资源简介

2.3整式
学习目标
理解单项式、多项式的概念，能准确识别单项式和多项式。
掌握单项式的系数和次数的概念，并能正确确定单项式的系数和次数。
掌握多项式的项、常数项、次数的概念，并能正确确定多项式的项数、常数项和次数，以及多项式的命名。
理解升幂排列和降幂排列的意义，能熟练地对多项式按某一字母进行升幂排列或降幂排列。
通过对整式概念的学习，培养观察、分析、归纳和抽象概括的能力。
知识点讲解
一、单项式
定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独的一个数或者一个字母也叫做单项式。
例如：(5)，(a)，，都是单项式。
注意：单项式中只含有乘法（包括乘方）运算，不能含有加减运算，也不能含有以字母为除式的除法运算（分母中不能含有字母）。
单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
例如：
单项式 (5) 的系数是 (5)；
单项式 (a) 的系数是 (1)（通常省略不写）；
单项式的系数是 (-3)；
单项式的系数是。
注意：
系数包括前面的符号。
如果一个单项式只含有字母因数，那么它的系数是 (1) 或 (-1)。
是常数，在单项式中作为系数的一部分。
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
例如：
单项式 (5) 可以看作（），所以它的次数是 (0)（单独的一个非零常数的次数是 (0)）；
单项式 (a) 的次数是 (1)（单独一个字母的次数是 (1)）；
单项式中 (x) 的指数是 (2)，(y) 的指数是 (1)，所以次数是 ；
单项式中 (m) 的指数是 (1)，(n) 的指数是 (3)，所以次数是 。
注意：
单项式的次数只与字母的指数有关，与系数的指数无关。
不要把数字的指数算入单项式的次数。
单独的零没有次数。
二、多项式
定义：几个单项式的和叫做多项式。
例如：(x+2y)，，都是多项式。
多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。其中，不含字母的项叫做常数项。
例如：多项式有三项，分别是，(-2a)，(5)。其中，(5) 是常数项。
注意：多项式的项包括它前面的符号。
多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
例如：
多项式 (x+2y) 中，(x) 的次数是 (1)，(2y) 的次数是 (1)，所以这个多项式的次数是 (1)；
多项式中，的次数是 (2)，(-2a) 的次数是 (1)，(5) 的次数是 (0)，所以这个多项式的次数是 (2)。
多项式的命名：一个多项式含有几项，最高次数是几，就叫做“几次几项式”。
例如：
(x+2y) 是一次二项式；
是二次三项式；
中，的次数是 ，所以是四次三项式。
三、升幂排列和降幂排列
定义：
升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。
降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。
排列依据：加法交换律。
注意事项：
在排列多项式各项的位置时，要连同各项前面的符号一起移动。
对于一个多项式，如果不指明按哪个字母排列，通常是按字母表中出现的第一个字母的降幂排列。
常数项可以看作是这个字母的指数为 (0) 的项。
例题解析
例题1：判断下列各式哪些是单项式？若是单项式，请指出其系数和次数。
( -5 )
分析：根据单项式的定义进行判断。单项式是数与字母的积，单独的数或字母也是单项式。然后根据系数和次数的定义确定。
解答：
(1) ( -5 ) 是单项式。
系数是 (-5)，次数是 (0)。
不是单项式，因为它是字母的倒数形式，等同于，不是数与字母的积。
是单项式。
系数是 (1)（省略不写），次数是 。
(4) ( x + y ) 不是单项式，因为它是两个单项式的和，是多项式。
是单项式。
系数是，次数是 (2)。
例题2：指出多项式的各项、常数项、次数，并说明它是几次几项式。
分析：多项式的每一项都包括它前面的符号。常数项是不含字母的项。多项式的次数是次数最高的项的次数。
解答：
多项式的各项分别是：
，，，(-5y)，(7)。
常数项是：(7)。
各项的次数分别是：
的次数：；
的次数：；
的次数：(2)；
(-5y) 的次数：(1)；
(7) 的次数：(0)。
次数最高的项是，次数为 (5)。
所以，这个多项式是五次五项式。
例题3：将多项式按字母 (x) 的升幂排列。
