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解三角形中的最值问题
引言：解三角形中的最值与范围问题是高中数学的一个重难点，它巧妙地将三角恒等变换、正弦余弦定理、函数与不等式知识结合在一起。为了更好的系统掌握，下面梳理了七类常见题型及核心解法，并配有精选例题。
题型总结：在开始研究具体问题前，可以先通过下表对七类主要问题及其常用解法有个整体印象：
问题类型 核心思路 常用方法
边长类范围与最值 将边的关系转化为角的关系，或直接利用边的不等关系 正弦定理 + 三角函数有界性；余弦定理 + 基本不等式
角度类范围与最值 利用三角形内角和为 π 消元，转化为三角函数求值域 三角恒等变换，辅助角公式，三角函数有界性
周长类范围与最值 将周长表示为边的和或角的函数 化为边长问题用基本不等式，或化为角度问题用三角函数
面积类范围与最值 将面积公式与正弦定理、余弦定理结合 面积公式 + 三角函数有界性；海伦公式 + 基本不等式
中线、高线类范围与最值 将中线或高线用边角表示，转化为边或角的问题 向量法或余弦定理表示中线，后续思路同上
外接圆、内切圆半径范围 将 R 或 r 用边和角表示，转化为边角问题 正弦定理 (R)，面积公式 (r)
向量类范围与最值 将向量运算转化为边角关系，或建立坐标系 向量模长、数量积的坐标运算或与余弦定理结合
题型一：边长类，向量类最值及范围问题
这类问题通常利用正弦定理将边化为角，再利用三角函数的有界性求解；或者利用余弦定理和基本不等式求解。
例一：在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 ；若的面积为，点G满足，则线段AG的最小值为 ．
【思路】利用和差角的正弦化简求得；利用三角形面积公式求出，再三角形重心的向量表示，数量积的运算律及基本不等式求出最小值.
【详解】在中，，整理得，
而，则，又，所以；
由的面积为，得，则，由点G满足，得是的重心，则，，当且仅当时取等号，所以线段AG的最小值为.
跟踪训练1：在中，设角所对的边分别是，且满足．
(1)求角；
(2)若，求面积的最大值：
(3)求的取值范围．
【思路】（1）根据正弦定理，结合辅助角公式进行求解即可；
（2）根据三角形面积公式，结合余弦定理以及基本不等式求解即可；
（3）利用余弦定理和正弦定理边角互化将原式转化为，然后令，将原式化为：，最后结合二次函数性质求解值域.
【详解】（1）因为，根据正弦定理得：，且，
可得，
即，又因为，则，
可得，整理可得，
又，则，可得，解得.
（2）由余弦定理得：，即，
可得，解得，当且仅当时，等号成立，
所以的面积为：，故面积的最大值为.
（3）由余弦定理可得：，所以，
即，所以，根据正弦定理得：
，令，则，
可得，将原式化为：，
因为，则，可得，根据二次函数的图像性质得到，
当时，原式取得最小值，；
当时，原式取得最大值，；
故的取值范围为.
跟踪训练2：已知分别为三个内角的对边，且，.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且外接圆圆心为，求的取值范围；
【分析】（1）先对已知等式变形，得到，再用余弦定理求出的值，结合角的范围确定的大小．
（2）先把转化为，因为是外心，得出与的值．用余弦定理求出，进而得到关于的表达式．再用正弦定理求出关于的表达式，根据角的范围确定的范围，最后得到的范围．
【详解】（1），即，
由余弦定理得，又，所以.
（2）（ⅰ）由，
因为O为外接圆圆心，即外心，
所以，，
由余弦定理得，，
所以，
由正弦定理得，，
则，
由，解得，
所以，则，所以.
题型二：角度类最值及范围问题（包含利用边角转化求最值）
这类问题通常先确定一个角的范围，然后将所求量用这个角表示，利用三角函数性质求解。
例二：在中，内角的对边分别为的面积为，已知，且_______．在①，且，②这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答．（注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）
(1)求；
(2)求的取值范围．
【思路】（1）分别就三种情况，运用正弦定理和余弦定理，三角形内角和与和角、差角公式对已知等式进行合理变形，最后借助于角的范围即可求得；
（2）由正弦定理将边分别用的三角函数式表示，代入所求式，化简得，利用角的范围和正弦函数的图象即得所求式的范围.
