资源简介

19.2实数
一 有理数的小数形式
任何有理数可以写成分数(a b是整数,a≠0),有理数必
为有限小数或无限循环小数(反之有限小数或无限循环小数必为有理
数);
循环节:循环小数中重复出现的数字序列
例1 将下列分数化为有限小数,若不能化为有限小数,则化为循环小数,并写出其循环节
(1) (2)2 (3)- (4)
答案
(1)1.4 (2)2. 循环节是6
-0. 循环节是7
循环节是41
例2 下列说法不正确的是（　　）
A．有理数一定是有限小数或无限循环小数　　B．含有Π的数都属无理数
　Ｃ．任何分数都可以化成小数　　　　　　　　　　　D．任何小数都可以化成分数
D
例3 在分数中，能化为有限小数的有（　　）
A、１个　　　B、２个　　C、3个 D、4个
C
例4 要使分数能化成有限小数，则下列各组数中，ｘ可以是（　　）
A.3 5 10　　　B．3 2 18　　　C．2 16 25　　　D．3 6 9
D
例5 下列说法中正确的是（ ）
A 小数0.121221222....是循环小数　　　　B、所有分数都可以化为循环小数
C 0.2232323...的循环节是223　　　　　　D、循环小数不一定小于１
D
例6 将无限循环小数化成分数：＝　　　　　
答案:
无理数
无限不循环小数叫做无理数;
注意:(1)无理数的特征:无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环,不能表示成分数的形式
常见的无理数有三种形式:①含类.②看似循环而实质不循环的数,如:1.313113111…….③带有根号的数,但根号下的数字开方开不尽,如.
例7 在实数,,,,1.12112111211112…(每两个2之间依次多一个1)中,无理数的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】B
【解答】解:=2,=2,
,,1.12112111211112…(每两个2之间依次多一个1)是无理数,共3个.
故选:B.
例8 在-,,,2022这四个数中,无理数是( )
- B. C. D.2022
【答案】C
【解答】解:A.-是分数,属于有理数,故本选项不合题意;
B.是分数,属于有理数,故本选项不合题意;
C.是无理数,故本选项符合题意;
D.2022是整数,属于有理数,故本选项不合题意;
故选:C.
例9 在实数,﹣,,,3.14,0.5%,0.0010010001中,无理数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【解答】解:=2,
﹣,是无理数,共2个.
故选:B.
实数与数轴
有理数和无理数统称为实数;数轴上的数与实数一一对应;
实数的分类
按定义分:
实数
按与0的大小关系分:
实数
例11 在实数中，无理数有（　　）
A、２个　　　　B、３个　　　C、４个　　　D、５个
B
例12 下列说法证的是（　　　）
有理数与数轴上的点一一对应 B、数轴上的点都对应有理数
C、实数和数轴上的点一一对应 D、数轴上的点都对应无理数
C
例13 如图，数轴上有M、N、P、Q四点，则这四点中所表示的数最接近的是（ ）
A.点M B.点N C.点P D.点Q
B
例14 下列说法正确的是( )
A.1的平方根是它本身
B.±4是64的立方根
C.带根号的数都是无理数
D.无理数都是无限不循环小数
【答案】D
【解答】解:A 1的平方根是±1,原说法错误,故此选项不符合题意;
B 4是64的立方根,原说法错误,故此选项不符合题意;
C 带根号的数不一定是无理数,如=2,原说法错误,故此选项不符合题意;
D 无理数都是无限不循环小数的说法正确,故此选项符合题意.
故选:D.
例15 下列四个数中,属于有理数的是( )
A.2022 B. C.π D.-
【答案】A
【解答】解:A 2022是有理数,故A符合题意;
B 是无理数,故B不符合题意;
C π是无理数,故C不符合题意;
D ﹣是无理数,故D不符合题意;
故选:A.
例16 下列各数是负数的是( )
(﹣1)2 B.|﹣3| C.﹣(﹣5) D.
【答案】D
【解答】解:A (﹣1)2=1,故A不符合题意;
B |﹣3|=3,故B不符合题意;
C ﹣(﹣5)=5,故C不符合题意;
D =﹣2,故D符合题意;
故选:D.
