资源简介

人教版九年级数学《21.2.1配方法》
《解一元二次方程—配方法》教学设计
一、核心素养目标
1. 会用数学的眼光观察一元二次方程的特征：
（1）能从具体的一元二次方程中，识别出可通过“补全完全平方式”转化为直接开平方法求解的数学特征，发现“二次项系数”、“一次项系数”与“配方所需常数项”之间的关联。
（2）能观察到方程(x + n)2 = p中，p的正、0和负与方程实数根的对应关系，从不同方程实例中提炼出根的三种情况的共性特征。
2. 会用数学的思维思考如何解一元二次方程：
（1）探究“二次项系数为1的二次三项式配方规律”时，能通过具体填空实例，经历“特殊→归纳→一般”的推理过程，推导得出“常数项等于一次项系数一半的平方”的结论，理解“降次”的转化思想。
（2）分析二次项系数不为1的方程时，能运用等式基本性质，思考“先化二次项系数为1”的合理性，判断“移项”与“二次项系数化系数为1”的顺序能否交换，形成严谨的逻辑推理过程。
3. 会用数学的语言表达用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）能规范运用数学符号、步骤语言，完整表述配方法解一元二次方程的步骤，如“①写（一元二次方程一般形式）、②移项（将常数项移到等号右边）、③化1（二次项系数化为1）、④加常数（两边加一次项系数一半的平方）、⑤配方（化为完全平方形式）、⑥求解（用直接开平方法解一元二次方程）”。
（2）能运用数学术语清晰说明方程(x + n)2 = p的根的情况，如“当p > 0时，方程有两个不相等的实数根；当p = 0时，方程有两个相等的实数根；当p< 0时，方程无实数根”。
二、教学重难点
1. 重点：运用配方法解一元二次方程的一般步骤。理解“常数项等于一次项系数一半的平方”的配方关键。
2. 难点：二次项系数不为1时的配方求解。
三、教学过程
（一）复习引入（4分钟）
1. 回顾直接开平方法：出示方程(x -2)2 = 2，(x + 1)2 = 0和(x + 3)2 = －2，请学生直接回答三个方程的根，老师强调“当p > 0时，开平方得正负两个解”的易错点。
2. 激活完全平方公式：引导学生完成填空a2 + 2ab + b2 = ( 　)2、a2 - 2ab + b2 = ( 　)2。
3. 提出问题引入新课：展示方程x2 + 6x + 9 = 5，提问“这个方程能否用直接开平方法解？为什么？”，引出本节课主题——配方法。
【设计意图】：通过“直接开平方法+完全平方公式”双旧知复习，为“配方法”搭建认知桥梁：前者是配方法的最终解题手段（关联“数学运算”），后者是配方的核心工具（支撑“逻辑推理”）。最后用“不能直接开方的方程”制造认知冲突，激发学生探索新方法的兴趣，自然导入新课。
（二）探究新知
活动一： 探究配方规律（二次项系数为1）（5分钟）
1.学生先独立完成“试一试”，小组讨论后共同完成：x2 + 6x + 9 = 5。
【设计意图】：强化完全平方公式的应用：方程左边x2 + 6x + 9是典型的完全平方形式（对应公式(a+b)2 = a2 + 2ab + b2，此处a=x、b=3），能直接因式分解为(x+3)2，帮助学习者熟练识别和逆用完全平方公式，并铺垫“直接开平方法”解一元二次方程：因式分解后方程变为(x+3)2=5，可直接通过开平方得到x+3=，进而求出解。这一过程能让学生初步理解“将一元二次方程左边先写成完全平方形式，再转化为两个一元一次方程”的求解思路，为后续学习更复杂的配方法（如左边非完全平方时需凑项）打下基础。
2.学生先独立完成“填一填”，小组讨论后总结规律：对于二次项系数为1的二次三项式，常数项是一次项系数一半的平方。
3.推广到一般形式：通过填空x2 + px + (　 )2 = (x + 　)2，让学生明确配方的核心公式。
