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3 复数
【知识梳理】
1．复数的有关概念
内容 意义 备注
复数概念 形如（）的数叫复数， 其中实部为，虚部为 若，则为实数； 若且，则为纯虚数
复数相等
共轭复数 与共轭
复平面 建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫实轴，轴叫虚轴 实轴上的点表示实数 除原点外，虚轴上的点表示纯虚数 各象限内的点都表示虚数
复数的模 设对应的复数为，则向量的长度叫做复数的模 （） ，
2．复数的几何意义
复数集C和复平面所有的点组成的集合是意义对应的；
复数集C与复平面所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的．
重点：复数复平面内的点Z．
3．复数的四则运算
（1）加减乘除运算法则：
设，，则
①加法：
②减法：
③乘法：（多项式乘法）
④除法：（分母实数化）
互为共轭复数两复数相乘结果为实部与虚部的平方和：．
（2）性质：
① ② ③ ④
4.求复数的两种方法
①直接利用给出的式子利用复数运算法则运算
②设复数，利用待定系数（两个复数相等）法计算
题型一 复数运算
例1．设是虚数单位，复数=_______．
解析 =．
例2．若复数，其中是虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
解析 因为，所以．
例3．设的实部与虚部相等，其中为实数，则（ ）
A． B． C．2 D．3
解析 因为，所以，得．
例4．复平面内表示复数的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解析 因为，所以复数对应的点为Z位于第三象限．
例5．是虚数单位，则=（ ）
解析 因为，所以．
【及时训练】
（1）复数，则（ ）
A． B． C． D．
（2）是虚数单位，则=_______．
（3）已知复数是纯虚数，则实数（ ）
A． B． C． D．
（4）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（5）已知复数，则 =_______．
题型二 解方程题
求复数的两种方法
①直接利用给出的式子利用复数运算法则运算
②设复数，利用待定系数（两个复数相等）法计算
【例1】设i为虚数单位，复数z满足，则（ ）
A． B．2 C． D．
【例2】复数满足，i为虚数单位，则复数（ ）
A． B． C．或 D．或
【例3】若复数满足为纯虚数，且，则的虚部为（ ）
1 B． C． D．1
【例4】设复数，则（ ）
解析 由题意可知：．
整理得：，所以．
【及时训练】
1．（多选题）若复数满足，则（ ）
A．的虚部为 B．
C． D．z在复平面内对应的点位于第四象限
2．已知复数满足，则（ ）
A． B． C．3 D．5
3．已知复数z满足，是虚数单位，则__________
题型三 抽象复数（没有告诉复数具体表达式）判断类题目
做此类题目，我们一般设复数，然后通过运算判断
【例1】设有下面四个命题
：若复数满足，则； ：若复数满足，则；
：若复数满足，则； ：若复数，则.
其中的真命题为
A． B． C． D．
【例2】设是复数，则下列命题中的假命题是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【例3】设z是复数, 则下列命题中的假命题是
A．若, 则z是实数 B．若, 则z是虚数
C．若z是虚数, 则 D．若z是纯虚数, 则
【例4】（多选题）已知复数，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B．若，则或
C． D．若，则
【例5】（多选题）设均为非零复数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【及时训练】
1．（多选题）设是非零复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．（多选题）设，为复数，下列命题中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（多选题）已知复数，，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C． D．若，则
4．（多选题）已知复数 ，以下四个说法中正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．
D．若是方程的虚根，则 互为共轭复数
5．（多选题）已知非零复数，满足，则下列判断一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点六：一元二次方程两个虚数根互为共轭复数
知识点：一元二次方程，当时，有两个互为共轭复数的复数根
，
韦达定理：，
【例1】若复数为方程（m，）的一个根，则该方程的另一个根是（ ）
A． B． C． D．
【例2】已知z是方程x2-2x+2=0的一个根，则||=（ ）
A．1 B． C． D．2
【例3】已知关于x的方程的两个虚数根为，.
(1)求的取值范围；
(2)若，求实数a的值.
【跟踪练习】
1.已知是关于x的方程的一根，则_________．
2.已知方程有两个虚根，若（i为虚数单位），则m的值是___________.
3．已知复数，为虚数单位.
(1)求和；
(2)若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值.
【真题衔接】
1．（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（ ）
A． B．0 C．1 D．6
2．（2024·上海·高考真题）已知虚数，其实部为1，且，则实数为 ．
3．（2022·全国乙卷·高考真题）设，其中为实数，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国乙卷·高考真题）已知，且，其中a，b为实数，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·浙江·高考真题）已知，，(i为虚数单位)，则（ ）
A． B．1 C． D．3
6．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足，则（ ）
A． B． C．4 D．8
7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
8．（2023·全国乙卷·高考真题）（ ）
A．1 B．2 C． D．5
9．（2022·全国甲卷·高考真题）若．则（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）在复平面内，对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．（2024·全国甲卷·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．2
13．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
14．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C．0 D．1
15．（2022·全国甲卷·高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
16．（2023·全国乙卷·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
17．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
18．（2021·全国乙卷·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
19．（2021·全国乙卷·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
20．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
21．（2023·全国甲卷·高考真题）设，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
22．（2021·全国甲卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．

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