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3.2 一元一次方程及其解法
理解一元一次方程的概念，能准确判断一个方程是否为一元一次方程。
理解方程的解的含义，能检验一个数是否为一元一次方程的解。
掌握解一元一次方程的一般步骤，并能熟练求解。
初步掌握简单绝对值方程的解法。
能解决含参数的一元一次方程相关问题（如已知方程类型求参数、已知解求参数）。
理解一元一次方程解的三种情况（唯一解、无解、无数解），并能根据系数关系判断。
1. 一元一次方程的定义
定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。
标准形式：（其中(a)、(b)为常数，且）。
关键词解析：
一元：只含有一个未知数（如(x)、(y)等）。
一次：未知数的最高次数是1（不含未知数的平方、立方或分母含未知数的情况）。
整式方程：等号两边的式子都是整式（分母中不含未知数）。
判断步骤：
① 化简方程（去括号、移项、合并同类项）；
② 检查是否只含一个未知数；
③ 检查未知数的最高次数是否为1；
④ 检查是否为整式方程。
示例：
是一元一次方程：，。
不是一元一次方程：（次数为2），（不是整式方程），（两个未知数）。
2. 一元一次方程的解
定义：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
检验方法：
将未知数的值代入方程，分别计算等号左边和右边的值，若两边相等，则该值是方程的解；否则不是。
示例：
检验是否为方程的解：
左边(= 3×2 - 1 = 5)，右边，左边=右边，所以是方程的解。
3. 解一元一次方程的一般步骤
步骤 具体做法 依据
去分母 在方程两边都乘各分母的最小公倍数，约去分母。 等式的性质2（等式两边乘同一个数，结果仍相等）
去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号（若有）。 乘法分配律、去括号法则
移项 把含未知数的项移到方程一边，常数项移到另一边（移项要变号）。 等式的性质1（等式两边加或减同一个数，结果仍相等）
合并同类项 把方程化为（）的形式。 合并同类项法则
系数化为1 在方程两边都除以未知数的系数(a)，得到方程的解。 等式的性质2
注意：
去分母时，不要漏乘不含分母的项。
去括号时，若括号前是负号，括号内各项要变号。
移项时，移动的项要变号，未移动的项不变号。
4. 绝对值方程
类型1：（a、b、c为常数，且）。
解法：
当(c > 0)时，方程化为或，分别求解；
当时，方程化为，求解；
当(c < 0)时，方程无解（因为绝对值具有非负性）。
示例：
解方程：
由绝对值的意义，得或，
解得或。
5. 含参数的一元一次方程
参数：方程中除未知数以外的字母（如a、m、k等），通常视为常数。
类型1：已知方程是一元一次方程，求参数
依据一元一次方程的定义：未知数的最高次数为1，且一次项系数不为0。
类型2：已知方程的解，求参数
解法：将方程的解代入原方程，得到关于参数的一元一次方程，求解即可。
示例：
若关于x的方程是一元一次方程，求m的值。
解：由题意，得且，
解得。
6. 一元一次方程解的情况
对于一元一次方程的最简形式：
当时，方程有唯一解：；
当且时，方程有无数个解（任意数都是解）；
当且时，方程无解（等式不成立）。
例1：判断下列方程是否为一元一次方程
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
例2：检验是否为方程的解
例3：解下列一元一次方程
（1）
（2）
例4：解绝对值方程
（1）
（2）
例5：含参数问题
（1）若关于x的方程与的解相同，求m的值。
（2）已知关于x的方程，当k为何值时，方程有唯一解？无解？
一、选择题（每小题只有一个正确答案）
下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A..
C..
方程的解是（ ）
A.
B.
C.
D.
若是方程的解，则m的值为（ ）
A. 1
B. -1
C. 0
D. 2
解方程时，去分母正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
方程的解是（ ）
A.
B.
C. 或
D. 无解
关于x的方程，若且，则方程的解为（ ）
A. 唯一解
B. 无数个解
C. 无解
D. 以上都不对
二、填空题
若是关于x的一元一次方程，则。
当时，代数式(2x - 3)的值等于5。
方程的解是。
若关于x的方程的解是，则。
三、解答题
解下列一元一次方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
解下列绝对值方程：
（1）
（2）
（3）
已知关于x的方程的解是，求m的值。
当k为何值时，关于x的方程的解是全体实数？
若关于x的方程无解，求m的值。3.2 一元一次方程及其解法
理解一元一次方程的概念，能准确判断一个方程是否为一元一次方程。
理解方程的解的含义，能检验一个数是否为一元一次方程的解。
掌握解一元一次方程的一般步骤，并能熟练求解。
初步掌握简单绝对值方程的解法。
能解决含参数的一元一次方程相关问题（如已知方程类型求参数、已知解求参数）。
理解一元一次方程解的三种情况（唯一解、无解、无数解），并能根据系数关系判断。
1. 一元一次方程的定义
定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。
标准形式：（其中(a)、(b)为常数，且）。
关键词解析：
一元：只含有一个未知数（如(x)、(y)等）。
一次：未知数的最高次数是1（不含未知数的平方、立方或分母含未知数的情况）。
整式方程：等号两边的式子都是整式（分母中不含未知数）。
判断步骤：
① 化简方程（去括号、移项、合并同类项）；
② 检查是否只含一个未知数；
③ 检查未知数的最高次数是否为1；
④ 检查是否为整式方程。
示例：
是一元一次方程：，。
不是一元一次方程：（次数为2），（不是整式方程），（两个未知数）。
2. 一元一次方程的解
定义：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
检验方法：
将未知数的值代入方程，分别计算等号左边和右边的值，若两边相等，则该值是方程的解；否则不是。