分析：升幂排列是按 (x) 的指数从小到大排列。各项的 (x) 指数分别为：(2)，(3)，(1)，(0)（常数项 (-1) 的指数视为 (0)）。
解答：
按 (x) 的升幂排列为：
。
例题4：将多项式按字母 (b) 的降幂排列。
分析：降幂排列是按 (b) 的指数从大到小排列。先分别确定各项中 (b) 的指数：
中 (b) 的指数是 (1)；
中 (b) 的指数是 (3)；
中 (b) 的指数是 (2)；
(-7b) 中 (b) 的指数是 (1)；
(8) 中 (b) 的指数是 (0)。
然后按 (b) 的指数从大到小排列：(3)，(2)，(1)，(1)，(0)。指数相同的项（这里和 (-7b) 的 (b) 指数都是1），它们的顺序可以互换，一般按原顺序或按其他字母的降幂/升幂排列，这里我们保持原顺序。
解答：
按字母 (b) 的降幂排列为：
。
巩固练习
一、选择题 (每小题只有一个正确答案)
下列说法正确的是（ ）
A. (x) 的系数是 (0)
B. (x) 的次数是 (0)
C. (-x) 的系数是 (-1)
D. (-x) 的次数是 (0)
下列各式中，是五次单项式的是（ ）
A....
多项式的次数是（ ）
A. (3)
B. (4)
C. (5)
D. (6)
对于多项式，下列说法错误的是（ ）
A. 是四次四项式
B. 最高次项的系数是 (2)
C. 常数项是 (-4)
D. 按 (x) 的降幂排列
将多项式按 (x) 的升幂排列，正确的是（ ）
二、填空题
单项式的系数是 __________，次数是 __________。
多项式是 __________ 次 __________ 项式，最高次项的系数是 __________，常数项是 __________。
若单项式与是同类项（关于同类项的概念，这里提前使用是为了考察次数概念的延伸，实际教学中会在后续学习），则 __________， __________，这个单项式的次数是 __________。
把多项式按 (x) 的降幂排列是 __________。
多项式按字母 (b) 的升幂排列是 __________。
三、解答题
指出下列各单项式的系数和次数：
已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求 ( m )、( n ) 的值。
把多项式分别按 ( x ) 的升幂排列和按 ( y ) 的降幂排列。
巩固练习答案
一、选择题
C
解析：A选项，(x) 的系数是 (1)，不是 (0)；B选项，(x) 的次数是 (1)，不是 (0)；C选项，(-x) 的系数是 (-1)，正确；D选项，(-x) 的次数是 (1)，不是 (0)。
C
解析：A选项，是常数项，次数为 (0)；B选项，的次数是 (3)；C选项，的次数是 ；D选项，的次数是 。
D
解析：各项次数：是 (3)，是 (4)，是 ，是 (4)，(-1) 是 (0)。最高次项次数为 (6)，故多项式次数为 (6)。
A
解析：多项式最高次项是，次数为 (3)，共有四项，所以是三次四项式，A选项错误。B、C、D选项均正确。
B
解析：按 (x) 的升幂排列，即按 (x) 的指数从小到大。各项 (x) 的指数：是 (3)，是 (1)，是 (2)，(-3) 是 (0)。从小到大排列为：(-3)（(0)），（(1)），（(2)），（(3)），即。
二、填空题
，(3)
解析：系数是数字因数部分，包括符号，为；次数是所有字母指数的和，。
五，四，(2)，(-4)
解析：最高次项是，次数为 ，共有四项，故是五次四项式；最高次项系数是 (2)；常数项是 (-4)。
(2)，(3)，(5)
解析：同类项要求字母相同且相同字母的指数也相同，所以 ，。单项式的次数是 。
解析：按 (x) 的降幂排列，即按 (x) 的指数从大到小。各项 (x) 的指数：(5)（(0)），（(2)），(x)（(1)）。从大到小排列为：。
解析：按字母 (b) 的升幂排列，即按 (b) 的指数从小到大。各项 (b) 的指数：（(0)），（(1)），（(2)），（(3)）。从小到大排列即是原多项式本身：。
三、解答题
解：
系数是，次数是 。
系数是，次数是 。
(3) ( x )
系数是 (1)，次数是 (1)。
系数是 ，次数是 。
解：
因为多项式是六次四项式，
所以该多项式的最高次项是，其次数为 。
即
计算得
解得 。
因为单项式的次数与多项式的次数相同，也是 (6)，
所以 。
把 代入上式，得
即
计算得
解得 。
所以，(m) 的值是 (3)，(n) 的值是 (2)。
解：
多项式的各项为：，，，。
按 (x) 的升幂排列：
先确定各项中 (x) 的指数：
中 (x) 的指数是 (2)；