例17 把下列各数填入它所属的集合内:
﹣2.5,5,0,﹣3,2,,﹣1.121121112…(每两个2之间依次增加一个1).
正数集合:{ …};
无理数集合:{ …};
分数集合:{ …};
非负整数集合:{ …}.
【解答】解:正数集合:{5,2,...};
无理数集合:{,﹣1.121121112…(每两个2之间依次增加一个1)...};
分数集合:{﹣2.5,5...};
非负整数集合:{ 0,2...};
故答案为:5,2,;
,﹣1.121121112…(每两个2之间依次增加一个1);
﹣2.5,5;
0,2.
例18 ﹣的相反数为 ,|1﹣|= ,绝对值为的数为 .
【答案】﹣;﹣1;±3.
【解答】解:﹣的相反数为:﹣,
|1﹣|=﹣1,
绝对值为=3的数为:±3.
故答案为:﹣;﹣1;±3.
例19 如图,面积为3的正方形ABCD的顶点A在数轴上,且表示的数为﹣1,若AD=AE,则数轴上点E所表示的数为( )
﹣1 B.+1 C.﹣+1 D.
【答案】A
【解答】解:正方形ABCD的边长为:,
∴点E所表示的数为:﹣1+,
故选:A.
例20 实数在数轴上的大致位置是( )
点A B.点B C.点C D.点D
【答案】D
【解答】解:∵<<,
∴3<<4,
可得其在点3与4之间,
∴点D符合.
故选:D.
例21 如图,在数轴上点A,B对应的实数分别为a b,则( )
A.a+b>0 B.a﹣b<0 C.ab>0 D.
【答案】B
【解答】解:∵由数轴上a b两点的位置可知,a<0,b>0,|a|>|b|,
∴a+b<0,a﹣b<0,ab<0,<0,
∴选项A C D是错误;选项B是正确.
故选:B
例22 如图,正方形ABCD的面积为7,顶点A在数轴上表示的数为1,若点E在数轴上(点E在点A的左侧),且AD=AE,则点E所表示的数为( )
A.- B.-1 C.1- D.-2+
【答案】C
【解答】解:∵正方形的面积为7,
∴正方形的边长为,
∴AE=AD=,
∴点E表示的数为1﹣.
故选:C.
实数的绝对值与大小比较
实数的绝对值 相反数
(1)一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值.实数的绝对值记作.
(2)绝对值相等 符号相反的两个数叫做互为相反数;零的相反数是零.非零实数的相反数是.
2 两个实数的大小比较
两个实数也可以比较大小,其大小顺序的规定同有理数一样.
负数小于零;零小于正数.
两个正数,绝对值大的数较大;两个负数,绝对值大的数较小.
从数轴上看,右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大.
比较两数大小是中学数学中的基本类型和基本技能,以下介绍几种常用的方法:
1.近似值法:借用两个数的不足和过剩近似值来判别两个数大小的方法;
2.平方法:将两个数平方,再来判定两个数大小的方法;
3.求差法:先求两个数的差,用差与0作比较来判定两个数大小的方法.
4.求商法:先求两个数的商,用商与1作比较判定两个数大小的方法.
5.求倒数法:先求两个数的倒数,用倒数的大小来判定两个数大小的方法.即对于符号相同的,两数,若,则a>b;若,则a例23 比较﹣2与3﹣大小,正确的是( )
﹣2>3﹣ B.﹣2<3﹣
C.﹣2=3﹣ D.无法确定
【答案】B
【解答】解:∵(﹣2)﹣(3﹣)=﹣2﹣3+=2﹣5<0,
∴﹣2<3﹣.
故选:B.
例24 设a=,b=,c=3,则a,b,c的大小关系为( )
A.a【答案】B
【解答】解:∵3=,>,
∴a∵3=,<,
∴b>c,
∴a故选:B.
例25 2,,5三个数的大小关系是( )
A.5<<2 B.<5<2 C.2<5< D.<2<5
【答案】C
【解答】解:2=,
因为24<25<27,
所以<5<,
即2<5<.
