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2025-2026学年人教版数学八年级上册 第十六章 整式的乘法
16.1.2 幂的乘方与积的乘方（讲义）
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学习目标
理解幂的乘方和积的乘方的运算法则。
会运用幂的乘方和积的乘方法则进行简单的计算。
经历探索幂的乘方和积的乘方运算法则的推导过程，体会从特殊到一般的思想方法。
知识点梳理
（一）幂的乘方
意义： 幂的乘方指的是几个相同的幂相乘。例如，(am)n 表示 n 个 am 相乘，即 (am)n = am · am · … · am (共 n 个 am)。
法则推导： 根据乘方的意义和同底数幂的乘法法则： (am)n = am · am · … · am (n个am相乘) = am+m+…+m (n个m相加) = amn （同底数幂相乘，底数不变，指数相加；n个m相加的和是 m·n）
法则： 幂的乘方，底数不变，指数相乘。 符号表示：(am)n = amn (其中 m、n 都是正整数)
解读：
底数 a 可以是任意有理数、单项式或多项式。
注意与同底数幂的乘法区别：同底数幂的乘法是“指数相加”，幂的乘方是“指数相乘”。
例题讲解：
例1：计算 (103)5 解：(103)5 = 103×5 = 1015
例2：计算 (a4)2 解：(a4)2 = a4×2 = a8
例3：计算 (-x2)3 解：(-x2)3 = - (x2)3 = -x2×3 = -x6 (注意负号的处理，这里底数可看作 -1 与 x2 的乘积，先处理符号)
（二）积的乘方
意义： 积的乘方指的是底数是乘积形式的乘方。例如，(ab)n 表示 n 个 ab 相乘，即 (ab)n = ab · ab · … · ab (共 n 个 ab)。
法则推导： 根据乘方的意义、乘法交换律和结合律： (ab)n = ab · ab · … · ab (n个ab相乘) = (a · a · … · a) · (b · b · … · b) (n个a相乘，n个b相乘) = an · bn
法则： 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 符号表示：(ab)n = anbn (其中 n 是正整数)
解读：
“每一个因式”都要乘方，不能遗漏。
此法则可以推广到多个因式的积的乘方，例如：(abc)n = anbncn (其中 n 是正整数)。
例题讲解：
例1：计算 (2a)3 解：(2a)3 = 23 · a3 = 8a3
例2：计算 (-3x)2 解：(-3x)2 = (-3)2 · x2 = 9x2 (注意负数的偶次幂是正数)
例3：计算 (xy2)4 解：(xy2)4 = x4 · (y2)4 = x4 · y2×4 = x4y8 (这里结合了幂的乘方法则)
知识点总结
幂的乘方法则： (am)n = amn (m、n 为正整数)
底数不变，指数相乘。
积的乘方法则： (ab)n = anbn (n 为正整数)
每个因式分别乘方，再把幂相乘。
温馨提示：
在进行幂的运算时，要仔细辨别是哪种运算（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方），选择对应的法则。
运算过程中要注意符号的处理，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
法则中的底数可以是具体的数，也可以是字母或代数式。
巩固练习
一、选择题
1．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列运算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．计算的结果是（　　）
A．1 B． C． D．
4．若3 =4，9 =7，则的值为（　　）
A．28 B．14 C．11 D．18
5．计算的值为（　　）
A． B． C．1 D．2
6．计算是（ ）
A．8 B． C． D．
7．把 255，344，533，622这 4 个数从小到大排列，正确的是(　　).
A． B．
C． D．
二、填空题
8． =　 　.
9．计算：＝　 　．
10．若，，为正整数，则　 　．
11．已知，，则　 　．
12．比较大小　 　（填﹥、<、=）．
13．已知，则　 　．
14． 计算： 　 　.
三、解答题
15．（1）已知求
（2）已知x+2y-7=0(x，y是正整数)，求的值.
16．（1）已知：的算术平方根是3．的立方根是2．求的值．
（2）若（且，m，n足正整数），则．请用这个结论解决下面这个问题：若．求x的值：
17．我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，（m，n为正整数）．
请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题：
（1）已知，请把用“<”连接起来： 　 　．
（2）若，求的值．
（3）计算：．
参考答案
1．D
2．B
3．C
4．A
5．C
6．C
7．D
8．
9．1
10．200
11．24
12．＞
13．
14．
15．（1）解：∵b=32n=（25）n=25n，2m=a
∴=（2m）3.（25n）2
=a3b2；
（2）解：∵ x+2y-7=0 ，
∴ x+2y=7，
∴=2x.22y=2x+2y=27=128.
16．（1）4；（2）
17．（1）
（2）解：∵，
∴
；
（3）解：
．

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