示例：
检验是否为方程的解：
左边(= 3×2 - 1 = 5)，右边，左边=右边，所以是方程的解。
3. 解一元一次方程的一般步骤
步骤 具体做法 依据
去分母 在方程两边都乘各分母的最小公倍数，约去分母。 等式的性质2（等式两边乘同一个数，结果仍相等）
去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号（若有）。 乘法分配律、去括号法则
移项 把含未知数的项移到方程一边，常数项移到另一边（移项要变号）。 等式的性质1（等式两边加或减同一个数，结果仍相等）
合并同类项 把方程化为（）的形式。 合并同类项法则
系数化为1 在方程两边都除以未知数的系数(a)，得到方程的解。 等式的性质2
注意：
去分母时，不要漏乘不含分母的项。
去括号时，若括号前是负号，括号内各项要变号。
移项时，移动的项要变号，未移动的项不变号。
4. 绝对值方程
类型1：（a、b、c为常数，且）。
解法：
当(c > 0)时，方程化为或，分别求解；
当时，方程化为，求解；
当(c < 0)时，方程无解（因为绝对值具有非负性）。
示例：
解方程：
由绝对值的意义，得或，
解得或。
5. 含参数的一元一次方程
参数：方程中除未知数以外的字母（如a、m、k等），通常视为常数。
类型1：已知方程是一元一次方程，求参数
依据一元一次方程的定义：未知数的最高次数为1，且一次项系数不为0。
类型2：已知方程的解，求参数
解法：将方程的解代入原方程，得到关于参数的一元一次方程，求解即可。
示例：
若关于x的方程是一元一次方程，求m的值。
解：由题意，得且，
解得。
6. 一元一次方程解的情况
对于一元一次方程的最简形式：
当时，方程有唯一解：；
当且时，方程有无数个解（任意数都是解）；
当且时，方程无解（等式不成立）。
例1：判断下列方程是否为一元一次方程
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
答案与解析：
（1）是。化简后为，只含一个未知数x，次数为1，整式方程。
（2）不是。未知数的最高次数是2。
（3）不是。分母中含有未知数，不是整式方程。
（4）不是。含有两个未知数x和y。
（5）是。化简后为，符合一元一次方程定义。
例2：检验是否为方程的解
答案与解析：
将代入方程左边：2(-3 + 1) - 1 = 2×(-2) - 1 = -4 - 1 = -5。
代入方程右边：5×(-3) + 4 = -15 + 4 = -11。
因为左边右边，所以不是该方程的解。
例3：解下列一元一次方程
（1）
（2）
答案与解析：
（1）
去括号，得。
移项，得。
合并同类项，得。
（2）
去分母（两边乘6），得。
去括号，得。
移项，得。
合并同类项，得。
系数化为1，得。
例4：解绝对值方程
（1）
（2）
答案与解析：
（1）
由绝对值的意义，得或。
当时，，解得。
当时，，解得。
所以方程的解为或。
（2）
移项，得，即。
因为绝对值不可能为负数，所以方程无解。
例5：含参数问题
（1）若关于x的方程与的解相同，求m的值。
（2）已知关于x的方程，当k为何值时，方程有唯一解？无解？
答案与解析：
（1）
先解方程，
移项，得，
系数化为1，得。
因为两个方程的解相同，将代入，
得，
即，
移项，得，
系数化为1，得。
（2）
方程可化为。
当，即时，方程有唯一解：；
当，即时，方程化为，此时方程无解。
一、选择题（每小题只有一个正确答案）
下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A..
C..
方程的解是（ ）
A.
B.
C.
D.
若是方程的解，则m的值为（ ）
A. 1
B. -1
C. 0
D. 2
解方程时，去分母正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
方程的解是（ ）
A.
B.
C. 或
D. 无解
关于x的方程，若且，则方程的解为（ ）
A. 唯一解
B. 无数个解
C. 无解
D. 以上都不对
二、填空题
若是关于x的一元一次方程，则。
当时，代数式(2x - 3)的值等于5。
方程的解是。
若关于x的方程的解是，则。
三、解答题
解下列一元一次方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
解下列绝对值方程：
（1）
（2）
（3）
已知关于x的方程的解是，求m的值。
当k为何值时，关于x的方程的解是全体实数？
若关于x的方程无解，求m的值。
巩固练习答案与解析
一、选择题
C
解析：A是二次方程，B含两个未知数，D不是整式方程，只有C符合一元一次方程定义。
B
解析：移项得，系数化为1得。
A
解析：将代入方程，得，解得。
B
解析：分母2和3的最小公倍数是6，两边乘6得。
C
解析：由绝对值意义得或，解得或。
B
解析：当且时，方程恒成立，有无数个解。
二、填空题
1
解析：由题意得，解得。
4
解析：令，移项得，解得。
2
解析：去括号得，移项得，解得。
1或7
解析：将代入方程，得，即或，解得或。
三、解答题
（1）
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
（2）
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
（3）
去分母（两边乘6），得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
（4）
原方程可化为（分子分母同乘100和10化为整数）
化简，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
（1）
由绝对值意义，得或
解得或
（2）
移项，得
由绝对值意义，得或
解得或
（3）
移项，得
系数化为1，得
由绝对值意义，得或
解得或
解：
将代入方程，
得，
合并同类项，得
解：
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
要使方程的解是全体实数，则，即
解：
对于方程，
当且时，方程无解，
解得

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