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3.1生活中的立体图形
学习目标
认识常见的基本几何体，如正方体、长方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等，并能描述它们的基本特征。
了解组合几何体的构成，能分析简单组合体是由哪些基本几何体组成的。
掌握立体图形的两种基本分类方法：按围成的面是平面还是曲面分类，以及按是否有顶点、棱分类（或其他合理分类）。
理解几何体的基本构成元素：点、棱（线）、面，知道平面与曲面的区别，以及点、线、面之间的关系。
知识点讲解
1. 常见的几何体
我们生活的世界充满了各种各样的物体，这些物体大多可以抽象成不同的几何体。常见的基本几何体有：
正方体：由6个完全相同的正方形平面围成的立体图形，它有8个顶点，12条长度相等的棱。
长方体：由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）平面围成的立体图形，它有8个顶点，12条棱，相对的棱长度相等。
圆柱：由两个大小相等、互相平行的圆形底面和一个曲面（侧面）围成的立体图形。两个底面之间的距离是圆柱的高。
圆锥：由一个圆形底面和一个曲面（侧面）围成的立体图形。圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。
球：由一个连续曲面围成的立体图形，球面上任意一点到球心的距离都相等，这个距离称为球的半径。
棱柱：有两个互相平行且全等的多边形底面，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行。棱柱按底面多边形的边数可分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。例如，正方体和长方体是特殊的四棱柱。
棱锥：有一个多边形底面，其余各面是有一个公共顶点的三角形。棱锥按底面多边形的边数可分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。
2. 组合几何体的构成
组合几何体是由两个或两个以上的基本几何体通过拼接、截去一部分或挖去一部分等方式组合而成的。
拼接：将两个或多个基本几何体连接在一起。例如，一个铅笔盒可以看作是一个长方体；一个圣诞帽可以看作是一个圆锥；一个带有把手的水杯，其主体部分可能是一个圆柱，把手可能是一个半圆环柱体（简化为圆柱的一部分）。
截去：从一个基本几何体上截去一部分。例如，一个正方体被截去一个角后，形成一个新的、更复杂的几何体。
挖去：在一个基本几何体内部挖去另一个基本几何体。例如，一个空心的圆柱（如水管），可以看作是一个大圆柱内部挖去了一个与其共轴的小圆柱。
分析组合几何体的构成时，通常需要将其分解为我们熟悉的基本几何体。
3. 立体图形的分类
立体图形可以根据不同的标准进行分类：
按围成几何体的面的平曲性分类：
多面体：围成几何体的所有面都是平面的几何体。例如：正方体、长方体、棱柱、棱锥。
旋转体：围成几何体的面中至少有一个是曲面的几何体，通常由一个平面图形绕某一条直线旋转而成。例如：圆柱（可由矩形绕其一边旋转而成）、圆锥（可由直角三角形绕其一条直角边旋转而成）、球（可由半圆绕其直径旋转而成）。
按是否有顶点分类：
有顶点的几何体：如正方体、长方体、棱柱、棱锥、圆锥。
无顶点的几何体：如圆柱、球。
（注：圆柱的两个底面是平面，侧面是曲面，但圆柱没有通常意义上由棱相交而成的顶点。）
4. 点、棱、面
几何体都是由点、线、面构成的，点、线、面是构成几何体的基本元素。
面：几何体上平的或曲的部分。面有平面和曲面之分。例如，正方体的每个面都是平面；圆柱的侧面是曲面，底面是平面。包围着几何体的是它的表面。
棱：几何体中两个面相交的地方，形成一条线。这条线可以是直的，也可以是曲的。在多面体中，面与面相交形成的直的线叫做棱。例如，正方体有12条棱。圆柱的侧面与底面相交形成的是一个圆形的曲线，圆锥的侧面与底面相交形成的也是一个圆形的曲线。
顶点：几何体中棱与棱相交的地方，形成一个点。例如，正方体有8个顶点，三棱锥有4个顶点。圆锥有一个顶点，圆柱没有这样的顶点。
关系：点动成线，线动成面，面动成体。
例题解析