【详解】（1）若选①，依题意，，
由正弦定理，，
则，整理得，，
因，则有，又，故；若选②，由，因，代入得，，展开整理得，，即，因，则有，由正弦定理，，又因，故得，
因，则；若选③，因为，所以，即，
由余弦定理，得，
在三角形中，则或（舍），故．
（2）因为，则，
因为，所以，
所以．
因为，所以，所以，
所以．
跟踪训练1：在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求的值；
(2)求的周长的取值范围．
【思路】（1）根据题设结合正弦定理可得，再根据余弦定理求解
（2）结合正弦定理、三角恒等变换公式化简可得，再利用正弦函数的性质求解即可.
【详解】（1）由题意得，，，
由正弦定理可得，即，，
又．
（2）由及正弦定理得，
，由于为锐角三角形，则，解得，则，∴，
则
跟踪训练2：已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其面积为，且.
(1)求角；
(2)若，求取值范围.
【思路】（1）由已知及余弦边角关系得，再由三角形面积公式、差角正弦公式整理得，即可求角；
（2）由已知和三角形面积公式、三角形内角关系得、，利用正弦定理及三角恒等变换得，根据锐角三角形得，进而求的范围.
【详解】（1）由，，
所以，则，又，得；
（2）由，且，由正弦定理知，
所以，
由且，可得，则，
所以，故，即.
跟踪训练3：锐角三角形中，记为内角的对边，．
(1)求的值；
(2)求角的最大值．
【思路】（1）利用正弦定理可得，结合三角恒等变换运算求解即可；
（2）根据（1）中结论结合基本不等式可得，且，结合运算求解即可.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
又因为，
即，
且为锐角三角形，则，则，
可得，所以.
（2）因为，且，则，
可得，解得，
当且仅当，即时，等号成立，
则，
因为，则，可得，，则，即的最大值为，且，所以角的最大值为.
题型三：周长类最值及范围问题
求周长的最值或范围，通常转化为边或角的问题。
例三：如图，在矩形中，为边的中点，为边上一点，交边于点，若，则周长的最小值为 ．
【反思】设，根据三角函数的定义和勾股定理用分别表示三边，再换元令，求周长的最小值即可.
【详解】设， 由题意知，当与重合时，由，得，当与重合时，同理可得，
所以，因为，
所以的周长，
令，因为，所以，
又，
所以，且，
所以，所以当时，取得最小值，且，
跟踪训练1：已知的三内角所对的边分别是分别为，且.
(1)求；
(2)若，求周长的最大值.
【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角，得到，即可求出结果；
（2）利用余弦定理得到，再利用基本不等式即可求出结果.
【详解】（1）因为，由正弦定理得，，
整理得，所以，
，，
，，，
，所以.
（2）由余弦定理，得，
即，即，
，当且仅当时取等号，
，解得，当且仅当时取等号，
，所以周长的最大值为.
跟踪训练2：已知函数，其中.
(1)若函数在区间内恰有2个极值点，求的取值范围；
(2)当时，在中，角所对的边分别为，且，求边的取值范围.
【思路】（1）先化简得到，由在上恰有2个极值点，结合三角函数的性质，列出不等式，即可求解；
（2）由，得到，求得，且，再由正弦定理，求得，结合和三角函数的性质，即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）解：
由，
因为，可得
又因为在上恰有2个极值点，则满足，
解得，所以的取值范围为.
（2）解：当时，可得
由，可得，即，
因为，可得，所以，
解得，所以，
又由正弦定理，可得，
所以，
又因为，可得，所以，
所以，当且仅当时，等号成立，所以实数的取值范围为.
题型四：面积类最值及范围问题
求面积的最值或范围，常利用面积公式结合正弦定理、余弦定理，或使用海伦公式。
例四：在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则面积的最大值为 .