故选:C.
例26 估计﹣1的值介于( )
A.1与2之间 B.2与3之间 C.3与4之间 D.4与5之间
【答案】B
【解答】解:∵<<,
∴3<<4,
∴2<﹣1<3,
∴计﹣1的值介于2与3之间.
故选:B.
例27 已知a是正整数,且满足a﹣1<A.9 B.8 C.7 D.6
【答案】B
【解答】解:∵49<56<64,
∴7<<8,
∵a是正整数,且满足a﹣1<∴a=8.
故选:B.
例28 介于整数n和n+1之间,则n的值是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】C
【解答】解:∵2<<3,
∴n=2,
故选:C
实数的运算
近似数与有效数字
1.准确数概念:
一般来说,完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数.
2.近似数概念:
与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数(或近似值).
☆在很多情况下,很难取得准确数,或者不必使用准确数,而可使用近似数.
☆取近似数的方法:四舍五入法,进一法,去尾法(根据具体实际情况使用)
3.精确度概念:
近似数与准确数的接近程度即近似程度,对近似程度的要求,叫做精确度.
☆近似数的精确度通常有两种表示方法:
精确到哪一个数位;
保留几个有效数字.
4.有效数字概念:
对于一个近似数,从左边第一个不是零的数字起,往右到末位数字为止的所有数字,叫做这个近似数的有效数字.
实数的运算
1.注意:有理数关于绝对值 相反数的意义同样适用于实数
2.运算法则:先算乘方开方,再算乘除,最后算加减;如果有括号,先算括号里面的
例28 一个正数的平方是3,这个数的准确数____;近似数(精确到千分之一位)是__1.732__;近似数的有效数字有__4___位,有效数字是___1 7 3 2____.
例29 写出下列各数的有效数字,并指出精确到哪一位
1)2000; 2)4.523亿 ; 3); 4)0.00125.
答案 个位 十万位 千位 十万分位
例30 用四舍五入法,按括号内的要求对下列数取近似值.
(1)0.008435(保留三个有效数字) ≈__0.00844__;
(2)12.975(精确到百分位) ≈__12.98__;
(3)548203(精确到千位) ≈___5.48×105______;
(4)5365573(保留四个有效数字) ≈__5.366×106_________.
例31 已知,按四舍五入法取近似值.
(1)____3.1416____(保留五个有效数字);
(2)_____3.14__(保留三个有效数字);
(3)0.045267_____0.0453____(保留三个有效数字).
例32 用四舍五入法得到:小智身高1.8米与小智身高1.80米,两者有什么区别
答:1.80精确到百分位,1.8只精确到十分位,比较而言,1.80比1.8更精确
例33 下列近似数各精确到哪一位 各有几个有效数字
(1)3.201; (2)0.0010; (3)2.35亿; (4).
答:千分位,4个 万分位,2个 百万位,3个 亿位,3个
例34 计算:
﹣|1﹣|; (2)﹣+;
=2-4+1 =+5
=-1 =
(3)+(﹣3)×﹣(﹣2)2.
=-6+(-3)×10-4
=-6-30-4
=-40
例35 计算:
|﹣2|+(﹣1)3﹣; (2)(﹣5)2+27+(﹣3)×.
【解答】解:(1)原式=2﹣1﹣3=﹣2;
(2)原式=25+27﹣1
=52﹣1
=51.
例36 计算:+-+(-1)2022+|1-|.
【解答】解:+-+(-1)2022+|1-|.
=﹣2+3﹣+1+﹣1
=-+.
科学记数法
定义:把一个数表示成a×10n(1≤|a|<10,a是整数或者小数,n是整数)的形式,这种记数方法叫作科学计数法;当a为1或者-1是,“1”常省略不写
例37 下列数中是科学记数法表示的是（ ）
A、13×103 B、1.3×10000 C.0.13×105 D.1.3×104
D
例38 若一个数用科学记数法表示后为-3.96×105，则这个数是（ ）
A.-39600 B.-396000 C.0.0000396 D.0.00000396
B
例39 废旧电池对环境的危害十分巨大,一粒纽扣电池能污染600立方米的水(相当于一个人一生的饮水量).某班有50名学生,如果每名学生一年丢弃一粒纽扣电池,且都没有被回收,那么被该班学生一年丢弃的纽扣电池能污染的水量用科学记数法表示为________立方米.
