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18.2分式的乘法与除法
【题型1】分式乘除的混合运算 2
【题型2】分式的乘方 3
【题型3】分式乘方与分式乘除的混合运算 4
【题型4】分式乘除混合运算的实际应用 4
【题型5】分子与分母均为单项式的分式乘法 5
【题型6】分子与分母含有多项式的分式乘法 6
【题型7】分子与分母均为单项式的分式除法 6
【题型8】分子与分母含有多项式的分式除法 7
【知识点1】分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．
（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．
（4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”．
（5）规律方法总结：
①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．
②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．
③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序． 1.（2025 河南一模）下列运算正确的是（　　） A．a3 a2=a6B．x5+x3=x8C．（2xy2）2=2x2y4D．
2.（2024秋 大祥区期末）计算（-）2 的结果是（　　） A．B．-mC．D．m
【题型1】分式乘除的混合运算
【典型例题】计算的值为（　　）
A. B. C.a2 D.无法确定
【举一反三1】计算（﹣a）2÷的结果为（　　）
A.﹣1 B.1 C.﹣a2 D.a2
【举一反三2】计算：﹣＝　 　．
【举一反三3】计算：
（1）＝　 　；
（2）＝　 　；
（3）＝　 　；
（4）＝　 　．
【举一反三4】计算：
（1） （﹣）÷；
（2）÷（x+3） ；
（3）÷ ．
【题型2】分式的乘方
【典型例题】下列各式（其中n为整数）中正确的有（　　）
，，，．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三1】计算：（）2的结果是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】化简（）2的结果是（　　）
A.﹣ B. C.﹣ D.
【举一反三3】计算：=　 ．
【举一反三4】计算：
（1）（）2；（2）（）3；（3）（）2；（4）（）3．
【举一反三5】计算：
（1）（）2；（2）（﹣）5；（3）（﹣）4．
【题型3】分式乘方与分式乘除的混合运算
【典型例题】计算的结果是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】化简2÷的结果是(　　)
A. B. C.mn3p2 D.mn3p3
【举一反三2】计算：（﹣）3 （﹣）2÷（）3＝　 　．
【举一反三3】化简： ．
【举一反三4】计算：
（1）．
（2）．
【题型4】分式乘除混合运算的实际应用
【典型例题】甲 乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则经过相遇；若同向而行，则经过甲追上乙．那么甲的速度是乙的（ ）
A.倍 B.倍 C.倍 D.倍
【举一反三1】如图①，某品牌饮料的包装箱是一个长、宽、高分别为a，b，的长方体纸箱，饮料瓶可近似看成底面半径为r，高为的圆柱体．如图②，若纸箱里装满了一层饮料，那么纸箱的空间利用率（听装饮料总体积与纸箱体积的比）为（ ）

A. B. C. D.
【举一反三2】如图，甲、乙两图中的阴影部分面积分别为 、 ，设 k （a＞b＞0），则有（ ）
A.1 k 2 B.k 2 C.k 1 D.0 k
【举一反三3】如图，一个长为l，宽为a的长方形内，铺满了一层半径为r的圆，则长方形的面积利用率（圆形总面积与长方形面积的比）为 （结果保留）．

【举一反三4】如图中，长方形被两条直线分成四个小长方形，其中三个的面积分别是12平方米、8平方米、20平方米，求另一个（图中阴影部分）长方形的面积．

【举一反三5】一辆货车从甲地运送货物到乙地，速度为a千米/小时，然后空车按原路返回时速度为b千米/小时，求货车从送货到返回原地的平均速度．
【题型5】分子与分母均为单项式的分式乘法
【典型例题】下列计算正确的是（　　）
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D.a ＝
【举一反三1】计算（﹣）的结果是（　　）
A. B. C.﹣ D.﹣2ab
【举一反三2】 ＝　 　．
【举一反三3】计算： ＝　 　．
【举一反三4】计算：
（1）；（2）；（3） ；（4） .
【举一反三5】计算:.
