资源简介

3.4平面图形
学习目标
理解多边形的概念，能够区分不同类型的多边形。
掌握多边形截去一个角后边数的变化规律。
学会计算多边形的周长。
掌握多边形对角线的定义，并能运用公式计算多边形对角线的条数。
理解多边形对角线将多边形分成三角形个数的规律，并能进行相关计算。
知识点讲解
一、多边形的概念与分类
多边形的定义：在平面内，由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
组成多边形的各条线段叫做多边形的边。
每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点。
多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角（简称多边形的角）。
多边形的分类：
按边数分类：三角形（3条边）、四边形（4条边）、五边形（5条边）……，n边形（n条边，n为大于或等于3的整数）。
按角分类：
凸多边形：多边形的每个内角都小于180°，且整个多边形都在任何一条边所在直线的同一侧。初中阶段我们主要研究凸多边形。
凹多边形：至少有一个内角大于180°的多边形。
按边的相等关系分类：
正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。例如：正三角形（等边三角形）、正方形等。
二、多边形截角后的边数问题
截角操作：用一条直线去截多边形的一个角。
边数变化规律：一个n边形截去一个角后，所得多边形的边数可能是n-1，n，或n+1。
若截线经过多边形的两个顶点，则新多边形的边数比原多边形少1（n-1）。
若截线经过多边形的一个顶点和一条边，则新多边形的边数与原多边形相同（n）。
若截线经过多边形的两条边，则新多边形的边数比原多边形多1（n+1）。
三、多边形的周长
定义：多边形的周长是指多边形所有边的长度之和。
计算公式：对于一个多边形，如果它的各边长度分别为，那么它的周长( C )为：
四、多边形对角线的条数问题
对角线的定义：连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
n边形从一个顶点出发的对角线的条数：一个n边形（n ≥ 3）从一个顶点出发可以引( (n - 3) )条对角线。（因为该顶点本身及与其相邻的两个顶点不能连接对角线）
n边形对角线的总条数：对于一个n边形（n ≥ 3），其对角线的总条数( D )的计算公式为：
（推导思路：每个顶点可引( (n-3) )条对角线，n个顶点共引( n(n-3) )条，但每条对角线都重复计算了一次，所以除以2）
五、对角线分成的三角形个数问题
规律：一个n边形（n ≥ 3）从一个顶点出发引对角线，可以把这个n边形分成( (n - 2) )个三角形。
例题解析
例题1：
判断下列说法是否正确，并说明理由。
（1）由四条线段组成的图形叫做四边形。
（2）各边都相等的多边形是正多边形。
解析：
（1）错误。
理由：由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做四边形。题中未强调“不在同一直线上”、“首尾顺次相接”和“封闭图形”。
（2）错误。
理由：正多边形不仅要求各边都相等，还要求各个角都相等。仅有各边相等的多边形不一定是正多边形，例如菱形各边相等，但内角不一定都相等，所以不是正多边形。
例题2：
一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是2880°，求原多边形的边数。
解析：
设新多边形的边数为( m )。
根据多边形内角和公式：
解方程：
因为一个多边形截去一个角后，边数可能增加1、不变或减少1，所以原多边形的边数可能为：
( m - 1 = 17 )，或( m = 18 )，或( m + 1 = 19 )。
答：原多边形的边数可能是17，18或19。
例题3：
已知一个多边形的对角线总条数为35条，求这个多边形的边数。
解析：
设这个多边形的边数为( n )。
根据多边形对角线总条数公式：
方程两边同时乘以2：( n(n - 3) = 70 )
展开：
因式分解：( (n - 10)(n + 7) = 0 )
解得：，（边数不能为负数，舍去）
答：这个多边形的边数是10。
例题4：
一个五边形，它的五条边长度分别为3cm，4cm，5cm，6cm，7cm，求这个五边形的周长。
解析：
根据多边形周长公式，五边形的周长( C )等于其五条边长度之和。
( C = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 )
( C = 7 + 5 + 6 + 7 )
( C = 12 + 6 + 7 )
( C = 18 + 7 )
( C = 25 )
答：这个五边形的周长是25cm。
例题5：
一个多边形从一个顶点出发引对角线，将多边形分成了8个三角形，求这个多边形的边数以及它的对角线总条数。
解析：
设这个多边形的边数为( n )。
因为从一个顶点出发引对角线分成的三角形个数为( n - 2 )，所以：
( n - 2 = 8 )
解得：( n = 10 )
所以这个多边形是十边形。
根据对角线总条数公式：
当( n = 10 )时，