答:600×50=30000=3×104
课堂练习
1.下列各数:,0,,,0.3030030003,中,无理数个数为( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】A
【分析】根据无理数的定义:“无限不循环的小数是无理数”逐一判断即可得.
【详解】解:在所列实数中,无理数有这2个,故选:A.
2.下列各数 3.14 0.80108 0.1010010001…(1和1之间每一个间隔就多一个0) 0.451452453454,其中无理数的个数是 _____________________
【答案】2个
【分析】根据无理数的三种形式:①开方开不尽的数,②无限不循环小数,③含有π的数,找出无理数的个数.
【详解】解:=1,=1,=2,
所以无理数有: 0.1010010001…,共2个.故答案为:2个.
3.月球沿着一定的轨道绕地球运动,某一时刻它与地球相距410300千米,用科学记数法表示这个数的近似数,并保留两个有效数字 .
【答案】.
【解析】用科学记数法表示这个数的近似数410300,并保留两个有效数字为:.
4.上海迪士尼乐园是中国大陆首座迪士尼乐园,2016年6月16日开园,其总面积约为平方米,这个近似数有 个有效数字.
【答案】3;
【解析】有效数字的计算方法:从左边第一个不是0的数字起,后面所有的数字都是有效数字,用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关,与10的多少次方无关. 有3 9 0共3个有效数字.
5.已知实数a b在数轴上的对应点如图所示,化简:= .
【答案】;
【解析】由图可知,,所以
6.的小数部分是a,计算= .
【答案】;
【解析】因为的小数部分是a,故,所以
7.计算:= .
【答案】1;
【解析】原式=.
8.计算:= .
【答案】2.
【解析】原式=;
9.计算:= .
【答案】.
【解析】.
10.若的小数部分为a,则的值为 .
【答案】5.
【解析】因为,所以的整数部分为3,故小数部分为,故
.
11.先阅读下列材料,再回答相应的问题
若与同时成立,则x的值应是多少
有下面的解题过程:
由于与都是算术平方根,故两者的被开方数与均为非负数.而与互为相反数,两个非负数互为相反数,只有一种情形,那便是,所以.
问题:已知,求的值.
【答案】
【分析】根据阅读的解题过程,可类比求解即可求出x y的值,代入求解即可.
【详解】由于与都是算术平方根,
故两者的被开方数与均为非负数,
而与互为相反数,两个非负数互为相反数,只有一种情形,那便是,,所以,y=2,代入即可得==.
课后练习
1.下列各数中属于无理数的是( )
A.0.3333 B. C. D.
【答案】C
【解答】解:A.0.3333是有限小数,属于有理数,故本选项不符合题意;
B.是分数,属于有理数,故本选项不符合题意;
C.是无理数,故本选项符合题意;
D.=4,4是整数,属于有理数,故本选项不符合题意.
故选:C.
下列数中,(相邻两个3之间的7的个数逐次加1)是无理数的有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】B
【解答】解:=﹣2,
无理数有:,,0.373373337…共3个.
故选:B.
3.写出一个大于﹣4的负无理数: .
【答案】﹣π
【解答】解:写出一个大于﹣4的负无理数:﹣π,
故答案为:﹣π.
4.在实数﹣3,﹣,0,1中,绝对值最小的数是( )
A.﹣3 B.﹣ C.0 D.1
【答案】C
【解答】A.﹣3的绝对值是3;
B.﹣的绝对值是;
C.0的绝对值是0;
D.1的绝对值是1.比较实数绝对值的大小,0<<1<3,可知0的绝对值最小.
故选:C.
5.=( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解答】解:∵3>1,
∴>1,
∴1﹣<0,
∴|1﹣|=﹣1.
故选:A.
6.的相反数是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解答】解:﹣的相反数是:﹣(﹣)=,
故选:A.
