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2.3.1单项式
学习目标
理解单项式的概念，能准确判断一个代数式是否为单项式。
理解单项式的系数和次数的概念，能正确指出一个单项式的系数和次数。
能根据所给条件写出符合要求的单项式。
培养观察、分析、抽象、概括的能力，体会数学概念的严谨性。
知识点讲解
一、单项式的概念
由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独的一个数或者一个字母也叫做单项式。
关键点解析：
“数与字母的积”：意味着单项式中只含有乘法（包括乘方）运算，不能含有加、减运算，也不能含有以字母为除数的除法运算。
单独的一个数：如 (5)，(-3)，(0)，等都是单项式。
单独的一个字母：如 (x)，(y)，(a) 等都是单项式。
例如：
(3x) 是单项式（数 (3) 与字母 (x) 的积）。
是单项式（数 (-5) 与字母的积）。
(0) 是单项式（单独的一个数）。
(m) 是单项式（单独的一个字母）。
是单项式（可以看作，是数与字母的积）。
不是单项式的例子：
(x + y)（含有加法运算）。
(a - b)（含有减法运算）。
（含有以字母为除数的除法运算，即，但不是数与字母的积的形式）。
(x + 3)（含有加法运算）。
二、单项式的系数
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
关键点解析：
系数是单项式的组成部分，是“数字因数”。
系数包括前面的符号。
如果一个单项式只含有字母因数，那么它的系数是 (1) 或 (-1)。例如，单项式 (a) 的系数是 (1)（通常省略不写）；单项式的系数是 (-1)。
当单项式是一个单独的数时，这个数本身就是系数。例如，单项式 (5) 的系数是 (5)；单项式的系数是。
是一个常数（圆周率），在单项式中作为数字因数，属于系数的一部分。
例如：
单项式 (3x) 的系数是 (3)。
单项式的系数是 (-5)。
单项式可以写成，其系数是。
单项式 (a) 的系数是 (1)。
单项式的系数是 (-1)。
单项式的系数是。
三、单项式的次数
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
关键点解析：
“所有字母的指数的和”：只与字母的指数有关，与数字因数（系数）无关，也与常数项（单独的数）无关。
对于单独一个非零的数，规定它的次数为 (0)（因为可以看作这个数乘以任何字母的 (0) 次幂，而任何非零数的 (0) 次幂都为 (1)）。
字母的指数为 (1) 时，通常省略不写，但在计算次数时要加上。例如，单项式 (x) 的次数是 (1)，单项式 (xy) 的次数是 。
例如：
单项式 (3x) 中，字母 (x) 的指数是 (1)，所以次数是 (1)（也叫一次单项式）。
单项式中，字母 (a) 的指数是 (2)，字母 (b) 的指数是 (1)，所以次数是 （也叫三次单项式）。
单项式中，字母 (x) 的指数是 (2)，字母 (y) 的指数是 (3)，所以次数是 （也叫五次单项式）。
单项式 (5) 是单独的一个非零数，次数是 (0)（也叫零次单项式）。
单项式的次数是 。
例题解析
例1：判断下列各式是否为单项式。若是，请指出它的系数和次数；若不是，请说明理由。
解析：
是由数字 (-3) 与字母 (x) 的平方的积组成的代数式，符合单项式的定义。
系数是数字因数 (-3)。
次数是所有字母指数的和，字母 (x) 的指数是 (2)，所以次数是 (2)。
可以写成，它不是数与字母的积，而是数与字母的商，不符合单项式的定义。
(3) ( a + b ) 中含有加法运算，不符合单项式“数与字母的积”的定义。