例题1：请说出下列物体可以抽象成哪些基本几何体？
(1) 书本
(2) 易拉罐
(3) 足球
(4) 金字塔（底面为四边形）
解析：
(1) 书本的形状近似于长方体，它有6个长方形的面，12条棱，8个顶点。因此，书本可以抽象成长方体。
(2) 易拉罐的形状上下两个底面是大小相等的圆形，侧面是曲面，符合圆柱的特征。因此，易拉罐可以抽象成圆柱。
(3) 足球的形状是一个完全由曲面围成的几何体，任意一点到球心的距离相等。因此，足球可以抽象成球。
(4) 金字塔（底面为四边形），它有一个四边形的底面，其余各面是有一个公共顶点的三角形，符合四棱锥的特征。因此，底面为四边形的金字塔可以抽象成四棱锥。
例题2：指出下列组合体可能由哪些基本几何体构成？（描述）一个物体，下部是一个四棱柱，上部是一个四棱锥，且四棱锥的底面与四棱柱的顶面完全重合。
解析：
根据描述，该组合体的下部是一个四棱柱，上部是一个四棱锥，并且它们通过四棱锥的底面和四棱柱的顶面连接在一起。因此，这个组合体是由一个四棱柱和一个四棱锥组合而成的。
例题3：将下列几何体进行分类，并说明分类依据。
① 正方体 ② 圆柱 ③ 三棱锥 ④ 球 ⑤ 六棱柱 ⑥ 圆锥
解析：
方法一：按围成几何体的面是否都是平面（即多面体与旋转体）分类。
多面体（所有面都是平面）：① 正方体、③ 三棱锥、⑤ 六棱柱。
旋转体（至少有一个面是曲面）：② 圆柱、④ 球、⑥ 圆锥。
分类依据：围成几何体的面的平曲性。
方法二：按是否有顶点分类。
有顶点的几何体：① 正方体、③ 三棱锥、⑤ 六棱柱、⑥ 圆锥。
无顶点的几何体：② 圆柱、④ 球。
分类依据：几何体是否存在顶点。
（注：本题答案不唯一，合理即可，此处给出两种常见分类方法。）
例题4：一个三棱柱有多少个面？多少条棱？多少个顶点？
解析：
三棱柱由两个互相平行且全等的三角形底面和三个长方形侧面组成。
面的数量：2个底面 + 3个侧面 = 5个面。
棱的数量：两个三角形底面各有3条边，且三棱柱有3条侧棱连接两个底面的对应顶点。因此，总棱数为 3×2 + 3 = 9条棱。
顶点的数量：每个三角形底面有3个顶点，因此总顶点数为 3×2 = 6个顶点。
答：一个三棱柱有5个面，9条棱，6个顶点。
巩固练习
一、选择题 (每题只有一个正确答案)
下列几何体中，属于棱柱的是
A. 篮球
B. 书本（近似）
C. 烟囱帽（近似）
D. 铅笔尖（近似）
下列物体的形状，不能近似地看成圆锥的是
A. 沙堆（底部平整，顶部尖）
B. 铅锤
C. 日光灯管
D. 圣诞帽
下列几何体中，不是多面体的是
A. 正方体
B. 三棱锥
C. 圆柱
D. 六棱柱
一个几何体，它有两个面是互相平行且全等的圆形，其余各面是长方形，这个几何体是
A. 圆柱
B. 圆锥
C. 圆台
D. 不存在这样的多面体
将一个正方体截去一个角后，得到的新几何体的面数是
A. 5
B. 6
C. 7
D. 以上都有可能
二、填空题
魔方的形状类似于我们学过的一种基本几何体，它是 _________。
一个没有盖的水桶，其主体部分的形状可以抽象成 _________。
在①长方体、②球、③圆锥、④三棱柱这四个几何体中，属于旋转体的是 _________ (填序号)。
五棱锥有 _________ 个面，_________ 个顶点，_________ 条棱。
点动成 _________，线动成 _________，面动成 _________。
三、解答题
请列举出生活中形状分别类似于圆柱、棱柱、棱锥的物体各两个。
描述一个你所熟悉的物体，并分析它可以看作是由哪些基本几何体组合而成的。
观察你周围的环境，找出一个组合几何体，并尝试说明它是由哪些基本几何体构成的（至少指出两种基本几何体）。
巩固练习答案与解析
一、选择题
答案：B
解析：A选项篮球是球；B选项书本近似长方体，长方体是四棱柱；C选项烟囱帽近似圆锥；D选项铅笔尖近似圆锥。故选B。
答案：C
解析：A选项沙堆（底部平整，顶部尖）近似圆锥；B选项铅锤通常是圆锥形状；C选项日光灯管近似圆柱；D选项圣诞帽近似圆锥。故选C。
答案：C
解析：多面体是指围成它的所有面都是平面的几何体。A正方体、B三棱锥、D六棱柱的面都是平面。C圆柱有一个曲面（侧面），所以不是多面体。故选C。
答案：D