7.在,π,0,,,﹣22,2.121121112…(两个2之间依次多一个1),0.030303…中.
(1)是有理数的有 .
(2)是无理数的有 .
(3)是整数的有 .
(4)是分数的有 .
【解答】解:(1)有理数包括整数和分数,
故答案为:﹣,0,﹣22,0.030303...;
(2)无限不循环小数是无理数,
故答案为:π,,,2.121121112...(两个2之间依次多一个1);
(3)整数包括正整数 0 负整数,
故答案为:0,﹣22;
(4)分数包括正分数 负分数,
故答案为:﹣,0.030303...
8.的平方根是 ;1﹣的绝对值是 .
【答案】±2,﹣1
【解答】解:=4,
∵(±2)2=4,
∴的平方根是±2;
∵1﹣<0,
∴|1﹣|=﹣1.
故答案为:±2,﹣1
9.如图,数轴上有四个点A,B,C,D,则这四个点中对应的数是的可能是( )
A.点A B.点B C.点C D.点D
【答案】D
【解答】解:∵4<7<9,
∴<<,即2<<3,
即在2和3质之间,
故选:D.
10.如图,数轴上C,B两点表示的数分别是2,,且点C是AB的中点,则点A表示的数是( )
A.﹣ B.2﹣ C.4﹣ D.﹣2
【答案】C
【解答】解:∵数轴上C,B两点表示的数分别是2和,
∴CB=﹣2,
∵点C是线段AB中点,
∴AC=BC,
∴点A的坐标为:2﹣(﹣2)=4﹣.
故选:C.
11.如图1,将面积为2的正方形向外等距扩0.5.在如图2所示的数轴上标示了四段范围,则大正方形的边长数值落在( )
图1 图2
A.段① B.段② C.段③ D.段④
【答案】D
【解答】解:∵面积为2的正方形的边长为,
∴向外等距扩0.5后边长为+1,
∵1<2<2.25,
∴1<<1.5,
∴2<+1<2.5,
∴落在段④,
故选:D.
12.如图,数轴上点A表示的数是-,点B表示的数是,则数轴上A,B两点之间表示整数的点共有( )个.
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】B
【解答】解:∵﹣3<﹣<﹣2,3<<4,
根据题意得:﹣∴﹣3则整数x的值为﹣2,﹣1,0,1,2,3,共6个,
故选:B.
13.四个实数5,0,,中,最小的无理数是( )
A. B.0 C. D.5
【答案】A
【解答】解:5和0是有理数,故5和0不是,
与中的被开方数8>3,
故>.
故选:A.
14.下列各数中,比3大比4小的无理数是( )
A.3.14 B. C. D.
【答案】D
【解答】解:A.3.14是有理数,不是无理数,故本选项不符合题意;
B.是有理数,不是无理数,故本选项不符合题意;
C.>4,故本选项不符合题意;
D.32=9,42=16,9<12<16,并且=2是无理数,故本选项符合题意;
故选:D.
15.下列各数中,界于6和7之间的数是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解答】解:A 25<28<36,则5<<6,即界于5和6之间,故本选项错误;
B 25<35<36,则5<<6,即界于5和6之间,故本选项错误;
C 36<43<49,则6<<7,即界于6和7之间,故本选项正确;
D 49<58<64,则7<<8,即界于7和8之间,故本选项错误;
故选:C.
16.估计﹣2的值在( )
A.4到5之间 B.5到6之间 C.6到7之间 D.7到8之间
【答案】B
【解答】解:∵,,
∴在7到8之间,
所以估计-2的值在5到6之间.
故选:B.
17.若a,b是两个连续整数,且a<﹣2A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】A
【解答】解:∵4<7<9,
∴2<<3,
∴0<﹣2<1,
∵a,b是两个连续整数,且a<﹣2∴a=0,b=1,
∴a+b=1,
故选:A.
18.计算:
(1)|﹣3|﹣++(﹣2)2.
(2)(﹣1)2021+|1﹣|﹣+.