【思路】 利用余弦定理得，再利用基本不等式和三角形面积公式得到，最后借助辅助角公式求出最大值.
【详解】 由余弦定理知，所以，即，因为，当且仅当时等号成立，所以，即，
所以.
设的面积为S，所以，
令，可得，
当且仅当时，上式等号成立，即有，解得或（舍去），
则，所以，故面积的最大值为.
【反思】 关键点点睛：利用基本不等式得到面积，通过取倒数从而设，借助于辅助角公式求出的最小值，即可得到的最大值.
跟踪训练1：的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
(1)若，求a；
(2)若为钝角三角形，求面积的取值范围．
【思路】（1）由二倍角公式化简得到，从而求出，由余弦定理得到；
（2）由正弦定理，结合为钝角三角形，得到，从而由三角形面积公式求出.
【详解】（1）因为，所以，即．
因为，，所以，，．
，解得；
（2）的面积．由正弦定理得，
因为为钝角三角形，所以或，
即或，故，
所以，
所以．故面积的取值范围是．
题型五：外接圆，内切圆半径范围问题
与圆相结合的问题通常解法是结合正弦定理，或者余弦定理求边长，考法相对固定，题型不多见
例五：已知的内角，，的对边分别为，，，且，，则 ；的外接圆的圆心是，则的最大值为 ．
【思路】利用正弦定理直接求解第一空，合理作出图形，建立平面直角坐标系，利用外心的性质求出关键点的坐标，将目标式表示出来，最后利用余弦定理结合基本不等式求解最值即可.
【详解】由正弦定理得，解得，，
则，如图，取中点，
连接，因为的外接圆的圆心是，所以，以为原点建立平面直角坐标系，
则，，，则边上的中垂线方程为，由斜率公式得，则的方程为，由中点坐标公式得的中点坐标为，故边上的中垂线方程为，
设，代入方程中，得到，
解得，则，故，，，
则，故，
在中，由余弦定理得，则，解得，
故，由重要不等式得，当且仅当时取等，则，解得，则，故，即其最大值为，
跟踪训练1：中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且．
(1)求角C的值；
(2)若，求的取值范围．
【思路】（1）由余弦定理可得；
（2）延长AC至D，使得，则，由最大值为外接圆直径及三边性质，可求的取值范围.
【详解】（1）由可得，
所以，又，所以；
（2）如图，延长AC至D，使得，即，
连接DB，因为，所以.
在中，由正弦定理可知（其中r为的外接圆半径），所以AD的最大值为，再由三角形两边之和大于第三边可知，故的取值范围为．
跟踪训练2：如图，已知是抛物线上的动点，是其对称轴上的定点，以为圆心、为半径的圆被轴截得的线段为．
(1)求证：为定值；
(2)记的长为，的长为，分别求当为最大和最小时的值．
【思路】(1) 设圆心,可得到圆的方程，代入求出线段即可得到结论.
(2) 在中应用余弦定理，求的面积，得到，可得，即可得到结果.