答：这个多边形的边数是10，对角线总条数是35。
巩固练习
一、选择题 (每题只有一个正确答案)
下列图形中，是多边形的是
A. 由不在同一直线上的线段组成的开放图形
B. 由在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形
C. 由不在同一直线上的五条线段首尾顺次相接组成的封闭图形
D. 由曲线围成的封闭图形
一个十二边形从一个顶点出发，可以引的对角线条数是
A. 12
B. 10
C. 9
D. 8
将一个四边形截去一个角后，得到的新多边形的边数不可能是
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
一个多边形的周长是指
A. 所有内角的和
B. 所有边的长度之和
C. 所有对角线的长度之和
D. 某一条边的长度
若一个多边形的对角线总条数是20，则这个多边形的边数是
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
二、填空题
一个多边形有8条边，则这个多边形叫做_________。
一个五边形截去一个角后，若截线经过两个顶点，则新多边形的边数是_________。
正六边形的边长为5cm，则它的周长是_________cm。
一个n边形的边数增加1，则其对角线总条数增加_________。（用含n的代数式表示）
一个多边形从一个顶点出发引对角线，把这个多边形分成了6个三角形，则这个多边形的边数是_________，其对角线总条数是_________。
三、解答题
一个多边形的各边长度分别为4cm，6cm，5cm，7cm，8cm，求这个多边形的周长。
已知一个多边形的边数是15，求这个多边形对角线的总条数。
一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的边数是11，求原来多边形的边数可能是多少？并说明每种情况是如何截去一个角的。
若一个多边形从一个顶点出发引的对角线将其分成了12个三角形，求这个多边形的边数，并求出该多边形对角线的总条数。
巩固练习答案与解析
一、选择题
答案：C
解析：多边形的定义是在平面内，由不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形。选项A不是封闭图形；选项B线段在同一直线上；选项D是曲线围成，不是线段。只有选项C符合。
答案：C
解析：n边形从一个顶点出发可引对角线( (n-3) )条。十二边形，n=12，所以( 12 - 3 = 9 )条。
答案：D
解析：四边形截去一个角，边数可能为3（截线经过一个顶点和一条边）、4（截线经过两个顶点）、5（截线经过两条边）。不可能是6。
答案：B
解析：多边形的周长定义为所有边的长度之和。
答案：C
解析：设边数为n，根据对角线公式
方程两边乘2：( n(n - 3) = 40 )
展开：
因式分解：( (n - 8)(n + 5) = 0 )
解得n=8或n=-5（舍去）。
二、填空题
答案：八边形
解析：有n条边的多边形叫n边形，8条边即八边形。
答案：4
解析：五边形（n=5）截去一个角，截线经过两个顶点时，边数为n-1=5-1=4。
答案：30
解析：正六边形六条边都相等，边长为5cm，周长C=6×5=30cm。
答案：n-1
解析：原n边形对角线总条数
边数增加1后为(n+1)边形，对角线总条数
增加的条数
答案：8；20
解析：分成三角形个数为n-2=6，解得n=8。
对角线总条数。
三、解答题
答案：30cm
解析：多边形周长等于各边之和。
C = 4 + 6 + 5 + 7 + 8
C = 10 + 5 + 7 + 8
C = 15 + 7 + 8
C = 22 + 8
C = 30
答：这个多边形的周长是30cm。
答案：90条
解析：已知n=15，根据对角线总条数公式：
答：这个多边形对角线的总条数是90条。
答案：原来多边形的边数可能是10，11或12。
解析：新多边形边数m=11。
情况一：若截线经过原多边形的两个顶点，则原多边形边数 = m - 0 = 11（因为截线经过两个顶点，边数不变，新边数=原边数）。
情况二：若截线经过原多边形的一个顶点和一条边，则原多边形边数 = m + 1 = 12（因为截线经过一个顶点和一条边，边数减少1，新边数=原边数-1，所以原边数=新边数+1）。
情况三：若截线经过原多边形的两条边，则原多边形边数 = m - 1 = 10（因为截线经过两条边，边数增加1，新边数=原边数+1，所以原边数=新边数-1）。
答：原来多边形的边数可能是10，11或12。当截线经过两条边时，原边数为10；当截线经过两个顶点时，原边数为11；当截线经过一个顶点和一条边时，原边数为12。
答案：这个多边形的边数是14，对角线总条数是77。
解析：设多边形边数为n。
由题意得，n - 2 = 12
解得n = 14
对角线总条数
答：这个多边形的边数是14，对角线总条数是77。3.4平面图形
学习目标
理解多边形的概念，能够区分不同类型的多边形。
掌握多边形截去一个角后边数的变化规律。
学会计算多边形的周长。
掌握多边形对角线的定义，并能运用公式计算多边形对角线的条数。
理解多边形对角线将多边形分成三角形个数的规律，并能进行相关计算。
知识点讲解
一、多边形的概念与分类