【解答】解:(1)|﹣3|﹣++(﹣2)2
=3﹣4+(﹣2)+4
=﹣1+(﹣2)+4
=﹣3+4
=1;
(2)(﹣1)2021+|1﹣|﹣+
=﹣1+﹣1﹣3+2
=﹣3.
19.计算:--.
【解答】解:--
=7﹣(﹣)﹣
=7+﹣
=7﹣1
=6.
20.计算-12022++|-3|-.
【解答】解:原式=-1++3--3,
=--.
21.计算:
(1)-12++|-1|+;
(2)+|-2|-+.
【解答】解:(1)-12++|-1|+;
=﹣1+4+﹣1﹣2
=;
(2)原式=+2﹣﹣4+3
=+1.19.2实数
一 有理数的小数形式
任何有理数可以写成分数(a b是整数,a≠0),有理数必
为有限小数或无限循环小数(反之有限小数或无限循环小数必为有理
数);
循环节:循环小数中重复出现的数字序列
例1 将下列分数化为有限小数,若不能化为有限小数,则化为循环小数,并写出其循环节
(1) (2)2 (3)- (4)
例2 下列说法不正确的是（　　）
A．有理数一定是有限小数或无限循环小数　　B．含有Π的数都属无理数
　Ｃ．任何分数都可以化成小数　　　　　　　　　　　D．任何小数都可以化成分数
例3 在分数中，能化为有限小数的有（　　）
A、１个　　　B、２个　　C、3个 D、4个
例4 要使分数能化成有限小数，则下列各组数中，ｘ可以是（　　）
A.3 5 10　　　B．3 2 18　　　C．2 16 25　　　D．3 6 9
例5 下列说法中正确的是（ ）
A 小数0.121221222....是循环小数　　　　B、所有分数都可以化为循环小数
C 0.2232323...的循环节是223　　　　　　D、循环小数不一定小于１
例6 将无限循环小数化成分数：＝　　　　　
无理数
无限不循环小数叫做无理数;
注意:(1)无理数的特征:无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环,不能表示成分数的形式
常见的无理数有三种形式:①含类.②看似循环而实质不循环的数,如:1.313113111…….③带有根号的数,但根号下的数字开方开不尽,如.
例7 在实数,,,,1.12112111211112…(每两个2之间依次多一个1)中,无理数的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
例8 在-,,,2022这四个数中,无理数是( )
- B. C. D.2022
例9 在实数,﹣,,,3.14,0.5%,0.0010010001中,无理数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
实数与数轴
有理数和无理数统称为实数;数轴上的数与实数一一对应;
实数的分类
按定义分:
实数
按与0的大小关系分:
实数
例11 在实数中，无理数有（　　）
A、２个　　　　B、３个　　　C、４个　　　D、５个
例12 下列说法证的是（　　　）
有理数与数轴上的点一一对应 B、数轴上的点都对应有理数
C、实数和数轴上的点一一对应 D、数轴上的点都对应无理数
例13 如图，数轴上有M、N、P、Q四点，则这四点中所表示的数最接近的是（ ）
A.点M B.点N C.点P D.点Q
例14 下列说法正确的是( )
A.1的平方根是它本身
B.±4是64的立方根
C.带根号的数都是无理数
D.无理数都是无限不循环小数
例15 下列四个数中,属于有理数的是( )
A.2022 B. C.π D.-
例16 下列各数是负数的是( )
(﹣1)2 B.|﹣3| C.﹣(﹣5) D.
例17 把下列各数填入它所属的集合内:
﹣2.5,5,0,﹣3,2,,﹣1.121121112…(每两个2之间依次增加一个1).
正数集合:{ …};
无理数集合:{ …};
分数集合:{ …};
非负整数集合:{ …}.
例18 ﹣的相反数为 ,|1﹣|= ,绝对值为的数为 .
例19 如图,面积为3的正方形ABCD的顶点A在数轴上,且表示的数为﹣1,若AD=AE,则数轴上点E所表示的数为( )
﹣1 B.+1 C.﹣+1 D.
例20 实数在数轴上的大致位置是( )
点A B.点B C.点C D.点D
例21 如图,在数轴上点A,B对应的实数分别为a b,则( )
A.a+b>0 B.a﹣b<0 C.ab>0 D.