【设计意图】：从具体数字填空到字母一般形式，遵循“由特殊→一般”的认知规律，契合“逻辑推理”和“数学抽象”素养的培养要求，在这一过程中完成了学生学会用数学的眼光观察一元二次方程的特征的核心素养目标。小组讨论能促进学生互助交流，自主总结规律，避免教师直接灌输，增强学生对“配方关键”的理解与记忆。
活动二：1.想一想，怎样解方程x2 + 6x + 4 = 0？（7分钟）
解： x2 + 6x + 4 = 0
↓ 移项（强调：变号）
x2 + 6x= - 4
两边都加9（即）（强调：根据等式的性质，等式两边都要加9）
x2 + 6x + 9 = - 4 + 9 提问：
↓ 左边写成完全平方形式
(x + 3)2 = 5
降次 （强调：当p > 0时，平方根有正和负两个实数根）
(x + 3)2 =
x + 3 =，或x + 3 =
解一元一次方程
，
分步引导：先移项（x2 + 6x = -4），提问“两边加什么数能让左边成完全平方式？”，结合完全平方公式分析“加9（即32 ）”的原因，强调“两边同时加，保持等式平衡”。
完成配方与求解：带领学生写出(x + 3)2 = 5，再用直接开平方法得解，总结“配方法的本质是降次”。
【设计意图】：通过“提问引导+分步拆解”，突破“为何加9”的关键疑问（关联完全平方公式，培养“逻辑推理”），同时渗透“等式性质”与“降次思想”（支撑“数学建模”），让学生理解每一步操作的依据，避免机械记步骤，提升“数学运算”的严谨性。
2. 明确配方法定义与思路，结合上述解题过程，教师出示配方法的定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.
把方程化为 (x + n)2 = p的形式，再运用直接开平方法降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解。
【设计意图】：在具体解题后归纳定义与思路，符合“先实践后总结”的认知逻辑，帮助学生将零散的操作步骤升华为系统的方法框架（提升“数学抽象”素养），从而达到学生会用数学的思维思考如何解一元二次方程的核心素养目标，并为后续复杂解题奠定基础。
活动三：典例精析（12分钟）
1. 分析例题特点：展示例1的3个方程，引导学生观察：（1）二次项系数为1；（2）（3）二次项系数不为1，明确“先将二次项系数化为1”的操作要点。
2. 分层讲解例题
第1题，x2 - 8x + 1= 0，重点强调“移项变号”和“配方时两边加一次项系数一半的平方”。
第2题，2x2 - 3x = -1，示范“先移项，再将二次项系数化为1”，再配方，将方程的根求出后追问“移项和二次项系数化为1能否交换顺序？”
第3题，3x2 - 6x + 4= 0，仿照第2题的解题步骤计算得到(x + n)2 =，由直接开平方法，当p< 0时，方程无实数根。
3.归纳总结：一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x + n)2 = p的形式：
（1）当p > 0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当p = 0时，方程有两个相等的实数根；
（3）当p < 0时，因为对任意实数x，都有(x + n)2≥0，所以方程无实数根。
【设计意图】：例题设计体现“梯度性”（从二次项系数系数为1到不为1），分层举例讲解能兼顾不同基础学生的接受度，确保“数学运算”素养的全员提升。通过“追问移项和二次项系数化为1顺序能否交换”，引导学生深度思考等式性质的应用（培养“逻辑推理”），避免解题中的常见错误；总结根的情况则将配方法与方程根的判别初步关联，为后续学习埋下伏笔（支撑“数学建模”）。在归纳总结中，实现了学生会规范运用数学符号、步骤语言，完整表述一个一元二次方程通过配方转化成(x + n)2 = p的形式后再利用直接开平方法求根的情况的核心素养目标。
4.思考：用配方法解一元二次方程的一般步骤？
1.写为一般形式；
2.移常数项；（注意：变号）
3.将二次项系数化为 1；（注意：等号两边同时除以二次项系数）
4.等式两边同时加上；（注意：等式两边一定要同时加）