中 (x) 的指数是 (1)；
中 (x) 的指数是 (3)；
中 (x) 的指数是 (0)。
按 (x) 的指数从小到大排列：（(0)），（(1)），（(2)），（(3)）。
所以，按 (x) 的升幂排列为：。
按 (y) 的降幂排列：
先确定各项中 (y) 的指数：
中 (y) 的指数是 (1)；
中 (y) 的指数是 (2)；
中 (y) 的指数是 (0)；
中 (y) 的指数是 (3)。
按 (y) 的指数从大到小排列：（(3)），（(2)），（(1)），（(0)）。
所以，按 (y) 的降幂排列为：。2.3整式
学习目标
理解单项式、多项式的概念，能准确识别单项式和多项式。
掌握单项式的系数和次数的概念，并能正确确定单项式的系数和次数。
掌握多项式的项、常数项、次数的概念，并能正确确定多项式的项数、常数项和次数，以及多项式的命名。
理解升幂排列和降幂排列的意义，能熟练地对多项式按某一字母进行升幂排列或降幂排列。
通过对整式概念的学习，培养观察、分析、归纳和抽象概括的能力。
知识点讲解
一、单项式
定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独的一个数或者一个字母也叫做单项式。
例如：(5)，(a)，，都是单项式。
注意：单项式中只含有乘法（包括乘方）运算，不能含有加减运算，也不能含有以字母为除式的除法运算（分母中不能含有字母）。
单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
例如：
单项式 (5) 的系数是 (5)；
单项式 (a) 的系数是 (1)（通常省略不写）；
单项式的系数是 (-3)；
单项式的系数是。
注意：
系数包括前面的符号。
如果一个单项式只含有字母因数，那么它的系数是 (1) 或 (-1)。
是常数，在单项式中作为系数的一部分。
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
例如：
单项式 (5) 可以看作（），所以它的次数是 (0)（单独的一个非零常数的次数是 (0)）；
单项式 (a) 的次数是 (1)（单独一个字母的次数是 (1)）；
单项式中 (x) 的指数是 (2)，(y) 的指数是 (1)，所以次数是 ；
单项式中 (m) 的指数是 (1)，(n) 的指数是 (3)，所以次数是 。
注意：
单项式的次数只与字母的指数有关，与系数的指数无关。
不要把数字的指数算入单项式的次数。
单独的零没有次数。
二、多项式
定义：几个单项式的和叫做多项式。
例如：(x+2y)，，都是多项式。
多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。其中，不含字母的项叫做常数项。
例如：多项式有三项，分别是，(-2a)，(5)。其中，(5) 是常数项。
注意：多项式的项包括它前面的符号。
多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
例如：
多项式 (x+2y) 中，(x) 的次数是 (1)，(2y) 的次数是 (1)，所以这个多项式的次数是 (1)；
多项式中，的次数是 (2)，(-2a) 的次数是 (1)，(5) 的次数是 (0)，所以这个多项式的次数是 (2)。
多项式的命名：一个多项式含有几项，最高次数是几，就叫做“几次几项式”。
例如：
(x+2y) 是一次二项式；
是二次三项式；
中，的次数是 ，所以是四次三项式。
三、升幂排列和降幂排列
定义：
升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。
降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。
排列依据：加法交换律。
注意事项：
在排列多项式各项的位置时，要连同各项前面的符号一起移动。
对于一个多项式，如果不指明按哪个字母排列，通常是按字母表中出现的第一个字母的降幂排列。
常数项可以看作是这个字母的指数为 (0) 的项。
例题解析
例题1：判断下列各式哪些是单项式？若是单项式，请指出其系数和次数。
( -5 )
例题2：指出多项式的各项、常数项、次数，并说明它是几次几项式。
例题3：将多项式按字母 (x) 的升幂排列。
例题4：将多项式按字母 (b) 的降幂排列。
巩固练习
一、选择题 (每小题只有一个正确答案)
下列说法正确的是（ ）
A. (x) 的系数是 (0)
B. (x) 的次数是 (0)
C. (-x) 的系数是 (-1)
D. (-x) 的次数是 (0)
下列各式中，是五次单项式的是（ ）
A....