例22 如图,正方形ABCD的面积为7,顶点A在数轴上表示的数为1,若点E在数轴上(点E在点A的左侧),且AD=AE,则点E所表示的数为( )
A.- B.-1 C.1- D.-2+
实数的绝对值与大小比较
实数的绝对值 相反数
(1)一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值.实数的绝对值记作.
(2)绝对值相等 符号相反的两个数叫做互为相反数;零的相反数是零.非零实数的相反数是.
2 两个实数的大小比较
两个实数也可以比较大小,其大小顺序的规定同有理数一样.
负数小于零;零小于正数.
两个正数,绝对值大的数较大;两个负数,绝对值大的数较小.
从数轴上看,右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大.
比较两数大小是中学数学中的基本类型和基本技能,以下介绍几种常用的方法:
1.近似值法:借用两个数的不足和过剩近似值来判别两个数大小的方法;
2.平方法:将两个数平方,再来判定两个数大小的方法;
3.求差法:先求两个数的差,用差与0作比较来判定两个数大小的方法.
4.求商法:先求两个数的商,用商与1作比较判定两个数大小的方法.
5.求倒数法:先求两个数的倒数,用倒数的大小来判定两个数大小的方法.即对于符号相同的,两数,若,则a>b;若,则a例23 比较﹣2与3﹣大小,正确的是( )
﹣2>3﹣ B.﹣2<3﹣
C.﹣2=3﹣ D.无法确定
例24 设a=,b=,c=3,则a,b,c的大小关系为( )
A.a例25 2,,5三个数的大小关系是( )
A.5<<2 B.<5<2 C.2<5< D.<2<5
例26 估计﹣1的值介于( )
A.1与2之间 B.2与3之间 C.3与4之间 D.4与5之间
例27 已知a是正整数,且满足a﹣1<A.9 B.8 C.7 D.6
例28 介于整数n和n+1之间,则n的值是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
实数的运算
近似数与有效数字
1.准确数概念:
一般来说,完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数.
2.近似数概念:
与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数(或近似值).
☆在很多情况下,很难取得准确数,或者不必使用准确数,而可使用近似数.
☆取近似数的方法:四舍五入法,进一法,去尾法(根据具体实际情况使用)
3.精确度概念:
近似数与准确数的接近程度即近似程度,对近似程度的要求,叫做精确度.
☆近似数的精确度通常有两种表示方法:
精确到哪一个数位;
保留几个有效数字.
4.有效数字概念:
对于一个近似数,从左边第一个不是零的数字起,往右到末位数字为止的所有数字,叫做这个近似数的有效数字.
实数的运算
1.注意:有理数关于绝对值 相反数的意义同样适用于实数
2.运算法则:先算乘方开方,再算乘除,最后算加减;如果有括号,先算括号里面的
例28 一个正数的平方是3,这个数的准确数_ _;近似数(精确到千分之一位)是___;近似数的有效数字有___位,有效数字是______.
例29 写出下列各数的有效数字,并指出精确到哪一位
1)2000; 2)4.523亿 ; 3); 4)0.00125.
例30 用四舍五入法,按括号内的要求对下列数取近似值.
(1)0.008435(保留三个有效数字) ≈____;
(2)12.975(精确到百分位) ≈____;
(3)548203(精确到千位) ≈_________;
(4)5365573(保留四个有效数字) ≈_____.
例31 已知,按四舍五入法取近似值.
(1)____(保留五个有效数字);
(2)___(保留三个有效数字);
(3)0.045267________(保留三个有效数字).
例32 用四舍五入法得到:小智身高1.8米与小智身高1.80米,两者有什么区别
例33 下列近似数各精确到哪一位 各有几个有效数字
(1)3.201; (2)0.0010; (3)2.35亿; (4).
例34 计算:
﹣|1﹣|; (2)﹣+;
(3)+(﹣3)×﹣(﹣2)2.
例35 计算:
|﹣2|+(﹣1)3﹣; (2)(﹣5)2+27+(﹣3)×.
例36 计算:+-+(-1)2022+|1-|.