【题型6】分子与分母含有多项式的分式乘法
【典型例题】计算（a﹣4） 的结果是（　　）
A.a+4 B.a﹣4 C.﹣a+4 D.﹣a﹣4
【举一反三1】计算的结果是（　　）
A.2x+2 B.2x﹣2 C.2x2+2x D.2x2﹣2x
【举一反三2】计算：＝　 　．
【举一反三3】计算：＝　 　．
【举一反三4】已知≠0，求代数式 （a﹣2b）的值．
【题型7】分子与分母均为单项式的分式除法
【典型例题】计算的结果正确的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】下列各式中，计算过程及结果都正确的是（　　）
A.
B.
C.
D.
【举一反三2】计算等于（　　）
A. B. C. D.
【举一反三3】﹣3x2y÷＝　 　．
【举一反三4】计算：＝　 　．
【举一反三5】计算：
（1）﹣÷
（2）﹣÷
（3）÷（﹣9a2b）
（4）÷．
【题型8】分子与分母含有多项式的分式除法
【典型例题】若分式÷的值等于5，则a的值是（　　）
A.5 B.﹣5 C. D.﹣
【举一反三1】化简的结果是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】计算：（ab﹣b2）÷＝　 　．
【举一反三3】计算：＝　 　．
【举一反三4】先化简，再求值，÷，其中m＝1．
【举一反三5】计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）÷（2x﹣y）．
（5）；
（6）（xy﹣x2）÷．18.2分式的乘法与除法
【题型1】分式乘除的混合运算 3
【题型2】分式的乘方 4
【题型3】分式乘方与分式乘除的混合运算 6
【题型4】分式乘除混合运算的实际应用 8
【题型5】分子与分母均为单项式的分式乘法 11
【题型6】分子与分母含有多项式的分式乘法 12
【题型7】分子与分母均为单项式的分式除法 14
【题型8】分子与分母含有多项式的分式除法 16
【知识点1】分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．
（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．
（4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”．
（5）规律方法总结：
①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．
②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．
③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序． 1.（2025 河南一模）下列运算正确的是（　　） A．a3 a2=a6B．x5+x3=x8C．（2xy2）2=2x2y4D．
【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、幂的乘方与积的乘方法则、分式的乘除法法则分别计算判断即可． 【解答】解：A、a3 a2=a5，故此选项不符合题意；
B、x5与x3不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
C、（2xy2）2=4x2y4，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：D． 2.（2024秋 大祥区期末）计算（-）2 的结果是（　　） A．B．-mC．D．m
【答案】C 【分析】先算分式的乘方，再算分式的乘法即可． 【解答】解：（-）2
=
=，
故选：C．
【题型1】分式乘除的混合运算
【典型例题】计算的值为（　　）
A. B. C.a2 D.无法确定
【答案】A
【解析】解：原式==．故选A．
【举一反三1】计算（﹣a）2÷的结果为（　　）
A.﹣1 B.1 C.﹣a2 D.a2
【答案】B
【解析】解：原式＝a2÷a
＝a
＝1．
故选：B．
【举一反三2】计算：﹣＝　 　．
【答案】﹣m3．
【解析】解：原式＝﹣ ＝﹣m3，
故答案为：﹣m3．
【举一反三3】计算：
（1）＝　 　；
（2）＝　 　；
（3）＝　 　；
（4）＝　 　．
【答案】解：（1）原式＝﹣＝﹣，
（2）原式＝x（y﹣x）＝﹣x2y，
（3）原式＝＝，
（4）原式＝＝，
【举一反三4】计算：
（1） （﹣）÷；
（2）÷（x+3） ；
（3）÷ ．
【答案】解：（1）原式＝ （﹣）
＝ ＝．
（2）原式＝ ＝．
（3）原式＝ ＝．
【题型2】分式的乘方
【典型例题】下列各式（其中n为整数）中正确的有（　　）
，，，．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】A
【解析】解：（﹣）n＝（﹣1）n ；（﹣）n+2＝（﹣1）n+2 ；（﹣）2n＝；（）2n+3＝﹣．
则正确的式子有1个．
故选：A．
【举一反三1】计算：（）2的结果是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：原式＝，
故选：C．
【举一反三2】化简（）2的结果是（　　）
A.﹣ B. C.﹣ D.