(4) ( 0 ) 是单独的一个数，根据定义，单独的一个数是单项式。
系数是 (0)。
单独的一个数（非零）次数是 (0)，(0) 作为单项式，次数通常不讨论（或说没有意义），但有时也规定为 (0)。
中，是常数，所以是数字与字母 (r) 的平方的积，是单项式。
系数是。
次数是字母 (r) 的指数 (2)。
答案：
(1) 是单项式；系数：(-3)；次数：(2)。
(2) 不是单项式；理由：含有以字母为除数的除法运算（或不是数与字母的积）。
(3) 不是单项式；理由：含有加法运算。
(4) 是单项式；系数：(0)；次数：(0)（或不讨论）。
(5) 是单项式；系数：；次数：(2)。
例2：写出下列单项式的系数和次数。
解析：
的数字因数是，所以系数是。
字母 (x) 的指数是 (1)，字母 (y) 的指数是 (3)，次数是 。
的数字因数是 (-1)（省略了 (1)），所以系数是 (-1)。
字母 (a) 的指数是 (2)，字母 (b) 的指数是 (1)（省略了 (1)），字母 (c) 的指数是 (1)（省略了 (1)），次数是 。
中，，数字因数是 (9)，所以系数是 (9)。
字母 (m) 的指数是 (2)，字母 (n) 的指数是 (1)，次数是 。
(4) ( -x ) 的数字因数是 (-1)（省略了 (1)），所以系数是 (-1)。
字母 (x) 的指数是 (1)（省略了 (1)），所以次数是 (1)。
答案：
(1) 系数：；次数：(4)。
(2) 系数：(-1)；次数：(4)。
(3) 系数：(9)；次数：(3)。
(4) 系数：(-1)；次数：(1)。
例3：根据下列条件写出相应的单项式。
(1) 系数为 (-2)，含有字母 (x)、(y)，且次数为 (4) 的单项式。
(2) 含有字母 (a)、(b)，且系数为 (1)，次数为 (3) 的单项式（写出所有可能）。
(3) 写出一个含有三个字母，且次数为 (5) 的单项式。
解析：
(1) 要求系数为 (-2)，含有字母 (x)、(y)，次数为 (4)。
设单项式为，则 ，且 (m)、(n) 都是正整数（或零，但要保证含有两个字母，所以 (m)、(n) 不能同时为零，且至少一个为正整数）。
可能的 (m)、(n) 组合有：；；；（此时为，但只含一个字母 (x)，题目要求含有字母 (x)、(y)，故舍去）；（同理，只含 (y)，舍去）。
所以符合条件的单项式可以是、、等。写出一个即可。
(2) 要求系数为 (1)（可省略不写），含有字母 (a)、(b)，次数为 (3)。
设单项式为（系数 (1) 省略），则 ，(m)、(n) 为非负整数，且 (m)、(n) 不同时为零（保证含有字母），并要同时含有 (a)、(b)，所以 (m) 和 (n) 都不能为零。
可能的 (m)、(n) 组合有：；；（只含 (a)，舍去）；（只含 (b)，舍去）。
所以所有可能的单项式为、。
(3) 要求含有三个字母，设字母为 (a)、(b)、(c)（其他字母也可），次数为 (5)，即三个字母的指数和为 (5)。系数可以是任意不为零的数（此处可自行设定，如 (1)、(-3)、等）。
例如，可取系数为 (2)，字母指数分别为 (1)、(2)、(2)，则单项式可以是（答案不唯一）。
答案：
（或或，答案不唯一）。
，。
（答案不唯一，例如，等均可）。
例4：已知单项式的次数是 (5)，求 (m) 的值。
解析：
单项式的次数是所有字母指数的和。在单项式中，字母 (a) 的指数是 (m)，字母 (b) 的指数是 (3)。
根据题意，该单项式的次数是 (5)，所以可列出方程：
解这个方程，得：
答案：。
巩固练习
一、选择题（每题只有一个正确答案）
下列各式中，是单项式的是（ ）
A. ( x + 1 )
B.
. ( -2xy )
D.