解析：A选项圆柱的侧面是曲面，不是长方形；B选项圆锥只有一个圆形底面；C选项圆台的侧面是曲面；题目中描述“其余各面是长方形”，而有两个平行且全等圆形底面且侧面是长方形的几何体不存在，因为圆形和长方形无法直接相交形成直的棱并构成这样的几何体，所以这样的多面体不存在。故选D。
答案：C
解析：一个正方体原本有6个面。截去一个角时，会新增加一个面（截面）。因此，得到的新几何体的面数是 6 + 1 = 7个面。故选C。
二、填空题
答案：正方体
解析：魔方通常是由27个小正方体组成的大正方体，其整体形状类似于正方体。
答案：圆柱
解析：没有盖的水桶，其主体结构是上下两个圆形（下底有面，上底无盖），侧面是曲面，整体形状抽象为圆柱（不考虑其无盖特性对基本几何体类型的影响，主要关注其曲面侧面和圆形底面特征）。
答案：②③
解析：旋转体是指围成几何体的面中至少有一个是曲面的几何体。①长方体是多面体；②球是旋转体；③圆锥是旋转体；④三棱柱是多面体。故属于旋转体的是②③。
答案：6，6，10
解析：五棱锥有1个五边形底面和5个三角形侧面，所以面数为 1 + 5 = 6个。顶点数：底面5个顶点加上1个锥顶，共 5 + 1 = 6个顶点。棱数：底面有5条棱，从锥顶到底面各顶点有5条棱，共 5 + 5 = 10条棱。
答案：线，面，体
解析：这是几何基本元素间的动态关系：点运动形成线，线运动形成面，面运动形成体。
三、解答题
答案：
圆柱：易拉罐、水桶（主体部分）、灯管（合理即可）。
棱柱：书本（近似长方体，属于四棱柱）、三棱镜（三棱柱）、铅笔盒（近似长方体）（合理即可）。
棱锥：金字塔（四棱锥）、三脚架的顶部（近似三棱锥）、有些建筑物的顶部结构（合理即可）。
（解析：根据生活经验列举，符合各类几何体特征即可。）
答案：(示例) 物体：铅笔。
分析：铅笔可以看作是由一个圆柱体（笔杆部分）和一个圆锥体（笔尖部分，削过之后）组合而成的。有些铅笔的尾部还会有一个橡皮擦，橡皮擦部分可能近似一个小的长方体或圆柱体，此时铅笔就是圆柱体、圆锥体和长方体（或圆柱体）的组合。
（解析：选择一个熟悉的物体，分析其各组成部分分别对应什么基本几何体，描述清晰即可，答案不唯一。）
答案：(示例) 组合几何体：教室里的粉笔盒旁边立着一个圆柱形的水杯。
构成分析：粉笔盒的形状近似于正方体（或长方体），水杯的主体形状近似于圆柱。因此，这个组合可以看作是由一个正方体（或长方体）和一个圆柱组合而成的。3.1生活中的立体图形
学习目标
认识常见的基本几何体，如正方体、长方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等，并能描述它们的基本特征。
了解组合几何体的构成，能分析简单组合体是由哪些基本几何体组成的。
掌握立体图形的两种基本分类方法：按围成的面是平面还是曲面分类，以及按是否有顶点、棱分类（或其他合理分类）。
理解几何体的基本构成元素：点、棱（线）、面，知道平面与曲面的区别，以及点、线、面之间的关系。
知识点讲解
1. 常见的几何体
我们生活的世界充满了各种各样的物体，这些物体大多可以抽象成不同的几何体。常见的基本几何体有：
正方体：由6个完全相同的正方形平面围成的立体图形，它有8个顶点，12条长度相等的棱。
长方体：由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）平面围成的立体图形，它有8个顶点，12条棱，相对的棱长度相等。
圆柱：由两个大小相等、互相平行的圆形底面和一个曲面（侧面）围成的立体图形。两个底面之间的距离是圆柱的高。
圆锥：由一个圆形底面和一个曲面（侧面）围成的立体图形。圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。
球：由一个连续曲面围成的立体图形，球面上任意一点到球心的距离都相等，这个距离称为球的半径。
棱柱：有两个互相平行且全等的多边形底面，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行。棱柱按底面多边形的边数可分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。例如，正方体和长方体是特殊的四棱柱。
棱锥：有一个多边形底面，其余各面是有一个公共顶点的三角形。棱锥按底面多边形的边数可分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。