【答案】D
【解析】解：原式＝＝．
故选：D．
【举一反三3】计算：=　 ．
【答案】
【解析】解：==；
故答案为：．
【举一反三4】计算：
（1）（）2；（2）（）3；（3）（）2；（4）（）3．
【答案】解：（1）（）2＝；
（2）（）3＝；
（3）（）2＝；
（4）（）3＝（）3＝．
【举一反三5】计算：
（1）（）2；（2）（﹣）5；（3）（﹣）4．
【答案】解：（1）（）2＝.
（2）（﹣）5=-.
（3）（﹣）4=．
【题型3】分式乘方与分式乘除的混合运算
【典型例题】计算的结果是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：原式＝﹣ ＝﹣．
故选：C．
【举一反三1】化简2÷的结果是(　　)
A. B. C.mn3p2 D.mn3p3
【答案】B
【解析】解：2÷＝·＝.
【举一反三2】计算：（﹣）3 （﹣）2÷（）3＝　 　．
【答案】﹣
【解析】解：原式＝﹣ ＝﹣，
故答案为：﹣
【举一反三3】化简： ．
【答案】解：原式==．
【举一反三4】计算：
（1）．
（2）．
【答案】解：（1）
＝
＝
＝．
（2）
＝
＝
＝．
【题型4】分式乘除混合运算的实际应用
【典型例题】甲 乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则经过相遇；若同向而行，则经过甲追上乙．那么甲的速度是乙的（ ）
A.倍 B.倍 C.倍 D.倍
【答案】C
【解析】解：不妨设甲乙两人开始时相距千米，甲的速度为，乙的速度为，
则根据题意有a（v1+v2）=s和b（v1-v2）=s，
于是，
所以 ，
即．
甲的速度是乙的倍．
故选：C．
【举一反三1】如图①，某品牌饮料的包装箱是一个长、宽、高分别为a，b，的长方体纸箱，饮料瓶可近似看成底面半径为r，高为的圆柱体．如图②，若纸箱里装满了一层饮料，那么纸箱的空间利用率（听装饮料总体积与纸箱体积的比）为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：∵长方体纸盒装满了一层底面半径为r，高为4r的圆柱体的听装饮料，
∴长方体的长边放置的球的数量为，
长方体的宽边放置的球的数量为，
∴听装饮料的数量为，
∴听装饮料的总体积：，纸箱容积为,
∴纸盒的空间利用率为．
故选A．
【举一反三2】如图，甲、乙两图中的阴影部分面积分别为 、 ，设 k （a＞b＞0），则有（ ）
A.1 k 2 B.k 2 C.k 1 D.0 k
【答案】A
【解析】解：根据题意得：
甲图中阴影部分的面积为，
乙图中阴影部分的面积为，
∴
，
∵，即，
∴，
∴
∴，
故选：A．
【举一反三3】如图，一个长为l，宽为a的长方形内，铺满了一层半径为r的圆，则长方形的面积利用率（圆形总面积与长方形面积的比）为 （结果保留）．

【答案】
【解析】解：圆形总面积为，长方形面积为，
∴长方形的面积利用率（圆形总面积与长方形面积的比）为．
故答案为：
【举一反三4】如图中，长方形被两条直线分成四个小长方形，其中三个的面积分别是12平方米、8平方米、20平方米，求另一个（图中阴影部分）长方形的面积．

【答案】解：设最小的长方形的长为a米，则宽为米，
则阴影部分的面积是：
（平方米）；
答：阴影部分的面积是30平方米．
【举一反三5】一辆货车从甲地运送货物到乙地，速度为a千米/小时，然后空车按原路返回时速度为b千米/小时，求货车从送货到返回原地的平均速度．
【答案】解：设甲乙两地的路程为S千米，
，
即货车从送货到返回原地的平均速度为千米/小时．
【题型5】分子与分母均为单项式的分式乘法
【典型例题】下列计算正确的是（　　）
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D.a ＝
【答案】D
【解析】解：A． ＝，故本选项不符合题意；
B．＝，故本选项不符合题意；
C． ＝，故本选项不符合题意；
D．a＝，故本选项符合题意．
故选：D．
【举一反三1】计算（﹣）的结果是（　　）
A. B. C.﹣ D.﹣2ab
【答案】C
【解析】解：原式＝﹣
＝﹣ab．
故选：C．
【举一反三2】 ＝　 　．
【答案】．
【解析】解：原式＝＝．
故答案为：．
【举一反三3】计算： ＝　 　．
【答案】
【解析】解： ＝，
故答案为：．
【举一反三4】计算：
（1）；（2）；（3） ；（4） .