单项式的系数是（ ）
A. ( 3 )
B. ( -3 )
C. ( 2 )
D. ( 3 )
单项式的次数是（ ）
A. ( 2 )
B. ( 3 )
C. ( 4 )
D. ( 5 )
若一个单项式的系数是 ( -1 )，次数是 ( 3 )，且只含有字母 ( x )、( y )，则这个单项式可以是（ ）
A.... A 和 C 都可以
二、填空题
单项式 ( 5 ) 的系数是 __________，次数是 __________。
单项式的系数是 __________，次数是 __________。
写出一个系数为，含有字母 ( x )、( y )，且次数为 ( 3 ) 的单项式：__________。
若单项式的次数是 ( 5 )，则 ( m = ) __________。
请写出一个只含有字母 ( x )、( y )，且系数为 (-1)，次数为 (4) 的单项式：__________（写出一个即可）。
单项式的系数是 __________，次数是 __________。
三、解答题
判断下列各代数式是否为单项式。若是，请指出其系数和次数；若不是，请说明理由。
( 3a )
.5 )
已知单项式的次数是 ( 5 )，求 ( m ) 的值。
写出下列各单项式的系数和次数：
已知一个单项式的系数是 ( 2 )，含有字母 ( x ) 和 ( y )，且次数是 ( 4 )。请写出所有满足这些条件的单项式。
若是关于 (x)、(y) 的单项式，且次数是 (3)，求 (m) 的值。
巩固练习参考答案
一、选择题
C
解析：A 含有加法，不是；B 是数与字母的商，不是；C 是数与字母的积，是单项式；D 可看作，含有加法，不是。
B
解析：单项式的数字因数是 (-3)，所以系数是 (-3)。
C
解析：是系数的一部分，字母 (a) 的指数是 (3)，字母 (b) 的指数是 (1)，次数为 。
D
解析：A 选项系数 (-1)，次数 ，含有 (x)、(y)；C 选项系数 (-1)，次数 ，含有 (x)、(y)。所以 A 和 C 都可以，选 D。
二、填空题
(5)，(0)
解析：单独的一个数是单项式，系数是它本身 (5)，次数是 (0)。
(-1)，(6)
解析：系数是数字因数 (-1)，次数是 。
（或等，答案不唯一）
解析：系数为，(x)、(y) 指数和为 (3)，如 。
(3)
解析：次数 ，所以 。
（或，等，答案不唯一）
解析：系数 (-1)，(x)、(y) 指数和为 (4)。
，(3)
解析：系数是数字因数，次数是 。
三、解答题
(1) 是单项式。
系数：(3)；次数：(1)。
解析：是数与字母的积，系数为 (3)，字母 (a) 指数为 (1)。
(2) 是单项式。
系数：；次数：(1)。
解析：可看作，是数与字母的积，系数为，字母 (x) 指数为 (1)。
(3) 不是单项式。
理由：含有减法运算。
(4) 是单项式。
系数：(0.5)；次数：(0)。
解析：单独的一个数是单项式，系数是 (0.5)，次数是 (0)。
(5) 是单项式。
系数：(-1)；次数：。
解析：是数与字母的积，系数为 (-1)，字母 (m) 指数 (3)，(n) 指数 (2)，和为 (5)。
(6) 不是单项式。
理由：是数与含有字母的和的商，不是数与字母的积。
解：
单项式的次数是所有字母指数的和，即 (2 + m)。
已知次数是 (5)，所以 。
答：(m) 的值是 (3)。
(1) 系数：(-4)；次数：。
(2) 系数：；次数：(2)。
(3) 系数：(1)；次数：(1)。
(4) 系数：；次数：。
解：
设满足条件的单项式为，其中 (a)、(b) 为非负整数。
根据题意，系数是 (2)，含有 (x) 和 (y)，次数是 (4)，所以：
，且，（因为要同时含有 (x) 和 (y)）。
可能的 ((a, b)) 组合有：
((1, 3))，此时单项式为；
((2, 2))，此时单项式为；
((3, 1))，此时单项式为。
答：所有满足条件的单项式为，，。
解：
单项式的次数是所有字母指数的和，即 。
已知次数是 (3)，所以 。
答：(m) 的值是。2.3.1单项式
学习目标
理解单项式的概念，能准确判断一个代数式是否为单项式。
理解单项式的系数和次数的概念，能正确指出一个单项式的系数和次数。
能根据所给条件写出符合要求的单项式。
培养观察、分析、抽象、概括的能力，体会数学概念的严谨性。
知识点讲解
一、单项式的概念
由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独的一个数或者一个字母也叫做单项式。
关键点解析：
“数与字母的积”：意味着单项式中只含有乘法（包括乘方）运算，不能含有加、减运算，也不能含有以字母为除数的除法运算。
单独的一个数：如 (5)，(-3)，(0)，等都是单项式。