多项式的次数是（ ）
A. (3)
B. (4)
C. (5)
D. (6)
对于多项式，下列说法错误的是（ ）
A. 是四次四项式
B. 最高次项的系数是 (2)
C. 常数项是 (-4)
D. 按 (x) 的降幂排列
将多项式按 (x) 的升幂排列，正确的是（ ）
二、填空题
单项式的系数是 __________，次数是 __________。
多项式是 __________ 次 __________ 项式，最高次项的系数是 __________，常数项是 __________。
若单项式与是同类项（关于同类项的概念，这里提前使用是为了考察次数概念的延伸，实际教学中会在后续学习），则 __________， __________，这个单项式的次数是 __________。
把多项式按 (x) 的降幂排列是 __________。
多项式按字母 (b) 的升幂排列是 __________。
三、解答题
指出下列各单项式的系数和次数：
已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求 ( m )、( n ) 的值。
把多项式分别按 ( x ) 的升幂排列和按 ( y ) 的降幂排列。
(2)，(3)，(5)
解析：同类项要求字母相同且相同字母的指数也相同，所以 ，。单项式的次数是 。
解析：按 (x) 的降幂排列，即按 (x) 的指数从大到小。各项 (x) 的指数：(5)（(0)），（(2)），(x)（(1)）。从大到小排列为：。
解析：按字母 (b) 的升幂排列，即按 (b) 的指数从小到大。各项 (b) 的指数：（(0)），（(1)），（(2)），（(3)）。从小到大排列即是原多项式本身：。
三、解答题
解：
系数是，次数是 。
系数是，次数是 。
(3) ( x )
系数是 (1)，次数是 (1)。
系数是 ，次数是 。
解：
因为多项式是六次四项式，
所以该多项式的最高次项是，其次数为 。
即
计算得
解得 。
因为单项式的次数与多项式的次数相同，也是 (6)，
所以 。
把 代入上式，得
即
计算得
解得 。
所以，(m) 的值是 (3)，(n) 的值是 (2)。
解：
多项式的各项为：，，，。
按 (x) 的升幂排列：
先确定各项中 (x) 的指数：
中 (x) 的指数是 (2)；
中 (x) 的指数是 (1)；
中 (x) 的指数是 (3)；
中 (x) 的指数是 (0)。
按 (x) 的指数从小到大排列：（(0)），（(1)），（(2)），（(3)）。
所以，按 (x) 的升幂排列为：。
按 (y) 的降幂排列：
先确定各项中 (y) 的指数：
中 (y) 的指数是 (1)；
中 (y) 的指数是 (2)；
中 (y) 的指数是 (0)；
中 (y) 的指数是 (3)。
按 (y) 的指数从大到小排列：（(3)），（(2)），（(1)），（(0)）。
所以，按 (y) 的降幂排列为：。

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