【答案】解：
（1）原式＝﹣=；
（2）原式＝﹣=；
（3）原式＝＝．
（4）原式＝＝．
【举一反三5】计算:.
【答案】解：原式＝.
【题型6】分子与分母含有多项式的分式乘法
【典型例题】计算（a﹣4） 的结果是（　　）
A.a+4 B.a﹣4 C.﹣a+4 D.﹣a﹣4
【答案】D
【解析】解：原式＝（a﹣4）×＝﹣（4+a）＝﹣4﹣a，
故选：D．
【举一反三1】计算的结果是（　　）
A.2x+2 B.2x﹣2 C.2x2+2x D.2x2﹣2x
【答案】A
【解析】解：
＝
＝2（x+1）
＝2x+2
故选：A．
【举一反三2】计算：＝　 　．
【答案】1．
【解析】解：原式＝
＝1．
故答案为：1．
【举一反三3】计算：＝　 　．
【答案】﹣x2y.
【解析】解：原式＝﹣x（x﹣y） ＝﹣x2y．
故答案为：﹣x2y
【举一反三4】已知≠0，求代数式 （a﹣2b）的值．
【答案】解：原式＝
＝；
∵≠0，
∴a＝，
把a＝代入．
【题型7】分子与分母均为单项式的分式除法
【典型例题】计算的结果正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：；故选C．
【举一反三1】下列各式中，计算过程及结果都正确的是（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：A、原式＝＝，故本选项错误，不符合题意；
B、原式＝8xy ＝2y2，故本选项错误，不符合题意；
C、原式＝＝，故本选项错误，不符合题意；
D、原式＝＝，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
【举一反三2】计算等于（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：＝＝．
故选：C．
【举一反三3】﹣3x2y÷＝　 　．
【答案】﹣4y2
【解析】解：原式＝﹣3x2y ＝﹣4y2．
故答案为：﹣4y2
【举一反三4】计算：＝　 　．
【答案】．
【解析】解：原式＝（）2×＝．
故答案为：．
【举一反三5】计算：
（1）﹣÷
（2）﹣÷
（3）÷（﹣9a2b）
（4）÷．
【答案】解：
（1）原式＝﹣×＝﹣；
（2）原式＝﹣×（）＝；
（3）原式＝×（﹣）＝﹣；
（4）原式＝×＝﹣．
【题型8】分子与分母含有多项式的分式除法
【典型例题】若分式÷的值等于5，则a的值是（　　）
A.5 B.﹣5 C. D.﹣
【答案】C
【解析】解：∵÷＝ ＝，
∴＝5，
∴a＝．
故选：C．
【举一反三1】化简的结果是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：原式＝×
＝．
故选：B．
【举一反三2】计算：（ab﹣b2）÷＝　 　．
【答案】Ab2．
【解析】解：原式＝b（a﹣b） ＝ab2．
故答案为：ab2．
【举一反三3】计算：＝　 　．
【答案】﹣．
【解析】解：原式＝﹣ m（m﹣7）
＝﹣．
故答案为：﹣．
【举一反三4】先化简，再求值，÷，其中m＝1．
【答案】解：÷
＝
＝，
当m＝1时，原式＝＝﹣．
【举一反三5】计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）÷（2x﹣y）．
（5）；
（6）（xy﹣x2）÷．
【答案】解：（1）原式＝×＝；
（2）原式＝×＝；
（3）原式＝×＝；
（4）原式＝×＝；
（5）原式＝×＝2x﹣2y；
（6）原式＝x（y﹣x）×＝﹣x2y．

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