2. 组合几何体的构成
组合几何体是由两个或两个以上的基本几何体通过拼接、截去一部分或挖去一部分等方式组合而成的。
拼接：将两个或多个基本几何体连接在一起。例如，一个铅笔盒可以看作是一个长方体；一个圣诞帽可以看作是一个圆锥；一个带有把手的水杯，其主体部分可能是一个圆柱，把手可能是一个半圆环柱体（简化为圆柱的一部分）。
截去：从一个基本几何体上截去一部分。例如，一个正方体被截去一个角后，形成一个新的、更复杂的几何体。
挖去：在一个基本几何体内部挖去另一个基本几何体。例如，一个空心的圆柱（如水管），可以看作是一个大圆柱内部挖去了一个与其共轴的小圆柱。
分析组合几何体的构成时，通常需要将其分解为我们熟悉的基本几何体。
3. 立体图形的分类
立体图形可以根据不同的标准进行分类：
按围成几何体的面的平曲性分类：
多面体：围成几何体的所有面都是平面的几何体。例如：正方体、长方体、棱柱、棱锥。
旋转体：围成几何体的面中至少有一个是曲面的几何体，通常由一个平面图形绕某一条直线旋转而成。例如：圆柱（可由矩形绕其一边旋转而成）、圆锥（可由直角三角形绕其一条直角边旋转而成）、球（可由半圆绕其直径旋转而成）。
按是否有顶点分类：
有顶点的几何体：如正方体、长方体、棱柱、棱锥、圆锥。
无顶点的几何体：如圆柱、球。
（注：圆柱的两个底面是平面，侧面是曲面，但圆柱没有通常意义上由棱相交而成的顶点。）
4. 点、棱、面
几何体都是由点、线、面构成的，点、线、面是构成几何体的基本元素。
面：几何体上平的或曲的部分。面有平面和曲面之分。例如，正方体的每个面都是平面；圆柱的侧面是曲面，底面是平面。包围着几何体的是它的表面。
棱：几何体中两个面相交的地方，形成一条线。这条线可以是直的，也可以是曲的。在多面体中，面与面相交形成的直的线叫做棱。例如，正方体有12条棱。圆柱的侧面与底面相交形成的是一个圆形的曲线，圆锥的侧面与底面相交形成的也是一个圆形的曲线。
顶点：几何体中棱与棱相交的地方，形成一个点。例如，正方体有8个顶点，三棱锥有4个顶点。圆锥有一个顶点，圆柱没有这样的顶点。
关系：点动成线，线动成面，面动成体。
例题解析
例题1：请说出下列物体可以抽象成哪些基本几何体？
(1) 书本
(2) 易拉罐
(3) 足球
(4) 金字塔（底面为四边形）
例题2：指出下列组合体可能由哪些基本几何体构成？（描述）一个物体，下部是一个四棱柱，上部是一个四棱锥，且四棱锥的底面与四棱柱的顶面完全重合。
例题3：将下列几何体进行分类，并说明分类依据。
① 正方体 ② 圆柱 ③ 三棱锥 ④ 球 ⑤ 六棱柱 ⑥ 圆锥
解析：
例题4：一个三棱柱有多少个面？多少条棱？多少个顶点？
巩固练习
一、选择题 (每题只有一个正确答案)
下列几何体中，属于棱柱的是
A. 篮球
B. 书本（近似）
C. 烟囱帽（近似）
D. 铅笔尖（近似）
下列物体的形状，不能近似地看成圆锥的是
A. 沙堆（底部平整，顶部尖）
B. 铅锤
C. 日光灯管
D. 圣诞帽
下列几何体中，不是多面体的是
A. 正方体
B. 三棱锥
C. 圆柱
D. 六棱柱
一个几何体，它有两个面是互相平行且全等的圆形，其余各面是长方形，这个几何体是
A. 圆柱
B. 圆锥
C. 圆台
D. 不存在这样的多面体
将一个正方体截去一个角后，得到的新几何体的面数是
A. 5
B. 6
C. 7
D. 以上都有可能
二、填空题
魔方的形状类似于我们学过的一种基本几何体，它是 _________。
一个没有盖的水桶，其主体部分的形状可以抽象成 _________。
在①长方体、②球、③圆锥、④三棱柱这四个几何体中，属于旋转体的是 _________ (填序号)。
五棱锥有 _________ 个面，_________ 个顶点，_________ 条棱。
点动成 _________，线动成 _________，面动成 _________。
三、解答题
请列举出生活中形状分别类似于圆柱、棱柱、棱锥的物体各两个。
描述一个你所熟悉的物体，并分析它可以看作是由哪些基本几何体组合而成的。
观察你周围的环境，找出一个组合几何体，并尝试说明它是由哪些基本几何体构成的（至少指出两种基本几何体）。

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