【详解】（1）设圆心，则圆的方程为．令，则，
即，又，．
所以．
（2）由（1）知以．又的长为，的长为，，
记，在中，，
，得．
，
此时取最大值．当时，取最小值2．
备考和授课建议
引导学生明确解题方向：面对题目，首先分析已知条件和所求结论，判断属于哪类问题，从而选择合适的定理和方法。
强调步骤书写的规范性：清晰的逻辑和完整的步骤是得分关键，特别是等号成立条件的说明。
加强转化与化归思想的训练：帮助学生提升将几何最值问题转化为代数问题的能力。
进行专题强化训练：集中练习同类问题，有助于学生总结规律，熟能生巧。解三角形中的最值问题
引言：解三角形中的最值与范围问题是高中数学的一个重难点，它巧妙地将三角恒等变换、正弦余弦定理、函数与不等式知识结合在一起。为了更好的系统掌握，下面梳理了七类常见题型及核心解法，并配有精选例题。
题型总结：在开始研究具体问题前，可以先通过下表对七类主要问题及其常用解法有个整体印象：
问题类型 核心思路 常用方法
边长类范围与最值 将边的关系转化为角的关系，或直接利用边的不等关系 正弦定理 + 三角函数有界性；余弦定理 + 基本不等式
角度类范围与最值 利用三角形内角和为 π 消元，转化为三角函数求值域 三角恒等变换，辅助角公式，三角函数有界性
周长类范围与最值 将周长表示为边的和或角的函数 化为边长问题用基本不等式，或化为角度问题用三角函数
面积类范围与最值 将面积公式与正弦定理、余弦定理结合 面积公式 + 三角函数有界性；海伦公式 + 基本不等式
中线、高线类范围与最值 将中线或高线用边角表示，转化为边或角的问题 向量法或余弦定理表示中线，后续思路同上
外接圆、内切圆半径范围 将 R 或 r 用边和角表示，转化为边角问题 正弦定理 (R)，面积公式 (r)
向量类范围与最值 将向量运算转化为边角关系，或建立坐标系 向量模长、数量积的坐标运算或与余弦定理结合
题型一：边长类，向量类最值及范围问题
这类问题通常利用正弦定理将边化为角，再利用三角函数的有界性求解；或者利用余弦定理和基本不等式求解。
例一：在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 ；若的面积为，点G满足，则线段AG的最小值为 ．
跟踪训练1：在中，设角所对的边分别是，且满足．
(1)求角；
(2)若，求面积的最大值：
(3)求的取值范围．
跟踪训练2：已知分别为三个内角的对边，且，.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且外接圆圆心为，求的取值范围；
题型二：角度类最值及范围问题（包含利用边角转化求最值）
这类问题通常先确定一个角的范围，然后将所求量用这个角表示，利用三角函数性质求解。
例二：在中，内角的对边分别为的面积为，已知，且_______．在①，且，②这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答．（注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）
(1)求；
(2)求的取值范围．
跟踪训练1：在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求的值；
(2)求的周长的取值范围．
跟踪训练2：已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其面积为，且.
(1)求角；
(2)若，求取值范围.
跟踪训练3：锐角三角形中，记为内角的对边，．
(1)求的值；
(2)求角的最大值．
题型三：周长类最值及范围问题
求周长的最值或范围，通常转化为边或角的问题。
例三：如图，在矩形中，为边的中点，为边上一点，交边于点，若，则周长的最小值为 ．
跟踪训练1：已知的三内角所对的边分别是分别为，且.
(1)求；
(2)若，求周长的最大值.
跟踪训练2：已知函数，其中.
(1)若函数在区间内恰有2个极值点，求的取值范围；
(2)当时，在中，角所对的边分别为，且，求边的取值范围.
题型四：面积类最值及范围问题
求面积的最值或范围，常利用面积公式结合正弦定理、余弦定理，或使用海伦公式。
例四：在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则面积的最大值为 .
跟踪训练1：的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
(1)若，求a；
(2)若为钝角三角形，求面积的取值范围．
题型五：外接圆，内切圆半径范围问题
与圆相结合的问题通常解法是结合正弦定理，或者余弦定理求边长，考法相对固定，题型不多见
例五：已知的内角，，的对边分别为，，，且，，则 ；的外接圆的圆心是，则的最大值为 ．
跟踪训练1：中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且．
(1)求角C的值；
(2)若，求的取值范围．
跟踪训练2：如图，已知是抛物线上的动点，是其对称轴上的定点，以为圆心、为半径的圆被轴截得的线段为．
(1)求证：为定值；
(2)记的长为，的长为，分别求当为最大和最小时的值．
备考和授课建议
引导学生明确解题方向：面对题目，首先分析已知条件和所求结论，判断属于哪类问题，从而选择合适的定理和方法。
强调步骤书写的规范性：清晰的逻辑和完整的步骤是得分关键，特别是等号成立条件的说明。
加强转化与化归思想的训练：帮助学生提升将几何最值问题转化为代数问题的能力。
进行专题强化训练：集中练习同类问题，有助于学生总结规律，熟能生巧。

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