科学记数法
定义:把一个数表示成a×10n(1≤|a|<10,a是整数或者小数,n是整数)的形式,这种记数方法叫作科学计数法;当a为1或者-1是,“1”常省略不写
例37 下列数中是科学记数法表示的是（ ）
A、13×103 B、1.3×10000 C.0.13×105 D.1.3×104
例38 若一个数用科学记数法表示后为-3.96×105，则这个数是（ ）
A.-39600 B.-396000 C.0.0000396 D.0.00000396
例39 废旧电池对环境的危害十分巨大,一粒纽扣电池能污染600立方米的水(相当于一个人一生的饮水量).某班有50名学生,如果每名学生一年丢弃一粒纽扣电池,且都没有被回收,那么被该班学生一年丢弃的纽扣电池能污染的水量用科学记数法表示为________立方米.
课堂练习
1.下列各数:,0,,,0.3030030003,中,无理数个数为( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.下列各数 3.14 0.80108 0.1010010001…(1和1之间每一个间隔就多一个0) 0.451452453454,其中无理数的个数是 _____________________
月球沿着一定的轨道绕地球运动,某一时刻它与地球相距410300千米,用科学记数法表示这个数的近似数,并保留两个有效数字 .
4.上海迪士尼乐园是中国大陆首座迪士尼乐园,2016年6月16日开园,其总面积约为平方米,这个近似数有 个有效数字.
.
5.已知实数a b在数轴上的对应点如图所示,化简:= .
6.的小数部分是a,计算= .
7.计算:= .
8.计算:= .
9.计算:= .
10.若的小数部分为a,则的值为 .
11.先阅读下列材料,再回答相应的问题
若与同时成立,则x的值应是多少
有下面的解题过程:
由于与都是算术平方根,故两者的被开方数与均为非负数.而与互为相反数,两个非负数互为相反数,只有一种情形,那便是,所以.
问题:已知,求的值.
课后练习
1.下列各数中属于无理数的是( )
A.0.3333 B. C. D.
下列数中,(相邻两个3之间的7的个数逐次加1)是无理数的有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
3.写出一个大于﹣4的负无理数: .
4.在实数﹣3,﹣,0,1中,绝对值最小的数是( )
A.﹣3 B.﹣ C.0 D.1
5.=( )
A. B. C. D.
6.的相反数是( )
A. B. C. D.
7.在,π,0,,,﹣22,2.121121112…(两个2之间依次多一个1),0.030303…中.
(1)是有理数的有 .
(2)是无理数的有 .
(3)是整数的有 .
(4)是分数的有 .
8.的平方根是 ;1﹣的绝对值是 .
9.如图,数轴上有四个点A,B,C,D,则这四个点中对应的数是的可能是( )
A.点A B.点B C.点C D.点D
10.如图,数轴上C,B两点表示的数分别是2,,且点C是AB的中点,则点A表示的数是( )
A.﹣ B.2﹣ C.4﹣ D.﹣2
故选:C.
11.如图1,将面积为2的正方形向外等距扩0.5.在如图2所示的数轴上标示了四段范围,则大正方形的边长数值落在( )
图1 图2
A.段① B.段② C.段③ D.段④
12.如图,数轴上点A表示的数是-,点B表示的数是,则数轴上A,B两点之间表示整数的点共有( )个.
A.5 B.6 C.7 D.8
13.四个实数5,0,,中,最小的无理数是( )
A. B.0 C. D.5
14.下列各数中,比3大比4小的无理数是( )
A.3.14 B. C. D.
15.下列各数中,界于6和7之间的数是( )
A. B. C. D.
16.估计﹣2的值在( )
A.4到5之间 B.5到6之间 C.6到7之间 D.7到8之间
17.若a,b是两个连续整数,且a<﹣2A.1 B.2 C.3 D.4
18.计算:
(1)|﹣3|﹣++(﹣2)2.
(2)(﹣1)2021+|1﹣|﹣+.
计算:--.
20.计算-12022++|-3|-.
21.计算:
(1)-12++|-1|+;
(2)+|-2|-+.

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