5.等式左边配成完全平方的形式，即 (x + n)2 = p；
6.利用直接开平方法解方程.（注意：当p > 0时，平方根有正和负两个实数根）
【设计意图】：让学生根据具体解题步骤归纳得出配方法解一元二次方程的一般步骤，而非教师直接罗列，能强化学生对方法的主动建构（提升“数学抽象”素养）。学生能规范运用数学符号、步骤语言，完整表述配方法解一元二次方程的步骤，实现了学生会用数学的语言表达如何解一元二次方程的核心素养目标。
（三）、课堂练习（10分钟）
1. 基础填空：4道填空题，快速检验配方规律的掌握情况，学生先作评价，老师再补充并点评。
2. 用配方法解一元二次方程：分组完成4道题，每组派代表板演1题，学生先作评价，老师再补充并作点评。
【设计意图】：练习分为“基础填空（巩固配方规律，强化‘数学抽象’）”和“解方程（综合应用步骤，提升‘数学运算’）”，兼顾“基础巩固”与“能力提升”。分组板演和重点评讲能及时反馈学生掌握情况，针对性解决“无实根判断”和“方程整理”等易错点，强化解题规范性，同时通过“判断无实数根”的练习，深化“逻辑推理”素养。
（四）课堂小结（2分钟）
1. 回顾定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。
2. 梳理步骤：引导学生回忆用配方法解一元二次方程的一般步骤：“①写（一元二次方程一般形式）、②移项（将常数项移到等号右边）、③化1（二次项系数化为1）、④加常数（两边加一次项系数一半的平方）、⑤配方（化为完全平方形式）、⑥求解（用直接开平方法解一元二次方程）”。
3. 回顾重点：强调“配方的关键”呼应本节课重难点。
（五）课后作业
A级：教材第17面复习巩固第2题。
B级：教材第17面复习巩固第3题（1）和（2）。
C级：教材第17面复习巩固第3题（3）和（4）。
【设计意图】：采用“A级+B级+C级”的分层作业设计，面向基础薄弱学生，通过基础题降低作业难度，帮助其夯实基础、建立学习信心，避免因难题产生挫败感，让不同层次学生都能在完成作业中获得针对性提升。
（六）板书设计
运用配方法解一元二次方程
左侧：1.解方程x2 + 6x + 4 = 0。 右侧：3.解方程2x2 + 1 = 3x。
2.配方法的定义。 4.用配方法解一元二次方程的一般步骤。
（七）教学反思
1. 核心素养落地成效：本节课通过“探究规律→分步解题→分层练习”的设计，基本达成了数学运算、逻辑推理等核心素养目标。多数学生能规范完成二次项系数为1的配方解题，且能通过小组讨论总结出配方规律；但在“二次项系数不为1的配方”和“根的情况判断”上，部分基础薄弱学生仍存在困惑，需在后续练习中进一步强化。
2. 教学环节优化空间：探究新知环节中，“从具体填空到一般形式”的过渡较为顺畅，但对“为何要将二次项系数化为1”的原理讲解可更直观（如结合等式性质举例对比），帮助学生理解操作本质而非机械记忆；巩固练习的时间分配可适当调整，增加“二次项系数不为1”的题目练习量，及时弥补学生的认知漏洞。
3. 学生差异应对：本节课通过分层作业和分组讨论关注了学生差异，但课堂互动中，对基础薄弱学生的个别引导不足。后续可设计“同伴互助”环节，让掌握较好的学生辅助讲解，同时教师加强巡堂，及时发现并解决个体问题，确保全体学生都能跟上教学节奏。
八、教学评价
1. 过程性评价：通过课堂提问（如“移项的依据是什么”“为什么加‘一次项系数一半的平方’”），观察学生对原理的理解程度；巡视练习过程，记录学生在“化1”“配方”步骤中的常见错误，及时反馈。
2. 结果性评价：通过课堂练习和课后作业，评价学生对步骤的掌握程度（准确率）和对原理的应用能力（选做题完成情况）。
3. 素养评价：关注学生是否能运用“化归思想”分析问题（如能否自主将陌生方程转化为熟悉形式），是否具备严谨的运算习惯（如检验开方后的解是否正确）。

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