多边形的定义：在平面内，由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
组成多边形的各条线段叫做多边形的边。
每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点。
多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角（简称多边形的角）。
多边形的分类：
按边数分类：三角形（3条边）、四边形（4条边）、五边形（5条边）……，n边形（n条边，n为大于或等于3的整数）。
按角分类：
凸多边形：多边形的每个内角都小于180°，且整个多边形都在任何一条边所在直线的同一侧。初中阶段我们主要研究凸多边形。
凹多边形：至少有一个内角大于180°的多边形。
按边的相等关系分类：
正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。例如：正三角形（等边三角形）、正方形等。
二、多边形截角后的边数问题
截角操作：用一条直线去截多边形的一个角。
边数变化规律：一个n边形截去一个角后，所得多边形的边数可能是n-1，n，或n+1。
若截线经过多边形的两个顶点，则新多边形的边数比原多边形少1（n-1）。
若截线经过多边形的一个顶点和一条边，则新多边形的边数与原多边形相同（n）。
若截线经过多边形的两条边，则新多边形的边数比原多边形多1（n+1）。
三、多边形的周长
定义：多边形的周长是指多边形所有边的长度之和。
计算公式：对于一个多边形，如果它的各边长度分别为，那么它的周长( C )为：
四、多边形对角线的条数问题
对角线的定义：连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
n边形从一个顶点出发的对角线的条数：一个n边形（n ≥ 3）从一个顶点出发可以引( (n - 3) )条对角线。（因为该顶点本身及与其相邻的两个顶点不能连接对角线）
n边形对角线的总条数：对于一个n边形（n ≥ 3），其对角线的总条数( D )的计算公式为：
（推导思路：每个顶点可引( (n-3) )条对角线，n个顶点共引( n(n-3) )条，但每条对角线都重复计算了一次，所以除以2）
五、对角线分成的三角形个数问题
规律：一个n边形（n ≥ 3）从一个顶点出发引对角线，可以把这个n边形分成( (n - 2) )个三角形。
例题解析
例题1：
判断下列说法是否正确，并说明理由。
（1）由四条线段组成的图形叫做四边形。
（2）各边都相等的多边形是正多边形。
例题2：
一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是2880°，求原多边形的边数。
例题3：
已知一个多边形的对角线总条数为35条，求这个多边形的边数。
例题4：
一个五边形，它的五条边长度分别为3cm，4cm，5cm，6cm，7cm，求这个五边形的周长。
例题5：
一个多边形从一个顶点出发引对角线，将多边形分成了8个三角形，求这个多边形的边数以及它的对角线总条数。
巩固练习
一、选择题 (每题只有一个正确答案)
下列图形中，是多边形的是
A. 由不在同一直线上的线段组成的开放图形
B. 由在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形
C. 由不在同一直线上的五条线段首尾顺次相接组成的封闭图形
D. 由曲线围成的封闭图形
一个十二边形从一个顶点出发，可以引的对角线条数是
A. 12
B. 10
C. 9
D. 8
将一个四边形截去一个角后，得到的新多边形的边数不可能是
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
一个多边形的周长是指
A. 所有内角的和
B. 所有边的长度之和
C. 所有对角线的长度之和
D. 某一条边的长度
若一个多边形的对角线总条数是20，则这个多边形的边数是
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
二、填空题
一个多边形有8条边，则这个多边形叫做_________。
一个五边形截去一个角后，若截线经过两个顶点，则新多边形的边数是_________。
正六边形的边长为5cm，则它的周长是_________cm。
一个n边形的边数增加1，则其对角线总条数增加_________。（用含n的代数式表示）
一个多边形从一个顶点出发引对角线，把这个多边形分成了6个三角形，则这个多边形的边数是_________，其对角线总条数是_________。
三、解答题
一个多边形的各边长度分别为4cm，6cm，5cm，7cm，8cm，求这个多边形的周长。
已知一个多边形的边数是15，求这个多边形对角线的总条数。
一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的边数是11，求原来多边形的边数可能是多少？并说明每种情况是如何截去一个角的。
若一个多边形从一个顶点出发引的对角线将其分成了12个三角形，求这个多边形的边数，并求出该多边形对角线的总条数。

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