单独的一个字母：如 (x)，(y)，(a) 等都是单项式。
例如：
(3x) 是单项式（数 (3) 与字母 (x) 的积）。
是单项式（数 (-5) 与字母的积）。
(0) 是单项式（单独的一个数）。
(m) 是单项式（单独的一个字母）。
是单项式（可以看作，是数与字母的积）。
不是单项式的例子：
(x + y)（含有加法运算）。
(a - b)（含有减法运算）。
（含有以字母为除数的除法运算，即，但不是数与字母的积的形式）。
(x + 3)（含有加法运算）。
二、单项式的系数
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
关键点解析：
系数是单项式的组成部分，是“数字因数”。
系数包括前面的符号。
如果一个单项式只含有字母因数，那么它的系数是 (1) 或 (-1)。例如，单项式 (a) 的系数是 (1)（通常省略不写）；单项式的系数是 (-1)。
当单项式是一个单独的数时，这个数本身就是系数。例如，单项式 (5) 的系数是 (5)；单项式的系数是。
是一个常数（圆周率），在单项式中作为数字因数，属于系数的一部分。
例如：
单项式 (3x) 的系数是 (3)。
单项式的系数是 (-5)。
单项式可以写成，其系数是。
单项式 (a) 的系数是 (1)。
单项式的系数是 (-1)。
单项式的系数是。
三、单项式的次数
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
关键点解析：
“所有字母的指数的和”：只与字母的指数有关，与数字因数（系数）无关，也与常数项（单独的数）无关。
对于单独一个非零的数，规定它的次数为 (0)（因为可以看作这个数乘以任何字母的 (0) 次幂，而任何非零数的 (0) 次幂都为 (1)）。
字母的指数为 (1) 时，通常省略不写，但在计算次数时要加上。例如，单项式 (x) 的次数是 (1)，单项式 (xy) 的次数是 。
例如：
单项式 (3x) 中，字母 (x) 的指数是 (1)，所以次数是 (1)（也叫一次单项式）。
单项式中，字母 (a) 的指数是 (2)，字母 (b) 的指数是 (1)，所以次数是 （也叫三次单项式）。
单项式中，字母 (x) 的指数是 (2)，字母 (y) 的指数是 (3)，所以次数是 （也叫五次单项式）。
单项式 (5) 是单独的一个非零数，次数是 (0)（也叫零次单项式）。
单项式的次数是 。
例题解析
例1：判断下列各式是否为单项式。若是，请指出它的系数和次数；若不是，请说明理由。
例2：写出下列单项式的系数和次数。
例3：根据下列条件写出相应的单项式。
(1) 系数为 (-2)，含有字母 (x)、(y)，且次数为 (4) 的单项式。
(2) 含有字母 (a)、(b)，且系数为 (1)，次数为 (3) 的单项式（写出所有可能）。
(3) 写出一个含有三个字母，且次数为 (5) 的单项式。
例4：已知单项式的次数是 (5)，求 (m) 的值。
巩固练习
一、选择题（每题只有一个正确答案）
下列各式中，是单项式的是（ ）
A. ( x + 1 )
B.
. ( -2xy )
D.
单项式的系数是（ ）
A. ( 3 )
B. ( -3 )
C. ( 2 )
D. ( 3 )
单项式的次数是（ ）
A. ( 2 )
B. ( 3 )
C. ( 4 )
D. ( 5 )
若一个单项式的系数是 ( -1 )，次数是 ( 3 )，且只含有字母 ( x )、( y )，则这个单项式可以是（ ）
A.... A 和 C 都可以
二、填空题
单项式 ( 5 ) 的系数是 __________，次数是 __________。
单项式的系数是 __________，次数是 __________。
写出一个系数为，含有字母 ( x )、( y )，且次数为 ( 3 ) 的单项式：__________。
若单项式的次数是 ( 5 )，则 ( m = ) __________。
请写出一个只含有字母 ( x )、( y )，且系数为 (-1)，次数为 (4) 的单项式：__________（写出一个即可）。
单项式的系数是 __________，次数是 __________。
三、解答题
判断下列各代数式是否为单项式。若是，请指出其系数和次数；若不是，请说明理由。
( 3a )
.5 )
已知单项式的次数是 ( 5 )，求 ( m ) 的值。
写出下列各单项式的系数和次数：
已知一个单项式的系数是 ( 2 )，含有字母 ( x ) 和 ( y )，且次数是 ( 4 )。请写出所有满足这些条件的单项式。
若是关于 (x)、(y) 的单项式，且次数是 (3)，求 (m) 的值。

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