小清告诉小德，当x和y都扩大为原来的2倍时，分式的值也扩大为原来的2倍，则■的内容可能是（　　）
A.2 B.x C.x2 D.4
【举一反三1】把分式的a、b、c的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（　　）
A.不变 B.变为原来的3倍 C.变为原来的 D.变为原来的
【举一反三2】将下列各式中x，y（x≠0，y≠0）的值均扩大2倍后，分式值一定不变的有（　　）
A. B. C. D.
【举一反三3】如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值(　　)
A.扩大3倍 B.缩小3倍 C.不变 D.扩大9倍
【举一反三4】若x，y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（　　）
A. B. C. D.
【题型13】分式的约分
【典型例题】化简正确的是（　　）
A.= B.= C.= D.=
【举一反三1】化简的结果是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】化简：＝　 　．
【举一反三3】约分：＝　 　．
【举一反三4】约分：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【题型14】最简分式
【典型例题】下列分式是最简分式的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】在分式，， ， 中，最简分式有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三2】分式的最简分式是 .
【举一反三3】化简：＝________.
【举一反三4】分式是最简分式吗？若不是最简分式请把它化为最简分式，并求出x=2时此分式的值．
【题型15】约分与整体思想综合求分式的值
【典型例题】已知：a﹣b≠0且2a﹣3b=0，则式子的值是（　　）
A.8 B.8或12 C.0 D.﹣12
【举一反三1】已知，则＝（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】已知a2﹣5a+2=0，则分式的值为（　　）
A.21 B. C.7 D.
【举一反三3】已知＝，则＝　 　．
【举一反三4】若=，求的值．
【举一反三5】已知a﹣b﹣1＝0，求代数式的值．
【题型16】最简公分母
【典型例题】分式，，的最简公分母是（　　）
A.5abx B.15abx5 C.15abx D.15abx3
【举一反三1】分式的最简公分母是（　　）
A.24a2b2c2 B.24a6b4c3 C.24a3b2c3 D.24a2b3c3
【举一反三2】分式，，的最简公分母是 　 　．
【举一反三3】分式，的最简公分母是　 　．
【举一反三4】求下列各组分式的最简公分母
（1），，
（2），，
（3），，
（4），，．
【举一反三5】指出下列各式的最简公分母．
（1）、；（2）、、；（3）、、；（4）与
【题型17】分式的通分
【典型例题】从分数组{，，，，，}中删去两个分数，使剩下的数之和为1，则删去两个数是（　　）
A.与 B.与 C.与 D.与
【举一反三1】若将分式与分式通分后，分式的分母变为2（x﹣y）（x+y），则分式的分子应变为（　　）
A.6x2（x﹣y）2 B.2（x﹣y） C.6x2 D.6x2（x+y）
【举一反三2】将分式和进行通分时，分母a2-9可因式分解为 （a+3）（a-3）
，分母9-3a可因式分解为 -3（a-3）
，因此最简公分母是 .
【举一反三3】将分式，，通分，分母所乘的单项式依次为 　 　，　 　，　 　．
【举一反三4】通分：与

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